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专题8.2 二元一次方程组的解法与特殊解法之六大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 代入消元法解二元一次方程组】 1
【考点二 加减消元法解二元一次方程组】 4
【考点三 二元一次方程组的错解复原问题】 7
【考点四 构造二元一次方程组求解】 10
【考点五 二元一次方程组中同解方程组】 11
【考点六 二元一次方程组的特殊解法】 13
【过关检测】 16
【典型例题】
【考点一 代入消元法解二元一次方程组】
例题：（2024下·全国·七年级假期作业）用代入法解方程组：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【详解】解：（1）由①得，③
把③代入②，得，解得．
把代入③，得，
所以原方程组的解为
（2）由①得，③
把③代入②，得，
解得．
把代入③，得，
所以原方程组的解为
【变式训练】
1．（2023下·云南昆明·七年级统考期末）解下列方程组：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用代入消元法求解即可；
【详解】（1）解：
将①代入②，得，
解得：，
将代入①，得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：
由②变形得：，
将③代入①，得：，
解得：，
将代入③，得：，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题考查解二元一次方程组．掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键．
2．（2023下·山东菏泽·七年级统考期中）解下列方程组
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程即可；
（2）利用代入消元法解二元一次方程即可；
【详解】（1）解：
由①得 ③，
把③代入②得：，
解得：
把代入①得：
∴；
（2）
整理得：
由①得 ③，
把③代入②得
解得：，
把代入得：，
∴．
【点睛】本题考查二元一次方程的解法，掌握代入消元法是解题的关键．
【考点二 加减消元法解二元一次方程组】
例题：解方程组：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解；
（2）原方程组整理得，，然后根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解．
【详解】（1）解：
得，
解得：
将代入②得，
∴方程组的解为：
（2）解：
原方程组整理得，
得，
解得：
将代入①得，
解得：
∴
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
【变式训练】
1.解方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）两个方程相加，即可消去未知数，求出未知数，再代入求出的值即可；
（2）①②，即可消去未知数，求出未知数，再代入求出的值即可．
【详解】（1）解：，
①②，得，
解得，
把代入①，得，
故原方程组的解为；
（2）解：，
①②，得，
解得，
把代入①，得，
故原方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．
2.解下列二元一次方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用加减消元法求解即可；
（2）先化简，然后用加减消元法求解即可．
【详解】（1），
，得
，
∴，
把代入①，得
，
∴，
∴；
（2）
化简，得
，得
，
∴，
把代入②，得
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
【考点三 二元一次方程组的错解复原问题】
例题：下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：
第一步：由①得， ③；
第二步：将③代入②，得
第三步：解得
第四步：将代入③，解得；
第五步：所以原方程组的解为
任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）；
任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________．
任务三：请写出方程组正确的解答过程．
【答案】任务一：代入；任务二：二，整体代入未添加括号（言之成理即可）；任务三：过程见解析．
【分析】根据二元一次方程的解法分别以各个任务进行判断整理即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得，小亮用的方法是代入消元；
但是从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号；
正确的解答过程：由①得 ③
将③代入②得
解得，代入③，解得
∴原方程组的解为：
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加减消元是解题的关键．
【变式训练】
1.下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得……③ 第一步
②－③，得 第二步
． 第三步
将代入①，得． 第四步
所以，原方程组的解为 第五步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误．
(2)请写出此题正确的解答过程．
【答案】(1)加减消元法，第四步
(2)见解析
【分析】（1）根据解方程组的特点判断，注意系数化为1时的计算．
（2）按照解方程组的步骤求解即可
【详解】（1）根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第四步系数化为1时，出错，
故答案为：加减消元法，第四步．
（2）方程组：
解：①×2，得……③ ，
②－③，得 ，
解得．
将代入①，得3．
解得x=．
所以，原方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键．
2.解方程组：．
小海同学的解题过程如下：
解：由②，得③……（1）
把③代入①，得：……（2）
解得：……（3）
把代入③，得……（4）
∴此方程组的解为……（5）
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
【答案】不正确，错误的步骤是（1），（2），（3），正确结果为
【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项后计算错误，写出正确的解答过程即可．
【详解】解：错误的是（1），（2），（3），
正确的解答过程：
由②得：y＝5﹣x③
把③代入①得：3x﹣10+2x＝6，
解得：，
把代入③得：，
∴此方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
【考点四 构造二元一次方程组求解】
例题：（2023下·贵州·七年级校联考阶段练习）已知，则 ， ．
【答案】 2 3
【分析】由非负性可得关于，的方程组，求解即可得，得值．
【详解】解：∵，，，
∴，解得：，
故答案为：2，3．
【点睛】本题考查绝对值的非负性，解二元一次方程组，利用非负性得到关于，的方程组是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·江西吉安·八年级统考阶段练习）已知，则 ．
【答案】12
【分析】本题考查绝对值的非负性，二元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴
②①得：，
故答案为：12．
2．（2023下·湖南张家界·七年级统考期末）已知，则 ．
【答案】3
【分析】已知中的绝对值以及二次方都是非负数，两个非负数的和是0，则每个非负数都是0，即可求得，的值．
【详解】解：根据题意，得，
解，得．
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质及解二元一次方程组，解决问题的关键在于掌握几个非负数的和是0，则每个非负数都是0．
【考点五 二元一次方程组中同解方程组】
例题：（2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习）方程组与有相同的解，求a，b的值．
【答案】
【分析】利用二元一次方程组同解可得，解得，再将代入即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
把代入，
则有,
解得：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组同解联立新的二元一次方程组是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组与的解相同，则 ．
【答案】25
【分析】根据同解方程组，得到方程组的解与两个方程组的解也相同，求出的值，代入方程组，求出的值，再进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：方程组的解与两个方程组的解也相同，
解，得：；
将代入，得：，
解得：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查同解方程组．解题的关键是将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值．
2．（2022春·陕西安康·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解和关于x，y的二元一次方程组的解相同，求的平方根．
【答案】
【分析】先解方程组，得，将代入，再解方程组，得，得到的值及平方根．
【详解】解：解方程组，得，
将代入，得，
解方程组，得，
∴，
∵1的平方根是,
∴的平方根是．
【点睛】此题考查了同解方程组，解二元一次方程组，求一个数的平方根，正确掌握同解方程组的解题思路是解题的关键．
【考点六 二元一次方程组的特殊解法】
例题：（2023春·浙江台州·七年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m、n的二元一次方程组的解是 ．
【答案】/
【分析】由关于x，y的二元一次方程组的解是，可得出关于，的二元一次方程组的解是，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是，
∴出关于，的二元一次方程组的解是，
解得：
，
∴关于m、n的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，利用整体思想求解方程组是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察两个方程组结合二元一次方程组的解的定义，得出，，结合，即可作答．
【详解】解：因为方程组的解是，
所以的解是x和y，
那么得，
因为，
则解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键．
2．（2022春·福建福州·七年级校考期中）若关于m，n的二元一次方程组的解是那么关于x，y的二元一次方程组的解 ．
【答案】
【分析】把关于 的二元一次方程 看作关于 和 的二元一次方程组，利用关于 的二元一次方程组 的解为 得到 ，，从而求出、即可；
【详解】解：∵关于 的二元一次方程组 的解为 ，
把关于 的二元一次方程 看作关于 和 的二元一次方程组，
∴,
∴关于 的二元一次方程 的解为 ；
故答案为： ；
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，也考查了解二元一次方程组．
3．（2023春·四川巴中·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．
【答案】
【分析】利用令，得到关于h，t的方程组，根据题意求得h，t，再求解即可．
【详解】解：令，，代入方程组可得
关于的方程组，
因为关于x，y的方程组的解是
则关于的方程组的解是
则，化简可得：
解得
【点睛】此题考查了二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是利用换元法对式子进行变形，得到．
【过关检测】
一、单选题
1．（2024上·广东河源·八年级统考期末）已知和是二元一次方程的两个解，则，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】此题考查二元一次方程组的解，解题关键是方程组的解代入方程组，得出关于a、b的方程组，解方程组即可．
【详解】解：和是二元一次方程的两个解，
，
①+②，得，，
，
故选：A．
2．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习）以方程组 的解为坐标的点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】求出方程组的解即可求得答案．
【详解】解：，
得：，解得：，
把代入①得：，
∴点在第二象限，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及平面直角坐标系的相关知识，掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
3．（2024上·山东滨州·七年级校考期末）以下解方程组的步骤正确的是（ ）
A．代入法消去m，由①得 B．代入法消去n，由②得
C．加减法消去n，得 D．加减法消去m，得
【答案】A
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握代入消元法与加减消元法解方程组是解本题的关键．利用代入法或加减法逐一分析每个选项即可得到答案．
【详解】解：A、代入法消去m，由①得，故符合题意；
B、代入法消去n，由②得，故不符合题意；
C、加减法消去n，得，故不符合题意；
D、加减法消去m，得，故不符合题意；
故选A．
4．（2023下·浙江金华·七年级统考期末）已知是关于、的二元一次方程组，求是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握应用加减消元法解二元一次方程组．把已知条件中两个方程相加，求出，再把的值代入所求代数式计算即可．
【详解】解：
得，，
，
．
故选：．
5．（2024下·浙江·九年级自主招生）若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查换元法解二元一次方程组，令，，可得，由题意得到，即可求解．
【详解】解：令，，可得，
∵方程组的解是，
∴方程组的解是，
∴，
解得：，
即方程组的解是，
故选：A．
二、填空题
6．（2023下·新疆乌鲁木齐·七年级新疆师范大学附属中学校考期中）已知二元次方程，用的代数式表示，则=
【答案】
【分析】本题考查的是解二元一次方程，先移项，再把的系数化为1即可．
【详解】解：移项得，，
系数化为1得，．
故答案为：．
7．（2024上·山东滨州·七年级校考期末）若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查算术平方根的非负性，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．根据非负数之和等于0，则每一个非负数都等于0，可求出a，b的值，再计算即可．
【详解】解∶∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为∶ ．
8．（2023下·福建泉州·七年级校考期中）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为
【答案】
【分析】先解方程组，把方程组的解代入二元一次方程得到关于k的一元一次方程即可得到答案．
【详解】解：
①－②得，，
解得，
把代入②得，
解得，
∴，
把代入得，
，
解得，
故答案为：
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法和二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
9．（2024上·四川成都·八年级统考期末）若关于，的方程组和的解相同，则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解一定能使方程左右相等是解题的关键．
首先把和组成方程组求得x、y的值，再把x、y的值代入， 可得关于a、b的方程组，进而完成解答．
【详解】解：解方程组，解得．
将代入方程得①，
将代入方程得②，
可得：．
故答案为：2．
10．（2023下·河南周口·七年级校考阶段练习）关于x、y的方程组，则以下结论：①当时，方程组的解也是的解；②当时，；③不论a取什么数，的值始终不变，其中正确的结论有 （填序号）．
【答案】①②③
【分析】解方程组求出，然后逐项进行验证即可．
【详解】解：解方程组得：，
①当时，即，
当时，，
∴当时，方程组的解也是的解，正确；
②∵，，
∴，
解得：，正确；
③∵，
∴，
∴不论a取什么数，的值始终不变，正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，关键是把a当作已知数求出x，y的表达式．
三、解答题
11．（2024上·山东济南·八年级统考期末）解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
将②代入①得：，
解得：，
将代入②得：，
故原方程组的解为；
（2）解：，
得：，
解得：，
将代入②得：，
解得：，
故原方程组的解为．
12．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考期中）解下列二元一次方程组．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查解二元一次方程组：掌握解法是关键.
（1）运用代入法求解即可；
（2）方程整理后运用加减法求解即可．
【详解】（1）解：
把①代入②，得，
解得， ，
把代入①，得，
∴原方程组的解为；
（2）解：
方程组整理为，
，得 ，
解得 ，
把代入①，得 ，
解得 ，
∴原方程组的解为．
13．（2024上·安徽安庆·七年级统考期末）对有理数、，定义新运算，其中，为常数，已知，．
(1)求，的值；
(2)如果，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次方程的能力，根据题意列出关于a、b的方程组和关于x的方程是解题的关键．
（1）根据新定义列出关于a、b点的方程组，解之可得；
（2）由a、b的值得出，根据题意列关于x的方程求解可得．
【详解】（1）由题意得，
解得；
（2）由（1）知，
，
，
14．（2023上·山东青岛·八年级统考期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：得③．．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步
得．．．．．．．．．．．．．．．第二步
．．．．．．．．．．．．．．．第三步
将代入①得．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步
所以，原方程组的解为．．．．．．．．．．．．．．．．．第五步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________，其中第一步的依据是_________；
(2)第_________步开始出现错误；
(3)请你从出现错误的那步开始，写出后面正确的解题过程．
【答案】(1)加减消元法，等式的基本性质
(2)二
(3)．
【分析】本题考查了二元一次解方程组的基本步骤，熟练掌握解方程组的基本步骤是解题的关键．
（1）根据加减消元法的特征判断，结合等式的性质判断即可．
（2）根据②③得，判断即可．
（3）根据解方程组的基本步骤求解即可．
【详解】（1）解：根据解方程组的基本特征，判定为加减消元法，第一步是利用等式性质变形得到，
故答案为：加减消元法，等式的基本性质；
（2）解：②③得，
第二步错误，原因是合并同类项时出现错误；
故答案为：二；
（3）解：
解：①，得③，
②③得，，
将代入①得，
所以原方程组的解为．
15．（2023上·河南郑州·八年级统考期末）在《二元一次方程组》单元回顾与整理时，刘老师给出方程组请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．小明和小颖解方程组的部分过程如下：
小明：，得．
小颖：由②，得， 把①代入③，得．
(1)①小明和小颖解方程组的过程是否正确（在横线处填写“正确”或“不正确”）：
小明的过程______ 小颖的过程______
②小明和小颖解二元一次方程组的方法虽然不同，但基本思路相同，都是______．
(2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组
【答案】(1)①不正确，正确；②消元
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方组的解法．
（1）先分别按照小明、小颖的方法解方程组，然后根据他们的解答过程进行判断即可；
（2）利用加减消元法或代入消元法即可求解．
【详解】（1）解：①，
解法一：得：，，
把代入①得：，
方程组的解为：；
解法二：由②，得，
把①代入③，得，
解得：，
把代入①得：，
方程组的解为：；
小明的过程不正确，小颖的过程正确，
故答案为：不正确，正确；
②小明和小颖解二元一次方程组的方法虽然不同，但基本思路相同，都是消元，
故答案为：消元；
（2）方法一：，
得：，，
把代入①得：，
方程组的解为：；
方法二：由②，得，
把①代入③，得，
解得：，
把代入①得：，
方程组的解为：．
16．（2023上·安徽亳州·七年级统考阶段练习）已知关于x，y的方程组与有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求m，n的值；
(3)若（1）中的解也是关于x，y的方程的解，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数，理解同解方程组的概念是解题关键．
（1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；
（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可；
（3）将（1）所求的解代入，再化简，即可求出a的值．
【详解】（1）解：由题意可得：，
解得；
（2）解：将代入含有m，n的方程得，
解得；
（3）解：将代入，
得，
解得：．
17．（2023下·河南漯河·七年级校考阶段练习）阅读理解
（Ⅰ）我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收录在中国古代数学著作《九章算术》中，它的方程章中就有许多关于一次方程组的内容．下面的两幅算筹图就表示了两个二元一次方程组：
把它们写成我们现在的方程组是与．
（Ⅱ）对于二元一次方程组，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为即可求得的方程组的解为．用数表简化解二元一次方程组的过程如下：
所以方程组的解为，解答下列问题：
(1)直接写出下面算筹图表示的关于x，y的二元一次方程组．
(2)依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）观察图形，列出关于x、y的二元一次方程组即可；
（2）仿照阅读材料中数表的解法格式解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：由题意得，
（2）解：
∴方程的解为．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，观察图形，读懂题意，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．（2023下·河北沧州·七年级校考阶段练习）阅读探索：
解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设，，原方程组可化为
解得即解得
根据上述材料，解决下列问题：
(1)运用换元法求关于a，b的方程组的解；
(2)若关于x，y的方程组的解为求关于m，n的方程组的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，原方程组化为：，求解，再求解原方程组的解即可；
（2）设，，原方程组化为：，可得，再解方程组即可.
【详解】（1）解：设，原方程组化为：
，
①+②得：，即③
把③代入①得：，即，
把③代入②得：，即，
∴ ，解得：；
（2）设，，
原方程组化为：，
∴，
解得：.
【点睛】本题考查的是整体法即换元法解二元一次方程组，熟练的确定整体未知数是解本题的关键.
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专题8.2 二元一次方程组的解法与特殊解法之六大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 代入消元法解二元一次方程组】 1
【考点二 加减消元法解二元一次方程组】 4
【考点三 二元一次方程组的错解复原问题】 7
【考点四 构造二元一次方程组求解】 10
【考点五 二元一次方程组中同解方程组】 11
【考点六 二元一次方程组的特殊解法】 13
【过关检测】 16
【典型例题】
【考点一 代入消元法解二元一次方程组】
例题：（2024下·全国·七年级假期作业）用代入法解方程组：
(1) (2)
【变式训练】
1．（2023下·云南昆明·七年级统考期末）解下列方程组：
(1) (2)
2．（2023下·山东菏泽·七年级统考期中）解下列方程组
(1)； (2)．
【考点二 加减消元法解二元一次方程组】
例题：解方程组：
(1) (2)
【变式训练】
1.解方程组：
(1)； (2)．
2.解下列二元一次方程组：
(1)； (2)．
【考点三 二元一次方程组的错解复原问题】
例题：下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：
第一步：由①得， ③；
第二步：将③代入②，得
第三步：解得
第四步：将代入③，解得；
第五步：所以原方程组的解为
任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）；
任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________．
任务三：请写出方程组正确的解答过程．
【变式训练】
1.下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得……③ 第一步
②－③，得 第二步
． 第三步
将代入①，得． 第四步
所以，原方程组的解为 第五步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误．
(2)请写出此题正确的解答过程．
2.解方程组：．
小海同学的解题过程如下：
解：由②，得③……（1）
把③代入①，得：……（2）
解得：……（3）
把代入③，得……（4）
∴此方程组的解为……（5）
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
【考点四 构造二元一次方程组求解】
例题：（2023下·贵州·七年级校联考阶段练习）已知，则 ， ．
【变式训练】
1．（2023上·江西吉安·八年级统考阶段练习）已知，则 ．
2．（2023下·湖南张家界·七年级统考期末）已知，则 ．
【考点五 二元一次方程组中同解方程组】
例题：（2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习）方程组与有相同的解，求a，b的值．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组与的解相同，则 ．
2．（2022春·陕西安康·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解和关于x，y的二元一次方程组的解相同，求的平方根．
【考点六 二元一次方程组的特殊解法】
例题：（2023春·浙江台州·七年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m、n的二元一次方程组的解是 ．
【变式训练】
1．（2023春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·福建福州·七年级校考期中）若关于m，n的二元一次方程组的解是那么关于x，y的二元一次方程组的解 ．
3．（2023春·四川巴中·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．
【过关检测】
一、单选题
1．（2024上·广东河源·八年级统考期末）已知和是二元一次方程的两个解，则，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习）以方程组 的解为坐标的点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024上·山东滨州·七年级校考期末）以下解方程组的步骤正确的是（ ）
A．代入法消去m，由①得 B．代入法消去n，由②得
C．加减法消去n，得 D．加减法消去m，得
4．（2023下·浙江金华·七年级统考期末）已知是关于、的二元一次方程组，求是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024下·浙江·九年级自主招生）若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023下·新疆乌鲁木齐·七年级新疆师范大学附属中学校考期中）已知二元次方程，用的代数式表示，则=
7．（2024上·山东滨州·七年级校考期末）若，则 ．
8．（2023下·福建泉州·七年级校考期中）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为
9．（2024上·四川成都·八年级统考期末）若关于，的方程组和的解相同，则 ．
10．（2023下·河南周口·七年级校考阶段练习）关于x、y的方程组，则以下结论：①当时，方程组的解也是的解；②当时，；③不论a取什么数，的值始终不变，其中正确的结论有 （填序号）．
三、解答题
11．（2024上·山东济南·八年级统考期末）解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
12．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考期中）解下列二元一次方程组．
(1)
(2)
13．（2024上·安徽安庆·七年级统考期末）对有理数、，定义新运算，其中，为常数，已知，．
(1)求，的值；
(2)如果，，求的值．
14．（2023上·山东青岛·八年级统考期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：得③．．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步
得．．．．．．．．．．．．．．．第二步
．．．．．．．．．．．．．．．第三步
将代入①得．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步
所以，原方程组的解为．．．．．．．．．．．．．．．．．第五步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________，其中第一步的依据是_________；
(2)第_________步开始出现错误；
(3)请你从出现错误的那步开始，写出后面正确的解题过程．
15．（2023上·河南郑州·八年级统考期末）在《二元一次方程组》单元回顾与整理时，刘老师给出方程组请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．小明和小颖解方程组的部分过程如下：
小明：，得．
小颖：由②，得， 把①代入③，得．
(1)①小明和小颖解方程组的过程是否正确（在横线处填写“正确”或“不正确”）：
小明的过程______ 小颖的过程______
②小明和小颖解二元一次方程组的方法虽然不同，但基本思路相同，都是______．
(2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组
16．（2023上·安徽亳州·七年级统考阶段练习）已知关于x，y的方程组与有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求m，n的值；
(3)若（1）中的解也是关于x，y的方程的解，求a的值．
17．（2023下·河南漯河·七年级校考阶段练习）阅读理解
（Ⅰ）我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收录在中国古代数学著作《九章算术》中，它的方程章中就有许多关于一次方程组的内容．下面的两幅算筹图就表示了两个二元一次方程组：
把它们写成我们现在的方程组是与．
（Ⅱ）对于二元一次方程组，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为即可求得的方程组的解为．用数表简化解二元一次方程组的过程如下：
所以方程组的解为，解答下列问题：
(1)直接写出下面算筹图表示的关于x，y的二元一次方程组．
(2)依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组．
18．（2023下·河北沧州·七年级校考阶段练习）阅读探索：
解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设，，原方程组可化为
解得即解得
根据上述材料，解决下列问题：
(1)运用换元法求关于a，b的方程组的解；
(2)若关于x，y的方程组的解为求关于m，n的方程组的解．
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