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专题8.1 二元一次方程(组)的定义与其解之八大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 二元一次方程的定义】 1
【考点二 根据二元一次方程的定义求参数的值】 2
【考点三 判断是否是二元一次方程的解】 4
【考点四 二元一次方程的整数解】 5
【考点五 已知二元一次方程的解求参数的值】 7
【考点六 已知二元一次方程的解求代数式的值】 8
【考点七 判断是否是二元一次方程组】 9
【考点八 判断是否是二元一次方程组的解】 10
【过关检测】 13
【典型例题】
【考点一 二元一次方程的定义】
例题：（2023上·广东揭阳·八年级惠来县第一中学校考阶段练习）下列各式中属于二元一次方程的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练】
1．（2023下·辽宁葫芦岛·七年级统考阶段练习）下列方程中，二元一次方程的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023下·七年级课时练习）下列各式中属于二元一次方程的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点二 根据二元一次方程的定义求参数的值】
例题：若是关于的二元一次方程，则的值是（ ）
A．2 B．2或0 C．0 D．任何数
【变式训练】
1．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）若关于，的方程是二元一次方程，则 .
2．（2023上·江西抚州·八年级江西省抚州市第一中学校考期中）已知关于x，y的方程是二元一次方程，则 ．
【考点三 判断是否是二元一次方程的解】
例题：下列各组数满足方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.方程的一个解是（ ）
A． B． C． D．
2.若是下列某个二元一次方程组的解，则这个方程组是（ ）
A． B． C． D．
【考点四 二元一次方程的整数解】
例题：（2023上·河北保定·八年级统考阶段练习）在二元一次方程中，若，均为正整数，则该方程的解的组数有（ ）
A．组 B．组 C．组 D．组
【变式训练】
1．（2023下·江苏·七年级专题练习）方程在自然数范围内的解 ．
2．（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）二元一次方程的正整数解有 ．
【考点五 已知二元一次方程的解求参数的值】
例题：已知是方程的解，则a的值为 ．
【变式训练】
1.若是方程的解，则 ．
2．（2023上·山东·八年级期末）若是方程的一组解，则 ．
【考点六 已知二元一次方程的解求代数式的值】
例题：已知是方程的解，则 ．
【变式训练】
1.若是二元一次方程 的一组解，则＝ ．
2．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）若是方程的一个解，则 ．
【考点七 判断是否是二元一次方程组】
例题：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.下列方程组是二元一次方程组的有（ ）
① ② ③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.方程组（1），（2），（3），（4）中，属于二元一次方程组有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点八 判断是否是二元一次方程组的解】
例题：已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.解为的方程组可以是（ ）
A． B． C． D．
2.方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023上·山东济南·八年级统考期中）是下面哪个二元一次方程的解（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·四川巴中·七年级校考阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的有（ ）个
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022下·浙江·七年级统考期末）已知是二元一次方程的一个解，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．5
4．（2023上·山西运城·八年级校联考阶段练习）在下列方程组:①,②,③,④中,是二元一次方程组的是（ ）．
A．①③ B．①④ C．①② D．只有①
5．（2023上·四川达州·八年级四川省万源中学校考阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知二元一次方程中，若时， ；若时，则 ．
7．（2023下·山东淄博·七年级统考期末）将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有 种．
8．（2023下·湖北孝感·七年级统考期末）若是关于x，y的二元一次方程的解，则 ．
9．（2022下·江苏宿迁·七年级统考期末）已知 是方程组 的解，则 ．
10．（2023上·全国·七年级专题练习）已知方程组 ，则的值是 ．
三、解答题
11．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）已知是关于x、y的二元一次方程的一组解，求的平方根．
12．（2023下·河南周口·七年级校考阶段练习）已知关于，的二元一次方程．
(1)求，的值；
(2)判断下列各数对哪些是该二元一次方程的解，请填写下表（直接填写“是”或“不是”）．
数对
判断数对是否是方程的解
13．（2023下·北京通州·七年级统考期末）已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数．
(1)如果是该方程的一个解，求的值；
(2)当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程都有一组公共的解，试求出这个公共解．
14．（2023下·福建莆田·七年级莆田第二十五中学校考期中）已知， 都是实数，且满足时，称点 为“喜悦点”．
(1)请你写出一个“喜悦点”；
(2)在平面直角坐标系中，若点 是“喜悦点”，请判断点在第几象限，求出的中点坐标．
15．（2023下·江苏连云港·七年级统考期中）已知关于，的二元一次方程（，均为常数，且）．
(1)当，时，用的代数式表示；
(2)若是该二元一次方程的一个解，
①探索与关系，并说明理由；
②无论、取何值，该方程有一个固定解，请求出这个解．
16．（2023上·重庆铜梁·八年级铜梁二中校考开学考试）把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．
(1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”；
(2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值；
(3)是否存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题8.1 二元一次方程(组)的定义与其解之八大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 二元一次方程的定义】 1
【考点二 根据二元一次方程的定义求参数的值】 2
【考点三 判断是否是二元一次方程的解】 4
【考点四 二元一次方程的整数解】 5
【考点五 已知二元一次方程的解求参数的值】 7
【考点六 已知二元一次方程的解求代数式的值】 8
【考点七 判断是否是二元一次方程组】 9
【考点八 判断是否是二元一次方程组的解】 10
【过关检测】 13
【典型例题】
【考点一 二元一次方程的定义】
例题：（2023上·广东揭阳·八年级惠来县第一中学校考阶段练习）下列各式中属于二元一次方程的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】此题考查了二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方程．
【详解】解：根据定义可知①②③是二元一次方程，④中未知数项的次数是2次，而不是1次，它不是二元一次方程；⑤是代数式，不是方程；⑥是分式方程，⑦整理后为，是二元一次方程．故正确的有①②③⑦，共4个，
故选：．
【变式训练】
1．（2023下·辽宁葫芦岛·七年级统考阶段练习）下列方程中，二元一次方程的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】运用二元一次方程的定义进行辨别、求解．
【详解】解：，是二元一次方程；
中未知数的次数为2，不是二元一次方程，
不是正式方程，故不是二元一次方程，
未知数的最高次数为2，不是二元一次方程，
所有方程中，只有方程①和方程⑤共2个二元一次方程，
故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程的辨别能力，关键是能准确理解并运用该定义．
2．（2023下·七年级课时练习）下列各式中属于二元一次方程的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【详解】根据定义可知①②③⑧是二元一次方程．⑧应先化为一般形式或再作判断；④中未知数项的次数是2次，而不是1次，它不是二元一次方程；⑤⑥是代数式，不是方程；⑦含有三个未知数，它不是二元一次方程．故正确的有①②③，选B．
易错点分析:容易错选A．错误的认为⑧是二次方程，没有将此方程化简后再看．此类题目属于不定项选择，对二元一次方程概念的理解不清楚容易导致错解．
【考点二 根据二元一次方程的定义求参数的值】
例题：若是关于的二元一次方程，则的值是（ ）
A．2 B．2或0 C．0 D．任何数
【答案】C
【分析】从二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面考虑．
【详解】解：∵是关于的二元一次方程，
∴且，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
【变式训练】
1．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）若关于，的方程是二元一次方程，则 .
【答案】2
【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可．
【详解】解：根据题意得：
，
解得．
故答案为：．
2．（2023上·江西抚州·八年级江西省抚州市第一中学校考期中）已知关于x，y的方程是二元一次方程，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是根据含有两个未知数，且两个未知数的次数都为1，这样的整式方程叫二元一次方程可得，然后求解即可解答．
【详解】解：∵关于x，y的方程是二元一次方程，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：1．
【考点三 判断是否是二元一次方程的解】
例题：下列各组数满足方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】代入的值，逐一判断即可解答．
【详解】解：当时，方程左边，方程左边方程右边，故A符合题意；
当时，方程左边，方程左边方程右边，故B不符合题意；
当时，方程左边，方程左边方程右边，故C不符合题意；
当时，方程左边，方程左边方程右边，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程两边的值相等的两位未知数是二元一次方程的解，是解题的关键．
【变式训练】
1.方程的一个解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把各项中的x、y的值代入方程检验即可求解．
【详解】解：A.把代入方程得，，不是方程的解，故不符合题意；
B.把代入方程得，，是方程的解，故符合题意；
C. 把代入方程得，，不是方程的解，故不符合题意；
D. 把代入方程得，，不是方程的解，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解得概念是解题的关键．
2.若是下列某个二元一次方程组的解，则这个方程组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将值代入方程组，使两个方程同时成立的为方程组的解．
【详解】解：
A. 故是方程组解，本选项符合题意；
B.，故不是方程组解，本选项不合题意；
C.，不是方程组解，本选项不合题意；
D. ，不是方程组解，本选项不合题意；
故选：A
【点睛】本题考查方程组解的定义，理解方程组解的定义是解题的关键．
【考点四 二元一次方程的整数解】
例题：（2023上·河北保定·八年级统考阶段练习）在二元一次方程中，若，均为正整数，则该方程的解的组数有（ ）
A．组 B．组 C．组 D．组
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握求二元一次方程正整数解的方法是解答本题的关键．
根据题意得，二元一次方程，变形得到，利用已知条件，均为正整数，得到满足条件的解有，，，由此选出答案．
【详解】解：由已知得：
二元一次方程，
，
又，均为正整数，
，，，
二元一次方程的解的组数有组，
故选：．
【变式训练】
1．（2023下·江苏·七年级专题练习）方程在自然数范围内的解 ．
【答案】，，,
【分析】此题考查了解二元一次方程，将y看作已知数求出x是解本题的关键．用y表示出x，令y为自然数求出x的值，即可确定出方程的自然数解．
【详解】解：方程变形得：，
当时，；时，；时，；时，，
则方程在自然数范围内的解为，，,．
故答案为：，，,．
2．（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）二元一次方程的正整数解有 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，先求出的范围，再求出答案即可，能求出的范围是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵是正整数，
∴
解得：，
∴，
∴的正整数解为，
代入，
∴二元一次方程的正整数解为，
故答案为：．
【考点五 已知二元一次方程的解求参数的值】
例题：已知是方程的解，则a的值为 ．
【答案】1
【分析】将方程的解代入方程中求解即可．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，则，
故答案为：1．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解方程的解满足方程是解答的关键．
【变式训练】
1.若是方程的解，则 ．
【答案】
【分析】把代入方程可得，再解一元一次方程即可．
【详解】∵是方程的解，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程的解、解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
2．（2023上·山东·八年级期末）若是方程的一组解，则 ．
【答案】
【分析】将代入方程后进行求解．
【详解】解：由题意得，，解得，，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．
【考点六 已知二元一次方程的解求代数式的值】
例题：已知是方程的解，则 ．
【答案】
【分析】把代入方程计算即可．
【详解】解：把代入方程得，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，关键是能准确理解题意并能求解．
【变式训练】
1.若是二元一次方程 的一组解，则＝ ．
【答案】
【分析】根据题意得出，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵是二元一次方程的一组解，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
2．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）若是方程的一个解，则 ．
【答案】
【分析】把代入得，将代入进行计算即可．
【详解】解：把代入得：，
即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把把代入得出．
【考点七 判断是否是二元一次方程组】
例题：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】含有两个未知数，且每个未知数的最高次数都是1的整式方程组是二元一次方程组，根据定义判断．
【详解】解：A、C、D均不符合二元一次方程组的定义，B是二元一次方程组，
故选B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的定义，正确掌握二元一次方程组的定义的三要点：（1）共有两个未知数；（2）未知数的项最高次数都应是一次；（3）都是整式方程，是解题的关键．
【变式训练】
1.下列方程组是二元一次方程组的有（ ）
① ② ③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．
【详解】解：经过观察可发现方程组③有三个未知数，不是二元一次方程组，
方程组①②④都是二元一次方程组，共有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，利用二元一次方程组的定义是解题关键．二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
2.方程组（1），（2），（3），（4）中，属于二元一次方程组有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组进行判定即可．
【详解】解：符合二元一次方程组的定义；
中含有、、三个未知数，不是二元一次方程组；
符合二元一次方程组的定义；
中含有未知项的最高次数为2，不是二元一次方程组；
综上，是二元一次方程组的有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一元一次方程所组成的方程组称为二元一次方程组．
【考点八 判断是否是二元一次方程组的解】
例题：已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据二元一次方程组的定义排除A、D选项，再根据“方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程”即可解答．
【详解】解：A.方程组不是二元一次方程组，不符合题意．
B.把代入方程组可得，该数值不满足方程组中的方程．
C.把代入方程组，可得这组解满足每一个方程，符合题意．
D.方程组不是二元一次方程组，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程组的定义，解决本题的关键是用代入法进行检验．
【变式训练】
1.解为的方程组可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据方程组的解的定义，只要检验是否是选项中方程的解即可．
【详解】A、把代入方程，左边右边，故不是方程组的解，故选项不符合题意；
B、把代入方程，左边右边，故不是方程组的解，故选项不符合题意；
C、把代入方程方程，左边右边，把代入方程方程，左边右边，故是方程组的解，故选项符合题意；
D、把代入方程，左边右边，故不是方程组的解，故选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，正确理解定义是关键．
2.方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将各个选项依次代入原方程组中，能使两个方程都成立的x、y的值即为方程组的解．
【详解】
A.将代入①式中得，左边右边，成立．代入②式中得左边右边，②式不成立．因此A选项不是方程组的解，不符合题意．
B. 将代入①式中得，左边右边，①式不成立，因此A选项不是方程组的解，不符合题意．
C. 将代入①式中得，左边右边，成立．代入②式中得左边右边，②式成立．因此C选项是方程组的解，符合题意．
D.将代入①式中得，左边右边，①式不成立，因此D选项不是方程组的解，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解叫做二元一次方程组的解，即二元一次方程组的解应满足各个方程，掌握这一点知识是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023上·山东济南·八年级统考期中）是下面哪个二元一次方程的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．把代入各个选项中，看是否满足方程成立的符合条件，即可．
【详解】解：A、把代入得：，是该二元一次方程的解，故本选项符合题意；
B、把代入得：，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意；
C、把代入得：，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意；
D、把代入，不是该二元一次方程的解，故本选项不符合题意；
故选：A
2．（2023下·四川巴中·七年级校考阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的有（ ）个
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的概念对选项逐个判断即可，含有两个未知数并且含有未知数项的次数都为1的整式方程．
【详解】解：①，是二元一次方程；
②，分母含有未知数，不是整式方程，不是二元一次方程；
③，含有未知数的项的次数是2，不是二元一次方程；
④，含有未知数的项的次数是2，不是二元一次方程；
是二元一次方程的有1个
故选：A
【点睛】此题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的概念．
3．（2022下·浙江·七年级统考期末）已知是二元一次方程的一个解，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程的解，将代入，即可转化为关于m的一元一次方程，解答即可．方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【详解】将代入，
得，
解得．
故选：A．
4．（2023上·山西运城·八年级校联考阶段练习）在下列方程组:①,②,③,④中,是二元一次方程组的是（ ）．
A．①③ B．①④ C．①② D．只有①
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程组定义．分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“只有两个未知数,含未知数的项的最高次数都应是一次,两个方程都是整式方程”,继而选出本题答案．
【详解】解:①符合二元一次方程组定义,故是二元一次方程组，
②第一个方程含有两个未知数但含未知数的项的次数为,故不是二元一次方程组，
③不符合二元一次方程组定义,故不是二元一次方程组，
④符合二元一次方程组定义,故是二元一次方程组，
故是二元一次方程组的是①④，
故选:B．
5．（2023上·四川达州·八年级四川省万源中学校考阶段练习）若是关于x，y的二元一次方程，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．据此进行解答即可．
【详解】解：是关于，的二元一次方程，
，，
解得：．
故选：D．
二、填空题
6．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知二元一次方程中，若时， ；若时，则 ．
【答案】 / 2
【分析】将代入原方程，求解即可；将代入代入原方程，求解即可．
【详解】将代入，得，
解得；
将代入，得，
解得；
故答案为：，2．
【点睛】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
7．（2023下·山东淄博·七年级统考期末）将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有 种．
【答案】6
【分析】设10元的有x张，20元的y张，由题意得，根据x、y均为非负整数，得到方程的非负整数解，即可得到答案．
【详解】解：设10元的有x张，20元的y张，
由题意得，
∵x、y均为非负整数，
∴，
∴共有6种兑换方案，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了二元一次方程的应用，正确理解题意列得二元一次方程求解是解题的关键．
8．（2023下·湖北孝感·七年级统考期末）若是关于x，y的二元一次方程的解，则 ．
【答案】0
【分析】把x与y的值代入方程计算得到的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：由题意得，，
则．
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解决本题的关键．
9．（2022下·江苏宿迁·七年级统考期末）已知 是方程组 的解，则 ．
【答案】
【分析】把方程组的解代入方程组求出、的值，代入计算得到答案．
【详解】解：将代入中，
得：，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解的定义，使方程组中各个方程都成立的未知数的值称为方程组的解．
10．（2023上·全国·七年级专题练习）已知方程组 ，则的值是 ．
【答案】34
【分析】把代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：34．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，整体代入法求代数式的值，运用|整体思想是解答本题的关键．
三、解答题
11．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）已知是关于x、y的二元一次方程的一组解，求的平方根．
【答案】
【分析】此题考查了二元一次方程的解和平方根的计算，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值；
将代入方程计算即可求出a的值，即可解答；
【详解】解；根据题意，得，
解得，
∴，
∴的平方根为．
12．（2023下·河南周口·七年级校考阶段练习）已知关于，的二元一次方程．
(1)求，的值；
(2)判断下列各数对哪些是该二元一次方程的解，请填写下表（直接填写“是”或“不是”）．
数对
判断数对是否是方程的解
【答案】(1)，
(2)是；不是；是；不是
【分析】（1）根据二元一次方程的定义得到，，解得，的值即可；
（2）把数对代入方程验证左边是否等于右边即可．
【详解】（1）解：∵是关于，的二元一次方程，
∴，，
解得，．
（2）由（1）可知，关于，的二元一次方程，
当时，，是方程的解，
当时，，不是方程的解，
当时，，是方程的解，
当时，，不是方程的解，
故答案为：是；不是；是；不是
【点睛】此题考查了二元一次方程的定义和二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
13．（2023下·北京通州·七年级统考期末）已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数．
(1)如果是该方程的一个解，求的值；
(2)当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程都有一组公共的解，试求出这个公共解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接把代入方程中得到关于k的方程，解方程即可；
（2）把原方程变形为，则当时，都能满足，即满足方程，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：∵是关于，的二元一次方程的一个解，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴对于任意的非零常数k，当时，都能满足，即满足方程，
∴这个公共解为．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
14．（2023下·福建莆田·七年级莆田第二十五中学校考期中）已知， 都是实数，且满足时，称点 为“喜悦点”．
(1)请你写出一个“喜悦点”；
(2)在平面直角坐标系中，若点 是“喜悦点”，请判断点在第几象限，求出的中点坐标．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)
【分析】（1）根据“喜悦点”的定义进行求解即可；
（2）根据“喜悦点”的定义得到，求出a的值进而求出点P的坐标，再根据点O到的中点的平移方式和的中点到点P的平移方式相同进行求解即可．
【详解】（1）解：当时，满足，
∴，
∴点时“喜悦点”；
（2）解：∵点 是“喜悦点”，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为，
∴点P在第四象限，
设的中点坐标为，
∵点O到点的平移方式和点到点P的平移方式相同，
∴，
∴，
∴的中点坐标为．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，坐标与图形，解一元一次方程，坐标与图形变化——平移，正确理解题意是解题的关键．
15．（2023下·江苏连云港·七年级统考期中）已知关于，的二元一次方程（，均为常数，且）．
(1)当，时，用的代数式表示；
(2)若是该二元一次方程的一个解，
①探索与关系，并说明理由；
②无论、取何值，该方程有一个固定解，请求出这个解．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）将，代入，再用的代数式表示即可；
（2）①将代入，化简得出与关系；
②将代入，化为，即可确定该方程的固定解．
【详解】（1）解：将，代入得，
，
化简得：；
（2）①将代入，得
即；
②将代入，得，
∵，
当时，，
∴无论、取何值，该方程有一个固定解，这个解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程解的定义是解题的关键．
16．（2023上·重庆铜梁·八年级铜梁二中校考开学考试）把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．
(1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”；
(2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值；
(3)是否存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)“雅系二元一次方程”的“完美值”为
(2)
(3)存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同，“完美值”为，理由见解析
【分析】（1）由题意可得，即可求解；
（2）由题意可得，求出即可；
（3）由题意可得，得，，得，再由，即可求的值．
【详解】（1）解：是“雅系二元一次方程”，
，
解得，
“雅系二元一次方程”的“完美值”为；
（2）解：是“雅系二元一次方程”的“完美值”，
，
解得；
（3）解：存在，使得“雅系二元一次方程”与是常数的“完美值”相同，理由如下：
由，得，
由，得，
，
解得，
，
“完美值”为．
