18.2.1.1 矩形的性质同步练习（含答案）

18.1　平行四边形
18.2.1　矩形
第1课时　矩形的性质
一、选择题
1．若矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，则该矩形的另一边长为(　　)
A.6 B.8 C.10 D.16
2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝50°，则∠OAD的度数为(　　)
A．25° B．30° C．35° D．15°
　 　
第2题图　 第4题图 第5题图
3．关于矩形的性质，以下说法不正确的是(　　)
A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，AB＝2，则BD的长是(　　)
A. B.2 C.2 D.4
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.E，F分别是AB，AO的中点，且AC＝8，则EF的长度为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD，BC于点E，F.若AB＝4，BC＝6，则图中阴影部分的面积为(　　)
A．6 B．10 C．12 D．24
　 　
第6题图　 第7题图 第8题图
7．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(1，2)，则AC的长是(　　)
A．3 B．2 C. D.
8．【2023兰州】如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG.若AB＝4，CE＝10，则AG＝(　　)
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
9．如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE.若∠E＝70°，则∠BAC的度数是(　　)
A．40° B．45° C．50° D．60°
　 　
第9题图　 第10题图 第11题图
10．【2023苏州】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(9，0)，点C的坐标为(0，3)，以OA，OC为边作矩形OABC.动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动，当移动时间为4秒时，AC·EF的值为(　　)
A. B.9 C.15 D.30
二、填空题
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点．若∠A＝26°，则∠BDC的度数为 ．
12．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 ．
　
第12题图　 第13题图
13．图①是一种矩形时钟，图②是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若AB＝30 cm，则BC长为 cm(结果保留根号)．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，DE.若DE＝，AE＝，则点A到BC的距离是 ．
　
第14题图　 第15题图
15．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
16．【2022苏州】如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F.
(1)求证：△DAF≌△ECF；
(2)若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数.
17．如图，在矩形ABCD中，AE∥BD，且交CB的延长线于点E.求证：AE＝AC.
18．如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，以任意小于AB的长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N；
②再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③连接BP并延长交AD于点Q.
据此回答以下问题：
(1)求∠AQB的度数；
(2)若BQ＝4，DQ＝3，求矩形ABCD的周长．
19．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F分别是AC，BD的中点．试判断EF与BD的位置关系，并说明理由．
20．【2023兰州】如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE.
(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；
(2)当CD＝4时，求EG的长.
21．【2023杭州】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°.
(1)求证：CE＝CM.
(2)若AB＝4，求线段FC的长.
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动.
(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；
(2)设AD的中点为M，连接OM，MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；
(3)当点A移动到某一位置时，点C与点O的距离有最大值，请直接写出最大值.
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参考答案
一、选择题
1．若矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，则该矩形的另一边长为(　B　)
A.6 B.8 C.10 D.16
2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝50°，则∠OAD的度数为(　A　)
A．25° B．30° C．35° D．15°
　 　
第2题图　 第4题图 第5题图
3．关于矩形的性质，以下说法不正确的是(　C　)
A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，AB＝2，则BD的长是(　D　)
A. B.2 C.2 D.4
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.E，F分别是AB，AO的中点，且AC＝8，则EF的长度为(　A　)
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD，BC于点E，F.若AB＝4，BC＝6，则图中阴影部分的面积为(　C　)
A．6 B．10 C．12 D．24
　 　
第6题图　 第7题图 第8题图
7．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(1，2)，则AC的长是(　C　)
A．3 B．2 C. D.
8．【2023兰州】如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG.若AB＝4，CE＝10，则AG＝(　C　)
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【解析】　　∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°.
在Rt△BCE中，点F为斜边CE的中点，
∴BF＝CE＝5.
∴BG＝BF＝5.
在Rt△ABG中，AB＝4，BG＝5，
由勾股定理得AG＝＝3.
9．如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE.若∠E＝70°，则∠BAC的度数是(　C　)
A．40° B．45° C．50° D．60°
　 　
第9题图　 第10题图 第11题图
10．【2023苏州】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(9，0)，点C的坐标为(0，3)，以OA，OC为边作矩形OABC.动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动，当移动时间为4秒时，AC·EF的值为(　D　)
A. B.9 C.15 D.30
【解析】　如图，连接AC，EF，过点F作FG⊥OA于点G.
易知四边形OCFG为矩形，BC＝OA＝9，AC＝＝＝3，∴OG＝CF，FG＝OC＝3.
由题意得OE＝BF＝4，∴OG＝CF＝BC－BF＝5.
∴EG＝OG－OE＝1.
∴在Rt△EFG中，EF＝＝.
∴AC·EF＝3×＝30.故选D.
二、填空题
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点．若∠A＝26°，则∠BDC的度数为 ．
【答案】52°
12．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 ．
【答案】20
　
第12题图　 第13题图
13．图①是一种矩形时钟，图②是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若AB＝30 cm，则BC长为 cm(结果保留根号)．
【答案】30
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，DE.若DE＝，AE＝，则点A到BC的距离是 ．
【答案】
【解析】设点A到BC的距离是h，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AE＝，∴BC＝2AE＝15，∵D，E分别是AB，BC的中点，DE＝，∴AC＝2DE＝9，由勾股定理，得AB＝＝＝12，则×15×h＝×12×9，解得h＝.
　
第14题图　 第15题图
15．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】16
三、解答题
16．【2022苏州】如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F.
(1)求证：△DAF≌△ECF；
(2)若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数.
(1)【证明】由题意得AD＝BC＝EC，
∠D＝∠B＝∠E＝90°.在△DAF和△ECF中，∴△DAF≌△ECF(AAS).
(2)∠CAB＝25°.
17．如图，在矩形ABCD中，AE∥BD，且交CB的延长线于点E.求证：AE＝AC.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AD∥BC，
∵AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形，
∴AE＝BD，∵AC＝BD，∴AE＝AC.
18．如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，以任意小于AB的长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N；
②再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③连接BP并延长交AD于点Q.
据此回答以下问题：
(1)求∠AQB的度数；
(2)若BQ＝4，DQ＝3，求矩形ABCD的周长．
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
由作图知，BQ平分∠ABC，
∴∠ABQ＝45°，
∴△ABQ是等腰直角三角形，
∴∠AQB＝45°.
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
由作图知，BQ平分∠ABC，
∴∠ABQ＝45°，
∴△ABQ是等腰直角三角形，
∴∠AQB＝45°.
19．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F分别是AC，BD的中点．试判断EF与BD的位置关系，并说明理由．
解：EF⊥BD.理由如下：
如图，连接EB，ED.
∵∠ABC＝90°，
E是AC的中点，∴BE＝AC.
同理，可得DE＝AC，∴BE＝DE.
又F是BD的中点，
∴EF⊥BD.
20．【2023兰州】如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE.
(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；
(2)当CD＝4时，求EG的长.
【解】(1)四边形OCDE是菱形.
理由如下：
∵CD∥OE，∴∠FDC＝∠FOE.
∵CE是线段OD的垂直平分线，
∴FD＝FO，ED＝OE，CD＝CO.
∴△FDC≌△FOE(ASA).∴CD＝OE.
又∵ED＝OE，CD＝CO，∴ED＝OE＝CD＝CO.
∴四边形OCDE是菱形.
(2)由题易得△ODC为等边三角形.
∴DO＝CD＝4，∠ODC＝60°.∴DF＝DO＝2.
∴CF＝＝2.由(1)知△FDC≌△FOE，
∴EF＝CF＝2.∵∠GDF＝∠CDA－∠ODC＝30°，
∴GD＝2GF.∴GF＝.
∴EG＝EF－GF＝2－＝.
21．【2023杭州】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°.
(1)求证：CE＝CM.
(2)若AB＝4，求线段FC的长.
(1)【证明】∵∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，
∴MC＝MA＝MB.∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B.
∵∠A＝50°，∴∠MCA＝50°.∴∠MCB＝∠B＝40°.
∴∠EMC＝∠MCB＋∠B＝80°.
∵∠A＝50°，∠ACE＝30°，
∴∠MEC＝∠A＋∠ACE＝80°.
∴∠MEC＝∠EMC.∴CE＝CM.
(2)【解】∵AB＝4，
∴CE＝CM＝AB＝2.
∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，
∴EF＝CE＝1.
∴FC＝＝.
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动.
(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；
(2)设AD的中点为M，连接OM，MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；
(3)当点A移动到某一位置时，点C与点O的距离有最大值，请直接写出最大值.
【解】(1)如图，过点C作CE⊥y轴于点E.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDA＝90°， AB＝CD＝4， AD＝BC＝6.
∴∠CDE＋∠ADO＝90°.又∵∠OAD＋∠ADO＝90°
，∴∠CDE＝∠OAD＝30°.∴CE＝CD＝2.
由勾股定理，得DE＝＝2.
在Rt△OAD中，∵∠OAD＝30°，
∴OD＝AD＝3.∴点C的坐标为(2，3＋2).
(2)∵M为AD的中点，∴DM＝AD＝3，S△OAM＝S△ODM.
∴S△DCM＝DM·CD＝6.又∵S四边形OMCD＝，∴S△ODM＝.
∴S△OAD＝2S△ODM＝9.设OA＝x，OD＝y，则x2＋y2＝36，xy＝9，∴x2＋y2＝2xy.∴(x－y)2＝0.∴x＝y.把x＝y代入x2＋y2＝36，得x2＝18，解得x＝3(负值已舍去).∴OA＝3.
(3)点C与点O的距离的最大值为8.