18.2.2.2 菱形的判定同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 18.2.2.2 菱形的判定同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-14 17:28:13 | ||
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文档简介
18.1 平行四边形
18.2.2 菱形
第2课时 菱形的判定
一、选择题
1．下列选项中能使 ABCD成为菱形的是( )
A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD
2．在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是菱形，这个条件可以是( )
A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC
3．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，那么下列条件中，能判定 ABCD是菱形的为( )
A．AO＝CO B．AO＝BO C．∠AOB＝90° D．∠BAD＝∠ABC
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定 ABCD为菱形的是( )
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC，OB＝OD
5．【2023深圳】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形，则a的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，操作如下：分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径，在线段AB的两侧画弧，分别相交于点C，D，则直线CD即为所求，连接AC，BC，AD，BD，根据她的作法可知四边形ADBC一定是( )
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．梯形
第6题图 第9题图 第10题图
7．已知平行四边形ABCD，下列条件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.其中能使平行四边形ABCD是菱形的有( )
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
8．在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD是( )
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
9．如图，两个长为9、宽为3的全等矩形叠合得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是( )
A．15 B．16 C．19 D．20
10．如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD的边至少满足条件( )
A．AB＝AD B．AB＝BC C．AB＝CD D．BC＝CD
二、填空题
11．如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是 ．
第11题图 第13题图 第14题图
12．下列命题：
①四边都相等的四边形是菱形；
②两组邻边分别相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
④对角线相等的四边形是菱形；
⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
其中正确的是 ．(填序号)
13．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 (填序号)．
14．如图，A(0，4)，B(8，0)，点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 ．
三、解答题
15．已知：如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB.求证：四边形ABFE是菱形．
16．【2022广元】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB的中点，连接CE.
(1)求证：四边形AECD为菱形；
(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积.
17．如图，在 ABCD中，两条对角线AC和BD相交于点O，并且BD＝6，AC＝8，BC＝5.
(1)AC与BD有什么位置关系？为什么？
(2)四边形ABCD是菱形吗？为什么？
18．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，AE.
(1)求证：四边形ADEF为平行四边形；
(2)加上条件 后，能使四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空(写序号)，并加以证明．
19．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA，DC的延长线分别交于点E，F.
(1)求证：AE＝CF；
(2)请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
20．如图，在 ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE.
(1)试判断四边形AECF的形状，并说明理由；
(2)求证：AE⊥DE.
21．如图， ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.
(1)求证：四边形BCED′是菱形；
(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．
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参考答案
一、选择题
1．下列选项中能使 ABCD成为菱形的是( B )
A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD
2．在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是菱形，这个条件可以是( A )
A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC
3．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，那么下列条件中，能判定 ABCD是菱形的为( C )
A．AO＝CO B．AO＝BO C．∠AOB＝90° D．∠BAD＝∠ABC
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定 ABCD为菱形的是( C )
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC，OB＝OD
5．【2023深圳】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形，则a的值为( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，操作如下：分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径，在线段AB的两侧画弧，分别相交于点C，D，则直线CD即为所求，连接AC，BC，AD，BD，根据她的作法可知四边形ADBC一定是( A )
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．梯形
第6题图 第9题图 第10题图
7．已知平行四边形ABCD，下列条件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.其中能使平行四边形ABCD是菱形的有( A )
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
8．在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD是( B )
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
9．如图，两个长为9、宽为3的全等矩形叠合得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是( A )
A．15 B．16 C．19 D．20
10．如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD的边至少满足条件( C )
A．AB＝AD B．AB＝BC C．AB＝CD D．BC＝CD
二、填空题
11．如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是 ．
【答案】四条边相等的四边形是菱形
第11题图 第13题图 第14题图
12．下列命题：
①四边都相等的四边形是菱形；
②两组邻边分别相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
④对角线相等的四边形是菱形；
⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
其中正确的是 ．(填序号)
【答案】①③⑤
13．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 (填序号)．
【答案】①
14．如图，A(0，4)，B(8，0)，点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 ．
【答案】(5，4)或(4，4)
【解析】当AB为菱形的对角线时，如图①，设菱形的边长为m，∵A(0，4)，B(8，0)，∴OA＝4，OB＝8，∵四边形ACBD为菱形，∴CA＝AD＝BC，AD∥BC，∴CA＝CB＝m，OC＝8－m，在Rt△AOC中，42＋(8－m)2＝m2，解得m＝5，∴D(5，4)；当AB为菱形的边时，如图②，AB＝＝4，∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝AB＝AD＝4，AD∥BC，∴D(4，4)．综上所述，D点坐标为(5，4)或(4，4)．
图① 图②
三、解答题
15．已知：如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB.求证：四边形ABFE是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
又∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBF，
∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
16．【2022广元】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB的中点，连接CE.
(1)求证：四边形AECD为菱形；
(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积.
(1)【证明】∵E为AB的中点，∴AB＝2AE＝2BE.
∵AB＝2CD，∴CD＝AE.
又∵AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形.
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC.
∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠EAC.
∴∠DCA＝∠DAC. ∴AD＝CD.∴四边形AECD是菱形.
(2)【解】由四边形AECD是菱形，∠D＝120°，DC＝2，
可得△CEB是等边三角形.
∴BC＝EC＝2，∠B＝60°.
∵∠CAE＋∠ACE＝∠CEB＝60°，
∴∠CAE＝∠ACE＝30°.∴∠ACB＝90°.
∵AB＝2CD＝4，∴AC＝2.∴S△ABC＝2.
17．如图，在 ABCD中，两条对角线AC和BD相交于点O，并且BD＝6，AC＝8，BC＝5.
(1)AC与BD有什么位置关系？为什么？
(2)四边形ABCD是菱形吗？为什么？
解：(1)AC⊥BD.
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO＝3，
AO＝CO＝4，
∵BC＝5，∴BO2＋CO2＝CB2，
∴∠BOC＝90°，
∴BD⊥AC.
(2)四边形ABCD是菱形．理由如下：
∵BD⊥AC，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
18．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，AE.
(1)求证：四边形ADEF为平行四边形；
(2)加上条件 后，能使四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空(写序号)，并加以证明．
解：(1)证明：∵D，E，F为AB，BC，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，且DE＝AC＝AF.
即DE∥AF，DE＝AF，
∴四边形ADEF为平行四边形．
(2)证明：选②，AE平分∠BAC.
∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠FAE，
又∵ADEF为平行四边形，∴EF∥DA，
∴∠DAE＝∠AEF，∴∠FAE＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴平行四边形ADEF为菱形．
选③，AB＝AC.
∵EF∥AB且EF＝AB，
DE∥AC且DE＝AC，
又∵AB＝AC，∴EF＝DE，
∴平行四边形ADEF为菱形．
19．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA，DC的延长线分别交于点E，F.
(1)求证：AE＝CF；
(2)请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，BE∥DF，∴∠E＝∠F，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE＝CF.
(2)当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形．理由如下：
如图，连接BF，DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵△AOE≌△COF，∴OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．
20．如图，在 ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE.
(1)试判断四边形AECF的形状，并说明理由；
(2)求证：AE⊥DE.
(1)【解】四边形AECF是菱形.理由如下：
设AC，EF交于点O，如图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠OAF＝∠OCE.
∵点E与点F关于AC对称，
∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF.
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE(AAS).
∴AF＝CE.
∴AE＝AF＝CE＝CF.
∴四边形AECF是菱形.
(2)【证明】∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°.
∴∠BAE＋∠EAC＝∠B＋∠ACB＝90°.由(1)知AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACB.∴∠BAE＝∠B.∴AE＝BE.∴BE＝EC＝BC.又∵BC＝2AB，∴AB＝BE＝EC＝AE.
∴△ABE是等边三角形.∴∠B＝∠AEB＝60°.
∴∠AEC＝120°.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∴∠DCE＝180°－∠B＝120°，CD＝EC.
∴∠CED＝∠CDE＝(180°－120°)＝30°.
∴∠AED＝120°－30°＝90°.∴AE⊥DE.
21．如图， ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.
(1)求证：四边形BCED′是菱形；
(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．
(1)证明：在 ABCD中，∵∠D＝60°，
∴∠DAB＝∠1＋∠2＝120°.
由题意知△ADE≌△AD′E，
∴∠1＝∠2＝∠D＝60°，
∴△DEA和△AD′E是等边三角形，
∴DE＝AD′＝AD＝ED′＝1.
∵AB＝2，∴D′B＝1，同理EC＝1，
∴EC＝D′B＝ED′＝BC＝1.
∴四边形BCED′是菱形．
(2)解：连接BD交AE于点P，连接PD′，BD的长即为所求，作DG⊥BA的延长线于点G.
∵∠DAB＝120°，∴∠DAG＝60°.
∵∠G＝90°，∴∠ADG＝30°.在Rt△ADG中，
∵AD＝1，∴AG＝，DG＝＝.
∵AB＝2，∴BG＝.在Rt△BDG中，BD2＝BG2＋DG2＝7，
∴BD＝，即PD′＋PB的最小值为.
18.2.2 菱形
第2课时 菱形的判定
一、选择题
1．下列选项中能使 ABCD成为菱形的是( )
A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD
2．在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是菱形，这个条件可以是( )
A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC
3．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，那么下列条件中，能判定 ABCD是菱形的为( )
A．AO＝CO B．AO＝BO C．∠AOB＝90° D．∠BAD＝∠ABC
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定 ABCD为菱形的是( )
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC，OB＝OD
5．【2023深圳】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形，则a的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，操作如下：分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径，在线段AB的两侧画弧，分别相交于点C，D，则直线CD即为所求，连接AC，BC，AD，BD，根据她的作法可知四边形ADBC一定是( )
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．梯形
第6题图 第9题图 第10题图
7．已知平行四边形ABCD，下列条件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.其中能使平行四边形ABCD是菱形的有( )
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
8．在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD是( )
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
9．如图，两个长为9、宽为3的全等矩形叠合得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是( )
A．15 B．16 C．19 D．20
10．如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD的边至少满足条件( )
A．AB＝AD B．AB＝BC C．AB＝CD D．BC＝CD
二、填空题
11．如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是 ．
第11题图 第13题图 第14题图
12．下列命题：
①四边都相等的四边形是菱形；
②两组邻边分别相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
④对角线相等的四边形是菱形；
⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
其中正确的是 ．(填序号)
13．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 (填序号)．
14．如图，A(0，4)，B(8，0)，点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 ．
三、解答题
15．已知：如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB.求证：四边形ABFE是菱形．
16．【2022广元】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB的中点，连接CE.
(1)求证：四边形AECD为菱形；
(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积.
17．如图，在 ABCD中，两条对角线AC和BD相交于点O，并且BD＝6，AC＝8，BC＝5.
(1)AC与BD有什么位置关系？为什么？
(2)四边形ABCD是菱形吗？为什么？
18．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，AE.
(1)求证：四边形ADEF为平行四边形；
(2)加上条件 后，能使四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空(写序号)，并加以证明．
19．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA，DC的延长线分别交于点E，F.
(1)求证：AE＝CF；
(2)请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
20．如图，在 ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE.
(1)试判断四边形AECF的形状，并说明理由；
(2)求证：AE⊥DE.
21．如图， ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.
(1)求证：四边形BCED′是菱形；
(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．
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参考答案
一、选择题
1．下列选项中能使 ABCD成为菱形的是( B )
A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD
2．在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是菱形，这个条件可以是( A )
A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC
3．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，那么下列条件中，能判定 ABCD是菱形的为( C )
A．AO＝CO B．AO＝BO C．∠AOB＝90° D．∠BAD＝∠ABC
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定 ABCD为菱形的是( C )
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC，OB＝OD
5．【2023深圳】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形，则a的值为( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，操作如下：分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径，在线段AB的两侧画弧，分别相交于点C，D，则直线CD即为所求，连接AC，BC，AD，BD，根据她的作法可知四边形ADBC一定是( A )
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．梯形
第6题图 第9题图 第10题图
7．已知平行四边形ABCD，下列条件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.其中能使平行四边形ABCD是菱形的有( A )
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
8．在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD是( B )
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
9．如图，两个长为9、宽为3的全等矩形叠合得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是( A )
A．15 B．16 C．19 D．20
10．如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD的边至少满足条件( C )
A．AB＝AD B．AB＝BC C．AB＝CD D．BC＝CD
二、填空题
11．如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是 ．
【答案】四条边相等的四边形是菱形
第11题图 第13题图 第14题图
12．下列命题：
①四边都相等的四边形是菱形；
②两组邻边分别相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
④对角线相等的四边形是菱形；
⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
其中正确的是 ．(填序号)
【答案】①③⑤
13．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 (填序号)．
【答案】①
14．如图，A(0，4)，B(8，0)，点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 ．
【答案】(5，4)或(4，4)
【解析】当AB为菱形的对角线时，如图①，设菱形的边长为m，∵A(0，4)，B(8，0)，∴OA＝4，OB＝8，∵四边形ACBD为菱形，∴CA＝AD＝BC，AD∥BC，∴CA＝CB＝m，OC＝8－m，在Rt△AOC中，42＋(8－m)2＝m2，解得m＝5，∴D(5，4)；当AB为菱形的边时，如图②，AB＝＝4，∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝AB＝AD＝4，AD∥BC，∴D(4，4)．综上所述，D点坐标为(5，4)或(4，4)．
图① 图②
三、解答题
15．已知：如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB.求证：四边形ABFE是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
又∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBF，
∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
16．【2022广元】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB的中点，连接CE.
(1)求证：四边形AECD为菱形；
(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积.
(1)【证明】∵E为AB的中点，∴AB＝2AE＝2BE.
∵AB＝2CD，∴CD＝AE.
又∵AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形.
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC.
∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠EAC.
∴∠DCA＝∠DAC. ∴AD＝CD.∴四边形AECD是菱形.
(2)【解】由四边形AECD是菱形，∠D＝120°，DC＝2，
可得△CEB是等边三角形.
∴BC＝EC＝2，∠B＝60°.
∵∠CAE＋∠ACE＝∠CEB＝60°，
∴∠CAE＝∠ACE＝30°.∴∠ACB＝90°.
∵AB＝2CD＝4，∴AC＝2.∴S△ABC＝2.
17．如图，在 ABCD中，两条对角线AC和BD相交于点O，并且BD＝6，AC＝8，BC＝5.
(1)AC与BD有什么位置关系？为什么？
(2)四边形ABCD是菱形吗？为什么？
解：(1)AC⊥BD.
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO＝3，
AO＝CO＝4，
∵BC＝5，∴BO2＋CO2＝CB2，
∴∠BOC＝90°，
∴BD⊥AC.
(2)四边形ABCD是菱形．理由如下：
∵BD⊥AC，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
18．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，AE.
(1)求证：四边形ADEF为平行四边形；
(2)加上条件 后，能使四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空(写序号)，并加以证明．
解：(1)证明：∵D，E，F为AB，BC，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，且DE＝AC＝AF.
即DE∥AF，DE＝AF，
∴四边形ADEF为平行四边形．
(2)证明：选②，AE平分∠BAC.
∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠FAE，
又∵ADEF为平行四边形，∴EF∥DA，
∴∠DAE＝∠AEF，∴∠FAE＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴平行四边形ADEF为菱形．
选③，AB＝AC.
∵EF∥AB且EF＝AB，
DE∥AC且DE＝AC，
又∵AB＝AC，∴EF＝DE，
∴平行四边形ADEF为菱形．
19．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA，DC的延长线分别交于点E，F.
(1)求证：AE＝CF；
(2)请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，BE∥DF，∴∠E＝∠F，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE＝CF.
(2)当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形．理由如下：
如图，连接BF，DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵△AOE≌△COF，∴OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．
20．如图，在 ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE.
(1)试判断四边形AECF的形状，并说明理由；
(2)求证：AE⊥DE.
(1)【解】四边形AECF是菱形.理由如下：
设AC，EF交于点O，如图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠OAF＝∠OCE.
∵点E与点F关于AC对称，
∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF.
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE(AAS).
∴AF＝CE.
∴AE＝AF＝CE＝CF.
∴四边形AECF是菱形.
(2)【证明】∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°.
∴∠BAE＋∠EAC＝∠B＋∠ACB＝90°.由(1)知AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACB.∴∠BAE＝∠B.∴AE＝BE.∴BE＝EC＝BC.又∵BC＝2AB，∴AB＝BE＝EC＝AE.
∴△ABE是等边三角形.∴∠B＝∠AEB＝60°.
∴∠AEC＝120°.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∴∠DCE＝180°－∠B＝120°，CD＝EC.
∴∠CED＝∠CDE＝(180°－120°)＝30°.
∴∠AED＝120°－30°＝90°.∴AE⊥DE.
21．如图， ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.
(1)求证：四边形BCED′是菱形；
(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．
(1)证明：在 ABCD中，∵∠D＝60°，
∴∠DAB＝∠1＋∠2＝120°.
由题意知△ADE≌△AD′E，
∴∠1＝∠2＝∠D＝60°，
∴△DEA和△AD′E是等边三角形，
∴DE＝AD′＝AD＝ED′＝1.
∵AB＝2，∴D′B＝1，同理EC＝1，
∴EC＝D′B＝ED′＝BC＝1.
∴四边形BCED′是菱形．
(2)解：连接BD交AE于点P，连接PD′，BD的长即为所求，作DG⊥BA的延长线于点G.
∵∠DAB＝120°，∴∠DAG＝60°.
∵∠G＝90°，∴∠ADG＝30°.在Rt△ADG中，
∵AD＝1，∴AG＝，DG＝＝.
∵AB＝2，∴BG＝.在Rt△BDG中，BD2＝BG2＋DG2＝7，
∴BD＝，即PD′＋PB的最小值为.