2024年辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 常考全等模型 课件(共47张PPT)

(共47张PPT)
微专题　常考全等模型
模型一　平移型
模型分析
模型展示 已知BE＝CF，AB∥DE，AC∥DF.
模型特点 沿同一直线(BC)平移可得两个三角形重合
解题思路 证明三角形全等的关键：(1)加(减)CE，得BC＝EF；(2)利用平行线性质找对应角相等
模型应用
1. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF.求证：∠A＝∠D.
第1题图
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.
在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE，∴∠A＝∠D.
模型二　轴对称型
模型分析
模型展示 有公共边
有公共顶点
模型特点 所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合
解题思路 证明三角形全等的关键：(1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等；(2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对应边相等
模型应用
2. 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC、BD是对角线，∠1＝∠2.求证：△BCD是等腰三角形．
第2题图
证明：在△ABC与△ADC中，
∴△ABC≌△ADC；
∴BC＝DC，
∴△BCD是等腰三角形．
3. 如图，已知BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE与CD相交于点F，FD＝FE.
(1)求证：AD＝AE；
第3题解图
(1)证明：如解图，连接AF，
∵BE⊥AC，CD⊥AB，FD＝FE，
∴∠AEF＝∠ADF＝90°，
在Rt△ADF和Rt△AEF中，
∴Rt△ADF≌Rt△AEF，∴AD＝AE；
(2)已知AC＝5，FE＝1，求四边形ABFC的面积．
(2)解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠CEF＝∠BDF＝90°，
在△BDF和△CEF中，
∴△BDF≌△CEF，
∴DF＝EF，
∴S△BDF＝S△CEF，
第3题解图
由(1)知Rt△ADF≌Rt△AEF，
∴S△ADF＝S△AEF，
∴S四边形ABFC＝2(S△AEF＋S△CEF)＝2S△ACF＝2× ×AC×FE＝2× ×5×1＝5.
第3题解图
模型三　一线三等角型
模型分析
模型展示 两个三角形在直线同侧
锐角一线三等角
直角一线三垂直
钝角一线三等角
模型展示 两个三角形在直线异侧
已知 ∠1＝∠2＝∠3 结论 当 AC＝BP或 AP＝BD或 CP＝PD时，△CAP ≌△PBD 解题 思路 利用三角形内角和为180°及内外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，构造AAS或ASA证明三角形全等 锐角一线三等角
直角一线三垂直
钝角一线三等角
模型应用
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是DC延长线上的一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，与AD的延长线交于点F，若CE＝2，求证：BE＝EF.
第4题图
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCE＝∠EDF＝90°，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
∵∠CBE＋∠BEC＝90°，
∠BEC＋∠DEF＝90°，
∴∠CBE＝∠DEF，
∵AB＝4，BC＝6，CE＝2，
∴BC＝DE，
在△BCE和△EDF中，
∴△BCE≌△EDF，∴BE＝EF.
第4题图
5. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，∠B＝∠C＝∠DEF＝60°，BD＝CE.求证：DE＝EF.
第5题图
证明：∵∠B＋∠BDE＋∠BED＝180°，∠DEF＋∠FEC＋∠BED＝180°，∠B＝∠DEF＝60°，
∴∠BDE＝∠CEF；
在△BDE和△CEF中，
∴△BDE≌△CEF，∴DE＝EF.
模型四　不共顶点旋转型(沈阳4考；抚本铁辽葫5年5考)
模型分析
模型展示 已知BF＝CE，AB∥DE，AC∥DF.不共顶点
模型特点 (1)不共顶点旋转问题，绕某一点旋转，再平移可得两三角形重合；(2)共顶点旋转问题(手拉手模型)
解题思路 证明三角形全等的关键：①由BF＝CE→BF＋CF＝CE＋CF→BC＝EF；②利用平行线性质找对应角相等
模型应用
6. 如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在BC的异侧，AB＝CD，BF＝CE，∠B＝∠C.
(1)求证：AE∥DF.
第6题图
(1)证明：∵BF＝CE，
∴BF＋EF＝CE＋EF，
即BE＝CF，
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF，
∴∠AEB＝∠DFC，
∴AE∥DF；
第6题图
(2)若∠A＋∠D＝144°，∠C＝30°，求∠AEC的度数．
(2)解：∵△ABE≌△DCF，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C＝30°，
∵∠A＋∠D＝144°，
∴∠A＝72°，
∴∠AEC＝∠A＋∠B＝72°＋30°＝102°.
第6题图
模型五　共顶点旋转型(手拉手型)
模型分析
模型特点 共顶点：点A；等线段：AB＝AC，AD＝AE；等角度：∠BAC＝∠DAE 模型展示
解题思路 证明三角形全等的关键：(1)共顶点：加(减)共顶点的公共角∠BAE得一组对应角相等；(2)利用已知两组边相等或者等腰、等边、正方形、菱形等得到两组对应边相等
结论 △CAE≌△BAD(SAS)，BD＝CE，∠BPC＝∠BAC(“8字型”证角相等)
模型应用
7. 如图，两个等腰直角△ADC与△EDG，∠ADC＝∠EDG＝90°，连接AG，CE交于点H.求证：AG＝CE.
第7题图
证明：∵△ADC与△EDG是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，DG＝DE，且∠ADC＝∠GDE＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
在△ADG与△CDE中，
∴△ADG≌△CDE，
∴AG＝CE.
第7题图
8. 如图，点P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为一边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接PQ，CQ.试观察猜想AP与CQ的大小关系，并加以证明．
第8题图
证明如下：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝60°；
又∵∠PBQ＝60°，
∴∠ABC＝∠PBQ，
∴∠ABP＝∠CBQ；
解：猜想：AP＝CQ；
在△ABP和△CBQ中，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP＝CQ.
第8题图
模型六　旋转半角型
模型分析
模型特点 AB＝AC， ∠BAC＝90°， ∠DAE＝45° ∠BAD＝90°， ∠EAF＝45° ∠BDC＝120°，
∠EDF＝60°
模型展示
解题思路 通过旋转一定角度将另外两个角拼接在一起，构造的三角形与半角所在的三角形全等，得出线段的数量关系 结论 ①△AED≌△AEF； ②△CEF为直角三角形； ③BD2＋CE2＝DE2 ①△AEF≌△AEG； ②△AGF为等腰直角三角形； ③EF＝BE＋DF ①△DEF≌△DGF；
②EF＝BE＋CF
模型应用
9. 在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C.且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
第9题图
解：EF＝FC＋BE，
理由：如解图，过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，
G
在△BDE和△CDG中，
∴△BDE≌△CDG，
∴DE＝DG，BE＝CG.
∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，
∴∠BDE＋∠CDF＝60°.
∴∠FDG＝∠CDG＋∠CDF＝60°，
∴∠EDF＝∠GDF.
第9题图
G
在△EDF和△GDF中，
∴△EDF≌△GDF.
∴EF＝GF，
∴EF＝FC＋CG＝FC＋BE.
第9题图
G
模型七　对角互补型
模型分析
模型特点 ∠ABC＝∠ADC＝90°， AD＝CD，BD平分∠ABC ∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，
AD＝CD，BD平分∠ABC
模型展示
解题思路 常过顶点作角两边的垂线，构造全等三角形 结论 AB＋BC＝2BF＝ AB＋BC＝2BF＝BD
模型应用
10. 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D.点M在AD的延长线上，点N在AC上，连接BM，MN，且∠BMN＝90°，求证：AB＋AN＝ AM.
第10题图
证明：如解图，过点M作ME∥BC交AB的延长线于点E，
E
∴∠AME＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∵∠ABC＝∠AEM＝45°，
则AE＝ AM，∠E＝45°，∴ME＝MA，
∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，
∴∠BME＝∠AMN，
在△BME和△NMA中，
∴△BME≌△NMA，
∴BE＝NA，
∴AB＋AN＝AB＋BE＝AE＝ AM.
第10题图
E
综合训练
第1题图
1. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，AE＝3，BC＝5，则DE的长为(　　)　　　　　　　　　　　　　　
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
B
第2题图
2. [条件开放性试题]如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE＝∠CDF，请你添加一个条件，使DE＝DF，你添加的条件是_______
_____________________(不再添加辅助线和字母)．
∠B＝
∠C或∠BED＝∠CFD
3. 如图，在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠CED＝90°，AC＝CE，点B是EC的中点，若AB⊥CD于点F，DE＝10，则AE的长为______．
第3题图
第4题图
4. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，P是AB上一点，连接PC，PD，且PC＝PD，∠DPC＝90°.
求证：AD＋BC＝AB.
证明：∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，
∴∠ADP＋∠APD＝90°，
∠BPC＋∠APD＝90°，
∴∠ADP＝∠BPC，
在△ADP与△BPC中，
∴△ADP≌△BPC(AAS)，
∴AD＝BP，AP＝BC，
∴AD＋BC＝BP＋AP＝AB，
即AD＋BC＝AB.
第4题图
第5题图①
5. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点(点D不与点A、B重合)，连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F.
(1)如图①，当点D为线段AB的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；
解：(1)结论：AC＝EF＋FC，
证明：如解图①，过点D作DH⊥CB于点H，
H
∵EF⊥CF，
∴∠EFC＝∠DHC＝90°，
在△FEC和△HDC中，
∴△FEC≌△HDC，∴FC＝HC，EF＝DH，
∵∠DHB＝90°，∠B＝45°，
∴DH＝HB＝EF，
∴AC＝BC＝CH＋BH＝FC＋EF；
第5题图①
H
(2)如图②，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图②，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明．
(2)依题意补全图形如解图②，结论：EF＝FC＋AC，
理由如下：如解图②，过点D作DH⊥CB交BC的延长线于点H，
∵EF⊥CF，
∴∠EFC＝∠DHC＝90°，
第5题图
解图②
在△FEC和△HDC中，
∴△EFC≌△DHC，
∴FC＝HC，EF＝DH，
∵∠DHB＝90°，∠B＝45°，
∴DH＝HB＝EF，
∴EF＝CH＋BC＝FC＋AC.
解图②
6. 如图，点C为线段BD上一点，△ABC、△CDE都是等边三角形．AD与CE交于点F，BE与AC交于点G.
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(1)证明：∵△ABC，△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠ACE＝∠DCE＋∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD，
∴△ACD≌△BCE；
第6题图
(2)若CF＋CG＝8，BD＝18，求△ACD的面积．
(2)解：由(1)得△ACD≌△BCE，
∴∠CBG＝∠CAF，
又∵∠ACF＝∠BCG＝60°，BC＝AC，
∴△BCG≌△ACF，
∴S△ACF＝S△BCG，CG＝CF，而CF＋CG＝8，
∴CG＝CF＝4，
第6题图
第6题图
M
N
如解图，过点G作GM⊥BD于点M，过点F作FN⊥BD于点N，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴GM＝ CG＝ ，FN＝ CF＝ ，
∴S△ACD＝S△ACF＋S△CDF
＝S△BCG＋S△CDF
＝ BC·GM＋ CD·FN
＝ × ×(BC＋CD)
＝ BD＝18 .
第7题图
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC.点D在边BC上，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.
(1)求证：BE＝AF；
(1)证明：∵∠1＝∠BAE＋∠ABE，∠1＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠BAE＋∠ABE，
∵∠BAC＝∠BAE＋∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，
∵∠1＝∠BAE＋∠ABE，∠2＝∠CAF＋∠ACF，∠1＝∠2，
∴∠BAE＝∠ACF，
∵AB＝AC，
在△BAE和△ACF中，
∴△BAE≌△ACF，
∴BE＝AF；
第7题图
(2)若CD＝2BD，△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．
(2)解：由(1)知△BAE≌△ACF，
∴S△BAE＝S△ACF，
∵CD＝2BD，S△ABC＝15，
∴S△ABD＝ ×15＝5，
∴S△ACF＋S△BDE＝S△BAE＋S△BDE＝S△ABD＝5.
∴△ACF与△BDE的面积之和为5.
第7题图