冀教版八年级数学下册第二十章《函数》 同步教学设计（表格式）

第二十章 函 数
章 节 备 课
第二十章 本章所需课时数 6课时
课标要求 1.了解常量和变量、两个变量之间的函数关系,建立函数模型,进一步发展学生的抽象思维和符号感. 2.了解变量和常量的意义、函数的概念能确定简单的整式、分式、二次根式和实际问题中的函数自变量的取值范围，会求函数的值. 3.了解函数的三种表示方法,能够选择适当的表示方法刻画某些简单实际问题中变量间的函数关系. 4.能结合图像对某些简单实际问题中的函数关系进行分析.
教材分析 本章的主要内容是,在实际问题中认识变量和常量,通过实例分析建立函数模型,确定函数自变量的取值范围,研究函数的表示方法,函数模型的简单应用，以及以变化的观点对两个量之间的关系作进一步研究.函数概念是学习一次函数、反比例函数和二次函数等内容的基础,它所体现的模型化思想沟通了许多数学内容之间的联系,为学生观察事物、解决问题提供了一条新的、有效的途径.
主要内容 1.突出函数在现实生活中的广泛应用,在“常量和变量”“函数”“函数的表示”等内容的学习中,通过大量的具体实例让学生来认识和理解这些概念,激发学生的学习兴趣.通过“观察与思考”“一起探究”“大家谈谈”等学习活动,让学生参与到知识的形成过程中,充分认识和体会函数的概念,发展学生的发现问题、提出问题、解决问题的能力,使学生感受“函数思想”,积累数学活动经验. 2.在问题引入过程中,将问题用表格、图像、柱状图等形式表述,使学生体会实际问题表述的多样化,通过学生的探究、交流,理解现实问题的数学本质,逐步积累从事数学活动的经验,感悟归纳、概括等数学思想. 3.通过开放问题的设置,激发学生发散思维,从多个角度领会用数学知识解决问题的作用. 4.使学生经历问题的解决的过程,让学生体会函数自变量与函数值的对应关系,体会函数概念的本质. 5.在“函数的表示”一节中，不仅体现了函数的三种表示方法，还特别关注了函数的三种表示方法之间的关系.
教学目标 1.让学生经历常量和变量、两个变量之间的函数关系,建立函数模型,以及用多种方法表示函数的认知过程,进一步发展学生的抽象思维和符号感. 2.通过实例,让学生了解变量和常量的意义、函数的概念;能举出现实生活中具有函数关系的例子,并能确定简单的整式、分式、二次根式和实际问题中的函数自变量的取值范围，会求函数的值;了解函数的三种表示方法,能够选择适当的表示方法刻画某些简单实际问题中变量间的函数关系. 3.使学生能结合图像对某些简单实际问题中的函数关系进行分析,对变量的变化规律进行预测,并能解决--些简单的问题. 4.让学生经历“问题情境一建立模型一求解验证”的过程,体会数学的价值,增强学生学习数学的信心.
课时分配 20.1 常量与变量 1课时 20.2 函数 2课时 20.3 函数的表示 1课时 20.4 函数的初步应用 1课时 回顾与反思 1课时
教与学建议 1.让学生充分经历建立函数模型的过程.函数模型的建立需要经历对实际情境的理解，变量之间关系的探究,问题本质的抽象,共同本质的概括等一系列过程,这是对实际情境亲身感受的积累、提炼与升华.应让学生在教科书设计的活动中去亲身体验和理解两个变量间的对应关系.在教学中，根据实际需要,可以对前面的实例进行分析,也可以再补充一些实例,但不要把问题作为概念的引例直接讲授,不要让学生去机械记忆概念. 2.教师在组织教学活动的过程中,应充分发扬民主，为学生提供自主学习及探索的空间与时间.在建立变量与常量、函数的概念时,应让学生结合具体实例进行辨析,加深对概念的理解,促使学生在课堂上积极思考、合作交流,并在活动的过程中不断地获取新知,提高数学思考的能力. 3.注意知识间的前后联系.函数关系及三种表示方法,在前面的教学中已有渗透和体现，在教学中应注意与前面知识的联系.对于今后相关函数的学习,本章知识作了必要的知识思想和方法的铺垫,函数关系的分析,图像的研究,函数模型的建立等都是将来学习的基础,在本章教学中应给予关注.
20.1 常量和变量
课题 常量和变量 课型 新授课
教学内容 教材第60-62页的内容
教学目标 1.通过实例，让学生了解实际生活中事物变化中的存在的常量和变量. 2.通过探索两个量之间的关系和变化规律，能说出常量和变量的意义. 3.发展学生的抽象思维和符号意识.
教学重难点 教学重点：了解实际生活中事物变化中的存在的常量和变量. 教学难点：通过探索两个量之间的关系和变化规律，能说出常量和变量的意义.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 大千世界处在不停的运动变化之中，如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？我们一起来看下面的问题： （1）一列高速行驶的动车，速度为280千米/时，它行驶的路程与时间有什么关系呢？ （2）一个文具盒15元，购买的文具盒的数量和总价有什么关系呢？ 【师生活动】 老师：我们先看第（1）个问题，还记得路程、时间、速度的数量关系吗？ 学生：路程=速度×时间. 教师：上面的三个量中，哪个量是固定不变的？ 学生：速度是固定不变的. 老师：1小时动车能跑多少千米？2小时呢？ 学生：1小时动车能跑280千米，2小时跑560千米. 老师：回答的很好.我们再来看第（2）个问题，还记得总价、数量、单价的数量关系吗？ 学生：总价=单价×数量. 老师：上面的三个量中，哪个量是固定不变的？ 学生：单价是固定不变的. 老师：购买2个文具盒多少钱？4个呢？ 学生：购买2个文具盒30元钱，购买4个60元钱. 老师：好了，同学们，数学上常用常量与变量来刻画各种运动变化．本节课我们就来研究一下数学问题中常量和变量． 2.类比探究，学习新知 在实际生活中，人们常需要用量化的方式来描述一个事物的变化过程，这会涉及一些量，其中，一些量是不变的，一些量是变化的. 我们知道，在一个匀速运动过程中,路程=速度×时间. 这里的路程、速度和时间就是三个不同的量.这些量在不同的变化过程中会有怎样的具体表现形式呢？ 我们一起来进行下面的探究. 【一起探究】 1.小明在上学的途中，骑自行车的平均速度为300 m/min. （1）填写下表: (2)在这个问题中，哪些量是不变的，哪些量是变化的 变化的量之间存在着怎样的关系？ 【师生互动】 老师：小明上学的过程可以看作一个匀速运动的过程吗？ 学生：可以. 老师：速度、时间、路程的关系是什么来？ 学生：路程=速度×时间. 老师：骑自行车的平均速度为300 m/min，按照数量关系填一下表格吧. 学生：填好了. 老师：好，我们再回顾一下这个问题.在这个问题中，有哪些量？ 学生：速度、时间、路程三个量. 老师：哪些量是不变的？ 学生：速度是不变的. 老师：那哪些量是变化的呢？ 学生：时间和路程是变化的. 老师：同学们回答的很对.那你们知道变化的量之间存在着怎样的关系吗？ 学生：路程=30×时间. 老师：回答的很好.我们用字母表示就是s=300t. 老师：我们接着看下面一道题目. 2.桃园村办企业去年的总收入是25000万元，计划从今年开始逐年增加收入3500万元. 在这个问题中，一共有几个量？其中哪些量是不变的，哪些量是变化的？变化的量之间存在着怎样的关系？ 【师生互动】 老师：这个问题中，一共有几个量啊？ 学生：一共有四个量. 老师：哪四个量呢？ 学生：去年的总收入、从今年起每年增加的收入、第几年和第几年的总收人. 老师：去年的总收入是变化的量吗？ 学生：不是变化的量. 老师：还有不变的量吗？ 学生：还有，以后每年增加的收入也是不变的量. 老师：那变化的量有哪些？ 学生：第几年和第几年的总收入都是变化的量. 老师：变化的量之间存在着怎样的关系？ 学生：第几年的总收入=去年的总收入+几×每年增加的收入. 老师：回答的很好，如果用n(n取正整数)表示从今年起的第n年，用W表示第n年的总收入，试着写一写它们之间的关系吧. 学生：W=25000+3500n. 老师：回答的非常对. 老师：类似地，请你再举出两个实际问题的例子，并分别说明它们各含有几个不同的量，其中哪些量是不变的，哪些量是变化的.试着跟同桌一起说一说. 【课堂小结】 在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量(variable)，而数值保持不变的量叫做常量(constant). 【大家谈谈】 根据上面大家自己举出的两个例子，说一说这两个例子中常量和变量. 3.随堂训练，巩固新知 在下列各问题中，分别各有几个量，其中哪些量是常量，哪些量是变量？这些量之间具有怎样的关系？ (1)每张电影票的售价为10元.某日共售出x张票，票房收入为y元. (2)一台小型台秤最大称重为6 kg，每添加0.1 kg重物，指针就转动6°的角.添加重物质量为m kg时，指针转动的角度为α. (3)用10 m长的绳子围成一个长方形.小明发现不断改变长方形的长x(m)的大小，长方形的面积S(m2)就随之有规律地发生变化. 【师生互动】 老师：在第（1）个问题中，有几个量？ 学生：有三个量. 老师：哪些是常量？哪些是变量？ 学生：10元是常量，x张和y元是变量. 老师：这些量之间具有怎样的关系？ 学生：y=10x. 老师：在第（2）个问题中，有几个量？ 学生：…… 老师：哪些是常量？哪些是变量？ 学生：…… 老师：这些量之间具有怎样的关系？ 学生：…… 老师：在第（3）个问题中，有几个量？ 学生：…… 老师：哪些是常量？哪些是变量？ 学生：…… 老师：这些量之间具有怎样的关系？ 学生：…… 4.布置作业 1.课本P62练习第1题和第2题. 2.课本P62习题A组第1，2，3题. 3.课本P62习题B组第1，2题. 引入生活中的实际问题，联想小学知识：路程=速度×时间、总价=单价×数量，此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 通过生活中的动车运动、购物问题，变换动车的运动时间、购买的数量，让学生直观感受变量和常亮的存在. 通过活动,使学生感受到实例中有的量是不变的,有的量是变化的,变量之间存在一定的关系. 本节课是用变化的观点研究数量,重点是认识在变化过程中,常常呈现具有不同状态的量:变量和常量.应设置适当的问题系列,让学生充分体会其中的变量和常量. 对于“一起探究”中的问题1,可按下列问题展开分析: (1)小明行驶5 min时，自行车的行驶速度是多少 行驶路程是多少 10 min时呢 60 min时呢 (2)自行车行驶过程中,平均速度、行驶时间和行驶路程三个量是否变化 若不变,它们对应的数值是多少 若变化,是怎样变化的 (3)行驶路程的变化与行驶时间的变化是否有联系，它们之间具有怎样的关系 对于“一起探究”中的问题2,是以学生已经学习过的条形统计图呈现的,学习过程可设计以下环节进行: (1)先让学生结合问题情境,独立思考、探索条形统计图所蕴含的信息. (2)组织同学间互动、交流、研讨,扩充获得的信息. (3)整合获得的信息,将信息归纳为几个量,这些量哪些是变化的,哪些是不变的 (4)这些量之间具有怎样的关系 “一起探究"中的问题3和“大家谈谈”是开放性问题,应给学生充分思考、交流的时间,尽量丰富有关“不变的量”“变化的量”的实例,进一步让学生了解常量与变量,激发学生的发散思维. 通过实例，加深对常量、变量以及量与量之间关系的初步认识. (1)有三个量,10元是常量,x张和y元是变量,y=10x. (2)有五个量,6 kg, 0.1 kg和6°是常量,m kg和α是变量,α=60m(m≤6). (3)有三个量,10 m是常量,x和S是变量，S=x(5-x).
板书设计 20.1 常量和变量 在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量(variable)，而数值保持不变的量叫做常量(constant). 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
20.2 函数
第1课时
课题 函数 课型 新授课
教学内容 教材第63-66页的内容
教学目标 1.在具体情境中了解变量之间的对应关系，抽象出函数模型，感受函数是刻画现实生活中一种重要的数学工具. 2.掌握函数的定义，初步了解函数的三种表示方法：数值表、图像、表达式. 3.在具体函数中，能指出自变量及函数关系，并利用函数关系解决简单问题.
教学重难点 教学重点：掌握解函数的含义，初步了解函数的三种表示方法. 教学难点：能够根据题意抽象出函数模型，并利用函数关系解决简单问题.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定． 在上述例子中，每个变化过程中的两个变量．当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定． 老师：你能举出一些类似的实例吗？ 老师：路程与时间有什么关系呢？ 2.类比探究，学习新知 函数是刻画和研究变化过程中量与量之间关系的一种重要数学模型，在现实生活中具有广泛的应用.现在，我们开始学习函数. 【观察与思考】 1.思考并解决下列问题: (1)下表是欣欣报亭上半年的纯收入情况： 根据这个表格你能说出1月~6月，每个月的纯收入吗？ 【师生互动】 老师：在这个问题中，一共有几个量？ 学生：一共有两个量. 老师：分别是哪两个量呢？ 学生：月份和纯收入. 老师：这两个量是常量还是变量？ 学生：是变量. 老师：根据上面的表格，1月份的纯收入是确定的吗？ 学生：是确定，是4560元. 老师：那2月份的呢？ 学生：也是确定的，是4790元. 老师：同桌之间互相提问一下，每个月份的纯收入分别是多少元？ 学生：…… 老师：好了，不管几月，是不是月份确定了，纯收入就是确定的呢？ 学生：是的. 老师：好，我们继续看下面一个题目. (2)图20-2-1是某市冬季某天的气温变化图. 观察这个气温变化图，你能找到凌晨3时、上午9时和下午16时对应的温度吗？你能得到这天24小时内任意时刻对应的温度吗？ 【师生互动】 老师：在这个问题中，一共有几个变量？ 学生：两个. 老师：分别是哪两个变量呢？ 学生：温度和时间. 老师：你能从图上找出凌晨3时对应的温度吗？ 学生：是-3℃. 老师：那上午9时的温度呢？ 学生：是1℃. 老师：那下午16时的温度呢？ 学生：是4℃. 老师：和同桌讨论一下，看看其他时间的温度分别是多少摄氏度？ 学生：…… 老师：你能得到这天24小时内任意时刻对应的温度吗？ 学生：根据气温变化图，到这天24小时内任意时刻对应的温度. 老师：好，我们继续看下面这个问题. (3)我们曾做过“对折纸”的游戏:取一张纸，第1次对折，1页纸折为2层；第2次对折，2层纸折为4层；第3次对折，4层纸折为8层……用n表示对折的次数，p表示对折后的层数，请写出用n表示p的表达式.根据写出的表达式，是否可以得出任意次对折后的层数？ 【师生互动】 老师：在“对折纸”的游戏中，有哪些变量啊？ 学生：对折的次数和对折后的层数是变量. 老师：它们之间有什么关系呢？ 学生：每多对折一次，层数变为前面的2倍. 老师：如果用n表示对折的次数，p表示对折后的层数，你能写出用n表示p的表达式吗？ 学生1：p=2n. 学生2：p=2n. 老师：哪个同学做的对呢？ 学生：…… 【课堂小结】 在上述三个问题中，都有两个变量，并且在同一个问题中， 当其中一个量变化时，另-个量也在相应地变化，当其中一个量取定一个值时，另一个量也相应地取定一个值. 一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y.如果给定x的一个值，就能相应地确定y的一个值，那么，我们就说y是x的函数(function).其中，x叫做自变量(independent). 如上面问题1(1)~(3)中，欣欣报亭的纯收人S(元)是月份T的函数，T是自变量；某市某-天的气温T(C)是时刻t的函数，t是自变量；折纸的层数p是折纸次数n的函数，n是自变量. 如果y是x的函数，那么我们也说y与x具有函数关系. 【大家谈谈】 1.如果y是x的函数，那么哪个量是自变量，哪个量是自变量的函数？ 2.在上面的“观察与思考”中，我们认识了用“数值表、图像、表达式”三种方式分别表示的函数，请你再用这三种方式各举一个表示函数关系的例子. 3.随堂训练，巩固新知 1.改革开放以来，我国城乡居民的生活发生了巨大变化.下表是国家统计局公布的近几年人民币储蓄存款余额的情况: 在这里，存款余额(亿元)与年份两个量之间是否具有函数关系？若具有函数关系，请指出其中的自变量和关于自变量的函数. 【师生互动】 老师：我们先回忆一下，什么是函数关系？ 学生：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y.如果给定x的一个值，就能相应地确定y的一个值，那么，我们就说y是x的函数. 老师：上面这个问题中，存款余额(亿元)与年份两个量之间是否具有函数的特征？ 学生：具有. 老师：存款余额(亿元)与年份两个量之间是否具有函数关系？ 学生：具有函数关系. 老师：请指出其中的自变量和关于自变量的函数. 学生：自变量是年份，存款余额(亿元)是关于自变量的函数. 老师：好，回答的很好，我们继续看下面一个题目. 2.海水受日月的引力而产生潮汐现象.海水早晨.上涨的现象叫做潮，黄昏上涨的现象叫做汐，潮与汐合称潮汐.某港口的某-天，从0时至24时的水位情况如图20-2-2所示.变量h与变量t是否具有函数关系？若具有函数关系，则哪个量是自变量，哪个量是这个自变量的函数？ 【师生互动】 老师：大家都知道潮汐现象吗？海水受日月的引力而产生潮汐现象. 学生：知道. 老师：根据水位情况变化图，你能看出有哪几个变量吗？ 学生：h和t. 老师：变量h与变量t是否具有函数关系？ 学生：具有. 老师：当t=6时，h的值是多少？ 学生：…… 老师：当t=8时，h的值是多少？ 学生：…… 老师：哪个量是自变量，哪个量是这个自变量的函数？ 学生：t是自变量，h是这个自变量的函数. 老师：好，同学们回答的非常好. 4.布置作业 1.课本P65练习第1题和第2题. 2.课本P65习题A组第1，2，3题. 3.课本P66习题B组第1，2题. 引入生活中的“水滴激起的波纹”实际问题，根据面积随着半径的变化而变化，引出问题.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上.引出本节课的知识. 本节课是在上一节课内容的基础上，探索两个变量之间的对应关系——函数.它是刻画两个变量之间关系的重要数学模型,也是解决许多实际问题的重要工具.函数概念的本质是两个变量之间存在的对应关系,教学中,应关注三个问题:一是变化过程,二是互相依赖的关系,三是“值”的唯一性. 通过实例，从三个不同角度描述变化规律，感受变量之间的对应关系. 在“观察与思考”活动中,应先让学生自己尝试、思考,再合作交流,引导学生对1月~6月中的“月份”、24小时内任意“时刻”及折叠的“次数”多取一些值,感受月份与纯收入、时刻与温度、折叠次数与层数之间的变化规律及其对应关系. 引导学生思考、交流,分析三个实例的共性:两个变量间,当一个变量变化时,另一个变量也相应地变化;当一个变量取一个确定值时,另一个变量的值也随之确定. 三个实例中的两个 变量之间分别具有相互依赖关系,当其中一个变量变化时，另一个变量也相应地变化,并且当其中一个变量取定一个值时,另一个变量也相应地取定一个值. 进一步理解函数模型，辨析自变量与函数,初步体会数值表、图像、表达式这三种函数的表示方法. “大家谈谈”与“做一做”的活动,是为了让学生对函数概念进一步理解.应为学生提供充足的思考、交流的时间和空间,让学生进行深刻的思考和广泛的交流,在交流中达成共识，不要简单地说“是”或“不是”. 1.存款余额与年份具有函数关系,年份是自变量,存款余额是年份的函数. 2.h与t具有函数关系,t是自变量,h是t的函数. 函数的概念是属于“了解”的内容,只要学生能够领会其意义,能够辨识两个量之间的关系是否为函数关系就可以了,不宜深究.
板书设计 20.2 函数 一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y.如果给定x的一个值，就能相应地确定y的一个值，那么，我们就说y是x的函数(function).其中，x叫做自变量(independent). 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
20.2 函数
第2课时
课题 函数 课型 新授课
教学内容 教材第66-68页的内容
教学目标 1.进一步经历函数模型的建构过程，体会函数中变量之间的对应关系. 2.能确定简单函数和有实际背景的函数中自变量的取值范围. 3.渗透数学结合的数学思想，发展学生的模型观念，感受函数的普遍性.
教学重难点 教学重点：确定简单函数和有实际背景的函数中自变量的取值范围. 教学难点：经历函数模型的建构过程.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子． (1)一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm； (2)设一长方体盒子高为30cm，底面是正方形，底面边长a(cm)改变时，这个长方体的体积V(cm3)也随之改变． 【师生互动】 老师：问题（1）中，哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？ 学生：所挂重物的质量是自变量，挂上重物后弹簧的长度是自变量的函数. 老师：你能写出用自变量表示函数的式子吗？ 学生：y=10+0.5x. 老师：题目中“一个弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体”是什么意思？ 学生：这个弹簧秤能称的物体质量要小于或等于10 kg. 老师：那超过10 kg会怎么样？ 学生：弹簧会变形，测量不准确了. 老师：是的，因此，这个函数表达式中，x是不是需要有一个取值范围啊？ 学生：是的. 老师：好的，我们再看第（2）题，哪个是自变量？ 学生：底面边长a(cm)是自变量. 老师：你能写出用自变量表示函数的式子吗？ 学生：V=30a2. 老师：同学们看一下，这个自变量a有没有取值范围啊？ 学生：a要大于0. 老师：很好，我们这节课就来研究一下自变量的取值范围问题吧. 2.类比探究，学习新知 函数的自变量可以在允许的范围内取值，超出这个范围可能失去意义，就是函数的自变量的取值范围问题. 【大家谈谈】 老师：大家翻到课本第63页，问题（1）中，“欣欣报亭1月~6月的每月纯收入S(元)是月份T的函数”，自变量T的值可以是1吗？ 学生：可以. 老师：还可以是几啊？ 学生：还可以是2，3，4，5，6. 老师：当T=1.5时，原问题有意义吗？ 学生：没有意义. 老师：那当T=7时呢？ 学生：也没有意义. 老师：好了，我们继续看下面的问题（2），“某市某一天的气温T(°C)是时刻t的函数”，自变量t可以是凌晨2时吗？ 学生：可以. 老师：自变量t还可以是多少？ 学生：还可以凌晨4时、5时，下午3时、4时…… 老师：说了这么多啊，那可以是第二天凌晨3时吗？ 学生：不可以. 老师：好了，我们继续看下面的问题（3），“折纸的层数p是折纸次数n的函数”，自变量n的值可以是3吗？ 学生：可以. 老师：可以是5吗？ 学生：可以. 老师：还可以是多少呢？ 学生：还可以是6，7，8，9，10…… 老师：回答的很好，那么当n=0.5时，原问题有没有意义？ 学生：没有意义了. 老师：大家再回想一下这三个问题，自变量都分别可以取哪些值？跟同桌一起讨论一下. 老师：好了，大家都讨论完了吗？老师给大家总结一下吧. 实际上，在上述三个问题中，T只能取1，2，3，4，5，6；t可取这一天0时~24时中的任意值；n只能取正整数. 老师：大家都明白了吗？ 学生：明白了. 【试着做做】 求下列函数自变量x的取值范围： （1）y=2x+1； （2）； （3）. 【师生互动】 老师：同学们先看一下这个题目，跟同桌讨论一下如何解决. 老师：好了，现在我们一起看一下，在函数y=2x+1中，x可以取1吗？可以取1.5吗？可以取吗？ 学生：都可以. 老师：那我们试试0和负数，可以取得到吗？ 学生：可以. 老师：那么函数y=2x+1中，x可以取哪些数啊？ 学生：能取到全体实数. 老师：回答的很好，能取到全体实数.我们继续看第二个函数，的x能取到全体实数吗？ 学生1：能. 学生2：不能. 老师：到底能，还是不能呢？你说一下，为什么不能啊？ 学生2：因为x是分母，不能取0. 老师：他说的对不对啊？ 学生：对. 老师：嗯，很好，作为分母不能取0，因此函数的自变量x的取值范围是什么？ 学生：除了0以外的所有实数. 老师：很好，我们可以写作x≠0. 老师：我们看最后一个函数，我们先看一下等式右边，是不是一个二次根式啊？ 学生：是的. 老师：二次根式有什么性质呢？ 学生：有双重非负性. 老师：回答的很对，那x的取值范围你们能求出来吗？ 学生：根据x-1≥0，可以求出x的取值范围是x≥1. 老师：真棒，回答的非常好. 老师：做完了给出函数的取值范围的问题，我们一起再来看一下下面这个例题——实际问题中的自变量的取值范围问题. 例 如图20-2-3，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，边CA与边MN在同一条直线上，点A与点M重合.让△ABC沿MN方向运动，当点A与点N重合时停止运动.试写出运动中两个图形重叠部分的面积y(cm2)与MA的长度x(cm)之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围. 【师生互动】 老师：同学们先自己思考一下这个题目该怎么解答？ 老师：好，我们一起来看一下，∠A的度数是多少？ 学生：45°. 老师：重合部分是什么图形呢？ 学生：等腰直角三角形. 老师：MA的长度是x，另一条直角边的长度是多少？ 学生：也是x. 老师：自变量x的取值范围如何确定呢？ 学生：x应该大于等于0. 老师：还有其他限制条件吗？ 学生：…… 老师：好，我们一起看一下课本上的解答过程吧. 解:因为△ABC是等腰直角三角形，四边形MNPQ是正方形，且AC=BC=QM=MN,所以运动中两个图形的重叠部分也是等腰直角三角形. 由MA=x,得，0≤x≤10. 【课堂小结】 函数的自变量的取值范围由两个条件所确定，一是使函数表达式有意义，二是使所描述的实际问题有意义. 3.随堂训练，巩固新知 1.求下列函数自变量的取值范围: （1）； （2）； （3）. 2.写出下列问题中的函数关系式及自变量的取值范围: (1)某市民用电费标准为0.52元/千瓦时，求电费y(元)与用电量x(千瓦时)的函数关系式. (2)已知一等腰三角形的面积为20 cm2.设它的底边长为x(cm)，求底边上的高y(cm)与x的函数关系式. 4.布置作业 1.课本P67练习第1题和第2题. 2.课本P68习题A组. 3.课本P68习题B组第1，2题. 引入生活中的弹簧秤称物体、长方体盒子求体积的实际问题，根据实际问题中自变量是否有限制，引出本节课所要讲的自变量取值范围的问题.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上.引出本节课的知识. (1)根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，可以列出函数表达式；(2)根据“长方体的体积=底面积×高”可以列出函数表达式． 在函数中,自变量取定的一个值,函数相应地有一个值与之对应,但函数的自变量往往需要满足一定的条件，这就是函数的自变量的取值范围.在教学中，应结合具体问题以及函数表达式来辨析自变量的取值范围. 让学生在实例中体会函数的自变量的取值范围. 对于“大家谈谈”活动,应充分给学生独立思考、交流的时间和空间,也可另外让学生再举一些实例,根据实例,寻求函数的自变量的取值范围,以丰富学生对函数概念的理解. 1.T只能取1，2，3，4，5，6这6个整数，当T=1.5或T=7时，原问题(S)无意义. 2.0≤t<24,当t取第二天凌晨3时时,原问题(T)无意义. 3.n≥0,且n是整数,当n=0.5时，原问题(p)无意义. 使函数有意义的自变量取值的全体，叫做函数自变量的取值范围． 对于“试着做做”活动,让学生自己思考后，再进行交流合作,不但要关注结果的正确与否,还要探求确定自变量取值范围的依据. 对整式、分式和二次根式三种形式的函数表达式中的自变量的取值范围进行探究. 当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． 对于“例题”的教学,也应让学生先行独立思考,并交流各自做法,再由教师引导，完整解决问题的过程以及书写规范. 在解答实际问题的函数表达式中，自变量的取值范围一定要使实际问题有意义. 解答这个题目时，同学们一定要注意自变量x所在的位置，x的取值范围要使函数表达式有意义. 我们先根据题意写出函数关系式.在求自变量的取值范围时，需要保证：一是使函数表达式有意义，二是使所描述的实际问题有意义.
板书设计 20.2 函数 使函数有意义的自变量取值的全体，叫做函数自变量的取值范围． 当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． 函数的自变量的取值范围由两个条件所确定，一是使函数表达式有意义，二是使所描述的实际问题有意义. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
20.3 函数的表示
课题 函数的表示 课型 新授课
教学内容 教材第69-73页的内容
教学目标 1.通过实例,进一步了解函数关系的三种表示方法. 2.了解函数各种表示方法的特点，能选择适当的方法表示实际问题中的函数关系，发展符号感. 3.体会并认识函数关系的三种表示方法的关系,初步体会数形结合的思想方法.
教学重难点 教学重点：函数图像的画法. 教学难点：理解三种函数表示形式之间的联系.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 问题：(1)某人上班由于担心迟到所以一开始就跑，等跑累了再走完余下的路程，可以把此人距单位的距离看成是关于出发时间的函数，想一想我们用怎样的方法才能更好的表示这一函数呢？ (2)生活中我们经常遇到银行利率、列车时刻、国民生产总值等问题，想一想，这些问题在实际生活中又是如何表示的？ 【师生互动】 老师：同学们，还记得我们在“函数”这一节学过，表示函数有哪几种方法吗？ 学生：记得，有数值表、图像和表达式三种方法. 老师：针对问题（1），选择哪种方法最合适？ 学生：图像法. 老师：针对问题（2）中的不同情境，我们应该选择哪种方法？ 学生：…… 2.类比探究，学习新知 函数有不同的表达方式，可用来表达不同的问题情境，帮助我们分析和解决问题. 我们知道，用表达式、图形和表格等都可以表示两个变量之间的函数关系.现在，我们对这些表示方法作进一步的探究. 声音在空气中传播的速度(简称声速)与气温之间具有函数关系.某研究者通过实验得到了如下一组关于气温x与声速y对应的数值： 【师生互动】 老师：上面表示的是哪两个变量之间的函数关系？ 学生：气温x与声速y的函数关系. 老师：哪个是自变量？ 学生：气温x是自变量. 老师：这是用什么方法表示的两个变量之间的函数关系？ 学生：数值表法. 老师：根据上面的表格你能直接说出x=-5时的声速吗？ 学生：328.36 m/s. 【做一做】 老师：我们按照下面的要求，自己画一画： 以横轴表示气温，每5°C为一个单位长度，纵轴表示声速，每100 m/s为一个单位长度，建立直角坐标系以表格中给出的气温和声速的数值为点的横坐标和纵坐标. 老师：坐标系画好了吗？继续下面的步骤： 在直角坐标系中描点. 老师：点描完了吗？我们进行最后一步： 连线(用平滑的曲线连点)，画出图形. 老师：同学们，都画好了吗？看一下老师画的吧. 老师：大家看一下，这个函数的图像是不是一条直线啊？ 学生1：是. 学生2：不是. 老师：好，我们看一下表格中的数据，从-10℃到-5℃，对应的声速增加了多少？算一算. 学生：328.36-325.36=3（m/s）. 老师：再看一下从-5℃到0℃，对应的声速增加了多少？算一算. 学生：331.36-328.36=3（m/s）. 老师：自己仔细看一下，气温每升高5℃，对应的声速是不是增加3 m/s？ 学生：是的. 老师：根据这个特点，结合画出的图像，试着自己写一写声速y(m/s)和气温x(°C)之间的函数关系式. 老师：好了，大家一起来看一下，函数关系式能不能表示声速y(m/s)和气温x(°C)之间的函数关系？ 学生：能. 老师：好，我们一起看一下课本上的内容. 通过上面的“做一做”，我们发现在这个问题中，声速与气温这两个变量之间的函数关系，既可以用数值表表示，也可以用图20-3-1中的图像表示，还可以用函数表达式来表示. 数值表、图像、表达式是函数关系的三种不同表达形式，它们分别表现出具体、形象直观和便于抽象应用的特点. 一般地，我们把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描点，所有这些点组成的图形就叫做这个函数的图像(image). 如图20-3-1中的图形就是函数的图像. 观察可知，函数的图像为一条直线. 【大家谈谈】 由函数的数值表、图像和表达式三种方法给出的函数关系各有怎样的特点？ 老师：我们先来看一下数值表，它有怎样的特点呢？还是看上面的气温与声速对应的数值表： 老师：根据这个数值表，你能不能直接说出10℃时对应的声速？ 学生：能，337.36m/s. 老师：那12℃时对应的声速呢？ 学生：不知道. 老师：好，我们总结一下数值表的优缺点吧. 优点:具有很强的操作性,数据很具体,便于作深入的统计分析,对于表中自变量的每一个值,可以不通过计算,直接把函数值找到,查询时很方便. 缺点:它只能把部分自变量的值和与之对应的函数值列出,而且从表中看不出变量间的对应规律. 老师：好，下面我们继续看一下图像，它有怎样的特点呢？还是看上面的气温与声速对应的函数图像： 老师：根据画出的图像，你能不能判断，随着气温的升高，声速的变化规律？ 学生：能，随着气温的升高，声速越来越快. 老师：你能直接说出气温是12℃时的声速吗？ 学生：不能. 老师：好，我们总结一下图像法的优缺点吧. 优点:能形象直观地显示出函数的变化规律,把抽象的函数概念形象化,为研究函数的性质提供方便. 缺点:所画的图像是近似的、局部的,从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值. 老师：下面我们继续看一下表达式，它有怎样的特点呢？还是看上面的气温与声速对应的函数表达式：.根据这个表达式，你能直接说出10℃是的声速吗？ 学生：不能. 老师：你能算出12℃时的声速吗？ 学生：可以.把x=12代入表达式就可以算出来. 老师：好，我们总结一下表达式法的优缺点吧. 优点:简单明了,能从解析式中清楚地看到两个变量之间的全部相依关系,并且适合进行理论分析和推导计算. 缺点:在求对应值时,有时要做较复杂的计算. 老师：好了，我们一起看下面这个例题. 例 在直角坐标系中，画出函数y=2x+1的图像. 解:(1)取值. 根据函数表达式，取自变量的一些值，得出函数的对应值，按这些对应值列表: (2)描点. 根据自变量和函数的数值表，在直角坐标系中描点. (3)连线. 用平滑的曲线将这些点连接起来，即得函数的图像，如图20-3-2. 老师：同学们，根据上面的做法，自己试着画一画吧. 3.随堂训练，巩固新知 用计算器可以求出任何一个非负数的算术平方根，显示器显示的结果随输入数的变化而变化.设输入的数为x，显示的结果为y，程序如图20-3-3所示. (1)写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围. (2)根据函数关系式，填写表格: (3)借助这些对应的数值画出这个函数的图像. 4.布置作业 1.课本P71练习第1题和第2题. 2.课本P71习题A组第1，2，3题. 3.课本P72习题B组第1，2题. 引入生活中常见的实际问题，结合之前学过的表示函数的方法，讨论选择合适的表示方法，引出本节课所要讲的函数表示的问题.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上，引出本节课的知识. 这是用数值表的形式来表达声速y与气温x之间的函数关系. 在前面学习的函数知识的基础上,探索把数值表表示的函数关系用图像和表达式来表示. 通过对函数关系表示方法的进一步研究,使学生加深对函数概念的理解,认识到三种表示方法能使数和形统一起来,三者各有特点,有时又可互相转换. 对“做一做”的内容，应根据学生不同的基础,给学生提供探索的空间,视探索进程进行适当地引导,在学生画出函数图像后,引导学生归纳、体会图像表示函数关系的特点. 给出问题背景中的数据后,让学生尝试完成以下任务: (1)除用数值表表示这个函数外,还可以用哪些形式表示这个函数关系 (2)气温每升高(或降低)1 °C,对应的声速增加(或降低)多少 当x=0时,y的值是多少 如何用表达式表示声速y与气温x之间的关系 (3)如何求气温为-4 °C,28 °C时声速y的值 引导或组织学生进行合作交流,教师作适当的引导. 充分调动学生学习的积极性，展开思考和交流活动,引导学生归纳三种函数表示方法的特点，明确由表达式画函数图像的方法、步骤. 例题是在前面学习、分析函数三种表示方法的特点的基础上,进一步学习用图像表示函数的方法. 画图像的三个主要步骤： （1）取值. （2）描点. （3）连线. 通过学生的探究和交流,用表达式、数值表、图像表示问题中的函数关系. （1）（x≥0）. （2）
板书设计 20.3 函数的表示 数值表、图像、表达式是函数关系的三种不同表达形式，它们分别表现出具体、形象直观和便于抽象应用的特点. 一般地，我们把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描点，所有这些点组成的图形就叫做这个函数的图像. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
20.4 函数的初步应用
课题 函数的初步应用 课型 新授课
教学内容 教材第74-77页的内容
教学目标 1.能从函数关系中获取相应信息，运用函数解决简单的实际问题. 2.体会函数模型的作用，增强数学应用意识.
教学重难点 教学重点：经历从函数的图表中获取信息、建立数学模型，解决问题的过程. 教学难点：结合图像对某些简单实际问题中的函数关系进行分析，并能解决一些简单的问题.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 如图是体育科研工作者根据实验数据绘制的一幅图像，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化的函数关系．(注：血乳酸浓度升高是运动员感觉疲痔的重要原因．未运动时的血乳酸浓度水平通常在40 mg／L以下．图中虚线表示运动员全力运动后来用静坐方式休息时血乳酸浓度的变化情况，实线表示采用慢跑等活动方式放松时血乳酸浓度的变化情况．) 你能从图像中获取了哪些信息呢？ 2.类比探究，学习新知 很多实际问题和数学问题都表现为两个变量之间的函数关系.因此，学会建立函数模型，并用函数模型解决问题，是十分重要的. 常用的温度计量标准有两种，一种是摄氏温度(°C)，另一种是华氏温度(°F). 中央气象台天气预报中的气温，用的就是摄氏温度. 【一起探究】 已知摄氏温度值和华氏温度值有下表所示的对应关系: 【师生互动】 老师：观察上面的表格，它描述的是哪两个变量之间的关系啊？ 学生：摄氏温度值和华氏温度值. 老师：这种描述函数关系的方法叫作什么？ 学生：数值表法. 老师：很对，根据表格，说一说，当摄氏温度为30°C时，华氏温度为多少？ 学生：86°F. 老师：当摄氏温度为40°C时，华氏温度为多少？ 学生：104°F. 老师：回答的很对，那么当摄氏温度为36°C时，由数值表能直接求出华氏温度吗？ 学生：不能，表格中没有36°C. 老师：那我们找一下规律：从摄氏温度30°C到40°C时，华氏温度升高了多少？ 学生：升高了18°F. 老师：当摄氏温度为0℃时，华氏温度为多少？ 学生：30°F. 老师：根据上面这些条件，若设摄氏温度为S（°C），华氏温度为H（°F），试着自己写一下这两种温度计量之间关系的函数表达式吧. 学生：H=1.8S+30. 老师：写的很对.根据写出的表达式，你能求出摄氏温度为36°C时的华氏温度吗？ 学生：把S=36代入表达式，可知H=1.8×36+30=94.8（°F）. 老师：那摄氏温度为25°C、45°C呢？自己算一算. 老师：下面我们再考虑一个问题：当华氏温度为140°F时，摄氏温度为多少？ 学生：华氏温度为140°F时，也就是H=140，代入可得 140=1.8S+30，能求出S=60. 老师：很好，做的很对. 【试着做做】 大家都熟悉奥运会的标志图案——五环图.在上面三个环中填入三个连续的偶数，在下面的两个环中填入两个连续的奇数，使得这三个连续偶数的和等于这两个连续奇数的和(如图中已经填好的2，4，6和5，7). 【师生互动】 老师：上面的题意你们理解了吗？试着自己验算一下：这三个连续偶数的和等于这两个连续奇数的和成立吗？ 学生：2+4+6=12，5+7=12，成立. 老师：请你按照要求再填写两组数.自己试着写一写. 老师：请和同学交流各自填写的数组是什么. 老师：都写出来了吗？ 学生1：写出来了，6,8,10；11,13. 学生2：8,10,12；13,17，好像不太符合要求. 老师：是不是写起来有难度啊？感觉满足要求的数组不多？ 学生：嗯，不好写. 老师：我们一起来看一下吧.如果用2x-2，2x，2x+2表示三个连续的偶数，用2y-1和2y+1表示两个连续的奇数，根据题意试着写出它们之间满足的等式. 学生：2x-2+2x+2x+2=2y-1+2y+1. 老师：试着自己化简一下，找出y与x的函数表达式. 学生：. 老师：很好，我们试一试，当x=10时，y的值是多少？ 学生：y=15. 老师：对，我们一起写一写，x=10,y=15,这时2x-2=18,2x=20, 2x+2=22,2y-1=29,2y+1=31，那么这组数就是18,20,22；29,31.同学们自己验证一下，是不是正确. 学生：18+20+22=60,29+31=60，正确. 老师：根据上面的办法，自己再试着写一组满足题目要求的数吧. 老师：写好了吗？我们再回头看一下之前的问题：满足要求的数组有很多吗？ 学生：有很多，只要x是偶数就可以了. 老师：说的很对.我们一起看一下课本上的内容吧. 实际上，上述问题中的函数表达式为.为保证x，y都为整数，x必须取偶数.如当x=20时，y=30,满足条件的一组数是:偶数38,40，42；奇数59，61. 3.随堂训练，巩固新知 老师：我们继续利用函数的知识解答下面这些实际问题. 1.一支20 cm长的蜡烛，点燃后，每小时燃烧5 cm.在图20-4-1中，哪幅图像能大致刻画出这支蜡烛点燃后剩下的长度h(cm)与点燃时间t(h)之间的函数关系？请说明理由. 【师生互动】 老师：我们先看一下要解决的是什么问题.是什么问题啊？ 学生：哪幅图像能大致刻画出这支蜡烛点燃后剩下的长度h(cm)与点燃时间t(h)之间的函数关系？ 老师：好，最开始的时候，蜡烛是多长啊？ 学生：20 cm长. 老师：也就是时间为0时，蜡烛长20 cm，我们看一下给出的图象，哪个不符合这个要求？ 学生：图（2），开始是0 cm，肯定不对. 老师：蜡烛燃烧时，每小时燃烧5 cm，是不是越烧蜡烛就越短啊？ 学生：是的. 老师：那么图（1）符合吗？ 学生：图（1）不符合，蜡烛的长度始终不变. 老师：我们再来验证一下，图（3）是不是我们要找的图像.一支20 cm长的蜡烛，点燃后，每小时燃烧5 cm，多长时间能烧完啊？ 学生：4小时.图（3）符合题意. 老师：很好，我们继续看下面这个题目. 2.一等腰三角形的周长为12 cm，设其底边长为y cm，腰长为x cm. （1）写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围. （2）画出这个函数的图像. 【师生互动】 老师：等腰三角形中，两条腰长是不是相等？ 学生：相等. 老师：根据题意写出y与x的函数关系式吧. 学生：y=12-2x. 老师：自变量x的取值范围怎么求呢？ 老师：除了x>0,y>0，还要注意满足三角形的三边关系! 老师：画图像时，注意自变量的取值范围，注意画图像的步骤：列表格、描点、连线. 4.布置作业 1.课本P75练习第1题和第2题. 2.课本P76习题A组第1，2，3题. 3.课本P77习题B组. 引入实际问题，结合之前学过的函数知识，让学生们从图中找出信息，引出本节课所要讲的函数知识.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 本节课是用函数解决一些简单实际问题,在解决问题的过程中,使学生加深对函数概念的理解,体会函数模型的作用. 关于“一起探究”的活动,应尽可能通过老师的引导，让学生自己完成. 目的是让学生进一步感受函数的意义及其作用. 解决函数的应用问题，一般需要借助函数图像，形象地表示自变量与相应的函数值的变化趋势． 对于“试着做做”“大家谈谈”的活动,应让学生采取自主探究与合作交流的学习方式，独立思考,填写数组后,交流各自的结果,交流符合要求的数组所具有的特征,教师应引导学生深入思考,分析问题，建立函数模型,求解验证,体会函数模型的作用. 设三个连续偶数为2x-2,2x,2x+2,两个连续奇数为2y-1，2y+1，其中x,y均为整数，得.将y看作x的函数,自变量x只能取偶数,由此可得满足条件的两组数. 通过解决两个学生所熟知的问题,从图像和表达式角度出发,进一步体会函数模型的作用. 函数的初步应用： （1）根据实际问题画出函数图像再解决实际问题； （2）直接根据给定的函数图像解决实际问题. 用函数解决一些简单的实际问题，从“形”的角度刻画变量间关系，以使学生加深对函数模型的理解，体会模型的作用．应让学生采取自主探究与合作交流的学习方式，以进一步巩固画函数图像的技能，并从图像中获取有用的信息.
板书设计 20.4 函数的初步应用 解决函数的应用问题，一般需要借助函数图像，形象地表示自变量与相应的函数值的变化趋势． 函数的初步应用： （1）根据实际问题画出函数图像再解决实际问题； （2）直接根据给定的函数图像解决实际问题. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
回顾与反思
课题 回顾与反思 课型 新授课
教学内容 教材第78-82页的内容
教学目标 1.理解函数相关概念，及函数的表示方法. 2.能确定函数自变量的取值范围，会利用函数解决简单问题. 3.进一步渗透数形结合的数学思想，体会函数是解决现实问题的重要模型. 4.能利用函数解决简单的实际问题，发展学生的应用意识.
教学重难点 教学重点：掌握函数概念，以及函数的三种表示方法；会判断两个变量之间的关系是否可以看作函数. 教学难点：理解函数的概念，能把实际问题抽象概括成函数问题.
教 学 过 程 备 注
1.复习旧知 【知识结构】 老师：同学们，第二十章我们已经学完了，我们先来总结一下本章的知识结构. 老师：同学们，之前我们学过的概念还记得吗？ 老师：还记得如何确定常量与变量吗？用字母表示的量一定是变量吗？ 老师：还记得函数关系的三种表示方法吗？ 老师：在用表达式表示函数关系时，如何确定函数的自变量的取值范围呢？有哪些注意点？ 老师：如何画一个函数的图像？有哪些步骤？ 老师：在函数的应用中，我们需要注意哪些问题？ 【总结与反思】 在本章，我们学习了常量和变量、函数及其表达形式、画函数的图像等内容.在本章的学习过程中，我们利用建立函数模型的方法解决了变化过程中的相关问题，这突出体现了函数思想以及数形结合方法的应用，有利于我们抽象能力的发展和应用意识的培养. 1.变量和常量. 在一个变化过程中，可以取不同数值的量是变量，始终取一个固定数值的量就是常量. 请举例说明一个变化过程中的常量和变量. 2.函数. 在函数概念中，特别强调了三个要素：有一个变化过程；变量之间的对应关系；当自变量取定一个数值时，对应的函数值唯一确定. 3.函数的表示形式. 可以用表达式、数值表格和图像来表示两个变量之间的函数关系. 请举例说明这三种表达形式以及它们的特点. 4.画函数图像的一般步骤: (1)列表；(2)描点；(3)连线. 【注意事项】 在研究函数的问题时，自变量的取值范围应注意以下两点： (1)自变量的取值要符合实际问题. (2)自变量的取值要使函数表达式自身有意义. 2.例题讲解及训练 【知识点一】常量和变量 【例1】在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温会随着太阳照射时间的长短而变化，在这个变化过程中，自变量是（ ） A．热水器里的水温 B．太阳光的强弱 C．热水器的容积 D．太阳照射时间的长短 【解析】热水器里的水温会随着太阳照射时间的长短而变化，故自变量是太阳照射时间的长短． 【答案】D 【变式训练】 1.在圆的周长公式C＝2πr中，常量是（ D ） A．C，π B．C，r C．π，r D．2π 2.如图，y＝3x﹣2表示了自变量x与因变量y的关系，当x每增加1时，y增加（ B ） A．1 B．3 C．6 D．12 【知识点二】函数自变量的取值范围 【例2】函数的自变量x的取值范围是（ ） A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＞﹣1或x≠0 D．x≥﹣1且x≠0 【解析】函数中，x的取值范围是x+1≥0且x≠0， 解得：x≥﹣1且x≠0． 【答案】D 【变式训练】 3.函数的自变量x的取值范围是（ B ） A．x＞4 B．x≠4 C．x≥4 D．x≤4 4.函数中自变量x的取值范围是x≤4且x≠﹣1． 【知识点三】函数的表示 【例3】已知火车站托运行李的费用C和托运行李的质量P（P为整数）的对应关系如表所示： P（kg）12345…C（元）22.533.54…
则C与P之间的关系式为（ ） A．C＝0.5P﹣0.5 B．C＝2P﹣0.5 C．C＝2P+0.5 D．C＝0.5P+1.5 【解析】根据表格可知，质量P每增加1千克，托运费C就增加0.5元，而质量P为1㎏时，托运费为2元，因此C与P之间的关系式为C=2+0.5×（P-1），即C＝0.5P+1.5. 【答案】D 【变式训练】 5.我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率K（W/m K）与温度T（℃）的关系如表： 温度T（℃）100150200250300导热率K （W/m K）0.150.20.250.30.35
根据表格中两者的对应关系，若导热率为0.5W/m K，则温度为 450 ℃． 6.某同学在探究弹簧的特点时，得出了弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系如图所示，则弹簧在受到4.5N的拉力时，弹簧比原来伸长了 4.5 cm. 【知识点四】函数的初步应用 【例4】近来，“围炉煮茶”这一别具仪式感和氛围感的喝茶方式成为时下新晋网红，如图为淘宝某商家从2023年2月开始共7周的“围炉”周销量y（个）随时间t（周）变化的图象，则下列说法错误的是（ ） A．第1周销量最低，是500个 B．在这7周中，周销量增长速度最快的是第2周到第3周和第5周到第6周 C．第3周和第5周的销量一样 D．第1周到第5周，周销量（个）随时间t（周）的增大而增大 【解析】由图象可知，第1周销量最低，是500个，A项正确；在这7周中，周销量增长速度最快的是第2周到第3周和第5周到第6周，均增长1000个，B项正确；第3周和第5周的销量一样，C项正确；第1周到第4周，周销量（个）随时间t（周）的增大而增大，第4周到第5周，周销量（个）随时间t（周）的增大而减少，D项错误． 【答案】D 【变式训练】 7.小亮早晨从家骑自行车到学校，先上坡后下坡，其行程情况如图所示，若他返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小亮从学校骑自行车回到家所用的时间是（ A ） A．37.2分钟 B．48分钟 C．30分钟 D．33分钟 8.如图，将一圆柱形铁块固定在圆柱形大烧杯的杯底中央，现沿着大烧杯内壁匀速注水，注满后停止注水．则大烧杯水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象大致是（ D ） A． B． C． D． 3.布置作业 1.课本P79复习题A组第1，3，5，6，8题. 2.课本P80复习题B组第1，2，3题. 经历本章内容回顾与反思的过程，梳理知识体系,总结函数思想方法，积累学生的数学活动经验. 进一步体会函数的意义,巩固函数的基础知识和基本技能，感受函数模型的重要作用. 本章主要内容是用“变化”的观点探讨量与量之间的关系，重点内容是函数的意义及其表示方法.从“静止”到“变化”是数学学习的一次飞跃,需要通过具体实例不断深化学生对函数意义的理解.因此，关于本章的教学应以问题情境为载体,在教师的引导下,由学生自主开 展教学活动. 自变量是指由研究者主动操纵，而引起因变量发生变化的因素或条件．因此自变量被看作是因变量的原因．或者说，自变量是能引起因变量变化的变量． 本题主要考查的是函数的定义，关键是根据函数的定义对自变量和因变量的认识和理解． 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． 当x每增加1时，y增加3． 解题的关键是掌握二次根式以及分式有意义的条件． 根据分母不为0列出不等式求解即可． 本题考查了函数的数值表表示法与解析法的转换，关键在于通过表格中的数据明确自变量与因变量的变化规律，进而写出合适的关系式. 根据题意，温度每增加50℃，导热率增加0.05W/m K，所以，当导热率为0.5W/m K时，温度为450℃， 结合图象进行分析，受到6 N的拉力，伸长了6 cm，因此每受到1 N的拉力，就伸长1 cm. 观察函数图象的纵坐标得出销量，观察函数图象的横坐标得出第几周，利用数形结合的方法是解答本题的关键． 根据图象先求出上坡和下坡的速度，再根据返回时原来上坡变为下坡，下坡变为上坡，利用时间＝路程÷速度即可求出小亮从学校骑车回家用的时间． 大烧杯的液面高度y（cm）随时间x的增加而增大，当小烧杯注满水后大烧杯的液面高度升高速度应该是由快到慢.