11.3余弦定理、正弦定理的应用 同步练习（含解析）2023——2024学年苏教版（2019）高中数学必修第二册

11.3余弦定理、正弦定理的应用同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．记的内角的对边分别为．若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知分别为内角的对边，的面积，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）
A．为锐角三角形 B．为直角三角形
C．为钝角三角形 D．的形状无法确定
4．在中，内角，，的对边分别是，，，且的面积，（ ）
A． B． C． D．
5．要测量河对岸两点之间的距离，选取相距的，两点，并测得，，，，则（　　）
A．2 B．
C．3 D．
6．小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（ ）
A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45
7．第九届中国国际“互联网＋”大学生创业大赛于2023年10月16日至21日在天津举办，天津市以此为契机，加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D．已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（ ）
A．km B．km C．15km D．km
8．如图所示：测量队员在山脚测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为.若，则山的高度约为（ ）
（参考数据：）

A． B．
C． D．
二、多选题
9．在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则为直角三角形
C．若为锐角三角形，的最小值为1
D．若为锐角三角形，则的取值范围为
10．在中，角，，的对边分别为，，，则（ ）
A．，，，若有两解，则
B．若，则为直角三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若，则
11．在中，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则有两解 B．周长有最大值6
C．若是钝角三角形，则边上的高的范围为 D．面积有最大值
12．某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东方向，距离为；在A处看灯塔C在货轮的北偏西方向，距离为.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在货轮的南偏东方向，则下列说法正确的是（　　）
A．A处与D处之间的距离是24
B．灯塔C与D处之间的距离是16
C．灯塔C在D处的南偏西方向
D．D处在灯塔B的北偏西方向
三、填空题
13．中，角、、的对边分别为a、b、c，若，则的周长为 ．
14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度 .
15．石家庄电视塔坐落于石家庄世纪公园内，为全钢构架.电视塔以“宝石”为创造母体，上 下塔楼由九层塔身相连接，寓意登九天，象征丰厚的古文明孕育出灿烂的现代文明.如图，选取了与石家庄电视塔塔底在同一平面内的三个测量基点，且在处测得该塔顶点的仰角分别为，米，则石家庄电视塔的塔高为 米.
16．普利寺塔，又名万佛塔，被国务院批准列入第五批全国重点文物保护单位名单.如图，某测量小组为测量该塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量点与，现测得米，在点测得塔顶的仰角为，则该塔的总高度约为 米.取）

四、解答题
17．已知．
(1)求函数图象的对称轴方程；
(2)设的内角所对的边分别为，若且，求周长的取值范围．
18．记的内角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)求角的大小;
(2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长.
19．已知的内角的对边分别为．
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围．
20．中，为边的中点，.
(1)若的面积为，且，求的值；
(2)若，求的取值范围．
21．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿匀速步行，速度为，在甲出发后，乙从A乘缆车到B，在B处停留后，再匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量得，．

(1)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(2)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？
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参考答案：
1．B
【分析】先根据边的关系求出的范围，然后表示出，求出其范围进而可得的范围，则的取值范围可求.
【详解】根据三角形三边关系可得，
即，
由对勾函数单调性可知，其在上单调递减，在单调递增；
即，可得,所以.
故选：B
2．C
【分析】根据余弦定理和三角形面积公式得到方程，求出，得到答案.
【详解】由余弦定理得，
又三角形面积公式得，
故，
又，故，即，
又，故.
故选：C
3．C
【分析】根据余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.
【详解】由于,
故为钝角，进而三角形为钝角三角形
故选：C
4．C
【分析】由余弦定理及得到，从而求出，再由及正弦定理计算可得.
【详解】由余弦定理可得，所以，
则．
又因为，即，所以，显然，又，
所以（负值舍去）．所以，
又因为，所以，所以，
所以．
故选：C
5．B
【分析】在中计算，在中根据正弦定理计算，在中利用余弦定理计算出.
【详解】根据题意，作出如下图形：
由于中，，，
则，所以，
在中，，，所以，
由正弦定理可得：，且，
则，解得：，
在中，由余弦定理得:，且，
所以，故
故选：B
6．A
【分析】由题意作出图形，选设观赏者与油画的水平距离为，观赏时的视角为，求出中的三边，由余弦定理求得的表达式，依题应使最大，即使最小，求出表达式的最小值以及此时的值即得.
【详解】
如图，设观赏者的眼睛在点处，油画的上沿在点处，下沿在点处，
点在线段延长线上，且保持与点在同一水平线上，
则即观赏时的视角.
依题意，
不妨设，则，
在中，由余弦定理，
，
因，则，当且仅当时，即时等号成立，
由可得，
则，则，
因函数在上单调递减，故得，
即最大视角为，此时观赏者距离油画的直线距离为.
故选：A.
7．A
【分析】首先求得，在中，运用正弦定理求得，进一步求得，由此在中利用余弦定理即可求解.
【详解】在中，，
由正弦定理得，
，
在中，易知，，
所以，所以，
由余弦定理得．
故选：A.
8．C
【分析】在三角形中，，，利用正弦定理计算求解.
【详解】在三角形中，，
，
由正弦定理得，
，
故选：C.
9．ABD
【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，即可得，所以A正确；再利用由正弦定理计算可得，可得，B正确；由锐角三角形可得，再由二倍角公式可得，即C错误；由正弦定理可得，结合的范围并利用函数单调性可得D正确.
【详解】对于中，由正弦定理得，
由，得，即，
由，则，故，所以或，
即或（舍去），即，A正确；
对于B，若，结合和正弦定理知，
又，所以可得，B正确；
对于，在锐角中，，即.
故，C错误；
对于，在锐角中，由，
，
令，则，
易知函数单调递增，所以可得，D正确；
故选：ABD.
10．BD
【分析】由正弦定理可判断A；化简可得可判断B；由正弦定理化角为边，再由余弦定理可判断C；由正弦定理结合余弦定理可判断D.
【详解】对于A：因为，，，若有两解，则，
即，解得，故A错误；
对于B：因为，所以，即，
所以，又，所以，故，所以为直角三角形，故B正确；
对于C：由可得，则，
所以，又，所以，即为钝角，所以为钝角三角形，故C错误；
对于D：因为，又，
所以，由正弦定理可得，
又，所以，
所以，
即，
所以，
又，，，
所以，
又，所以，所以，
所以，所以或，即或（舍去），故D正确.
故选：BD．
11．ACD
【分析】A选项，根据得到结论；B选项，由余弦定理和基本不等式求出周长的最大值；C选项，求出三角形的外接圆半径，画出图形，数形结合得在或上，边上的高的范围为；D选项，在C选项的基础上求出面积最大值.
【详解】A选项，，故，故有两解，A正确；
B选项，由余弦定理得，
即，化简得，
由基本不等式得，故，
当且仅当时，等号成立，
解得，故的周长最大值为，B错误；
C选项，由正弦定理得，故的外接圆半径为2，
如图所示，将放入半径为2的圆中，其中，，
故，
是钝角三角形，故在或上，
故边上的高的范围为，C正确；

D选项，由C选项可知，当落在的中点时，边上的高最大，
其中，
此时高为，面积最大值为，D正确.
故选：ACD
【点睛】思路点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
12．AC
【分析】根据题意作出图形，然后在中，结合正弦定理得求出，在中，由余弦定理得，然后求出相关角度，进而逐项分析即可.
【详解】
由题意可知，，
所以，
对于A，在中，由正弦定理得，
所以，故A正确；
对于B，在中，由余弦定理得，
即，故B错误；
对于C，因为，所以，
所以灯塔在处的南偏西方向，故C正确；
对于D，由，在灯塔的北偏西处，故D错误.
故选：AC.
13．
【分析】先利用两角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理对题目条件进行化简得出：；再结合和余弦定理得出的值即可求解.
【详解】因为，
所以，
即.，
由正弦定理可得：，
由余弦定理可得：，整理得：.
因为，
所以，整理得：，
则，
所以，
故答案为：.
14．
【分析】在中利用正弦定理求出，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】由题可得，，，则.
则在中，由正弦定理，有.
又在中，
所以，则.
故答案为：.
15．280
【分析】设出塔高分别在中表示出,在和中就运用余弦定理建立方程，计算即得.
【详解】设，则.
由，得，
由余弦定理得，解得米，即为280米.
故答案为：280.
16．
【分析】设米，由锐角三角函数得到，再在中由正弦定理计算可得.
【详解】设米，则，
又，，所以
在中由正弦定理，
即，解得(米).
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换，可得的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案；
（2）由求出B，由正弦定理求出的表达式，结合三角恒等变换化简可得的表达式，利用三角函数性质求出其范围，即可得三角形周长的取值范围.
【详解】（1）由于，
故
，
由，得
故函数图象的对称轴方程为；
（2）由，得，而,
故，
由于，则，
则，
则
，
而，
则，即，
故周长的取值范围为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和，得到，从而求出角；
（2）由三角形面积公式和余弦定理得到，从而求出周长.
【详解】（1）由已知，得，
根据正弦定理，得，
即，
即，
由于，，
所以，所以；
（2）因为，
所以，
因为直线为的平分线，
所以，
所以，
则，即，
由余弦定理得，即，
所以，
解得或（舍），
故的周长为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理角化边，结合余弦定理，即可求得答案；
（2）利用正弦定理求出的表达式，根据为锐角三角形确定B的范围，求出三角形周长的表达式并化简，结合正切函数性质，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知中，，
即，即，
故，而；
（2）由（1）知，而，
故由正弦定理得，则
，
由为锐角三角形，则，则，
故的周长
，
而，故，
故的周长的取值范围为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）由，利用面积公式求出，在中由余弦定理求出，再由正弦定理求出；
（2）设，，分别利用余弦定理表示出、，从而得到，再由余弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为为边的中点，所以，
又，即，解得，
在中由余弦定理，
即，所以，
在中由正弦定理，即，解得.
（2）设，，
在中由余弦定理，
即，
在中由余弦定理，
即，
在中由余弦定理，
因为，所以，则，
所以，
所以，
所以，即.
21．(1)
(2)
【分析】（1）先求得，然后由正弦定理求得，假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，利用余弦定理列方程，结合二次函数的性质求得的最小值.
（2）根据“两位游客在C处互相等待的时间不超过3min”列不等式，由此求得乙步行的速度的范围.
【详解】（1）由题意，，且为钝角、为锐角，
所以，，
在中，
由正弦定理，可得，解得.
所以索道的长为，
假设乙出发后（乙在缆车上），甲、乙两游客距离为，
此时甲行走了，乙距离处，
由余弦定理得
，
因为，即，
又函数的对称轴为，开口向上，
所以当时，甲、乙两游客之间距离最短.
（2）在中由正弦定理，
解得，
乙从出发时，甲已走了，还需要走才能到达，
设乙步行的速度为，
由题意得，解得，
所以为了使两位游客在处互相等待的时间不超过，
乙步行的速度应控制在（单位：）范围之内.
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