12.3复数的几何意义 同步练习（含解析）2023——2024学年苏教版（2019）高中数学必修第二册

12.3复数的几何意义 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若复数，且z和在复平面内所对应的点分别为P，Q，O为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数，其中是虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
4．已知复平面内坐标原点为，复数对应点满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．已知复数且有实数根b，则=（ ）
A． B．12 C． D．20
6．关于复数与其共轭复数，下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称
B．
C．必为实数，必为纯虚数
D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根
7．若复数对应的点在第四象限，则m的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
8．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．已知是复数，且为纯虚数，则（ ）
A． B．
C．在复平面内对应的点在实轴上 D．的最大值为
10．已知复数，则（ ）
A．的虚部为
B．是纯虚数
C．的模是
D．在复平面内对应的点位于第四象限
11．已知复数，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若复数，不相等且，则在复平面内对应的点在一条直线上
12．已知复数是的共轭复数，则（ ）
A．
B．的虚部是
C．在复平面内对应的点位于第二象限
D．复数是方程的一个根
三、填空题
13．若复数满足：，则 .
14．已知方程，有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则 ．
15．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C分别对应复数3＋3i，－2＋i，－5i，则第四个顶点D的坐标为 ．
16．设复数z＝a＋bi（a，b∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点为M，则“点M在第四象限”是“ab<0”的 条件
四、解答题
17．复平面内表示复数的点为．
(1)当实数取何值时，复数表示纯虚数？并写出的虚部；
(2)当点位于第四象限时，求实数的取值范围；
(3)当点位于直线上时，求实数的值．
18．（1）已知，若为实数，求的值.
（2）已知复数满足，若复数是实系数一元二次方程的一个根，求的值.
19．在复平面内复数所对应的点为，O为坐标原点，i是虚数单位.
(1)，计算与；
(2)设，求证：，并指出向量满足什么条件时该不等式取等号.
20．在复平面内，向量表示的复数为，将向量向右平移2个单位长度后，再向上平移1个单位长度，得到向量，求：
(1)向量对应的复数；
(2)点对应的复数．
21．设，复数．
(1)当满足什么条件时，复数是纯虚数？
(2)当满足什么条件时，复数在复平面所对应的点在复平面内位于第二象限？
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】利用复数运算化简复数，结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
【详解】，其共轭复数为，
在复平面内对应的点所在的象限为第二象限．
故选：B．
2．D
【分析】由求出，得到,，再由即可求出结果.
【详解】因为，，
所以z和在复平面内所对应的点分别为,,故,,
.
故选：D.
3．B
【分析】利用复数运算法则及共轭复数的定义判定即可.
【详解】易知的虚部为.
故选：B．
4．C
【分析】由复数的除法运算易求出，再根据复数的几何意义即可得.
【详解】由可得；
所以可得，即；
即.
故选：C
5．D
【分析】根据题意可求得，从而得，求解得，从而可求解.
【详解】由题意知为的实数根，
则，即，
则，解得，所以，
所以，故D正确.
故选：D.
6．D
【分析】利用复数的几何意义可判断A正确，时可排除BC，易知当一元二次方程有两实根时正确，若可得方程两根互为共轭复数，即D正确.
【详解】对于选项A，表示复数和的点关于实轴对称，故A错误：
对于选项B和选项C，当时均不成立，故BC错误；
对于选项D，若方程的可得为实数，即，符合题意；
若，则方程的两个复数根为和，
此时两根互为共轭复数，因此D正确.
故选：D
7．B
【分析】由复数表示的点在第四象限，可得实部为正且虚部为负即得.
【详解】由可得，又m为整数，所以.
故选：B.
8．B
【分析】由建立的等量关系，求解，从而判断选项.
【详解】因为，化简得，解得或，故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B．
9．ABD
【分析】先设，代入中化简，根据为纯虚数得出：，且即可判断选项A、C；由可判断选项B；根据复数的几何意义可判断选项D.
【详解】由题意设，
则.
因为为纯虚数，
所以，且，即，且.
因此，故选项A正确；，所以故选项B正确；
因为在复平面内对应的点为，
所以在复平面内对应的点不在实轴上，故选项C错误；
因为表示圆上的点到点的距离，
且最大距离为，故选项D正确.
故选：ABD.
10．AC
【分析】根据复数的基本概念，以及复数的几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：由虚部定义知的虚部为，故A正确；
对B：纯虚数要求实部为0，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D错误.
故选：AC.
11．AD
【分析】由共轭复数的定义分析A，举反例说明BC，由复数上的几何意义确定D.
【详解】设，，则，故，则必有，故A正确；
若，则有，但，故B错误；
若，则有，但，故C错误；
设复数在复平面内对应的点为和，若，则在复平面内对应的点为线段的中垂线，故在复平面内对应的点在一条直线上，故D正确.
故选：AD
12．AC
【分析】利用复数的定义、模长公式、几何意义、共轭复数定义与方程的解法一一判定选项即可.
【详解】由题意可知，所以，故A正确；
易知的虚部是，故B错误；
在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确；
对于，
显然不符合题意，故D错误.
故选：AC
13．
【分析】设，则由题设有，故可求.
【详解】设，则，
故，故
所以即，
故答案为：2.
14．
【分析】直接解二次方程得到两个虚数根，从而利用复数的几何意义得到关于的方程，注意检验，从而得解.
【详解】因为方程，有两个虚数根，
所以，则，
又由，得，即，
所以，即，
所以的两个虚数根分别为，
它们在复平面上对应的点分别为，
所以它们之间的距离为，解得，满足，
所以.
故答案为：.
15．
【详解】
对应复数为(－5i)－(－2＋i)＝2－6i，对应复数为zD－(3＋3i)，在平行四边形ABCD中，＝，则zD－(3＋3i)＝2－6i，即zD＝5－3i，则点D的坐标为(5，－3).
【考查意图】
考查复数的运算法则、几何意义、向量的平行四边形法则．
16．充分不必要
【详解】
解析：由点M在第四象限，得a>0，b<0，故ab<0，充分性成立；由ab<0，得a>0，b<0，或a<0，b>0，故点M在第二象限或第四象限，必要性不成立．
【考查意图】
充分、必要条件的判定．
17．(1)，虚部为
(2)
(3)或
【分析】（1）根据纯虚数的定义求解，然后可求虚部；
（2）根据复数的几何意义列式计算；
（3）根据点Z位于直线上，可得，从而可求.
【详解】（1）依题意得，当且，即时，复数是纯虚数，虚部为．
（2）依题意，得且，解得．所以当时，点位于第四象限．
（3）依题意得当，即或时，点位于直线上．
18．（1）；（2）19.
【分析】（1）化简复数，然后根据复数为实数列方程求解即可；
（2）根据复数模的运算求得，代入二次方程，根据复数相等列方程组求解即可.
【详解】（1）因为为实数，
所以，解得；
（2）由可设，由题意，所以，
所以，所以，代入得，
即，所以，所以，所以.
19．(1)，；
(2)证明见解析，
【分析】
（1）利用复数的乘法运算可得，再由复数的几何意义可得，即可计算出；
（2）利用复数运算规律分别求出的平方，利用作差法可得，此时需满足.
【详解】（1）根据可得，
；
且，所以.
（2）因为，
所以，
可得；
因为，
所以，
因此，
所以，
当且仅当时取等号，此时向量满足.
20．(1)
(2)
【分析】
（1）由向量平移可得到，从而得到向量对应的复数；
（2）首先得到点平移后所对应的点，即可得到点的坐标，从而得到其所对应的复数.
【详解】（1）由向量平移可知，
∴向量对应的复数为．
（2）依题意，将向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，
即，故点对应的复数为．
21．(1)
(2)
【分析】（1）先将复数的实部与虚部整理出来，根据纯虚数的定义进行求解即可；
（2）利用复数的几何意义，根据第二象限内点的坐标正负性进行求解即可.
【详解】（1）由题意得，，
当是纯虚数时，，解得，
即时，是纯虚数．
（2）当在复平面所对应的点在复平面内位于第二象限时，，解得，
即时，在复平面内对应的点在第二象限．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页