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通关秘籍06 统计和概率问题（3易错6题型）
目录
【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）
统计和概率题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，平均数、中位数、众数是数学的基础，也是高频考点、必考点，所以必须熟练各种情况下求解能力。
2．从题型角度看，以解答题的第四题或第五题为主，分值8分左右，着实不少！
易错点一 与其他知识综合求概率
【例1】（2024·广东江门·一模）有、两个盒子．盒内有三个球，分别标有数字、、．盒有二个球，分别标有数字、．所有的球除所标数字，外形状大小完全相同．先从盒中随机抽出一个球，记录其标有的数字为，再从盒中随机抽出一个球，记录其标有的数字为，以此确定点的一个坐标为．
(1)用列表或画树状图的方法写出点的所有可能坐标；
(2)求点落在第三象限的概率．
【答案】(1)见解析
(2)点落在第三象限的概率为．
【分析】本题主要考查利用列表和画树状图计算概率：
（1）根据列表和画树状图的方法即可求得答案；
（2）根据列表和画树状图可求得事件所有可能的结果和点落在第三象限的结果．
【详解】（1）列表如下所示．
树状图如下所示．
（2）点共有种可能的结果，其中事件“落在第三象限”包含和两种结果．
所以，点落在第三象限的概率为．
【例2】（2024·安徽合肥·一模）把一副扑克牌中的黑桃3，4，5，6抽出来放在一个不透明的纸盒里，然后从纸盒里随机取出一张牌，记作，再从剩下的3张牌中随机取出一张牌，记作.
(1)请用作树状图或列表的方法，求出两次取出的牌面数字之差的绝对值等于2的概率；
(2)结合题（1）的树状图或列表，直接写出点落在直线上的概率是__________．
【答案】(1)
(2)
【分析】
本题考查列表法与树状图法、一次函数图象上点的坐标特征，
（1）列表可得出所有等可能的结果数以及两次取出的牌面数字之差的绝对值等于2的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（2）由表格可得点落在直线上的结果数，再利用概率公式计算即可．
熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【详解】（1）解：列表如下：
3 4 5 6
3
4
5
6
共有12种等可能的结果，其中两次取出的牌面数字之差的绝对值等于2的结果有：，，，，共4种，
两次取出的牌面数字之差的绝对值等于2的概率为．
（2）由表格可知，点落在直线上的结果有：，，，共3种，
点落在直线上的概率是．
故答案为：．
【例3】（2024·安徽亳州·一模）在五张大小、材质完全相同的卡片上分别写上数字，将这五张卡片放置于暗箱内摇匀．
(1)从箱中随机摸出一张卡片，求卡片上写的数字是负数的概率；
(2)先从箱中摸出一张卡片，将卡片上的数字作为点的横坐标，不放回，再摸出一张卡片，将卡片上的数字作为点的纵坐标，求确定的点恰好在反比例函数的图象上的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】
本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，反比例函数的性质：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到横纵坐标乘积为的情况，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有5张卡片，其中写的数字是负数的卡片有3张，且每张卡片被摸出的概率相同，
∴从箱中随机摸出一张卡片，求卡片上写的数字是负数的概率为；
（2）解：列表如下：
第一次 第二次 3 6
3
6
由表格可知一共有20种等可能性的结果数，其中确定的点恰好在反比例函数的图象上的结果数有4种（横纵坐标乘积为），
∴确定的点恰好在反比例函数的图象上的概率为．
易错点二 通过求概率确定游戏是否公平问题
【例1】（2024·广东广州·一模）甲、乙两位同学相约玩纸牌游戏．
(1)有4张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别有四个不同的数字，将这四张纸牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．若甲从中随机选择一张牌翻开，求他选中的牌面数字是整数的概率；
(2)双方约定：两人各摸出一张牌，放回洗匀后再摸一张，若摸出的两张牌面数字之积为正数，那么甲赢，否则乙赢．这个规定是否公平？为什么？
【答案】(1)
(2)这个规定否公平，理由见解析
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式．
（1）直接根据概率公式计算即可．
（2）首先画出树状图或列表列出可能的情况，再计算出甲赢和乙赢的概率，最后进行比较即可．
【详解】（1）解：共有4张牌，正面是整数的情况有2种，
所以摸到正面是整数的纸牌的概率是；
（2）解：这个规定否公平，理由如下：
画树状图如下：
共产生16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌面数字之积为正数的有8种，
∴甲赢的概率为，
乙赢的概率为，
∴甲赢的概率=乙赢的概率，
故这个规定否公平
【例2】（2024·陕西西安·一模）小亮和小丽两位同学玩转转盘游戏，转盘上的数字如图所示，若转盘指针指向交界处则忽略不计，重新转动一次．
(1)小亮先转一次转盘，则转到数字是3的倍数的概率为 ；
(2)小亮转一次后，小丽再转一次，利用两人转出的数字之差的绝对值判断输赢，规定：若所得数值等于0，1，则小亮获胜，若所得数值等于2，3，4，则小丽获胜．请用列表或画树状图的方法，判断该游戏是否公平．
【答案】(1)
(2)不公平，理由见解析
【分析】本题考查了概率公式，画树状图求概率及概率的应用，解题关键是熟练掌握列举法求概率及利用概率判断游戏公平性．
（1）求出转一次转盘，转到数字是3的倍数的结果在全部可能的结果所占的比，即可得出答案；
（2）画出树状图，即可得到共有25种等可能的结果，数出两人转出的数字之差的绝对值等于0，1的结果有13种，等于2，3，4的结果有12种，再由概率公式求出小亮获胜的概率和小丽获胜的概率，利用两概率进行比较，即可得出结论．
【详解】（1）解：小亮转一次转盘，共有5种结果，即1，2，3，4，5，而转到数字是3的倍数的结果有1种，即3，
∴小亮先转一次转盘，则转到数字是3的倍数的概率，
故答案为：．
（2）解：画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中两人转出的数字之差的绝对值等于0，1的结果有13种，等于2，3，4的结果有12种，
∴小亮获胜的概率，小丽获胜的概率，
∵，
∴小亮获胜的概率小丽获胜的概率，
∴该游戏不公平．
【例3】（2024·山东青岛·一模）4张相同的卡片上分别写有数字0、1、、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
(1)第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为______；
(2)小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）
【答案】(1)
(2)公平，理由见解析
【分析】本题考查的是概率以及游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）根据概率公式求解即可；
（2）利用树状图法列举出所有可能，再利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案．
【详解】（1）解：共有4种等可能的结果，其中数字是非负数情况占3种，
则，第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为，
故答案为：；
（2）公平，理由如下：
画树状图如图，
∵共有12种等可能的结果，两个数的差为非负数的情况有6种，两个数的差为负数的情况有6种，
∴（结果为非负数），（结果为负数）．
∴游戏规则公平．
易错点三 求平均数、中位数、众数
【例1】 （2024·云南曲靖·模拟预测）为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，结果如下：
月用水量/t 10 13 14 17 18
户数 3 1 3 2 1
则这10户家庭月用水量的中位数是 ．
【答案】14吨
【分析】
本题考查了求中位数，正确理解中位数的定义是解题的关键．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．根据中位数的定义，即得答案．
【详解】将表中数据为从小到大排列，处在第5位、第6位的是14吨，
所以这10户家庭月用水量的中位数是14吨．
故答案为：14吨．.
【例2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知一组数据：3，6，m，2，4，5，这组数据的众数是5，则中位数是 .
【答案】
【分析】本题主要考查了众数和中位数的定义．根据众数的定义进行求得m的值，再根据中位数的定义解答即可．
【详解】解：这组数据中的众数是5，即出现次数最多的数据为：5，
故，
将这组数从小到大排列为：2，3，4，5，5，6，最中间的两个数为4，5，
因此这组数据的中位数为．
故答案为：．
【例3】（2024·山西临汾·一模）为提高城区居民的生活质量，政府对其配套设施进行了改造，共有休闲设施、儿童设施、娱乐设施、健身设施项．改造完成后，该政府部门对各项设施进行居民满意度考核，任选城区内的，两个小区下发满意度调查问卷，其结果（单位：分，满分分）如下表：
休闲设施 儿童设施 娱乐设施 健身设施
小区
小区
若各项设施以的比例进行考核，则 小区满意度更高．（填“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查加权平均数的应用，解题的关键是根据加权平均数的计算公式解答即可作出判断．
【详解】解：∵小区得分：（分），
小区得分：（分），
，
∴小区满意度更高．
故答案为：．
题型一 求概率问题
【例1】（2024·陕西西安·二模）小明、小华一起到西安游玩，他们决定在三个热门景点（A．大雁塔；B．秦始皇兵马俑；C．城墙）中各自随机选择一个景点游玩．
(1)小华选择到秦始皇兵马俑景点游玩的概率是 ；
(2)用画树状图或列表的方法，求小明、小华选择到不同景点游玩的概率．
【答案】(1)；
(2)图见解析，．
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小明、小华选择到不同景点游玩的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）由题意得，小华选择到秦始皇兵马俑景点游玩的概率是．
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小华、小明选择到不同景点游玩的结果共有6种，
∴小华、小明选择到不同景点游玩的概率为
【例2】（2024·江西南昌·一模）江西省将于2024年整体实施高考综合改革．其中，考试科目将不再分文理科，改为“3+1+2”模式：“3”为全国统一考试科目语文、数学、外语；“1”为首选科目，考生从物理、历史2门科目中自主选择1门：“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门科目中自主选择2门；
(1)选择历史的概率是________；
(2)请用画树状图或列表的方法，求恰好选择思想政治和地理的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）由概念公式可得答案；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选择思想政治和地理的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：考生从物理、历史2门科目中自主选择1门，
选择历史的概率是；
故答案为：；
（2）解：记思想政治、地理、化学、生物分别为①，②，③，④，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选择思想政治和地理有：①②，②①，共2种，
恰好选择思想政治和地理的概率为．
1．（2024·山西吕梁·一模）截止2024年1月，山西省教育厅共公布了三批“山西省省级中小学研学实践教育示范基地名单”．小宇计划周末和妹妹一起到“研学基地”参观，他收集了如图所示的四个基地的卡片（A：太原古县城；B：六味斋；C：山西文旅数字体验馆；D：山西中医药博物馆），这些卡片的背面完全相同．
(1)把这四张卡片背面朝上洗匀后，妹妹从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，小宇再随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求两人抽到同一张卡片的概率；
(2)把这四张卡片背面朝上洗匀后，小宇和妹妹从中各随机抽取一张（不放回），然后根据抽到的卡片到相应的“研学基地”参观．请用列表或画树状图的方法求两人分别到太原古县城和山西文旅数字体验馆参观的概率．
【答案】(1);
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
（1）根据题意列表可得共有16种等可能的结果，其中两人抽到同一景点的结果有4种，进而由概率公式求解即可；
（2）根据题意列表可得共有12种等可能的结果，其中两人分别到太原古县城和山西文旅数字体验馆参观的结果有2种，进而由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：列表如下：
所有等可能的情况数为16种，两人抽到同一景点的结果有4种，
所以两人抽到同一景点的概率为.
（2）列表如下：
所有等可能的情况数为12种，其中小宇和妹妹两人分别到太原古县城和山西文旅数字体验馆参观的的结果有2种，
∴两人分别到太原古县城和山西文旅数字体验馆参观的的概率为.
2．（2024·江苏淮安·一模）在如图电路中，A灯通电时随机发出红色或紫色光，B灯通电时随机发出红色、绿色或黄色光．
(1)电路通电时，B灯发出绿色光的概率是 ；
(2)电路通电时，请用树状图或列表格求出A、B两灯发出不同颜色光的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了概率公式以及列表或画树状图求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列出表格把所有情况列举出来，再把满足条件的情况数除以总情况数，即可作答．
【详解】（1）解：电路通电时，B灯发出：红色、绿色或黄色光3种等可能情况，其中发出绿色光有1种，故B灯发出绿色光的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
BA 红色 绿色 黄色
红色 红色，红色 红色，绿色 红色，黄色
紫色 紫色，红色 紫色，绿色 紫色，黄色
总共有6种情况，满足A、B两灯发出不同颜色光的有5种，
则A、B两灯发出不同颜色光的概率．
3．（2024·陕西西安·一模）2024年元宵节，西安城墙灯会深挖春节文化、诗词文化内核，将非遗制灯工艺与经典古诗词有机融合，营造出“一步一绝句，一灯一诗词；龙行五千年，华灯满城彩”的节庆文化氛围．中国古诗词作为中国文化的瑰宝，承载了丰富的历史和文化内涵，喜欢古诗词的宋宇和赵云两人制作了4张背面完全相同的卡片，并在卡片正面写上四首古诗（其中三首是李白的诗，一首是杜甫的诗），如图，现将卡片背面朝上洗匀后，宋宇从4张卡片中随机抽取一张进行朗诵后，放回，洗匀后，赵云再从4张卡片中随机抽取一张进行朗诵
(1)宋宇朗诵的是李白的诗的概率为______；
(2)请用列表法或画树状图的方法求宋宇和赵云两人朗诵的是同一首诗的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案；
（2）画状图得出所有等可能的结果数以及宋宇和赵云两人朗诵的是同一首诗的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）由题意得，宋宇朗诵的是李白的诗的概率为 ，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中宋宇和赵云两人朗诵的是同一首诗的结果共种，
∴宋宇和赵云两人朗诵的是同一首诗的概率为．
题型二 由频率估计概率问题
【例1】（2024·江西·一模）主题为“安全骑行，从头殟开始”的安全教育活动在某市全面开展．为了解市民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续6天的同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表：
经过路口的电动自行车数量/辆 180 230 300 260 240 280
自觉佩戴头盔人数/人 171 216 285 250 228 266
自觉佩戴头盔的频率 0.95 0.94 0.95 0.96 0.95
(1)表格中______；
(2)由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为______；（结果精确到0.01）
(3)若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有1200辆，请问其中佩戴了头盔的骑行者大约有多少人？
【答案】(1)0.95
(2)0.95
(3)1140人
【分析】
本题考查运用频率估计概率，用样本反映总体，掌握通过大量实验得到的频率即为事件发生的概率是解题的关键.
（1）根据自觉佩戴头盔人数经过路口的电动自行车数量计算即可；
（2）根据实验发现频率稳定在0.95左右，即概率估计就为0.95；
（3）根据样本的概率解题即可.
【详解】（1）解：，
故答案为：0.95；
（2）解：根据实验发现频率稳定在0.95左右
则自觉佩戴头盔的频率为0.95，
∴经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为0.95，
故答案为：0.95；
（3）解：（人），
答：佩戴了头盔的骑行者大约有人.
1．（2022·安徽·模拟预测）一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共个，它们除颜色外，其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表．
摸球次数
白球频率
(1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于______（精确到）左右，从箱子中摸一次球，估计摸到蓝球的概率是______．
(2)从该箱子里随机摸出个球，不放回，再摸出个球．用列举法求摸到个蓝球、个白球的概率．
【答案】(1)；（或）
(2)摸到个蓝球、个白球的概率为
【分析】（1）运用频率估算概率的方法即可求解；根据概率和为即可求解；
（2）运用列表或画树状图求随机事件的概率的方法即可求解．
【详解】（1）解：根据表格信息可得，摸到白球的频率将会稳定于，摸到蓝球的概率是，
故答案为：；（或）
（2）解：由（1）知，袋中白球的个数约为，蓝球的个数约为，
列表如下：
蓝
蓝
由表知，共有种等可能的结果，其中摸到1个蓝球、1个白球的结果有6种，
摸到1个蓝球、1个白球的概率为．
2．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图．
(1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近__________（结果精确到），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为__________；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；
(3)在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放入多少个白球？
【答案】(1)，
(2)估算盒子里白、黑两种颜色的球各有个
(3)个
【分析】
本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，分式方程的应用．熟练掌握用频率估计概率，已知概率求数量，分式方程的应用是解题的关键．
（1）根据用频率估计概率求解作答即可；
（2）由题意知，盒子里白颜色的球有（个），则黑颜色的球有（个）；
（3）设需要往盒子里再放入个白球，依题意得，，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：由统计图可知，当n足够大时，摸到白球的频率将会接近，假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为，
故答案为：，；
（2）解：由题意知，盒子里白颜色的球有（个），
黑颜色的球有（个）；
∴估算盒子里白、黑两种颜色的球各有个；
（3）解：设需要往盒子里再放入个白球，
依题意得，，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴需要往盒子里再放入个白球．
题型三 条形统计图问题
【例1】（2024·陕西宝鸡·一模）为了学生的身心健康，提高学生就餐满意度，某学校对全体学生开展了食堂满意度问卷调查，满意度以分数呈现，从低到高为1分，2分，3分，4分，5分共五档，调查人员随机抽取了40份调查问卷，将数据整理成如下统计图．
(1)这40份调查问卷的众数是______分，中位数是______分；
(2)学校规定：若学生所评分数的平均数低于3.5分，则食堂需要进行整改．根据这40份调查问卷的评分，判断学校食堂是否需要整改；
(3)若全校共收回600份调查问卷，请估计这600份调查问卷中，评分在4分及以上（含4分）的有多少人？
【答案】(1)4，3.5
(2)学校食堂需要整改
(3)估计这600份调查问卷中，评分在4分及以上（含4分）的有300人
【分析】本题主要考查众数、中位数和加权平均数及样本估计总体思想，解题的关键是掌握众数、中位数和加权平均数的定义．
（1）根据中位数、众数的定义求解即可；
（2）根据加权平均数求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想求解即可．
【详解】（1）由条形统计图可知，4分的最多，所以众数是4（分），
从低到高排列后，第20个和21个数据分别为3分和4分，所以中位数是（分）；
故答案为：4，3.5；
（2）学生所评分数的平均数为（分），
，
学校食堂需要整改；
（3）（人），
答：估计评分在4分及以上（含4分）的有300人．
【例2】（2024·河北石家庄·一模）某班进行中考体育适应性练习，球类运动可以在篮球、足球、排球中选择一种． 该班体委将测试成绩进行统计后，发现选择足球的同学测试成绩均为7分、8分、9分、10分中的一种（满分为10分），并依据统计数据绘制了如下不完整的扇形统计图（如图1）和条形统计图 （如图 2）
(1)该班选择足球的同学共有 人，其中得8分的有 人；
(2)若小宇的足球测试成绩超过了参加足球测试的同学半数人的成绩，则他的成绩是否超过了所有足球测试成绩的平均分 通过计算说明理由．
【答案】(1)20，3
(2)小宇的测试成绩超过了平均分，理由见解析
【分析】此题主要考查了扇形统计图和条形统计图，加权平均数的计算，读懂统计图并从统计图中获取解决问题的信息，熟练掌握加权平均数的计算公式是解决问题的关键．
（1）根据得9分的人数是4人，对应的扇形圆心角为即可求出总人数，进而可得出得8分的人数；
（2）根据得7分8人，得8分的3人得第10名的成绩为8分，再根据小宇的成绩超过半数人的成绩，得小宇的成绩不低于9分，再计算出平均成绩即可得出结论．
【详解】（1）解：由统计图得：得9分的人数是4人，对应的扇形圆心角为，
总人数为：（人，
得8分的人数是：（人，
故答案为：20；3；
（2）解：小宇的成绩超过了平均分，理由如下：
得7分8人，得8分的3人，
第10名的成绩为8分，
小宇的成绩超过半数人的成绩，
小宇的成绩不低于9分，
又得7分8人，得8分的3人，得9分的4人，得10分的5人，
平均成绩为：（分，
，
小宇的成绩超过了平均分．
1．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）某市教育行政部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校八年级学生一学期参加综合实践活动的天数，绘制成部分统计图如下．
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)扇形统计图中的值为________，“活动时间为4天”的扇形所对圆心角为________，八年级学生为________人；
(2)补全条形统计图；
(3)若该市共有6000名学生，请你估计其中“活动时间不少于4天”的学生大约有多少名？
【答案】(1)，，
(2)见解析
(3)4500
【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图相关数据，圆心角度数，求样本总量，补全条形统计图．
（1）用将其余数值减去即可得到的值，用“活动时间为4天”的占比乘以即可得到“活动时间为4天”的扇形所对圆心角度数，在条形统计图中找出一个已知数值结合扇形统计图作除法即可得到八年级学生人数；
（2）用总人数减去其余数值即可；
（3）先求出“活动时间不少于4天”占比，再乘以该市6000名学生，即可得到．
【详解】（1）解：由题意得：，
“活动时间为4天”的扇形所对圆心角：，
八年级学生：（名），
故答案为：，，；
（2）解：∵八年级学生：（名），
∴“活动时间为7天”学生人数：（名），
∴“活动时间为5天”学生人数：（名），
条形统计图如下：
；
（3）解：∵“活动时间不少于4天”的学生占比：，
∴“活动时间不少于4天”的学生大约有：（名），
答：“活动时间不少于4天”的学生大约有4500名．
2．（2024·安徽合肥·一模）在2024年4月23日“世界读书日”之前，某校为了了解学生的阅读情况，对学生在2023年读课外书的数量进行了调查．所示图表是根据随机抽取的部分学生的读书数量情况整理的表格和两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解答下列问题．
2023年学生的读书数量分组
0~3本 4~8本 9~14本 15~20本 超过20本
(1)请将条形统计图补充完整；
(2)请说明样本数据中，学生读书数量的中位数落在哪个范围内；
(3)该校共有3600名学生，估计在2023年读课外书的数量超过20本的学生有多少名？
【答案】(1)见解析
(2)D组，见解析
(3)1260
【分析】（1）先计算样本容量（人），根据表中数据即可得到结论；
（2）根据中位数的定义，计算判断即可；
（3）利用样本估计总体的思想计算即可得到结论．
本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，求中位数等等，正确的理解题意是解题的关键．
【详解】（1）根据题意，得样本容量（人），
∴C组的人数为（人），
补图如下：
（2）根据题意，中位数应是第50个数据，第51个数据的平均数，
∵A组数据为5个，B组数据为15个，C组数据为25个，
∴，
故中位数落在D组中．
（3）根据题意，得在2023年读课外书的数量超过20本的学生有（名）．
题型四 数据统计和分析
【例1】（2024·河南信阳·一模）新郑红枣又名鸡心枣，是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞．某外贸公司从甲、乙两个红枣厂家各随机抽取10盒进行检测，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
10盒甲厂质量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98
10盒乙厂质量中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94
抽取的甲、乙厂质量统计表
厂家 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比
甲 90 89 a 26.6 40%
乙 90 b 90 39 30%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)这个月乙厂可包装3000盒红枣，估计该月“优秀”等级的盒数；
(3)根据以上数据，你认为外贸公司会选择______红枣厂家（填“甲”或“乙”）．请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】(1)95，90，20．
(2)900盒
(3)甲红枣厂家，平均数一样，但“优秀”等级占比大，甲厂方差比乙厂小，质量比乙厂稳定，众数比乙厂大．
【分析】题目主要考查数据的处理及利用样本估计总体，理解题意，熟练掌握中位数、众数等的计算方法是解题关键．
（1）根据中位数，众数，百分比的概念或公式计算即可；
（2）由乙的“优秀”等级所占百分比乘以包装总盒数即可；
（3）根据平均数一样，比较优秀率、方差、众数即可判断．
【详解】（1）解：甲厂10盒中数据出现最多的是95，
故，
乙厂“优秀”等级所占百分比为，
故“优秀”等级有3盒，而“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94，
“合格”等级有2盒，
故10个数据由小到大排列，第5、6个数据是90，90，故中位数，
乙厂“合格”等级占比，故，
故答案为：95，90，20．
（2）这个月乙厂可包装3000盒红枣，估计该月“优秀”等级的盒数（盒）
（3）选择甲红枣厂家，平均数一样，但“优秀”等级占比大，甲厂方差比乙厂小，质量比乙厂稳定，众数比乙厂大．
【例2】（2024·陕西商洛·一模）国家利益高于一切，国家安全人人有责，年月日是第八个全民国家安全教育日，某校开展了树牢，总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就的国安知识竞赛，随机抽取名学生进行测试，对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，成绩划分为，，，四个等级，并制作出不完整的统计图如下：
等级数据（单位：分）：，，，，，，，，，．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图，并填空：______，______；
(2)抽取的名学生中，等级成绩的中位数是______分，众数是______分；
(3)这所学校共有名学生，若全部参加这次测试，请你估计成绩能达到等级的学生人数．
【答案】(1)，
(2)，
(3)人
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数、众数和用样本估计总体，
（1）根据等级的人数和所占的百分比即可求出的值，根据总人数和等级的人数即可求出的值；
（2）根据中位数和众数的定义即可得出答案；
（3）用乘以等级所占的百分比即可．
【详解】（1）解：，
∵，
；
故答案为：，；
（2）B等级成绩从小到大排列处在中间位置的两个数是和，因此中位数是=83.5，
成绩出现次数最多的是，因此众数是，
故答案为：，；
（3）（人），
答：估计成绩能达到等级的学生人数有人
1．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）2023年10月8日第十九届亚运会在中国杭州圆满闭幕．某校举行了七、八年级亚运知识竞赛，现分别在两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据进行收集、整理和分析（其中成绩大于等于80的视为优秀）：
【收频数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82
【整理、分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表：
平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 80 a 72
八年级 80 80 b
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．
(3)若该校七年级学生共1000人，八年级学生共1200人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀的学生的总人数．
【答案】(1)，80，60；
(2)八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一），理由见解析；
(3)估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数有人
【分析】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据中位数、众数、平均数的概念求解即可．
（2）根据中位数、众数、平均数的大小进行比较，即可得出答案．
（3）用各年级的人数乘以对应比例，然后相加即可．
【详解】（1）解：将七年级抽样成绩重新排列为：，，，，，，，，，，
∴中位数a=，
八年级抽样成绩为：，，，，，，，，，
∵出现的次数最多，为2次，
∴众数，
，
∴，
故答案为：，，；
（2）可以推断出八年级年级学生知识竞赛成绩更好，
理由为两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级，
说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）；
（3）解：由题意得：（人），
答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数有人．
题型五 频数直方图
【例1】（2024·安徽滁州·一模）在“双减”政策的落实中，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生每天的课后书面作业的时长（单位：）情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生进行调查，整理数据（保留整数）得出如下不完整的统计图表（作业时长用表示）：
A，B两所学校分别被抽取的50名学生每天的课后书面作业的时长频数分布表
组别
A学校人数 5 a 18 8 4
B学校人数 7 10 b 17 4
A学校50名九年级学生中每天课后书面作业时长在的具体数据如下：
80，78，77，77，77，76，76，76，75，75，75，75，75，74，74，73，72，72．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)______，______，补全频数直方图；
(2)A学校50名九年级学生每天课后书面作业时长的中位数是______；
(3)依据国家政策，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过，估计两所学校1000名学生中，能在内（包含）完成当日课后书面作业的学生共有多少人．
【答案】(1)15，12，图形见解析；
(2)74.5
(3)能在内（包含）完成当日课后书面作业的学生共有920人．
【分析】（1）根据每个学校抽查人数为50人，结合频数分布表及分布直方图可进行求解；
（2）中位数的定义：一组数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，如果这组数有偶数个，通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数；
（3）根据A、B学校能在90分钟内完成课后作业所占比例可进行求解．
【详解】（1）解：
，
补全频数分布直方图：
（2）解：中位数为第25个和第26个平均数，
故答案为74.5，
（3）解：（人）．
故答案为：920．
【例2】（2024·陕西商洛·一模）国家利益高于一切，国家安全人人有责，年月日是第八个全民国家安全教育日，某校开展了树牢，总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就的国安知识竞赛，随机抽取名学生进行测试，对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，成绩划分为，，，四个等级，并制作出不完整的统计图如下：
等级数据（单位：分）：，，，，，，，，，．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图，并填空：______，______；
(2)抽取的名学生中，等级成绩的中位数是______分，众数是______分；
(3)这所学校共有名学生，若全部参加这次测试，请你估计成绩能达到等级的学生人数．
【答案】(1)，
(2)，
(3)人
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数、众数和用样本估计总体，
（1）根据等级的人数和所占的百分比即可求出的值，根据总人数和等级的人数即可求出的值；
（2）根据中位数和众数的定义即可得出答案；
（3）用乘以等级所占的百分比即可．
【详解】（1）解：，
∵，
；
故答案为：，；
（2）B等级成绩从小到大排列处在中间位置的两个数是和，因此中位数是=83.5，
成绩出现次数最多的是，因此众数是，
故答案为：，；
（3）（人），
答：估计成绩能达到等级的学生人数有人
1．（2024·湖南常德·一模）2023年11月7日，世界互联网大会“互联网之光”博览会在浙江乌镇开幕，大会主题为“建设包容、普惠、有韧性的数字世界——携手构建网络空间命运共同体”．为增强学生网络常识及安全意识，某校举行了一次全校6000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（：；：；：；：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数为______；
(4)若把等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的6000名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
【答案】(1)，
(2)见详解
(3)
(4)估计人
【分析】本题考查了从关联统计图中获取信息，样本估计总体；
（1）由等级人数除以所占百分比，即可求出抽取的总人数，从而可求出，即可求解；
（2）可求等级的人数为，补全图，即可求解；
（3）所占百分比，即可求解；
（4）用样本中等级人数除以所占百分比乘以总人数，即可求解；
能正确从频数分布直方图和扇形统计图中获取信息是解题的关键．
【详解】（1）解：由频数分布直方图和扇形统计图得
等级有人占，
，
，
；
故答案：，；
（2）解：由题意得
等级的人数为：
（人）；
补全图，如下：
（3）解：由题意得
，
故答案：；
（4）解：由题意得
（人），
答：估计该校参加竞赛的6000名学生中达到“优秀”等级的学生人数为人．
2．某校加强了1分钟定时跳绳的训练后，抽样调查部分学生的“1分钟跳绳”成绩，并绘制了不完整的频数分布直方图和扇形图（如图）．根据图中提供的信息解决下列问题：
(1)抽样的人数是______人，扇形中______；
(2)抽样中组人数是______人，本次抽取的部分学生“1分钟跳绳”成绩组成的一组数据的中位数落在______组（填、、、、），并补全频数分布直方图；
(3)如果“1分钟跳绳”成绩大于等于160次为满分，那么该校2100名学生中“1分钟跳绳”成绩为满分的大约有多少人？
【答案】(1)60；84
(2)16；C；补全频数分布直方图见解析
(3)175
【分析】（1）根据A组的占比及频数即可求得抽样的总人数；由B组的占比可求得扇形统计图中B组对应的扇形的圆心角；
（2）根据（1）求得的抽样总人数即可求得D组的人数，可确定中位数落在哪组，补全统计图即可；
（3）用样本估计总体的思想方法可求得该校2100名学生中“1分钟跳绳”成绩为满分的大约人数．
【详解】（1）解：抽样总人数为：（人）；
B组对应的扇形的圆心角为：，
∴；
故答案为：60；84．
（2）解：抽样中D组人数为：（人），
把数据按大小排列后，中间第30、31个数据的平均数是中位数，则中位数落在C组；
故答案为：16，C；
补全图形如下：
（3）解：（人），
答：该校2100名学生中“1分钟跳绳”成绩为满分的大约有人．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，用样本频数估计总体频数，求扇形圆心角，判断中位数等知识，善于从统计图中获取信息是解题的关键．
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）为了迎接中考体考，在临考前初三年级进行了全真模拟考试，并对各个项目进行了统计和分析．某数学兴趣小组从初三年级男、女同学中各随机抽取名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析（跳绳个数记为，共分为五组：A、，B、，C、，D、，E．）．下面给出了部分信息：
被抽取的男同学的跳绳个数在组的数据是：．
被抽取的女同学的跳绳个数在组的数据是．
被抽取的男、女同学跳绳个数的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
男同学
女同学
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)请求出扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数；
(3)若该校初三年级参加此次体育模拟考试的男生有人，女生有人，请你估计全年级跳绳个数不少于个的人数．
【答案】(1)
(2)
(3)人
【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得的值，先求出被抽取的女同学跳绳个数在组人数所占百分比，再根据百分比之和为可得的值；
（2）根据被抽取的女同学跳绳个数在组人数所占百分比即可算出圆心角的度数；
（3）总人数分别乘以男、女生跳绳个数不少于个的人数所占比例，再求和即可得出答案．
【详解】（1）由题意知：被抽取的男同学跳绳个数数据的第个数据分别为．
所以其中位数：
被抽取的女同学跳绳个数在组人数所占百分比为：
组人数所占百分比
即：
由已知数据可知，被抽取的女同学跳绳个数的众数：
故答案为：．
（2）由（1）可知被抽取的女同学跳绳个数在组人数所占百分比为：
所以组对应的圆心角度数为：．
（3）根据已知条件，可知全年级跳绳个数不少于个的组为：
根据男生跳绳频数分布直方图可知组的人数分别为：
根据女生跳绳扇形统计图可知组的人数占比分别为：
（人）
答：估计全年级跳绳个数不少于个的人数约为人．
【点睛】本题考查了：求扇形统计图的圆心角、用样本估计总体、频数分布直方图、扇形统计图、中位数、众数的意义和计算方法，从统计图表中获取数量之间的关系是解决问题的关键．
题型六 统计和概率综合问题
【例1】（2024·广东深圳·一模）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐：B．体育：C．美术；D．阅读：E．人工智能，为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②A组人数______，C组人数______；
③扇形统计图中，圆心角______度；
(2)若该校有名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
(3)学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【答案】(1)①；②，；③
(2)
(3)
【分析】（1）①根据计算求解即可；②由题意知，A组人数为（人），C组人数为，计算求解即可；③根据，计算求解即可；
（2）根据，计算求解即可；
（3）根据题意画树状图，然后求概率即可．
【详解】（1）①解：由题意知，此次调查一共随机抽取学生（名）；
故答案为：；
②解：由题意知，A组人数为（人），C组人数为（人），
故答案为：，；
③解：由题意知，；
故答案为：；
（2）解：由题意知，（人），
∴估计该校参加D组（阅读）的学生人数为人；
（3）解：由题意画树状图如下：
∵，
∴恰好抽中甲、乙两人的概率为．
【例2】（2024·四川·模拟预测）“春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“饺子”的习俗我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的猪肉馅饺、牛肉馅饺、虾肉馅饺、素馅饺（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答
(1)本次参加抽样调查的居民有 人；
(2)将两幅不完整的图补充完整；
(3)若居民区有人，请估计爱吃D饺的人数；
(4)若有外型完全相同的A、、、饺子各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他吃到饺的概率．
【答案】(1)600
(2)补图见解析
(3)3200人
(4)列表见解析，
【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列举法求概率．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息．
（1）根据计算求解抽样调查的居民人数即可
（2）由题意知，爱吃A饺的占比为：，爱吃C饺的有600 180 60 240=120(人)，爱吃C饺的占比为：，然后补图即可；
（3）根据计算估计爱吃D饺的人数即可；
（4）根据题意列表，然后求概率即可．
【详解】（1）根据条形统计图知喜爱D的有240人，有扇形统计图知喜爱D占，
参加抽样调查的居民有（人），
故答案为：600
（2）由题意知，爱吃A饺的占比为：，爱吃C饺的有(人)，爱吃C饺的占比为：，补图如下；
（3）估计爱吃D饺的人数有 (人)；
（4）由题意知，列表格如下：
A B C D
A (A,B) (A,C) (A,D)
B (B,A) (B,C) (B,D)
C (C,A) (C,B) (C,D)
C (D,A) (D,B) (D,C)
由表可得，小王吃两个饺子共有12种等可能的结果，其中吃到C饺共有6种等可能的结果，
小王吃到C饺的概率为．
1．（2024·山西吕梁·一模）某校举办开学迎新晚会，准备从学生中遴选主持人，小强和小刚入选男主持人的最终评选环节，评选由舞台形象、语言功底、应变能力三项测试组成，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将舞台形象、语言功底、应变能力三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．
小强、小刚的三项测试成绩和总评成绩如表所示：
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
舞台形象 语言功底 应变能力
小强 85 92 86 87
小刚 84 ▲ 90 ▲
在语言功底测试中，评委给小刚打分情况表：
1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号
80 87 80 87 88 86 87
(1)在语言功底测试中，评委给小刚打分的中位数是________分，众数是________分，平均数是________分．
(2)请你计算小刚的总评成绩，并判断男主持人的最终人选．
(3)最终当选的男主持人需从写歌曲、魔术、朗诵、舞蹈的四张卡片中随机抽取一张（放回），再从中随机抽取一张，抽取的结果作为他主持的节目，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是魔术和舞蹈的概率．
【答案】(1)87，87，85
(2)小刚的总评成绩是，小刚是男主持人的最终人选
(3)
【分析】
本题考查了频数（率）分布直方图，加权平均数，中位数和众数以及用树状图法求概率：
（1）根据中位数，众数和平均数的定义求解既可
（2）根据加权平均数公式计算即可；
（3）画出树状图，得到所有等可能的结果数和恰好是魔术和舞蹈的情况数，再运用概率公式进行计算即可
【详解】（1）解：七位评委给小刚打出的分数从小到大排列为： 80，80，86，87，87，87，88，
所以这组数据的中位数是87（分），众数是87（分），平均数是（分）；
故答案为：87，87，85；
（2）解：小刚的总评成绩（分）
小刚的总评成绩好于小强的总评成绩，
所以，男主持人的最终人选应为小强；
（3）解：分别用A，B，C，D表示歌曲、魔术、朗诵、舞蹈，画树状图如下：
共有16种等可能的情况，抽到魔术和舞蹈的有2种情况，
所以，抽到的两张卡片恰好是魔术和舞蹈的概率为
2．（2024·河南周口·一模）郑州市某校为了准备初中毕业升学体育考试，对九年级学生的立定跳远和实心球开展训练．在经过一段时间训练后，对立定跳远进行了一次测评，下面是某班男生女生的立定跳远测评成绩（满分14分）统计图表：
女生立定跳远成绩的频数分布表
分数/分 频数
4
9
6
1
其中男生成绩在分的有：12、12、11.5、11.5、11、11、11、11、10.5、10.5、10.5、10.5、10.5、10.5、10.5、10.5
【分析数据】
平均分 中位数 众数
男生 10.61 a 10.5
女生 10.225 10 10、11
根据以上信息，回答下列问题：
(1)若全班同学都参加了立定跳远测评，则该班共有学生__________人．
(2)__________．
(3)九年级体育老师杨老师和王老师结合此次立定跳远成绩，计划对各班成绩薄弱学生成立两个集训队进行集训，该班有三名同学A、B、C三人被选人集训队，若杨老师打算从中随机任选两人加入他的集训队，请用列表或画树状图的方法求A、B两人被选到杨老师集训队的概率．
【答案】(1)43
(2)11
(3)
【分析】
本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，求中位数，频数分布直方图和频数分别表：
（1）根据频数分布直方图和频数分布表分别求出男生和女生的人数，然后求和即可得到答案；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到A、B两人被选到杨老师集训队的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：人，
∴该班共有学生43人，
故答案为：43；
（2）解：男生共有：人
把男生成绩从低到高排列，处在第12名的成绩为11，
∴男生成绩的中位数，
故答案为：11；
（3）解：列表如下：
由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中A、B两人被选到杨老师集训队的结果数有2种，
∴A、B两人被选到杨老师集训队的概率为．
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通关秘籍06 统计和概率问题（3易错6题型）
目录
【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）
统计和概率题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，平均数、中位数、众数是数学的基础，也是高频考点、必考点，所以必须熟练各种情况下求解能力。
2．从题型角度看，以解答题的第四题或第五题为主，分值8分左右，着实不少！
易错点一 与其他知识综合求概率
【例1】（2024·广东江门·一模）有、两个盒子．盒内有三个球，分别标有数字、、．盒有二个球，分别标有数字、．所有的球除所标数字，外形状大小完全相同．先从盒中随机抽出一个球，记录其标有的数字为，再从盒中随机抽出一个球，记录其标有的数字为，以此确定点的一个坐标为．
(1)用列表或画树状图的方法写出点的所有可能坐标；
(2)求点落在第三象限的概率．
【例2】（2024·安徽合肥·一模）把一副扑克牌中的黑桃3，4，5，6抽出来放在一个不透明的纸盒里，然后从纸盒里随机取出一张牌，记作，再从剩下的3张牌中随机取出一张牌，记作.
(1)请用作树状图或列表的方法，求出两次取出的牌面数字之差的绝对值等于2的概率；
(2)结合题（1）的树状图或列表，直接写出点落在直线上的概率是__________．
【例3】（2024·安徽亳州·一模）在五张大小、材质完全相同的卡片上分别写上数字，将这五张卡片放置于暗箱内摇匀．
(1)从箱中随机摸出一张卡片，求卡片上写的数字是负数的概率；
(2)先从箱中摸出一张卡片，将卡片上的数字作为点的横坐标，不放回，再摸出一张卡片，将卡片上的数字作为点的纵坐标，求确定的点恰好在反比例函数的图象上的概率．
易错点二 通过求概率确定游戏是否公平问题
【例1】（2024·广东广州·一模）甲、乙两位同学相约玩纸牌游戏．
(1)有4张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别有四个不同的数字，将这四张纸牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．若甲从中随机选择一张牌翻开，求他选中的牌面数字是整数的概率；
(2)双方约定：两人各摸出一张牌，放回洗匀后再摸一张，若摸出的两张牌面数字之积为正数，那么甲赢，否则乙赢．这个规定是否公平？为什么？
【例2】（2024·陕西西安·一模）小亮和小丽两位同学玩转转盘游戏，转盘上的数字如图所示，若转盘指针指向交界处则忽略不计，重新转动一次．
(1)小亮先转一次转盘，则转到数字是3的倍数的概率为 ；
(2)小亮转一次后，小丽再转一次，利用两人转出的数字之差的绝对值判断输赢，规定：若所得数值等于0，1，则小亮获胜，若所得数值等于2，3，4，则小丽获胜．请用列表或画树状图的方法，判断该游戏是否公平．
【例3】（2024·山东青岛·一模）4张相同的卡片上分别写有数字0、1、、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
(1)第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为______；
(2)小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）
易错点三 求平均数、中位数、众数
【例1】 （2024·云南曲靖·模拟预测）为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，结果如下：
月用水量/t 10 13 14 17 18
户数 3 1 3 2 1
则这10户家庭月用水量的中位数是 ．
【例2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知一组数据：3，6，m，2，4，5，这组数据的众数是5，则中位数是 .
【例3】（2024·山西临汾·一模）为提高城区居民的生活质量，政府对其配套设施进行了改造，共有休闲设施、儿童设施、娱乐设施、健身设施项．改造完成后，该政府部门对各项设施进行居民满意度考核，任选城区内的，两个小区下发满意度调查问卷，其结果（单位：分，满分分）如下表：
休闲设施 儿童设施 娱乐设施 健身设施
小区
小区
若各项设施以的比例进行考核，则 小区满意度更高．（填“”或“”）
题型一 求概率问题
【例1】（2024·陕西西安·二模）小明、小华一起到西安游玩，他们决定在三个热门景点（A．大雁塔；B．秦始皇兵马俑；C．城墙）中各自随机选择一个景点游玩．
(1)小华选择到秦始皇兵马俑景点游玩的概率是 ；
(2)用画树状图或列表的方法，求小明、小华选择到不同景点游玩的概率．
【例2】（2024·江西南昌·一模）江西省将于2024年整体实施高考综合改革．其中，考试科目将不再分文理科，改为“3+1+2”模式：“3”为全国统一考试科目语文、数学、外语；“1”为首选科目，考生从物理、历史2门科目中自主选择1门：“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门科目中自主选择2门；
(1)选择历史的概率是________；
(2)请用画树状图或列表的方法，求恰好选择思想政治和地理的概率．
1．（2024·山西吕梁·一模）截止2024年1月，山西省教育厅共公布了三批“山西省省级中小学研学实践教育示范基地名单”．小宇计划周末和妹妹一起到“研学基地”参观，他收集了如图所示的四个基地的卡片（A：太原古县城；B：六味斋；C：山西文旅数字体验馆；D：山西中医药博物馆），这些卡片的背面完全相同．
(1)把这四张卡片背面朝上洗匀后，妹妹从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，小宇再随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求两人抽到同一张卡片的概率；
(2)把这四张卡片背面朝上洗匀后，小宇和妹妹从中各随机抽取一张（不放回），然后根据抽到的卡片到相应的“研学基地”参观．请用列表或画树状图的方法求两人分别到太原古县城和山西文旅数字体验馆参观的概率．
2．（2024·江苏淮安·一模）在如图电路中，A灯通电时随机发出红色或紫色光，B灯通电时随机发出红色、绿色或黄色光．
(1)电路通电时，B灯发出绿色光的概率是 ；
(2)电路通电时，请用树状图或列表格求出A、B两灯发出不同颜色光的概率．
3．（2024·陕西西安·一模）2024年元宵节，西安城墙灯会深挖春节文化、诗词文化内核，将非遗制灯工艺与经典古诗词有机融合，营造出“一步一绝句，一灯一诗词；龙行五千年，华灯满城彩”的节庆文化氛围．中国古诗词作为中国文化的瑰宝，承载了丰富的历史和文化内涵，喜欢古诗词的宋宇和赵云两人制作了4张背面完全相同的卡片，并在卡片正面写上四首古诗（其中三首是李白的诗，一首是杜甫的诗），如图，现将卡片背面朝上洗匀后，宋宇从4张卡片中随机抽取一张进行朗诵后，放回，洗匀后，赵云再从4张卡片中随机抽取一张进行朗诵
(1)宋宇朗诵的是李白的诗的概率为______；
(2)请用列表法或画树状图的方法求宋宇和赵云两人朗诵的是同一首诗的概率．
题型二 由频率估计概率问题
【例1】（2024·江西·一模）主题为“安全骑行，从头殟开始”的安全教育活动在某市全面开展．为了解市民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续6天的同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表：
经过路口的电动自行车数量/辆 180 230 300 260 240 280
自觉佩戴头盔人数/人 171 216 285 250 228 266
自觉佩戴头盔的频率 0.95 0.94 0.95 0.96 0.95
(1)表格中______；
(2)由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为______；（结果精确到0.01）
(3)若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有1200辆，请问其中佩戴了头盔的骑行者大约有多少人？
1．（2022·安徽·模拟预测）一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共个，它们除颜色外，其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表．
摸球次数
白球频率
(1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于______（精确到）左右，从箱子中摸一次球，估计摸到蓝球的概率是______．
(2)从该箱子里随机摸出个球，不放回，再摸出个球．用列举法求摸到个蓝球、个白球的概率．
2．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图．
(1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近__________（结果精确到），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为__________；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；
(3)在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放入多少个白球？
题型三 条形统计图问题
【例1】（2024·陕西宝鸡·一模）为了学生的身心健康，提高学生就餐满意度，某学校对全体学生开展了食堂满意度问卷调查，满意度以分数呈现，从低到高为1分，2分，3分，4分，5分共五档，调查人员随机抽取了40份调查问卷，将数据整理成如下统计图．
(1)这40份调查问卷的众数是______分，中位数是______分；
(2)学校规定：若学生所评分数的平均数低于3.5分，则食堂需要进行整改．根据这40份调查问卷的评分，判断学校食堂是否需要整改；
(3)若全校共收回600份调查问卷，请估计这600份调查问卷中，评分在4分及以上（含4分）的有多少人？
【例2】（2024·河北石家庄·一模）某班进行中考体育适应性练习，球类运动可以在篮球、足球、排球中选择一种． 该班体委将测试成绩进行统计后，发现选择足球的同学测试成绩均为7分、8分、9分、10分中的一种（满分为10分），并依据统计数据绘制了如下不完整的扇形统计图（如图1）和条形统计图 （如图 2）
(1)该班选择足球的同学共有 人，其中得8分的有 人；
(2)若小宇的足球测试成绩超过了参加足球测试的同学半数人的成绩，则他的成绩是否超过了所有足球测试成绩的平均分 通过计算说明理由．
1．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）某市教育行政部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校八年级学生一学期参加综合实践活动的天数，绘制成部分统计图如下．
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)扇形统计图中的值为________，“活动时间为4天”的扇形所对圆心角为________，八年级学生为________人；
(2)补全条形统计图；
(3)若该市共有6000名学生，请你估计其中“活动时间不少于4天”的学生大约有多少名？
2．（2024·安徽合肥·一模）在2024年4月23日“世界读书日”之前，某校为了了解学生的阅读情况，对学生在2023年读课外书的数量进行了调查．所示图表是根据随机抽取的部分学生的读书数量情况整理的表格和两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解答下列问题．
2023年学生的读书数量分组
0~3本 4~8本 9~14本 15~20本 超过20本
(1)请将条形统计图补充完整；
(2)请说明样本数据中，学生读书数量的中位数落在哪个范围内；
(3)该校共有3600名学生，估计在2023年读课外书的数量超过20本的学生有多少名？
题型四 数据统计和分析
【例1】（2024·河南信阳·一模）新郑红枣又名鸡心枣，是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞．某外贸公司从甲、乙两个红枣厂家各随机抽取10盒进行检测，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
10盒甲厂质量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98
10盒乙厂质量中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94
抽取的甲、乙厂质量统计表
厂家 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比
甲 90 89 a 26.6 40%
乙 90 b 90 39 30%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)这个月乙厂可包装3000盒红枣，估计该月“优秀”等级的盒数；
(3)根据以上数据，你认为外贸公司会选择______红枣厂家（填“甲”或“乙”）．请说明理由（写出一条理由即可）．
【例2】（2024·陕西商洛·一模）国家利益高于一切，国家安全人人有责，年月日是第八个全民国家安全教育日，某校开展了树牢，总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就的国安知识竞赛，随机抽取名学生进行测试，对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，成绩划分为，，，四个等级，并制作出不完整的统计图如下：
等级数据（单位：分）：，，，，，，，，，．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图，并填空：______，______；
(2)抽取的名学生中，等级成绩的中位数是______分，众数是______分；
(3)这所学校共有名学生，若全部参加这次测试，请你估计成绩能达到等级的学生人数．
1．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）2023年10月8日第十九届亚运会在中国杭州圆满闭幕．某校举行了七、八年级亚运知识竞赛，现分别在两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据进行收集、整理和分析（其中成绩大于等于80的视为优秀）：
【收频数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82
【整理、分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表：
平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 80 a 72
八年级 80 80 b
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．
(3)若该校七年级学生共1000人，八年级学生共1200人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀的学生的总人数．
题型五 频数直方图
【例1】（2024·安徽滁州·一模）在“双减”政策的落实中，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生每天的课后书面作业的时长（单位：）情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生进行调查，整理数据（保留整数）得出如下不完整的统计图表（作业时长用表示）：
A，B两所学校分别被抽取的50名学生每天的课后书面作业的时长频数分布表
组别
A学校人数 5 a 18 8 4
B学校人数 7 10 b 17 4
A学校50名九年级学生中每天课后书面作业时长在的具体数据如下：
80，78，77，77，77，76，76，76，75，75，75，75，75，74，74，73，72，72．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)______，______，补全频数直方图；
(2)A学校50名九年级学生每天课后书面作业时长的中位数是______；
(3)依据国家政策，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过，估计两所学校1000名学生中，能在内（包含）完成当日课后书面作业的学生共有多少人．
【例2】（2024·陕西商洛·一模）国家利益高于一切，国家安全人人有责，年月日是第八个全民国家安全教育日，某校开展了树牢，总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就的国安知识竞赛，随机抽取名学生进行测试，对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，成绩划分为，，，四个等级，并制作出不完整的统计图如下：
等级数据（单位：分）：，，，，，，，，，．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图，并填空：______，______；
(2)抽取的名学生中，等级成绩的中位数是______分，众数是______分；
(3)这所学校共有名学生，若全部参加这次测试，请你估计成绩能达到等级的学生人数．
1．（2024·湖南常德·一模）2023年11月7日，世界互联网大会“互联网之光”博览会在浙江乌镇开幕，大会主题为“建设包容、普惠、有韧性的数字世界——携手构建网络空间命运共同体”．为增强学生网络常识及安全意识，某校举行了一次全校6000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（：；：；：；：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数为______；
(4)若把等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的6000名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
2．某校加强了1分钟定时跳绳的训练后，抽样调查部分学生的“1分钟跳绳”成绩，并绘制了不完整的频数分布直方图和扇形图（如图）．根据图中提供的信息解决下列问题：
(1)抽样的人数是______人，扇形中______；
(2)抽样中组人数是______人，本次抽取的部分学生“1分钟跳绳”成绩组成的一组数据的中位数落在______组（填、、、、），并补全频数分布直方图；
(3)如果“1分钟跳绳”成绩大于等于160次为满分，那么该校2100名学生中“1分钟跳绳”成绩为满分的大约有多少人？
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）为了迎接中考体考，在临考前初三年级进行了全真模拟考试，并对各个项目进行了统计和分析．某数学兴趣小组从初三年级男、女同学中各随机抽取名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析（跳绳个数记为，共分为五组：A、，B、，C、，D、，E．）．下面给出了部分信息：
被抽取的男同学的跳绳个数在组的数据是：．
被抽取的女同学的跳绳个数在组的数据是．
被抽取的男、女同学跳绳个数的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
男同学
女同学
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)请求出扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数；
(3)若该校初三年级参加此次体育模拟考试的男生有人，女生有人，请你估计全年级跳绳个数不少于个的人数．
题型六 统计和概率综合问题
【例1】（2024·广东深圳·一模）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐：B．体育：C．美术；D．阅读：E．人工智能，为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②A组人数______，C组人数______；
③扇形统计图中，圆心角______度；
(2)若该校有名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
(3)学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【例2】（2024·四川·模拟预测）“春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“饺子”的习俗我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的猪肉馅饺、牛肉馅饺、虾肉馅饺、素馅饺（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答
(1)本次参加抽样调查的居民有 人；
(2)将两幅不完整的图补充完整；
(3)若居民区有人，请估计爱吃D饺的人数；
(4)若有外型完全相同的A、、、饺子各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他吃到饺的概率．
1．（2024·山西吕梁·一模）某校举办开学迎新晚会，准备从学生中遴选主持人，小强和小刚入选男主持人的最终评选环节，评选由舞台形象、语言功底、应变能力三项测试组成，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将舞台形象、语言功底、应变能力三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．
小强、小刚的三项测试成绩和总评成绩如表所示：
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
舞台形象 语言功底 应变能力
小强 85 92 86 87
小刚 84 ▲ 90 ▲
在语言功底测试中，评委给小刚打分情况表：
1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号
80 87 80 87 88 86 87
(1)在语言功底测试中，评委给小刚打分的中位数是________分，众数是________分，平均数是________分．
(2)请你计算小刚的总评成绩，并判断男主持人的最终人选．
(3)最终当选的男主持人需从写歌曲、魔术、朗诵、舞蹈的四张卡片中随机抽取一张（放回），再从中随机抽取一张，抽取的结果作为他主持的节目，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是魔术和舞蹈的概率．
2．（2024·河南周口·一模）郑州市某校为了准备初中毕业升学体育考试，对九年级学生的立定跳远和实心球开展训练．在经过一段时间训练后，对立定跳远进行了一次测评，下面是某班男生女生的立定跳远测评成绩（满分14分）统计图表：
女生立定跳远成绩的频数分布表
分数/分 频数
4
9
6
1
其中男生成绩在分的有：12、12、11.5、11.5、11、11、11、11、10.5、10.5、10.5、10.5、10.5、10.5、10.5、10.5
【分析数据】
平均分 中位数 众数
男生 10.61 a 10.5
女生 10.225 10 10、11
根据以上信息，回答下列问题：
(1)若全班同学都参加了立定跳远测评，则该班共有学生__________人．
(2)__________．
(3)九年级体育老师杨老师和王老师结合此次立定跳远成绩，计划对各班成绩薄弱学生成立两个集训队进行集训，该班有三名同学A、B、C三人被选人集训队，若杨老师打算从中随机任选两人加入他的集训队，请用列表或画树状图的方法求A、B两人被选到杨老师集训队的概率．
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