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专题8.4 实际问题与二元一次方程组之九大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 二元一次方程组的应用——年龄问题】 1
【考点二 二元一次方程组的应用——分配问题】 3
【考点三 二元一次方程组的应用——古代问题】 5
【考点四 二元一次方程组的应用——行程问题】 7
【考点五 二元一次方程组的应用——工程问题】 9
【考点六 二元一次方程组的应用——方案问题】 12
【考点七 二元一次方程组的应用——销售、利润问题】 16
【考点八 二元一次方程组的应用——数字问题】 19
【考点九 二元一次方程组的应用——几何问题】 21
【过关检测】 23
【典型例题】
【考点一 二元一次方程组的应用——年龄问题】
例题：（2024上·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁．
【答案】 28 21
【分析】设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁，然后根据题意列出方程组求解即可．
【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁，
由题意得：，
解得：，
即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁，
故答案为：28，21．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·湖南常德·七年级统考期末）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是 岁．
【答案】29
【分析】设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，根据题意可得等量关系：老师今年的年龄 学生今年的年龄=学生今年的年龄；老师42岁 老师今年的年龄=老师今年的年龄 学生今年的年龄，根据等量关系列出方程，即可解答．
【详解】解：设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，
由题意得：，
解得：，
故数学老师今年的年龄是29岁，
故答案为：29．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
2．（2022上·全国·八年级专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
【答案】大头儿子现在的年龄为10岁
【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可．
【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，
由题意得：，
解得：，
答：大头儿子现在的年龄为10岁．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组．
【考点二 二元一次方程组的应用——分配问题】
例题：（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）某机械厂加工车间平均每人每天加工甲种零件10个或乙种零件16个，已知3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，共有85名工人全员参加生产，问怎样安排人员才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套？
【答案】应分配60人生产甲种零件，25人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套
【分析】设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套，根据3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，共有85名工人全员参加生产，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套，
由题意得：
，
解得：，
答：应分配60人生产甲种零件，25人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·贵州·七年级校联考阶段练习）已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】(1)1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨．
(2)租用型车2辆、型车7辆最省钱，最少租车费为1040元．
【分析】（1）设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨，根据“用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据租用的两种车载满货物一次可运货34吨，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租车方案，再根据总租金每辆车的租金租车辆数，可分别求出三种租车方案所需租金，比较后即可得出结论．
【详解】（1）设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨，
依题意，得：，
解得：．
答：1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨．
（2）依题意，得：，
．
，均为非负整数，
，，，
该物流公司共有三种租车方案，方案1：租用型车10辆，型车1辆；方案2：租用型车6辆，型车4辆；方案3：租用型车2辆，型车7辆．
方案1所需租金：（元，
方案2所需租金：（元，
方案3所需租金：（元．
，
方案3租用型车2辆、型车7辆最省钱，最少租车费为1040元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程，并利用总租金每辆车的租金租车辆数，分别求出三种租车方案所需租金．
2．（2023下·湖南郴州·七年级统考期末）为了迎接湖南省第二届旅发大会，我市各景区准备新增5000个停车位，用以解决景区停车难的问题．已知新建3个地上停车位和2个地下停车位共需0.8万元；新建2个地上停车位和4个地下停车位共需1.2万元．
(1)求新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？
(2)有关部门计划投资950万元用于建造这5000个停车位，请问可以建造地上停车位和地下停车位各多少个？
【答案】(1)新建1个地上停车位需万元，新建1个地下停车位需万元
(2)可以建造地上停车位个，地下停车位个
【分析】（1）根据等量关系式：新建个地上停车位的费用个地下停车位的费用万元，新建个地上停车位的费用个地下停车位的费用万元，列出方程组，即可求解；
（2）根据等量关系式：建造地上车位的个数建造地下车位的个数，建造地上车位的费用建造地下车位的费用万元，列出方程组，即可求解．
【详解】（1）解：设新建1个地上停车位需万元，新建1个地下停车位需万元，由题意得
，
解得：，
答：新建1个地上停车位需万元，新建1个地下停车位需万元．
（2）解：设建造地上停车位个，地下停车位个，由题意得
，
解得：，
答：可以建造地上停车位个，地下停车位个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式是解题的关键．
【考点三 二元一次方程组的应用——古代问题】
例题：（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）古代有一个官兵分布的问题：“一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？”大意如下：一千名军官和士兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完．问军官和士兵各有多少名？
【答案】军官有名，士兵有名
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设军官有名，士兵名，根据共有名，得方程；根据共有尺布，得方程，联立方程组即可．
【详解】解：设军官有名，士兵名，根据题意，得：
解得：
答：军官有名，士兵有名．
【变式训练】
1．（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）我国传统数学名著《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？
【答案】每头牛值3两银子，每只羊值2两银子
【分析】本题考查了方程组的应用，设每头牛值两银子，每只羊值两银子，列出方程组，求解即可．
【详解】解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子．
根据题意，得，
解得．
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子．
2．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）我国明朝有一位著名数学家叫程大位，他的书中有一道名题，说的是：“100个和尚分92个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚3人吃一个，问大、小和尚各多少人？”
(1)请你列方程组求出大、小和尚各多少人；
(2)重新修建寺庙需要和尚们向工地运送10万块砖，若每篮子装20块砖，一个大和尚每次可担两篮子砖，两个小和尚每次可抬一篮子砖，请问大小和尚们一起至少需要运送多少趟才能满足工地需要？
【答案】(1)有个大和尚，个小和尚
(2)
【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题目中的数量关系，掌握消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键．
（1）设有大和尚，有个小和尚，根据个和尚分个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚人吃一个，列方程组求解；
（2）先求得大小和尚们一起运送一趟，可以运砖块，然后用10万除以即可求解．
【详解】（1）解：设有大和尚，有个小和尚，根据题意得，
解得：
答：有个大和尚，个小和尚．
（2）解：依题意，大小和尚们一起运送一趟，可以运砖
（块），
，
∴大小和尚们一起至少需要运送趟才能满足工地需要．
【考点四 二元一次方程组的应用——行程问题】
例题：（2023下·七年级课时练习）小勇和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小勇，并且比小勇多跑了20圈．求：
(1)哥哥的速度是小勇速度的多少倍？
(2)哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了多少圈？
【答案】(1)2倍
(2)20圈
【详解】（1）设哥哥的速度为米/秒，小勇的速度为米/秒，环形跑道的周长为米，依题意，得
∴．
答：哥哥的速度是小勇速度的2倍．
（2）设哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了圈，则哥哥跑了圈，依题意，得
，解得．
答：哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了20圈．
【变式训练】
1．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知轮船在静水中的平均速度为27千米/时，求水流的速度和甲、乙码头间的距离？（顺水速度静水速度水流速度；逆水速度静水速度水流速度，用二元一次方程组的知识解答）
【答案】水流的速度是3千米/时，甲、乙码头间的距离为60千米
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设水流的速度为千米/时，甲、乙码头间的距离为千米，则顺流的速度为千米/时，逆流的速度为千米/时，根据顺流、逆流时行驶路程相等列方程组，解方程即可．根据题意正确列出方程是解题的关键．
【详解】设水流的速度是千米/时，甲、乙码头间的距离为千米，
根据题意得：
解得：
答：水流的速度是3千米/时，甲、乙码头间的距离为60千米.
2．（2023下·浙江杭州·七年级校考阶段练习）从王老师家到学校有一段上坡路、一段 的平路和一段下坡路， 王老师每天步行上、下班，如果上坡路的平均速度为 ，平路的平均速度为 ，下坡路的平均速度为 ，那么王老师从家到学校需 ，从学校到家需 ．求 从王老师家到学校的上坡路和下坡路的路程．
【答案】从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为
【分析】设从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解．
【详解】解：设从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为，根据题意得，
解得：
答：从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．
【考点五 二元一次方程组的应用——工程问题】
例题：（2023下·云南昆明·七年级校考阶段练习）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由A、两个工程队先后接力完成． 工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天．
(1)求A、两工程队分别整治河道多少天？
(2)若A工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？
【答案】(1)工程队整治河道天，工程队整治河道天
(2)元
【分析】（1）设工程队整治河道天，工程队整治河道天，根据工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天完成认为列出方程组进行求解即可；
（2）分别求出A、B两个工程队的工费，然后求和即可．
【详解】（1）解：设工程队整治河道天，工程队整治河道天，
根据题意得：，
解得：．
答：工程队整治河道天，工程队整治河道天；
（2）解：根据题意得：
元．
答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组求解是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·山西太原·八年级山西实验中学校考期中）汾河作为太原市的“母亲河”，记录着太原悠久的历史，是太原具有里程碑意义的宝贵资源．为打造汾河太原段滨河区景观，现有一段长为289米的河道治理任务，分别由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天治理13米，乙工程队每天治理9米，共用时25天．
(1)课堂上小宇和小军两位同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
小宇： ，
小军：，
请在上面方框中补全两位同学所列的方程组；并根据小宇同学所列的方程组，指出未知数，表示的意义．
小宇：表示______；表示______．
(2)请求出甲、乙两工程队分别治理河道多少米？（写出完整的解答过程）
【答案】(1)补全两位同学见解析；甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数
(2)甲工程队整治河道208米，乙工程队整治河道81米
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，运用不同设未知数的方法列出不同的方程组解决实际问题是解本题的关键．
（1）此题蕴含两个基本数量关系：甲工程队用的时间乙工程队用的时间天，甲工程队整治河道的长度乙工程队整治河道的长度米，由此进行解答即可；
（2）选择其中一个方程组解答即可．
【详解】（1）解：小宇同学：设甲工程队用的时间为x天，乙工程队用的时间为y天，
由此列出的方程组为；
小军同学：甲工程队整治河道的长度为x米，乙工程队整治河道的长度为y米，
由此列出的方程组为 ；
故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数．
（2）解：选小宇同学所列方程组解答如下：
设甲工程队用的时间为x天，乙工程队用的时间为y天，
则，
得，
解得：，
把代入①得，
∴方程组的解为，
甲工程队整治河道的长度为：， 乙工程队整治河道的长度为：；
答：甲工程队整治河道208米，乙工程队整治河道81米．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天．
(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；
(2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的；
(3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？
【答案】(1)40，15
(2)6
(3)16
【分析】（1）设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天，依题意得，，解得，，则；
（2）由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，设还需要再合作天可完成此项工程的，依题意得，，计算求解即可；
（3）设甲单独工作天，甲乙合作工作天，依题意得，，计算求出的值，然后根据，计算求解甲工程队参加工作的天数．
【详解】（1）解：设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天，
依题意得，，
解得，，
∴，
∴甲、乙两队单独完成此项工程各需要40、15天；
（2）解：由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，
设还需要再合作天可完成此项工程的，
依题意得，，
解得，，
∴还要再合作6天可完成此项工程；
（3）解：设甲单独工作天，甲乙合作工作天，
依题意得，，
解得，，
∵，
∴甲工程队参加工作16天．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程（组）．
【考点六 二元一次方程组的应用——方案问题】
例题：（2023上·广东茂名·八年级统考期末）某药店出售、两种的口罩，已知该店进货4个种口罩和3个种口罩共需27元，进货2个种口罩所需费用比进货1个种口罩所需费用多1元．
(1)请分别求出、两种口罩的进价是多少元？
(2)已知药店将种口罩每个提价1元出售，种口罩每个提价出售，小雅在该药店购买、两种口罩（两种口罩均要购买）共花费36元，小雅有哪几种购买方案？
【答案】(1)种口罩的进价是3元，种口罩的进价是5元
(2)小雅共有2种购买方案，
方案1：购买种口罩6个，种口罩2个；
方案2：购买种口罩3个，种口罩4个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，
（1）设A种口罩的进价是x元，B种口罩的进价是y元，根据“该店进货4个种口罩和3个种口罩共需27元，进货2个种口罩所需费用比进货1个种口罩所需费用多1元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种口罩m个，B种口罩n个，利用总价单价数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】（1）解：设种口罩的进价是元，种口罩的进价是元，
依题意得：，解得：，
答：种口罩的进价是3元，种口罩的进价是5元；
（2）解：设购买种口罩个，种口罩个，依题意得：
，即，
解得：，
又，均为正整数，
或
小雅共有2种购买方案，
方案1：购买种口罩6个，种口罩2个；
方案2：购买种口罩3个，种口罩4个．
【变式训练】
1．（2024上·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）为了预防甲型流感病毒的扩散，学校准备购买一批医用口罩和洗手液用于日常防护，若医用口罩买600个，洗手液买50瓶，则需1850元；若医用口罩买800个，洗手液买25瓶，则需1425元．
(1)求医用口罩和洗手液的单价．
(2)学校本次采购准备了500元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的N95口罩a个，医用口罩和N95口罩共250个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完且，学校一共有几种购买方案？写出所有采购方案．
【答案】(1)医用口罩的单价为1元，洗手液的单价为25元
(2)学校一共有4种购买方案，详见解析
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用以及一元一次方程组的应用：
（1）设医用口罩的单价为x元，洗手液的单价为y元，根据若医用口罩买600个，洗手液买50瓶，则需1550元；若医用口罩买800个，洗手液买30瓶，则需1150元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）利用总价=单价×数量，列出关于a、b的二元一次方程，求出正整数解，即可得出答案．
【详解】（1）设医用口罩的单价为x元，洗手液的单价为y元，
根据题意得：，
解得：，
答：医用口罩的单价为1元，洗手液的单价为25元；
（2）由题意可得：，
整理得：，
∴，
∵
∴a、b均为正整数，
∴或或或，
∴学校一共有4种购买方案：
①购买口罩100个，医用口罩150个，洗手液2瓶；
②购买口罩75个，医用口罩175个，洗手液4瓶；
③购买口罩50个，医用口罩200个，洗手液6瓶；
④购买口罩25个，医用口罩225个，洗手液8瓶．
2．（2023上·广东深圳·八年级统考期末）为了迎接今年9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．这两种物品的进价、标价如下表所示．
进价 标价
明信片 5元/套 10元/套
吉祥物钥匙扣 18元/个 30元/个
为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．
(1)若张老师在本店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片共46件，花费600元．请问店主获利多少元？
(2)张老师在本店花费600元购买吉祥物钥匙扣和明信片若干件，两种都买且钱要用完．请帮助张老师策划所有可行的购买方案．
【答案】(1)店主获利240元
(2)当时，，即购买吉祥物钥匙扣件，明信片48件；
当时，，即购买吉祥物钥匙扣10件，明信片36件；
当时，，即购买吉祥物钥匙扣15件，明信片24件；
当时，，即购买吉祥物钥匙扣20件，明信片12件
【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用：
（1）设购买吉祥物钥匙扣件，明信卡件，根据等量关系列出方程组并解方程组，再利用总价减去成本等于利润即可求解；
（2）设张老师在本店花费600元购买吉祥物钥匙扣件，明信片件，根据等量关系列出二元一次方程，整理得，再根据、均为正整数分类讨论即可求解；
理清题意，根据等量关系列出二元一次方程（组）是解题的关键．
【详解】（1）解：设购买吉祥物钥匙扣件，明信卡件，
依题意得：，
解得：，
（元），
答：店主获利240元．
（2）设张老师在本店花费600元购买吉祥物钥匙扣件，明信片件，
依题意得：，
即：，
、均为正整数，
张老师策划所有可行的购买方案如下：
当时，，即购买吉祥物钥匙扣件，明信片48件；
当时，，即购买吉祥物钥匙扣10件，明信片36件；
当时，，即购买吉祥物钥匙扣15件，明信片24件；
当时，，即购买吉祥物钥匙扣20件，明信片12件．
【考点七 二元一次方程组的应用——销售、利润问题】
例题：（2024上·陕西宝鸡·八年级统考期末）为了提高学生的身体素质，某校准备从某体育用品商店购买跳绳和毽子，已知购买50根跳绳和80个毽子共需1120元，购买30根跳绳和50个毽子共需680元．
(1)跳绳、毽子的单价各是多少元？
(2)八年级一班体育委员小明与二班体育委员小亮一起到该商店为本班学生购买跳绳，他俩共买了30根跳绳，小明说他比小亮少付了48元，你认为这可能吗？若可能，求出他们分别购买了几根跳绳：若不可能，请说明理由．（请用二元一次方程组求解）
【答案】(1)跳绳的单价为16元，毽子的单价为4元；
(2)这是不可能的，理由见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程组的应用，依据题意列出一元二次方程组是解题的关键．
（1）跳绳的单价为元、毽子的单价为元，依据题意列出一元二次方程组即可求解；
（2）设小明购买了根跳绳，小亮购买了根跳绳，依据题意列出一元二次方程组求解，再根据，为整数可判断．
【详解】（1）解：设跳绳的单价为元、毽子的单价为元，
根据题意得，
解得，
∴跳绳的单价为16元、毽子的单价为4元。
（2）解：设小明购买了根跳绳，小亮购买了根跳绳，
根据题意得，
解得，
由题意可知，为整数，
∴这是不可能的．
【变式训练】
1．（2023上·陕西榆林·八年级校考阶段练习）某体育用品商场销售，两款足球，售价和进价如表：
类型 进价（元/个） 售价（元/个）
款 120
款 90
若该商场购进5个款足球和12个款足球共需1120元；若该商场购进10个款足球和15个款足球共需1700元．
(1)求和的值；
(2)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个款足球送1根跳绳，买3个款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售、两款足球各多少个 （每款都有销售，且购买款足球的数量都是3的倍数）
【答案】(1)m的值为80，n的值为60
(2)该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球，18个B款足球
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）根据“该商场购进5个款足球和12个款足球需1120元；购进10个款足球和15个款足球需1700元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值；
（2）设该日商场销售个款足球，个款足球，利用总利润每个的销售利润销售数量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论．
【详解】（1）根据题意得：
解得：
所以的值为80，的值为60.
（2）设该日商场销售个款足球，个款足球，
根据题意得：，
，
又，均为正整数，
或，
或．
答：该日商场销售13个款足球、9个款足球或6个款足球、18个款足球．
2．（2024上·甘肃兰州·八年级统考期末）某体育用品商场销售，两款足球，售价和进价如表：已知该商场购进5个款足球和12个款足球需1120元；购进10个款足球和15个款足球需1700元．
类型 进价/（元/个） 售价/（元/个）
款 120
款 90
(1)求和的值．
(2)为了提高销量，商场实施“买足球送跳绳”的促销活动：买1个款足球送1根跳绳，买3个款足球送2根跳绳．每根跳绳的成本为10元，某日商场售卖这两款足球总计盈利600元，则该日商场销售，两款足球各多少个？（每款都有销售）
【答案】(1)的值为80，的值为60
(2)该日商场销售13个款足球、9个款足球或6个款足球、18个款足球
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是正确列出二元一次方程．
（1）根据“该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；购进10个A款足球和15个B款足球需1700元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值；
（2）设该日商场销售a个A款足球，个B款足球，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
∴m的值为80，n的值为60；
（2）解：设该日商场销售a个A款足球，个B款足球，
根据题意得：，
∴，
又∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球．
【考点八 二元一次方程组的应用——数字问题】
例题：（2023上·江苏·七年级校考周测）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的倍小，求原来的两位数．
【答案】原来的两位数是．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找到合适的等量关系，列出方程组，是解答本题的关键．
根据题意设个位数字为，十位数字为，利用已知条件列出二元一次方程组，由此得到答案．
【详解】解：根据题意设：
个位数字为，十位数字为，
，
解得：，
原来的两位数为：，
答：原来的两位数是．
【变式训练】
1．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，若把这个两位数加上9，所得的两位数的十位数字和个位数字恰好与原来的两位数的十位数字和个位数字颠倒了，求原来的两位数.
【答案】这个两位数是为34．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，根据十位上的数与个位上的数之和是7，新的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，据此列方程组求解．
【详解】解：设个位数为x，十位数为y，由题意得：
，
解得：．
所以，原来的两位数是为34．
答：原来的两位数是为34．
2．（2023下·河南南阳·七年级校考阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”
那么，你能回答以下问题吗？
(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？
(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？
【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．
(2)第一次他们拼成的两位数为45．
【分析】（1）设他们取出的两个数字分别为x、y．根据题意列方程组求解即可；
（2）根据（1）的结果即可求解．
【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y．
第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为．
根据题意得：
，
由②，得：③，
得：．
把代入①得：，
∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．
（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，
所以第一次他们拼成的两位数为45．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．
【考点九 二元一次方程组的应用——几何问题】
例题：（2023上·吉林四平·八年级统考期末）如图，在大长方形中放入个相同的小长方形（图中空白部分），若大长方形的周长是，图中阴影部分的面积是，设小长方形的长为，宽为，求一个小长方形的周长和面积分别是多少？
【答案】一个小长方形的周长为，面积为．
【分析】本题考查了二元一次方程组，找到正确的数量关系是解题的关键．由大长方形的周长是，图中阴影部分的面积是列出方程组，可求解．
【详解】解：由题意可得：
∴
答：一个小长方形的周长为，面积为．
【变式训练】
1．（2024上·河北廊坊·七年级校考阶段练习）如图，这是某江滩公园正在修建的一运动场馆的规划示意图，运动场馆是一个长方形，长为120米，宽为90米，计划在甲、乙、丙三块形状及大小相同的小长方形地块上修建网球场，剩余两块形状及大小相同的空地铺设塑胶草坪，求每块草坪的面积．
【答案】3900平方米
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．三个小长方形的长为x米，宽为y米，根据题意，列出方程，可求出三个小长方形的总面积，再用大长方形的面积减去三个小长方形的总面积，即可求解．
【详解】解：设三个小长方形的长为x米，宽为y米，根据题意得：
，
解得：，
∴三个小长方形的总面积为平方米，
∴每块草坪的面积为平方米．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）某校为学生开展拓展性课程，拟在一块长比宽多6m的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区．已知每个大棚的周长为44m，要求两个大棚之间有间隔4m的路，设计方案如图所示．
(1)求每个大棚的长和宽；
(2)现有两种大棚的造价方案，方案一是每平方米60元，超过优惠500元；方案二是每平方米70元，超过优惠总价的20%．试问选择哪种方案更优惠？
【答案】(1)每个大棚的长为14m，宽为8m
(2)选择方案二更优惠
【详解】解：（1）设每个大棚的长为am，宽为bm．
根据题意，得解得
故每个大棚的长为14m，宽为8m．
（2）大棚的面积为．
方案一：（元）；
方案二：（元）．
，选择方案二更优惠．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023上·四川成都·八年级四川省成都市七中育才学校校考期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多4元；每人出8元，少5元．问有多少人？该物品价值多少元？如果设有人，该物品值元，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程组解古代数学问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决问题的关键．
由题中设有人，物品价值元，根据每人出9元，多4元；每人出8元，少5元列方程即可得到答案．
【详解】解：设有人，该物品值元，
∵每人出9元，多4元，
∴；
∵每人出8元，少5元，
∴；
∴根据题意可列方程组
故选B．
2．（2024上·河南安阳·七年级统考期末）“悟空顺风探妖踪，千里只用五分钟；归时五分行六百，试问风速是多少？”大致意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了5分钟：回来时逆风，5分钟只走了600里，试求风的速度是每分钟多少里？（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设孙悟空的速度为里/分钟，风速为里/分钟，根据顺风5分钟走1000里及逆风5分钟走了600里，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可．
【详解】解：设孙悟空的速度为里/分钟，风速为里/分钟，
依题意，得
解得
答：风的速度为40里/分钟．
故选B．
3．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考阶段练习）2023年10月13日，是第34个国际减灾日，主题为“共同打造有韧性的未来”，多学一分自救知识，就多一份生命保障，每个人都应增强防灾减灾意识，提高避灾自救技能，学一点科学知识，少一点生命威胁，灾难总是不期而至，及早掌握防灾知识，做到防患于未然，就多一份生命保障．为奖励消防演练活动中表现优异的同学，学校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是设购买篮球x个，排球y个，根据“购买篮球的总钱数购买排球的总钱数”列出关于x、y的方程，由x、y均为非负整数即可得．
【详解】解：设购买篮球x个，排球y个，根据题意可得，
，
则，
∵x、y均为正整数，
∴、或、或、或、，
所以购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有种，
故选：A．
4．（2023下·贵州铜仁·七年级校联考阶段练习）“方程”二字最早见于我国《九章算术）这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则表示的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意是解题的关键．根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可求解．
【详解】解：根据题意，得，
故选：A．
5．（2023上·宁夏银川·七年级校考阶段练习）“洛书”是世界上最古老的一个三阶幻方，它有3行3列，三横行的三个数之和，三竖列的三个数之和，两对角线的三个数之和都相等，其实幻方就是把一些有规律的数填在正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，如图幻方a、b的值分别是（ ）
A．11，9 B．9，11 C．8，13 D．13，8
【答案】D
【分析】本题是一道有关探究规律的题目，侧重考查知识点的应用能力，依题意，得,再解二元一次方程组即可．
【详解】解：依题意，得，
解得：，
故选：D．
二、填空题
6．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组 ．
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据河道总长为180米和、两个工程队共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解．
【详解】解：设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，
依题意可得：．
故答案为：．
7．（2023上·四川成都·八年级统考期末）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两“金”；2头牛、3只羊共12两“金”，每头牛、每只羊各多少两“金”？设1头牛x两“金”，1只羊y两“金”，则可列方程组为 ．
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．根据“5头牛、2只羊共19两“金”；2头牛、3只羊共12两“金””，可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【详解】解：根据题意，得．
故答案为：．
8．（2024上·山东青岛·八年级统考期末）“翰墨凝书香执笔颂中华”．某校为了奖励在规范汉字书写大赛中表现突出的同学，购买了甲，乙两种奖品共100件，费用为1352元，其中，甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元．若设购买了x件甲种奖品，y件乙种奖品，根据题意可列方程组 ．
【答案】
【分析】本题考查根据实际问题抽象出二元一次方程组．根据甲乙两种奖品共100件，可找到等量关系列出一个方程，再根据甲乙两种奖品的总价格找到一个等量关系列出一个方程，将两个方程组成一个二元一次方程组．
【详解】解：若设购买甲种奖品件，乙种奖品件，
甲．乙两种奖品共100件，所以，
因为甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，所以，
由上可得方程组：．
故答案为：．
9．（2022上·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）如图，正方形的面积是81，该正方形被分成四个相同的长为，宽为的长方形和一个面积为9的小正方形，则的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据正方形的面积为81，可得正方形的边长为9，即，可列出一个关于a、b的方程，解方程组即可．
【详解】解：根据正方形的面积为81，可得正方形的边长为9，即，
小正方形的面积为9，则其边长为3，
∵大正方形边长为9，小正方形边长为3，
∴根据图示和题意得：，
解得：．
故答案为：6．
10．（2023上·河南洛阳·七年级统考期末）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）中，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图2所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，图3是另一个广义的三阶幻方，则的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据三阶幻方的定义，利用二元一次方程解答，即可求出结论．
【详解】解：根据题意，列二元一次方程组：，
解得：，
故答案为：6．
三、解答题
11．（2023上·广东梅州·八年级校考期中）根据题意列出方程组．
(1)甲、乙两人在一环形场地上从点A同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的速度的2.5倍，4min后两人首次相遇，此时乙还需要跑300m跑完第一圈．求甲、乙两人的速度及环形场地的周长．
(2)将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只．则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只．则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了列二元一次方程组解环形问题的运用，解答时运用环形问题的数量关系建立方程是关键．
（1）设乙的速度为米分，则甲的速度为米分，环形场地的周长为米，根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程慢者走的路程环形周长建立方程即可求解；
（2）由题意可知鸡与笼的总数是不变的，由此可得两个等量关系式：即每笼放4只时，笼中鸡的总数鸡的总数；当笼中放5只鸡时，（笼的总数鸡的总数．
【详解】（1）解：设乙的速度为米分，则甲的速度为米分，环形场地的周长为米，由题意，得
；
（2）解：设笼的总数为，鸡的总数为只，根据题意可得：
则．
12．（2024下·全国·七年级专题练习）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为2cm的小正方形！试求图2这个正方形的面积．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际运用，设每个长方形的宽为，长为，根据构成图形长与宽之间的关系，建立方程求解，即可解题．
【详解】解：设每个长方形的宽为，长为，
根据图形可得出方程组为：
，
解得：，
正方形的边长为：（），
正方形的面积为：（），．
答：图2这个正方形的面积是．．
13．（2023下·江苏南通·七年级校联考期末）我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)某商人准备用两银子买牛和羊要求既有羊又有牛，且银两须全部用完，且羊的数量不少于牛数量的倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【答案】(1)每头牛值两银子，每只羊值两银子
(2)购买头牛，只羊；购买头牛，只羊．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据“头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买头牛，只羊，根据某商人准备用两银子买牛和羊，列出二元一次方程，再根据羊的数量不少于牛数量的倍，得，然后求出满足条件的正整数解即可．
【详解】（1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子，
依题意得：，
解得：，
答：每头牛值两银子，每只羊值两银子；
（2）设购买头牛，只羊，
依题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
为的倍数，
羊的数量不少于牛数量的倍，
，
或，
商人有种购买方法：
购买头牛，只羊；
购买头牛，只羊．
14．（2023上·四川成都·八年级统考期末）某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套，两种礼盒的成本和售价如下表所示．
甲 乙
成本（元/套） 20 24
售价（元/套） 25 30
(1)该工厂计划筹集资金1340万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？
(2)经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒m万套，增加生产乙种礼盒n万套（m，n都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为400万元，请问该工厂有几种生产方案？并写出所有可行的生产方案．
【答案】(1)甲礼盒生产25万套，乙礼盒生产35万套；
(2)两种，方案1：生产甲种礼盒32万套，乙种礼盒40万套；
方案2：生产甲种礼盒26万套，乙种礼盒45万套．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套，利用总成本每套甲种礼盒的成本生产甲种礼盒的数量每套乙种礼盒的成本生产乙种礼盒的数量，结合生产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套且生产总成本为1340万元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总利润每套甲种礼盒的销售利润生产甲种礼盒的数量每套乙种礼盒的销售利润生产乙种礼盒的数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各生产方案．
【详解】（1）设甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种礼盒生产25万套，乙种礼盒生产35万套；
（2）根据题意得：，
，
又，均为正整数，
或，
或，
该工厂有2种生产方案，
方案1：生产甲种礼盒32万套，乙种礼盒40万套；
方案2：生产甲种礼盒26万套，乙种礼盒45万套．
15．（2023上·贵州毕节·八年级统考期末）某中学为了在11月中旬举办体育文化节，学校委托后勤处张主任去购买奖品，张主任回校后向财务处的陈老师交账说：“我买了足球和篮球共20个，足球每个60元，篮球每个80元，去买之前我领了1500元，现在还余70元．”陈老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”
(1)陈老师为什么说张主任肯定搞错了？试用方程的知识给予解释．
(2)张主任连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了几个（大于1小于4）单价为15元的水龙头，但是发票上的个数看不清了，请你帮他算一算，他买了几个水龙头？
【答案】(1)张主任肯定搞错了，理由见解析
(2)2个水龙头
【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用：
（1）设足球买了个，篮球买了个．根据题意列二元一次方程组，根据方程组的解是否为正整数即可解释；
（2）设张主任买了个足球，个水龙头，根据题意列二元一次方程，由，都是整数，且，确定n可能的取值，进而求出m的值，判断是否符合题意即可．
【详解】（1）解：设足球买了个，篮球买了个．
依题意，得，
解得，
，均为正整数，
不符合题意，即张主任肯定搞错了．
（2）解：设张主任买了个足球，个水龙头，则买的篮球的个数为个．
依题意，得，
整理，得．
，都是整数，且，
可能为2或3．
当时，，解得，符合题意；
当时，，解得，不符合题意，
他买了2个水龙头．
16．（2021上·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）某服装店欲购进一批A款和B款两种新款服装，若购买2件A款衣服和3件B款衣服共需226元，购买5件A款衣服和1件B款衣服共需292元．求：
(1)每件A款衣服和每件B款衣服的价格分别是多少？
(2)若该店王老板准备了4600元，探究：王老板有几种进货方案，请你一一列举出来；
(3)若A款衣服每件售价80元，B款衣服每件收件60元，王老板怎样进货可以获得最大收益？
【答案】(1)A款衣服的单价为50元，B款衣服的单价为42元．
(2)进货方案为：①A款衣服进货件，B款衣服进货件，②A款衣服进货件，B款衣服进货件，③A款衣服进货件，B款衣服进货件，④A款衣服进货件，B款衣服进货件，⑤A款衣服进货件，B款衣服进货件．
(3)最大利润为：元．
【分析】本题考查的是列代数式，代数式的值，二元一次方程的整数解的应用，二元一次方程的应用，理解题意，选择合适的方法解题是关键；
（1）设A款衣服的单价为元，B款衣服的单价为元，利用“购买2件A款衣服和3件B款衣服共需226元，购买5件A款衣服和1件B款衣服共需292元”，再建立方程组解题即可；
（2）设A款衣服进货件，B款衣服进货件，则，再利用方程的非负数解解决问题即可；
（3）设A款衣服进货件，B款衣服进货件，则利润为元，再结合（2）的结论与代数式的特点可得答案．
【详解】（1）解：设A款衣服的单价为元，B款衣服的单价为元，
依题意，得：，
解得：．
答：A款衣服的单价为50元，B款衣服的单价为42元．
（2）设A款衣服进货件，B款衣服进货件，则
，
整理得：，
∵，为非负整数，
∴，，，，；
∴进货方案为：①A款衣服进货件，B款衣服进货件，
②A款衣服进货件，B款衣服进货件，
③A款衣服进货件，B款衣服进货件，
④A款衣服进货件，B款衣服进货件，
⑤A款衣服进货件，B款衣服进货件．
（3）∵A款衣服每件利润元，B款衣服每件利润元，
设A款衣服进货件，B款衣服进货件，则利润为元，
∵，
∴利润为，
由代数式的特点可得：取最小值时，利润最大，
最大利润为：元．
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专题8.4 实际问题与二元一次方程组之九大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 二元一次方程组的应用——年龄问题】 1
【考点二 二元一次方程组的应用——分配问题】 3
【考点三 二元一次方程组的应用——古代问题】 5
【考点四 二元一次方程组的应用——行程问题】 7
【考点五 二元一次方程组的应用——工程问题】 9
【考点六 二元一次方程组的应用——方案问题】 12
【考点七 二元一次方程组的应用——销售、利润问题】 16
【考点八 二元一次方程组的应用——数字问题】 19
【考点九 二元一次方程组的应用——几何问题】 21
【过关检测】 23
【典型例题】
【考点一 二元一次方程组的应用——年龄问题】
例题：（2024上·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁．
【变式训练】
1．（2023下·湖南常德·七年级统考期末）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是 岁．
2．（2022上·全国·八年级专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
【考点二 二元一次方程组的应用——分配问题】
例题：（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）某机械厂加工车间平均每人每天加工甲种零件10个或乙种零件16个，已知3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，共有85名工人全员参加生产，问怎样安排人员才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套？
【变式训练】
1．（2023下·贵州·七年级校联考阶段练习）已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
2．（2023下·湖南郴州·七年级统考期末）为了迎接湖南省第二届旅发大会，我市各景区准备新增5000个停车位，用以解决景区停车难的问题．已知新建3个地上停车位和2个地下停车位共需0.8万元；新建2个地上停车位和4个地下停车位共需1.2万元．
(1)求新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？
(2)有关部门计划投资950万元用于建造这5000个停车位，请问可以建造地上停车位和地下停车位各多少个？
【考点三 二元一次方程组的应用——古代问题】
例题：（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）古代有一个官兵分布的问题：“一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？”大意如下：一千名军官和士兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完．问军官和士兵各有多少名？
【变式训练】
1．（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）我国传统数学名著《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？
2．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）我国明朝有一位著名数学家叫程大位，他的书中有一道名题，说的是：“100个和尚分92个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚3人吃一个，问大、小和尚各多少人？”
(1)请你列方程组求出大、小和尚各多少人；
(2)重新修建寺庙需要和尚们向工地运送10万块砖，若每篮子装20块砖，一个大和尚每次可担两篮子砖，两个小和尚每次可抬一篮子砖，请问大小和尚们一起至少需要运送多少趟才能满足工地需要？
【考点四 二元一次方程组的应用——行程问题】
例题：（2023下·七年级课时练习）小勇和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小勇，并且比小勇多跑了20圈．求：
(1)哥哥的速度是小勇速度的多少倍？
(2)哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了多少圈？
【变式训练】
1．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知轮船在静水中的平均速度为27千米/时，求水流的速度和甲、乙码头间的距离？（顺水速度静水速度水流速度；逆水速度静水速度水流速度，用二元一次方程组的知识解答）
2．（2023下·浙江杭州·七年级校考阶段练习）从王老师家到学校有一段上坡路、一段 的平路和一段下坡路， 王老师每天步行上、下班，如果上坡路的平均速度为 ，平路的平均速度为 ，下坡路的平均速度为 ，那么王老师从家到学校需 ，从学校到家需 ．求 从王老师家到学校的上坡路和下坡路的路程．
【考点五 二元一次方程组的应用——工程问题】
例题：（2023下·云南昆明·七年级校考阶段练习）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由A、两个工程队先后接力完成． 工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天．
(1)求A、两工程队分别整治河道多少天？
(2)若A工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？
【变式训练】
1．（2023上·山西太原·八年级山西实验中学校考期中）汾河作为太原市的“母亲河”，记录着太原悠久的历史，是太原具有里程碑意义的宝贵资源．为打造汾河太原段滨河区景观，现有一段长为289米的河道治理任务，分别由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天治理13米，乙工程队每天治理9米，共用时25天．
(1)课堂上小宇和小军两位同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
小宇： ，
小军：，
请在上面方框中补全两位同学所列的方程组；并根据小宇同学所列的方程组，指出未知数，表示的意义．
小宇：表示______；表示______．
(2)请求出甲、乙两工程队分别治理河道多少米？（写出完整的解答过程）
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天．
(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；
(2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的；
(3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？
【考点六 二元一次方程组的应用——方案问题】
例题：（2023上·广东茂名·八年级统考期末）某药店出售、两种的口罩，已知该店进货4个种口罩和3个种口罩共需27元，进货2个种口罩所需费用比进货1个种口罩所需费用多1元．
(1)请分别求出、两种口罩的进价是多少元？
(2)已知药店将种口罩每个提价1元出售，种口罩每个提价出售，小雅在该药店购买、两种口罩（两种口罩均要购买）共花费36元，小雅有哪几种购买方案？
【变式训练】
1．（2024上·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）为了预防甲型流感病毒的扩散，学校准备购买一批医用口罩和洗手液用于日常防护，若医用口罩买600个，洗手液买50瓶，则需1850元；若医用口罩买800个，洗手液买25瓶，则需1425元．
(1)求医用口罩和洗手液的单价．
(2)学校本次采购准备了500元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的N95口罩a个，医用口罩和N95口罩共250个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完且，学校一共有几种购买方案？写出所有采购方案．
2．（2023上·广东深圳·八年级统考期末）为了迎接今年9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．这两种物品的进价、标价如下表所示．
进价 标价
明信片 5元/套 10元/套
吉祥物钥匙扣 18元/个 30元/个
为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．
(1)若张老师在本店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片共46件，花费600元．请问店主获利多少元？
(2)张老师在本店花费600元购买吉祥物钥匙扣和明信片若干件，两种都买且钱要用完．请帮助张老师策划所有可行的购买方案．
【考点七 二元一次方程组的应用——销售、利润问题】
例题：（2024上·陕西宝鸡·八年级统考期末）为了提高学生的身体素质，某校准备从某体育用品商店购买跳绳和毽子，已知购买50根跳绳和80个毽子共需1120元，购买30根跳绳和50个毽子共需680元．
(1)跳绳、毽子的单价各是多少元？
(2)八年级一班体育委员小明与二班体育委员小亮一起到该商店为本班学生购买跳绳，他俩共买了30根跳绳，小明说他比小亮少付了48元，你认为这可能吗？若可能，求出他们分别购买了几根跳绳：若不可能，请说明理由．（请用二元一次方程组求解）
【变式训练】
1．（2023上·陕西榆林·八年级校考阶段练习）某体育用品商场销售，两款足球，售价和进价如表：
类型 进价（元/个） 售价（元/个）
款 120
款 90
若该商场购进5个款足球和12个款足球共需1120元；若该商场购进10个款足球和15个款足球共需1700元．
(1)求和的值；
(2)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个款足球送1根跳绳，买3个款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售、两款足球各多少个 （每款都有销售，且购买款足球的数量都是3的倍数）
2．（2024上·甘肃兰州·八年级统考期末）某体育用品商场销售，两款足球，售价和进价如表：已知该商场购进5个款足球和12个款足球需1120元；购进10个款足球和15个款足球需1700元．
类型 进价/（元/个） 售价/（元/个）
款 120
款 90
(1)求和的值．
(2)为了提高销量，商场实施“买足球送跳绳”的促销活动：买1个款足球送1根跳绳，买3个款足球送2根跳绳．每根跳绳的成本为10元，某日商场售卖这两款足球总计盈利600元，则该日商场销售，两款足球各多少个？（每款都有销售）
【考点八 二元一次方程组的应用——数字问题】
例题：（2023上·江苏·七年级校考周测）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的倍小，求原来的两位数．
【变式训练】
1．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，若把这个两位数加上9，所得的两位数的十位数字和个位数字恰好与原来的两位数的十位数字和个位数字颠倒了，求原来的两位数.
2．（2023下·河南南阳·七年级校考阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”
那么，你能回答以下问题吗？
(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？
(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？
【考点九 二元一次方程组的应用——几何问题】
例题：（2023上·吉林四平·八年级统考期末）如图，在大长方形中放入个相同的小长方形（图中空白部分），若大长方形的周长是，图中阴影部分的面积是，设小长方形的长为，宽为，求一个小长方形的周长和面积分别是多少？
【变式训练】
1．（2024上·河北廊坊·七年级校考阶段练习）如图，这是某江滩公园正在修建的一运动场馆的规划示意图，运动场馆是一个长方形，长为120米，宽为90米，计划在甲、乙、丙三块形状及大小相同的小长方形地块上修建网球场，剩余两块形状及大小相同的空地铺设塑胶草坪，求每块草坪的面积．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）某校为学生开展拓展性课程，拟在一块长比宽多6m的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区．已知每个大棚的周长为44m，要求两个大棚之间有间隔4m的路，设计方案如图所示．
(1)求每个大棚的长和宽；
(2)现有两种大棚的造价方案，方案一是每平方米60元，超过优惠500元；方案二是每平方米70元，超过优惠总价的20%．试问选择哪种方案更优惠？
【过关检测】
一、单选题
1．（2023上·四川成都·八年级四川省成都市七中育才学校校考期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多4元；每人出8元，少5元．问有多少人？该物品价值多少元？如果设有人，该物品值元，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·河南安阳·七年级统考期末）“悟空顺风探妖踪，千里只用五分钟；归时五分行六百，试问风速是多少？”大致意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了5分钟：回来时逆风，5分钟只走了600里，试求风的速度是每分钟多少里？（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
3．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考阶段练习）2023年10月13日，是第34个国际减灾日，主题为“共同打造有韧性的未来”，多学一分自救知识，就多一份生命保障，每个人都应增强防灾减灾意识，提高避灾自救技能，学一点科学知识，少一点生命威胁，灾难总是不期而至，及早掌握防灾知识，做到防患于未然，就多一份生命保障．为奖励消防演练活动中表现优异的同学，学校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
4．（2023下·贵州铜仁·七年级校联考阶段练习）“方程”二字最早见于我国《九章算术）这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则表示的方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·宁夏银川·七年级校考阶段练习）“洛书”是世界上最古老的一个三阶幻方，它有3行3列，三横行的三个数之和，三竖列的三个数之和，两对角线的三个数之和都相等，其实幻方就是把一些有规律的数填在正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，如图幻方a、b的值分别是（ ）
A．11，9 B．9，11 C．8，13 D．13，8
二、填空题
6．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组 ．
7．（2023上·四川成都·八年级统考期末）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两“金”；2头牛、3只羊共12两“金”，每头牛、每只羊各多少两“金”？设1头牛x两“金”，1只羊y两“金”，则可列方程组为 ．
8．（2024上·山东青岛·八年级统考期末）“翰墨凝书香执笔颂中华”．某校为了奖励在规范汉字书写大赛中表现突出的同学，购买了甲，乙两种奖品共100件，费用为1352元，其中，甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元．若设购买了x件甲种奖品，y件乙种奖品，根据题意可列方程组 ．
9．（2022上·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）如图，正方形的面积是81，该正方形被分成四个相同的长为，宽为的长方形和一个面积为9的小正方形，则的值为 ．
10．（2023上·河南洛阳·七年级统考期末）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）中，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图2所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，图3是另一个广义的三阶幻方，则的值为 ．
三、解答题
11．（2023上·广东梅州·八年级校考期中）根据题意列出方程组．
(1)甲、乙两人在一环形场地上从点A同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的速度的2.5倍，4min后两人首次相遇，此时乙还需要跑300m跑完第一圈．求甲、乙两人的速度及环形场地的周长．
(2)将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只．则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只．则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？
12．（2024下·全国·七年级专题练习）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为2cm的小正方形！试求图2这个正方形的面积．
13．（2023下·江苏南通·七年级校联考期末）我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)某商人准备用两银子买牛和羊要求既有羊又有牛，且银两须全部用完，且羊的数量不少于牛数量的倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
14．（2023上·四川成都·八年级统考期末）某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套，两种礼盒的成本和售价如下表所示．
甲 乙
成本（元/套） 20 24
售价（元/套） 25 30
(1)该工厂计划筹集资金1340万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？
(2)经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒m万套，增加生产乙种礼盒n万套（m，n都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为400万元，请问该工厂有几种生产方案？并写出所有可行的生产方案．
15．（2023上·贵州毕节·八年级统考期末）某中学为了在11月中旬举办体育文化节，学校委托后勤处张主任去购买奖品，张主任回校后向财务处的陈老师交账说：“我买了足球和篮球共20个，足球每个60元，篮球每个80元，去买之前我领了1500元，现在还余70元．”陈老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”
(1)陈老师为什么说张主任肯定搞错了？试用方程的知识给予解释．
(2)张主任连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了几个（大于1小于4）单价为15元的水龙头，但是发票上的个数看不清了，请你帮他算一算，他买了几个水龙头？
16．（2021上·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）某服装店欲购进一批A款和B款两种新款服装，若购买2件A款衣服和3件B款衣服共需226元，购买5件A款衣服和1件B款衣服共需292元．求：
(1)每件A款衣服和每件B款衣服的价格分别是多少？
(2)若该店王老板准备了4600元，探究：王老板有几种进货方案，请你一一列举出来；
(3)若A款衣服每件售价80元，B款衣服每件收件60元，王老板怎样进货可以获得最大收益？
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