2022-2023学年湖南省邵阳市邵东市九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省邵阳市邵东市九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国人使用负数最早可追溯到两千多年前的秦汉时期，则的相反数为( )
A. B. C. D.
2.二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.年月日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕开幕式中一组组亮眼的数据，展示了新时代十年发展的新成就其中，国内生产总值从亿元增长到亿元把“”用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.下列说法中，正确的是( )
A. 为了解邵阳市中学生的睡眠情况实行全面调查
B. 一组数据，，，，，，的众数是
C. 明天的降水概率为，则明天下雨是不可能事件
D. 若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定
6.分式方程的解是( )
A. B. C. D.
7.如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，则点到的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是( )
A. B.
C. D.
9.在“双减政策”的推动下，某初级中学学生课后作业时长明显减少年上学期每天作业平均时长为，经过年下学期和年上学期两次调整后，年上学期平均每天作业时长为设这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，两点分别在轴和轴上，，将沿轴向右平移，顶点，，的对应点分别是，，，且交轴于点，当点恰好落在反比例函数的图象上时，记的面积为，的面积为，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.因式分解：______．
12.若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
13.如图，依据尺规作图的痕迹，求的度数______
14.若，是关于的一元二次方程的两个根，则代数式的值为 ．
15.如图，扇形中，，若将此扇形绕点顺时针旋转，得一新扇形，其中点在上，则点的运动路径长为______结果保留
16.如图所示，平整的地面上有一个不规则图案图中阴影部分，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果，他将若干次有效试验的结果绘制成了所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为 ．
17.如图是一张矩形纸片，点在边上，把沿直线对折，使点落在对角线上的点处，连接若点，，在同一条直线上，，则______．
18.如图所示的抛物线是二次函数的图象，则下列结论：
；
；
抛物线与轴的另一个交点为；
；
．
其中正确的结论有______只填正确的序号．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：．
20.本小题分
先化简：，然后在，，三个数中给选择一个你喜欢的数代入求值．
21.本小题分
如图，在四边形中，，，平分，连接交于点，过点作交延长线于点．
求证：四边形为菱形；
若，，求的长．
22.本小题分
为积极宣传国家相关政策，某村在一山坡的顶端的平地上竖立一块宣传牌为测得宣传牌的高度，小明站在山脚处测得宣传牌的顶端的仰角为，已知山坡的坡度：，的高度为米，山坡顶端与宣传牌底端的水平距离为米，求斜坡的长度精确到米参考数据：，，，
23.本小题分
某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：综合模型、摄影艺术、音乐鉴赏、劳动实践，随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
此次被调查的学生人数为______名；
补全条形统计图；
求拓展课程劳动实践所对应的扇形的圆心角的度数；
根据抽样调查结果，请你估计该校名学生中，有多少名学生最喜欢音乐鉴赏拓展课程．
24.本小题分
为了进一步落实国务院关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见的精神，提高学生的身体素质，某校计划购买篮球和排球，为学生课间体育锻炼提供充足的器材．已知篮球的单价是排球的倍，用元单独购买篮球或排球，所购篮球的数量比排球少个．
篮球和排球的单价各是多少元？
若该校计划购买篮球和排球共个，筹备资金不多于元，那么该校最多购买篮球多少个？
25.本小题分
如图，在中，为直径，点在圆上，，，是上一动点与、不重合，平分交边于点，，垂足为点．
当点与圆心重合时，如图所示，求的长．
当与相似时，求的值．
26.本小题分
如图，已知抛物线过点和点，与轴的正半轴交于点．
求，的值和点的坐标；
若点是轴上的点，连接，，当时，求点的坐标；
在抛物线上是否存在点，使，两点到直线的距离相等？若存在，求出满足条件的点的横坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数为．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】
【解析】解：，，选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：、与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项不正确，不符合题意；
C、，故该选项正确，符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：．
根据合并同类项，平方差公式，幂的乘方，同底数幂的除法逐项分析判断即可．
本题考查了合并同类项，平方差公式，幂的乘方，同底数幂的除法，掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：为了解邵阳市中学生的睡眠情况实行抽样调查，故A选项不符合题意；
B.一组数据，，，，，，的众数是和，故B选项不符合题意；
C.明天的降水概率为，则明天下雨是随机事件，故C选项不符合题意；
D.若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定，故D选项符合题意，
故选：．
根据全面调查与抽样调查的定义、众数的定义、随机事件的定义和利用方差判断一组数据的稳定性对选项逐一判断即可．
本题考查了全面调查与抽样调查的定义，众数的定义、随机事件的定义和利用方差判断一组数据的稳定性，熟练掌握平均数相等时，方差越小，数据越稳定是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
7.【答案】
【解析】解：过点作于点，如图所示：
，
在中，，
点到的距离为．
故选：．
过点作于点，再用三角函数定义，求出，即可得出答案．
本题主要考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
8.【答案】
【解析】解：图象中二次函数，，一次函数，，故A不符合题意．
B.图象中二次函数，，又对称轴在轴右侧，则，得出，矛盾，故B不符合题意．
C.图象中二次函数，，一次函数，，故C符合题意．
D.图象中二次函数，，又对称轴在轴右侧，则，得出，矛盾，故D不符合题意．
故选：．
利用二次函数和一次函数图象的性质“二次函数和一次函数的常数项是图象与轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于，图象经过一、三象限；小于，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于，图象开口向上；二次项系数小于，图象开口向下．”逐项判断即可．
本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：根据题意得：．
故选：．
利用年上学期平均每天作业时长年上学期平均每天作业时长这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由平移可知，，，
∽，
，
，
，
，
，
点恰好落在反比例函数的图象上，
．
故选：．
由平移可知，，，进而可得∽；由相似三角形的性质与判定可得，相似比为：，进而可求出的长度，则可求出点的坐标，即可求解．
本题主要考查反比例函数与几何的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，熟悉相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，
．
由作法可知，是的平分线，
．
由作法可知，是线段的垂直平分线，
，
，
．
故答案为：．
先根据矩形的性质得出，故可得出的度数，由角平分线的定义求出的度数，再由是线段的垂直平分线得出的度数，根据三角形内角和定理得出的度数，进而可得出结论．
本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：．
由根与系数的关系得到，，将代数式变形代入计算即可．
此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形结合解题是一种经常使用的解题方法．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，知．
又，
．
点旋转至点所经过的轨迹长度．
故答案是：．
根据弧长公式，此题主要是得到的度数．根据等腰三角形的性质即可求解．
本题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答该题的关键是弄清楚点的运动轨迹是弧形，然后根据弧长的计算公式求解．
16.【答案】
【解析】解：假设不规则图案面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为，
综上有：，
解得．
故答案为：．
首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
17.【答案】
【解析】解：把沿直线对折，使点落在对角线上的点处，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据折叠和平行线的性质说明，设，则，再根据∽，得，代入解方程可得答案．
本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，说明是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
对称轴是直线，
，
，正确；
对称轴是直线，
，
即，正确；
抛物线与轴的交点是，对称轴是直线，
抛物线与轴的另一个交点为，正确；
当时，，即，
，错误；
时，，即，
，正确，
故答案为：．
根据二次函数图象与系数的关系判断即可．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况．
19.【答案】解：原式
．
【解析】分别利用零指数幂、负指数幂的性质，绝对值的性质和特殊角的三角函数值化简计算即可．
此题主要考查了二次根式运算，负整数指数幂计算，绝对值，三角函数值等知识点，正确应用记住它们的化简规则是解题关键．
20.【答案】解：
，
要使分式有意义，故且，
且，
当时，
原式．
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式有意义的条件，先取合适的数进行运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
21.【答案】证明：，，
，四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
是菱形；
解：四边形是菱形，，，
，，，
，
，
，
，
即，
解得：，
即的长为．
【解析】先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积公式得，即可解决问题．
此题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：延长交于点，过点作于点，则四边形是矩形，
，．
在直角中，
山坡的坡度：，
设米，则米．
米，米，
在直角中，，
，
解得米，
米，米，
米，
答：斜坡的长度约为米．
【解析】延长交于点，过点作于点，构造矩形和直角、直角，设米，则米，由矩形的性质和勾股定理借助于方程求得的值，然后通过解直角来求的值．
此题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
23.【答案】；
选择的学生有：名，
补全的条形统计图如图所示；
，
即拓展课程劳动实践所对应的扇形的圆心角的度数是；
名，
答：估计该校名学生中，有名学生最喜欢音乐鉴赏拓展课程．
【解析】解：此次被调查的学生人数为：名，
故答案为：；
见答案；
见答案；
见答案．
根据选择的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生人数；
根据条形统计图中的数据，即可计算出选择的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
用乘以劳动实践所占比例可得答案；
利用乘以的百分比求解即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、频数率分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】解：设排球的单价为元，则篮球的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
答：篮球的单价为元，排球的单价为元；
设购买篮球个，则购买排球个，
由题意得：，
解得：，
答：该校最多购买篮球个．
【解析】设排球的单价为元，则篮球的单价为元，由题意：用元单独购买篮球或排球，所购篮球的数量比排球少个．列出分式方程，解方程即可；
设购买篮球个，则购买排球个，由题意：筹备资金不多于元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】解：为直径，
，
又，，
设，，
在，由勾股定理得：，
，
解得：，
，，
又，平分，
，
又，
是的中位线，
；
与相似，且，∽或∽，
当∽时，则，
，
，
，
，
又平分，
，
；
当∽时，则，
，
又平分，
，
，
又，
，
，
又平分，
，
，
综上所述，的值为或．
【解析】先在中由勾股定理求出和的长，再由条件可说明是的中位线即可求出答案；
分两种情况：当∽时，可证得，再根据平分，可得，即可求出答案；当∽时，则，得出，再由平分，可得，推出，即可求出答案．
本题是圆的综合题，考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，锐角三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．
26.【答案】解：抛物线过点，
，
，
抛物线的解析式为，
令，则，解得或，
，
当时，，
，
．
设，则有，
整理得，，
解得或，
经检验或是方程的解，
满足条件的点坐标为或．
存在．连接，设的中点为．
当直线经过的中点时，满足条件．
，，，
，
，
直线的解析式为，
由，
解得即点或，
，
时，满足条件，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
由，
解得即点或，
，
综上所述，满足条件的点的横坐标为或．
【解析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会构造一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．
利用待定系数法求解即可．
设，则有，解方程，可得结论．
存在．连接，设的中点为分两种情形：当直线经过的中点时，满足条件．时，满足条件．根据方程组求出点的坐标即可．
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