2023-2024学年度第二学期4月份阶段监测数学学科试题
八年级数学
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 分别以下列各组数据为三角形三边的长度，能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 7，13，15 D. 9，40，41
【答案】D
【解析】
【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形，据此判定即可．
【详解】解：A、因为，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
B、因为，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
C、因为，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
D、因为，能构成直角三角形，此选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
2. 若，则下列各式中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质进行判断．
【详解】解：A、在不等式m＞n的两边同时加上2，不等号方向不变，即m+2＞n+2，故本选项不符合题意．
B、在不等式m＞n的两边同时减去3，不等号方向不变，即m-3＞n-3，故本选项不符合题意．
C、在不等式m＞n的两边同时乘-5，不等号方向改变，即-5m＜-5n，故本选项符合题意．
D、在不等式m＞n的两边同时除以6，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了不等式，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
3. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，则底角的度数为（ ）
A. 67°50＇ B. 67.5° C. 22.5° D. 22.5°或67.5°
【答案】D
【解析】
【分析】分两种情况讨论：（1）当△ABC是锐角三角形时，（2）当△EFG是钝角三角形时，作出相应图形，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数．
【详解】有两种情况；
（1）如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，
则∠ADB=90°，
已知∠ABD=45°，
∴∠A=90° 45°=45°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=×(180° 45°)=67.5°；
(2)如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，
则∠FHE=90°，
已知∠HFE=45°，
∴∠HEF=90° 45°=45°，
∴∠FEG=180° 45°=135°，
∵EF=EG，
∴∠EFG=∠G=×(180° 135°)=22.5°，
综合(1)(2)得：等腰三角形的底角是67.5°或22.5°.
故选：D.
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，作出符合题意的图形进行分类讨论是关键.
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若CD=3，点Q是线段AB上的一个动点，则DQ的最小值（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】
【详解】分析：
过点D作DE⊥AB于点E，则由“垂线段最短”可知，当点Q与点E重合时，DQ最短，这样结合“角平分线的性质”和已知条件求出DE的长度即可.
详解：
如下图，过点D作DE⊥AB于点E，则由“垂线段最短”可知，当点Q与点E重合时，DQ最短，
∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
又∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，CD=3，
∴DE=DC=3，
∴DQ最小=3.
故选C.
点睛：作出如图所示的辅助线，熟知：“垂线段最短”和“角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等”是解答本题的关键.
5. 如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠C＝20°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，交AC于点E，连接AD，下列说法中正确的是（ ）
①∠BAD＝60°，②AE＝2AB，③AD+BD＝AC．
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角形内角和定理，等角对等边，线段的垂直平分线的性质对各条件一一判断即可．
【详解】解：∵∠ABC＝80°，∠C＝20°，
∴∠CAB＝180°﹣80°﹣20°＝80°，
∴∠B＝∠CAB＝80°，
∴CA＝CB，
∵MN垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴DA+DB＝DC+DB＝CB＝AC，故③正确，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝20°，
∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝80°﹣20°＝60°，故①正确，
无法判断AE＝2AB，故②错误，
故选B．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线的作图与性质，等角对等边，三角形内角和定理等知识，解题的关键在于明确MN垂直平分线段AC，灵活运用所学知识解决问题．
6. 解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后根据在数轴上表示解集的方法判断即可．
【详解】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式①②的解集在同一条数轴上表示为：
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
7. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可.
【详解】解：由题意可得：，所以，
∴，
观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；
故选：D.
【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键.
8. 如图，点是平分线上的一点，，垂足为D，若，则点到边的距离是（ ）
A. B. 3 C. 5 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质即可求得．
【详解】作PE⊥OA于E
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA
∴PE=PD=3
故选B．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9. 如图，在中，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，连接AD．若，的周长为11cm，则BC的长等于（ ）
A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再根据的周长为11cm，可得，然后由，即可求出BC的长．
【详解】解： AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，
的周长为11cm，
A、故选项错误，不符合题意；
B、故选项错误，不符合题意；
C、故选项正确，符合题意；
D、故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握数形结合思想的应用．
10. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF；⑤S△ADB＝2S△BDF，其中正确的结论共有（ ）
A. 4个 B. 3个
C. 2个 D. 1个
【答案】A
【解析】
【分析】由角平分线的性质和平行线的性质可证∠ACB=∠ABC，可得AC=AB，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，CD=BD，由“ASA”可证△CDE≌△BDF，可得S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，即可求解．
【详解】解：∵BC恰好平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∵BF∥AC，
∴∠ACB=∠CBF，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AC=AB，且AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，CD=BD，故②，③正确
∵CD=BD，且∠ACB=∠CBF，∠CDE=∠BDF，
∴△CDE≌△BDF（ASA）
∴S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，故①正确，
∵AE=2BF，
∴AC=3BF=AB，故④正确，
∵BD=CD，
∴S△ADB=S△ACD，
∵AE=2BF，
∴S△ADB=S△ACD=3S△CDE=3S△BDF，故⑤错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，证明△CDE≌△BDF是本题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 不等式x+3＜﹣1的解集是____
【答案】x＜﹣4．
【解析】
【详解】试题分析：移项，得：x＜﹣1﹣3，
合并同类项，得：x＜﹣4．
考点：解一元一次不等式．
12. 等腰三角形的两条边长为2和6，则三角形的周长为_______．
【答案】14
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边之间的关系．题中的边长2和6并没有说明谁是腰，所有要分情况讨论，再根据三角形三边的关系，把不符合的舍去．
【详解】若边长2是腰，则，不符合三角形三边的关系，舍去；
若边长6是腰，则，符合三角形三边的关系，故周长为．
故答案为：14．
13. 如图，在△ABC中，O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠BOC＝126°，则∠A的度数为______．
【答案】72°##72度
【解析】
【分析】求出O为△ABC的三条角平分线的交点，求出∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，求出∠OBC+∠OCB，再根据三角形内角和定理求出∠A的度数即可；
【详解】解：∵ 在△ ABC中，点O是△ABC内的一点，且点O到△ ABC三边距离相等，
∴ O为△ABC的三条角平分线的交点，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠BOC=126°，
∴∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC=54°，
∴∠ABC+ ∠ACB=54°，
∴∠ABC+∠ACB=108°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB =72°，
故答案为：72°．
【点睛】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用，能正确掌握与角平分线有关的三角形内角和问题是解题的关键；
14. 按如图的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若某运算进行了3次才停止，则x的取值范围是 __________________．
【答案】＜x≤
【解析】
【分析】根据程序进行3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【详解】解：依题意，得，
解得： ．
故答案为：＜x≤．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15. 已知，则的值为_________.
【答案】3
【解析】
【分析】由二次根式有意义的条件列不等式组，解不等式组求得，再求，从而可得答案．
【详解】解：
由①得：
由②得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件列不等式组是解题的关键．
16. 对有理数x，y定义运算：x*y=ax+by，其中a，b是常数．例如：3*4=3a+4b，如果2*（﹣1）=﹣4，3*2＞1，则a的取值范围是_______．
【答案】a＞﹣1
【解析】
【分析】根据新运算法则可得关于a、b的方程与不等式：2a﹣b=﹣4①，3a+2b＞1②，于是由①可用含a的代数式表示出b，所得的式子代入②即得关于a的不等式，解不等式即得答案．
【详解】解：∵2*（﹣1）=﹣4，3*2＞1，
∴2a﹣b=﹣4①，3a+2b＞1②，
由①得，b=2a+4③，
把③代入②，得3a+2(2a+4)＞1，
解得：a＞﹣1．
故答案为：a＞﹣1．
【点睛】本题是新运算题型，主要考查了一元一次不等式的解法，正确理解运算法则、熟练掌握一元一次不等式的解法是关键．
三、解答题：本大题共6小题，共66分．
17. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集．
【详解】解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：，
如图所示，
18. 已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE和BF相交于D，且BD=CD．求证：点D在∠BAC的平分线上
【答案】见解析
【解析】
【分析】首先根据已知条件证明△BDE≌△CDF（AAS），得到DE＝DF，再由角平分线的判定定理得出结论．
【详解】证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BDE和△CDF中，，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，证明△BDE≌△CDF得出DE＝DF是本题的关键．
19. 甲、乙两厂家生产的课桌和座椅的质量、价格一致，每张课桌200元，每把椅子50元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲：买一张课桌送1把椅子；乙：课桌和椅子全部按原价的9折优惠．现某学校要购买60张课桌和把椅子，则什么情况下该学校到甲工厂购买更合算？
【答案】当购买的椅子少于360把时，选择甲厂家合算
【解析】
【详解】根据题意，得，解得．
答：当购买的椅子少于360把时，选择甲厂家合算．
20. 已知：如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=BC，D是BC边的中点，DE⊥AB，DE⊥AC，点E，F为垂足．
（1）求、的度数；
（2）求证：；
（3）求证：是等边三角形．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由∠A=120°及等腰三角形的性质可得结果；
（2）利用AAS可判断；
（3）由（2）得：DE=DF，再由四边形的内角和可求，从而可判断是等边三角形．
试题解析：⑴∵，
∴．
∵，
，
∴．
⑵由⑴得，
∵是边的中点，
∴．
∵，，
∴．
∴．
⑶由⑵得
∴．
，
由⑴得，
∴．
∴．
∴是等边三角形．
考点：1．等腰三角形的性质；2．全等三角形的性质与判定；3．等边三角形的判定．
21. 如图，在等边中，交于点于点．
（1）求证：；
（2）求证：
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定及性质和含的直角三角形的性质是解题的关键．
（1）先根据是等边三角形，推出，，然后利用即可证明全等；
（2）由全等三角形的性质得，等量代换之后得，而，则，根据含的直角三角形的性质即可证明结论．
【小问1详解】
证明：∵是等边三角形，
∴，．
在与中，
∴．
【小问2详解】
∵，
，
，
．
．
，
．
．
22. 足球世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．每个A品牌足球的销售利润为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元．
（1）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润为多少；
（2）在（1）的条件下，该商店对A品牌足球以每个优惠元的价格进行“双十二”促销活动，B品牌售价不变，且全部足球售完后最大利润为4240元，求出的值．
【答案】（1）①；②5600元
（2）17
【解析】
【分析】（1）①根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式；②根据购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，可以得到A品牌足球个数的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．
（2）根据题目中的数据，可以列出相应的函数解析式，再根据一次函数的性质和分类讨论的思想，可以求得a的值．
【小问1详解】
解：①由题意知，，
∴y与x之间的函数关系式为；
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，
则，
解得：，
在中，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，y取得最大值，最大值为，
即最大利润为5600元；
[小问2详解】
在（1）的条件下，总利润，
当时，y随x的增大而增大，
∴，y最大为4240，
解得；
当时，y随x的增大而减小，
∴，y最大为4240，
解得（舍去），
∴．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．2023-2024学年度第二学期4月份阶段监测数学学科试题
八年级数学
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 分别以下列各组数据为三角形三边的长度，能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 7，13，15 D. 9，40，41
2. 若，则下列各式中正确的是( )
A. B. C. D.
3. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，则底角的度数为（ ）
A. 67°50＇ B. 67.5° C. 22.5° D. 22.5°或67.5°
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若CD=3，点Q是线段AB上的一个动点，则DQ的最小值（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
5. 如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠C＝20°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，交AC于点E，连接AD，下列说法中正确的是（ ）
①∠BAD＝60°，②AE＝2AB，③AD+BD＝AC．
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
6. 解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确是（ ）
A. B. C. D.
7. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，点是平分线上的一点，，垂足为D，若，则点到边的距离是（ ）
A. B. 3 C. 5 D. 4
9. 如图，在中，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，连接AD．若，的周长为11cm，则BC的长等于（ ）
A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm
10. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF；⑤S△ADB＝2S△BDF，其中正确的结论共有（ ）
A. 4个 B. 3个
C. 2个 D. 1个
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 不等式x+3＜﹣1的解集是____
12. 等腰三角形的两条边长为2和6，则三角形的周长为_______．
13. 如图，在△ABC中，O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠BOC＝126°，则∠A的度数为______．
14. 按如图的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若某运算进行了3次才停止，则x的取值范围是 __________________．
15. 已知，则的值为_________.
16. 对有理数x，y定义运算：x*y=ax+by，其中a，b是常数．例如：3*4=3a+4b，如果2*（﹣1）=﹣4，3*2＞1，则a的取值范围是_______．
三、解答题：本大题共6小题，共66分．
17. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
18. 已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE和BF相交于D，且BD=CD．求证：点D在∠BAC的平分线上
19. 甲、乙两厂家生产的课桌和座椅的质量、价格一致，每张课桌200元，每把椅子50元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲：买一张课桌送1把椅子；乙：课桌和椅子全部按原价的9折优惠．现某学校要购买60张课桌和把椅子，则什么情况下该学校到甲工厂购买更合算？
20. 已知：如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=BC，D是BC边的中点，DE⊥AB，DE⊥AC，点E，F为垂足．
（1）求、的度数；
（2）求证：；
（3）求证：是等边三角形．
21. 如图，在等边中，交于点于点．
（1）求证：；
（2）求证：
22. 足球世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．每个A品牌足球的销售利润为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元．
（1）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润为多少；
（2）在（1）的条件下，该商店对A品牌足球以每个优惠元的价格进行“双十二”促销活动，B品牌售价不变，且全部足球售完后最大利润为4240元，求出的值．
