18.2.1.2 矩形的判定同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 18.2.1.2 矩形的判定同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-14 17:25:14 | ||
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文档简介
18.1 平行四边形
18.2.1 矩形
第2课时 矩形的判定
一、选择题
1．【2022陕西】在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是( )
A.AB＝AD B.AC⊥BD C.AB＝AC D.AC＝BD
2．要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是( )
A.∠ABD＝∠CBD B.∠ABC＝90° C.AC⊥BD D.AB＝BC
3．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，可以添加的条件是( )
A.AB＝BC B.AC⊥BD C.∠ABC＝90° D. ∠1＝∠2
第3题图 第7题图 第8题图
4．已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，若要使四边形ABCD成为矩形，则可添加条件( )
A.AC＝CD B.AB∥CD C.AC⊥BD D.AC＝BD
5．检查一个门框是否为矩形，下列方法正确的是( )
A.测量两条对角线是否相等 B.测量两条对角线是否互相平分
C.测量两条对角线是否互相垂直 D.测量门框的三个角是否都是直角
6．【2023聊城】要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( )
A.测量两条对角线是否相等
B.测量两个角是否是90°
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等
7．如图，在 ABCD中，下列条件：①AC＝BD；②∠1＋∠3＝90°；③OB＝AC；④∠1＝∠2，能判断 ABCD是矩形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，EB交DC于点O.添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A.AB＝BE B.BE⊥BC C.OB＝OC D.CE⊥DE
9．【2023通辽】如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若将△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 12
第9题图 第10题图 第11题图
10．如图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH.要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )
A.AC⊥BD B.AB＝CD C.AB∥CD D.AC＝BD
11．如图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中，以A，B为顶点的格点矩形共可以画出( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
12．一个木匠要制作矩形的踏板.如图，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板.理由是 .
第12题图 第13题图 第14题图
13．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接CD，EF交于点G.若EG＝FG，CG＝DG，AE＝6，EF＝10，则边AC的长为 .
14．如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD.添加一个适当的条件：当 时，四边形ACBD为矩形.
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是 .
第15题图 第16题图
16．将两块全等的含30°角的三角尺如图①摆放在一起，设较短直角边长为，如图②，将Rt△BCD沿射线BD方向平移，得到Rt△B1C1D1，连接BC1，AD1.在平移的过程中，当点B的移动距离为 时，四边形ABC1D1为矩形.
三、解答题
17．如图，在 ABCD中，AC＝BC，E是AB的中点，连接CE，过点A作AF∥CE交CD于点F.求证：四边形AECF是矩形.
18．【2023岳阳】如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中：①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形.
（1）你添加的条件是 （填序号）；
（2）添加条件后，请证明 ABCD为矩形.
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE，DF分别是∠BDC，∠ADC的平分线.
(1)求∠CFD的度数；
(2)求证：四边形DECF是矩形.
20．【2023新疆】如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，E，F分别是AO，DO的中点.
(1)求证：OE＝OF；
(2)当∠A＝30°时，
求证：四边形BECF是矩形.
21．如图①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来，则根据三角形中位线定理易得四边形EFGH是平行四边形.
（1）若只改变图①中四边形ABCD的形状（如图②），则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由.
（2）如图②，在（1）的条件下，若连接AC，BD.当AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是矩形？直接写出结论.
22．如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角∠ACD的平分线于点F.连接AE，AF.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由.
23．如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H.
(1)求证：四边形AGPH是矩形；
(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
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参考答案
一、选择题
1．【2022陕西】在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是( D )
A.AB＝AD B.AC⊥BD C.AB＝AC D.AC＝BD
【解析】∵在 ABCD中，AB＝AD，∴ ABCD是菱形，A选项不符合题意；∵在 ABCD中，AC⊥BD，∴ ABCD是菱形，B选项不符合题意；在 ABCD中，AB＝AC，不能判定 ABCD是矩形，C选项不符合题意；∵在 ABCD中，AC＝BD，∴ ABCD是矩形，D选项符合题意.
2．要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是( B )
A.∠ABD＝∠CBD B.∠ABC＝90° C.AC⊥BD D.AB＝BC
3．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，可以添加的条件是( C )
A.AB＝BC B.AC⊥BD C.∠ABC＝90° D. ∠1＝∠2
【解析】A.一组邻边相等的平行四边形是菱形；B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形；C.有一个角是直角的平行四边形是矩形；D.由题意得AD＝CD，一组邻边相等的平行四边形是菱形.故选C.
第3题图 第7题图 第8题图
4．已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，若要使四边形ABCD成为矩形，则可添加条件( D )
A.AC＝CD B.AB∥CD C.AC⊥BD D.AC＝BD
5．检查一个门框是否为矩形，下列方法正确的是( D )
A.测量两条对角线是否相等 B.测量两条对角线是否互相平分
C.测量两条对角线是否互相垂直 D.测量门框的三个角是否都是直角
6．【2023聊城】要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( C )
A.测量两条对角线是否相等
B.测量两个角是否是90°
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等
【解析】A.根据两条对角线相等不能判定四边形为平行四边形，更不可能判定其为矩形；B.根据两个角为直角不能判定四边形为矩形；C.根据两条对角线相等且互相平分可以判定四边形为矩形；D.根据两组对边分别相等可以判定四边形为平行四边形，但不能判定其为矩形.故选C.
7．如图，在 ABCD中，下列条件：①AC＝BD；②∠1＋∠3＝90°；③OB＝AC；④∠1＝∠2，能判断 ABCD是矩形的有（ D ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，EB交DC于点O.添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( B )
A.AB＝BE B.BE⊥BC C.OB＝OC D.CE⊥DE
9．【2023通辽】如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若将△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为( B )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 12
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥EF，BC＝AD＝a.
∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，
∴四边形AEFD是矩形.
由平移的性质得BE＝CF，
∴EF＝BC＝4，∴△ABE的平移距离为4.
第9题图 第10题图 第11题图
10．如图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH.要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( A )
A.AC⊥BD B.AB＝CD C.AB∥CD D.AC＝BD
11．如图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中，以A，B为顶点的格点矩形共可以画出( D )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
12．一个木匠要制作矩形的踏板.如图，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板.理由是 .
【答案】有一个角为直角的平行四边形是矩形（或有三个角是直角的四边形是矩形
第12题图 第13题图 第14题图
13．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接CD，EF交于点G.若EG＝FG，CG＝DG，AE＝6，EF＝10，则边AC的长为 .
【答案】14
【解析】如图，连接DE，DF，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°.∵EG＝FG，CG＝DG，
∴四边形EDFC是平行四边形.又∵∠ACB＝90°，
∴四边形EDFC是矩形，∴∠EDF＝∠CED＝90°，CE＝DF，
∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝45°＝∠A，∴AE＝DE＝6.又∵EF＝10，∴DF＝＝8，∴CE＝8，∴AC＝AE＋CE＝14.
14．如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD.添加一个适当的条件：当 时，四边形ACBD为矩形.
【答案】O是AB的中点
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是 .
【答案】2.4
第15题图 第16题图
16．将两块全等的含30°角的三角尺如图①摆放在一起，设较短直角边长为，如图②，将Rt△BCD沿射线BD方向平移，得到Rt△B1C1D1，连接BC1，AD1.在平移的过程中，当点B的移动距离为 时，四边形ABC1D1为矩形.
【答案】1
【解析】当四边形ABC1D1是矩形时，∠B1BC1＝90°－30°＝60°，∴∠BC1B1＝30°，
∴BC1＝2BB1.在Rt△B1BC1中，
∵B1C1＝，∴B＋（）2＝4B，
∴BB1＝1.
∴当点B的移动距离为1时，四边形ABC1D1为矩形.
三、解答题
17．如图，在 ABCD中，AC＝BC，E是AB的中点，连接CE，过点A作AF∥CE交CD于点F.求证：四边形AECF是矩形.
证明：易得四边形AECF是平行四边形.
∵E是AB的中点，AC＝BC，
∴∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形.
18．【2023岳阳】如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中：①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形.
（1）你添加的条件是 （填序号）；
（2）添加条件后，请证明 ABCD为矩形.
【答案】(1)①（或②）
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC.
在△ABM和△DCM中，
∴△ABM≌△DCM（SAS）.
∴∠A＝∠D.∴∠A＝∠D＝90°.
∴ ABCD为矩形.（选②证明也可以）
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE，DF分别是∠BDC，∠ADC的平分线.
(1)求∠CFD的度数；
(2)求证：四边形DECF是矩形.
解：(1)∠CFD＝90°.
(2)∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝BD.
∵DE是∠BDC的平分线，∴DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°.
由(1)知∠CFD＝90°，且∠ACB＝90°，
∴四边形DECF是矩形.
20．【2023新疆】如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，E，F分别是AO，DO的中点.
(1)求证：OE＝OF；
(2)当∠A＝30°时，
求证：四边形BECF是矩形.
证明：(1)证明略.
(2)∵OB＝OC，OE＝OF，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵∠A＝30°，∴OB＝＝OE，
∴BC＝EF，
∴平行四边形BECF是矩形.
21．如图①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来，则根据三角形中位线定理易得四边形EFGH是平行四边形.
（1）若只改变图①中四边形ABCD的形状（如图②），则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由.
（2）如图②，在（1）的条件下，若连接AC，BD.当AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是矩形？直接写出结论.
解：（1）四边形EFGH还是平行四边形.理由：
连接AC.
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC.
∵H，G分别是AD，CD的中点，
∴HG∥AC， HG＝AC.∴EF∥HG，EF＝HG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
解：（2）当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形.
22．如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角∠ACD的平分线于点F.连接AE，AF.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由.
(1)【证明】如图所示.
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角∠ACD的平分线于点F，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6.
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∴OE＝OC，OF＝OC.∴OE＝OF.
(2)【解】∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∠5＋∠2＋∠4＋∠6＝180°，
∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°，即∠ECF＝90°.
又∵CE＝12，CF＝5，∴EF＝＝13.
又∵OC＝OE＝OF，∴OC＝EF＝6.5.
(3)【解】当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.
理由如下：当点O运动到AC的中点时，AO＝CO.
又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形.
∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO.
∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF.
∴四边形AECF是矩形.
23．如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H.
(1)求证：四边形AGPH是矩形；
(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
(1)证明：∵AC＝9，
AB＝12，BC＝15，
∴AC2＋AB2＝BC2.
∴∠A＝90°.
∵PG⊥AC，PH⊥AB，∴∠AGP＝∠AHP＝90°.
∴四边形AGPH是矩形．
(2)解：存在．连接AP.∵四边形AGPH是矩形，∴GH＝AP.当AP⊥BC时，AP最短．
∵S△ABC＝AC·AB＝BC·AP，
∴9×12＝15·AP.∴AP＝.
∴GH的最小值为.
18.2.1 矩形
第2课时 矩形的判定
一、选择题
1．【2022陕西】在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是( )
A.AB＝AD B.AC⊥BD C.AB＝AC D.AC＝BD
2．要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是( )
A.∠ABD＝∠CBD B.∠ABC＝90° C.AC⊥BD D.AB＝BC
3．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，可以添加的条件是( )
A.AB＝BC B.AC⊥BD C.∠ABC＝90° D. ∠1＝∠2
第3题图 第7题图 第8题图
4．已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，若要使四边形ABCD成为矩形，则可添加条件( )
A.AC＝CD B.AB∥CD C.AC⊥BD D.AC＝BD
5．检查一个门框是否为矩形，下列方法正确的是( )
A.测量两条对角线是否相等 B.测量两条对角线是否互相平分
C.测量两条对角线是否互相垂直 D.测量门框的三个角是否都是直角
6．【2023聊城】要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( )
A.测量两条对角线是否相等
B.测量两个角是否是90°
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等
7．如图，在 ABCD中，下列条件：①AC＝BD；②∠1＋∠3＝90°；③OB＝AC；④∠1＝∠2，能判断 ABCD是矩形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，EB交DC于点O.添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A.AB＝BE B.BE⊥BC C.OB＝OC D.CE⊥DE
9．【2023通辽】如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若将△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 12
第9题图 第10题图 第11题图
10．如图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH.要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )
A.AC⊥BD B.AB＝CD C.AB∥CD D.AC＝BD
11．如图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中，以A，B为顶点的格点矩形共可以画出( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
12．一个木匠要制作矩形的踏板.如图，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板.理由是 .
第12题图 第13题图 第14题图
13．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接CD，EF交于点G.若EG＝FG，CG＝DG，AE＝6，EF＝10，则边AC的长为 .
14．如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD.添加一个适当的条件：当 时，四边形ACBD为矩形.
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是 .
第15题图 第16题图
16．将两块全等的含30°角的三角尺如图①摆放在一起，设较短直角边长为，如图②，将Rt△BCD沿射线BD方向平移，得到Rt△B1C1D1，连接BC1，AD1.在平移的过程中，当点B的移动距离为 时，四边形ABC1D1为矩形.
三、解答题
17．如图，在 ABCD中，AC＝BC，E是AB的中点，连接CE，过点A作AF∥CE交CD于点F.求证：四边形AECF是矩形.
18．【2023岳阳】如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中：①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形.
（1）你添加的条件是 （填序号）；
（2）添加条件后，请证明 ABCD为矩形.
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE，DF分别是∠BDC，∠ADC的平分线.
(1)求∠CFD的度数；
(2)求证：四边形DECF是矩形.
20．【2023新疆】如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，E，F分别是AO，DO的中点.
(1)求证：OE＝OF；
(2)当∠A＝30°时，
求证：四边形BECF是矩形.
21．如图①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来，则根据三角形中位线定理易得四边形EFGH是平行四边形.
（1）若只改变图①中四边形ABCD的形状（如图②），则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由.
（2）如图②，在（1）的条件下，若连接AC，BD.当AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是矩形？直接写出结论.
22．如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角∠ACD的平分线于点F.连接AE，AF.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由.
23．如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H.
(1)求证：四边形AGPH是矩形；
(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
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参考答案
一、选择题
1．【2022陕西】在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是( D )
A.AB＝AD B.AC⊥BD C.AB＝AC D.AC＝BD
【解析】∵在 ABCD中，AB＝AD，∴ ABCD是菱形，A选项不符合题意；∵在 ABCD中，AC⊥BD，∴ ABCD是菱形，B选项不符合题意；在 ABCD中，AB＝AC，不能判定 ABCD是矩形，C选项不符合题意；∵在 ABCD中，AC＝BD，∴ ABCD是矩形，D选项符合题意.
2．要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是( B )
A.∠ABD＝∠CBD B.∠ABC＝90° C.AC⊥BD D.AB＝BC
3．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，可以添加的条件是( C )
A.AB＝BC B.AC⊥BD C.∠ABC＝90° D. ∠1＝∠2
【解析】A.一组邻边相等的平行四边形是菱形；B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形；C.有一个角是直角的平行四边形是矩形；D.由题意得AD＝CD，一组邻边相等的平行四边形是菱形.故选C.
第3题图 第7题图 第8题图
4．已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，若要使四边形ABCD成为矩形，则可添加条件( D )
A.AC＝CD B.AB∥CD C.AC⊥BD D.AC＝BD
5．检查一个门框是否为矩形，下列方法正确的是( D )
A.测量两条对角线是否相等 B.测量两条对角线是否互相平分
C.测量两条对角线是否互相垂直 D.测量门框的三个角是否都是直角
6．【2023聊城】要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( C )
A.测量两条对角线是否相等
B.测量两个角是否是90°
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等
【解析】A.根据两条对角线相等不能判定四边形为平行四边形，更不可能判定其为矩形；B.根据两个角为直角不能判定四边形为矩形；C.根据两条对角线相等且互相平分可以判定四边形为矩形；D.根据两组对边分别相等可以判定四边形为平行四边形，但不能判定其为矩形.故选C.
7．如图，在 ABCD中，下列条件：①AC＝BD；②∠1＋∠3＝90°；③OB＝AC；④∠1＝∠2，能判断 ABCD是矩形的有（ D ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，EB交DC于点O.添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( B )
A.AB＝BE B.BE⊥BC C.OB＝OC D.CE⊥DE
9．【2023通辽】如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若将△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为( B )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 12
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥EF，BC＝AD＝a.
∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，
∴四边形AEFD是矩形.
由平移的性质得BE＝CF，
∴EF＝BC＝4，∴△ABE的平移距离为4.
第9题图 第10题图 第11题图
10．如图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH.要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( A )
A.AC⊥BD B.AB＝CD C.AB∥CD D.AC＝BD
11．如图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中，以A，B为顶点的格点矩形共可以画出( D )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
12．一个木匠要制作矩形的踏板.如图，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板.理由是 .
【答案】有一个角为直角的平行四边形是矩形（或有三个角是直角的四边形是矩形
第12题图 第13题图 第14题图
13．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接CD，EF交于点G.若EG＝FG，CG＝DG，AE＝6，EF＝10，则边AC的长为 .
【答案】14
【解析】如图，连接DE，DF，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°.∵EG＝FG，CG＝DG，
∴四边形EDFC是平行四边形.又∵∠ACB＝90°，
∴四边形EDFC是矩形，∴∠EDF＝∠CED＝90°，CE＝DF，
∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝45°＝∠A，∴AE＝DE＝6.又∵EF＝10，∴DF＝＝8，∴CE＝8，∴AC＝AE＋CE＝14.
14．如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD.添加一个适当的条件：当 时，四边形ACBD为矩形.
【答案】O是AB的中点
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是 .
【答案】2.4
第15题图 第16题图
16．将两块全等的含30°角的三角尺如图①摆放在一起，设较短直角边长为，如图②，将Rt△BCD沿射线BD方向平移，得到Rt△B1C1D1，连接BC1，AD1.在平移的过程中，当点B的移动距离为 时，四边形ABC1D1为矩形.
【答案】1
【解析】当四边形ABC1D1是矩形时，∠B1BC1＝90°－30°＝60°，∴∠BC1B1＝30°，
∴BC1＝2BB1.在Rt△B1BC1中，
∵B1C1＝，∴B＋（）2＝4B，
∴BB1＝1.
∴当点B的移动距离为1时，四边形ABC1D1为矩形.
三、解答题
17．如图，在 ABCD中，AC＝BC，E是AB的中点，连接CE，过点A作AF∥CE交CD于点F.求证：四边形AECF是矩形.
证明：易得四边形AECF是平行四边形.
∵E是AB的中点，AC＝BC，
∴∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形.
18．【2023岳阳】如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中：①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形.
（1）你添加的条件是 （填序号）；
（2）添加条件后，请证明 ABCD为矩形.
【答案】(1)①（或②）
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC.
在△ABM和△DCM中，
∴△ABM≌△DCM（SAS）.
∴∠A＝∠D.∴∠A＝∠D＝90°.
∴ ABCD为矩形.（选②证明也可以）
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE，DF分别是∠BDC，∠ADC的平分线.
(1)求∠CFD的度数；
(2)求证：四边形DECF是矩形.
解：(1)∠CFD＝90°.
(2)∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝BD.
∵DE是∠BDC的平分线，∴DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°.
由(1)知∠CFD＝90°，且∠ACB＝90°，
∴四边形DECF是矩形.
20．【2023新疆】如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，E，F分别是AO，DO的中点.
(1)求证：OE＝OF；
(2)当∠A＝30°时，
求证：四边形BECF是矩形.
证明：(1)证明略.
(2)∵OB＝OC，OE＝OF，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵∠A＝30°，∴OB＝＝OE，
∴BC＝EF，
∴平行四边形BECF是矩形.
21．如图①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来，则根据三角形中位线定理易得四边形EFGH是平行四边形.
（1）若只改变图①中四边形ABCD的形状（如图②），则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由.
（2）如图②，在（1）的条件下，若连接AC，BD.当AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是矩形？直接写出结论.
解：（1）四边形EFGH还是平行四边形.理由：
连接AC.
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC.
∵H，G分别是AD，CD的中点，
∴HG∥AC， HG＝AC.∴EF∥HG，EF＝HG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
解：（2）当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形.
22．如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角∠ACD的平分线于点F.连接AE，AF.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由.
(1)【证明】如图所示.
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角∠ACD的平分线于点F，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6.
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∴OE＝OC，OF＝OC.∴OE＝OF.
(2)【解】∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∠5＋∠2＋∠4＋∠6＝180°，
∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°，即∠ECF＝90°.
又∵CE＝12，CF＝5，∴EF＝＝13.
又∵OC＝OE＝OF，∴OC＝EF＝6.5.
(3)【解】当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.
理由如下：当点O运动到AC的中点时，AO＝CO.
又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形.
∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO.
∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF.
∴四边形AECF是矩形.
23．如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H.
(1)求证：四边形AGPH是矩形；
(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
(1)证明：∵AC＝9，
AB＝12，BC＝15，
∴AC2＋AB2＝BC2.
∴∠A＝90°.
∵PG⊥AC，PH⊥AB，∴∠AGP＝∠AHP＝90°.
∴四边形AGPH是矩形．
(2)解：存在．连接AP.∵四边形AGPH是矩形，∴GH＝AP.当AP⊥BC时，AP最短．
∵S△ABC＝AC·AB＝BC·AP，
∴9×12＝15·AP.∴AP＝.
∴GH的最小值为.