12.1复数的概念 同步练习（含解析）2023——2024学年苏教版（2019）高中数学必修第二册

12.1复数的概念 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数满足，则的实部为（ ）
A． B． C．2 D．
2．若复数的实部与虚部互为相反数，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．若复数是纯虚数，则（ ）
A． B．且 C． D．
4．已知复数，满足，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．已知复数表示纯虚数，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
6．已知复数，当时，（ ）
A．－1 B．0
C．1 D．2
7．对于复数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则
C．若，则为实数
D．i的平方等于1
8．下列命题：
①若，则是纯虚数；
②若，，且，则；
③若是纯虚数，则实数；
④实数集是复数集的真子集.
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二、多选题
9．已知，，是方程的三个互不相等的复数根，则（ ）
A．可能为纯虚数
B．，，的虚部之积为
C．
D．，，的实部之和为2
10．设为非零复数，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则的最大值为2
11．(多选)已知复数的模等于2，则实数m的值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知i为虚数单位，下列命题正确的是（ ）
A．若C，则的充要条件是
B．(R)是纯虚数
C．没有平方根
D．当时，复数是纯虚数
三、填空题
13．设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数 ．
14．以的实部为虚部，的虚部为实部的复数为 ．
15．在复平面内，已知复数满足，且，则 .
16．设集合，，则 ．
四、解答题
17．求适合下列各方程的实数，的值：
(1)；
(2)；
(3)．
18．已知复数.
(1)若z为实数，求m的值.
(2)若z为纯虚数，求m的值.
19．已知复数，其中.
(1)当时，表示实数；当时，表示纯虚数.求的值.
(2)复数的长度记作，求的最大值.
20．复数，为实数．
(1)若为实数，求的值；
(2)若为纯虚数，求的值．
21．（1）在①，②为纯虚数，③为非零实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.
已知复数为虚数单位，若__________，求实数的值.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分.
（2）已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，求的值.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】设，由题意，根据共轭复数与复数相等的充要条件建立方程组，解之即可求解.
【详解】设，则，
由，得，
由复数相等的充要条件，得，解得，
故的实部为．
故选：B．
2．A
【分析】判断复数的实部、虚部，即可得到方程，解得即可.
【详解】因为复数的实部为，虚部为，
由题意可得，解得.
故选：A
3．A
【分析】根据实部为零，虚部不为零列式计算.
【详解】由题意可得：，解得或，又，所以.
故选：A
4．B
【分析】首先分析题意，设出复数，求出复数的模找变量之间的关系，整体代入求解即可.
【详解】设则
所以，，即，
则
故选：B.
5．B
【分析】根据题意结合复数的相关概念列式求解即可.
【详解】因为，
若复数表示纯虚数，则，解得.
故选：B.
6．A
【分析】
根据复数相等求解即可.
【详解】
依题意，得，解得，
所以.
故选：A
7．C
【分析】
根据纯虚数定义、复数相等的定义，结合虚数单位的性质、复数的分类逐一判断即可.
【详解】A：当时，显然是实数，因此本选项说法不正确；
B：，因此本选项说法不正确；
C：，，因此本选项说法正确；
D：由虚数单位的定义可知：，因此本选项说法不正确，
故选：C
8．D
【分析】
对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断.
【详解】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误；
对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误；
对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误；
对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确.
故选：.
9．ABD
【分析】
根据复数的基本概念，复数的模等知识容易求解.
【详解】因为，其三个不同的复数根为：，，
当时，此时为纯虚数，故A正确；
因为三个根的虚部分别为1，，，三个虚部乘积为，故B正确；
根据模长定义，，故C不正确；
因为三个根的实部分别为0，1，1，三个实部之和为2，故D正确.
故选：ABD.
10．BD
【分析】
对于A，结合题意进行判断，举反例即可， 对于B，设,先求出共轭复数和模的平方，求解即可，故B正确，对于C,举反例证明即可，对于D，利用画出图形，利用几何意义求解即可.
【详解】对于A，设，当均不为0时，为虚数，而为实数，所以不成立，故A错误；
对于B，则，所以，
而，所以成立，故B正确；

对于C，设，又，所以，故C错误.
对于D，则复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
的几何意义为复数对应的点与两点间的距离，
所以，如图可知，当点为时，最大，取最大值，
则最大值为2，故D正确.
故选:BD.
11．AC
【分析】
运用复数的模长公式直接求解
【详解】
依题意可得，
解得m＝1或m＝3.
故选：AC
12．BD
【分析】
利用充分条件、必要条件的意义判断A；由纯虚数的意义判断BD；利用虚数单位的意义判断C.
【详解】
对于A，取，则，但不满足，A错误；
对于B，R，恒成立，所以是纯虚数，B正确；
对于C，的平方根为，C错误；
对于D，当时， ，则复数是纯虚数，D正确.
故选：BD
13．5
【分析】根据已知结合复数的定义列式，即可解出答案．
【详解】复数的实部与虚部互为相反数，
，解得．
故答案为：
14．/
【分析】
依题意分别确定实部与虚部，即可得解.
【详解】
因为的实部为，的虚部为，故所求复数为．
故答案为：
15．
【分析】
利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的模长加减运算数形结合求解即可.
【详解】设对应的复数为，对应的复数为，
则对应的复数为，对应的复数为，
因为，且，
所以为等腰直角三角形，且.
作正方形AOBC，如图所示，
则对应的复数为，故.
故答案为：
16．
【分析】
解出集合，按照集合的交运算进行运算即可.
【详解】∵，
∴．
∵，∴，
∴，∴．
∴．
故答案为：.
17．(1)或
(2)或或或
(3)
【分析】
根据复数相等得到方程组，解得即可.
【详解】（1）因为，为实数，且，
则，解得或；
（2）因为且，为实数，
所以，解得或，
解得或，
所以或或或；
（3）因为且，为实数，
所以，解得.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据复数表示实数的条件列方程求参数m即可.
（2）根据复数表示纯虚数的条件列方程或不等式求参数m即可.
【详解】（1）由题意得，得，即.
（2）由题意得，得，即.
19．(1)
(2)3
【分析】（1）由题意可得，，且，从而可求出，然后利用两角差的正切公式可求得结果，
（2）由题意可得，化简后利用正弦函数的性质可求得其最大值.
【详解】（1）因为当时，表示实数，所以，
所以.
又因为当时表示纯虚数，所以，且
所以.
从而.
（2）因为
.
当时，，则取得最大值，
此时的最大值为.
20．(1)或2
(2)1
【分析】（1）根据为实数，令复数虚部等于0，即可得答案；
（2）根据为纯虚数，可得实部为0，虚部不等于0，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知复数，
若为实数，则或；
（2）若为纯虚数，则且，
解得.
21．（1）答案见解析；（2）
【分析】（1）由复数的类型以及运算，列出关系式，从而得出实数m的值；
（2）将代入方程求得.
【详解】选条件①：因为，又，
所以，，解得.
选条件②：为纯虚数
，解得
选条件③：为非零实数，，解得.
（2）因为为实系数一元二次方程：的一个根，
，即，所以，
解得，.
答案第1页，共2页
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