冀教版八年级数学下册第二十二章《四边形》 同步教学设计 （表格式）

第二十二章 四边形
章 节 备 课
第二十二章 本章所需课时数 12课时
课标要求 1.探索并掌握平行四边形的性质. 2.掌握平行四边形的判定定理. 3.掌握三角形的中位线的性质定理，理解三角形与四边形的联系. 4.掌握矩形的性质定理和判定定理. 5.掌握菱形的性质定理和判定定理. 6.掌握正方形的性质和判定的方法. 7.掌握多边形的内角和与外角和定理，会用多边形的内角和与外角和定理解决简单问题.
教材分析 (1)以学生已经掌握的三角形有关知识以及图形变换(轴对称、平移、旋转，特别是中心对称)等有关几何事实为基础，通过观察、操作、思考和交流等数学活动，获得几何概念、性质定理、判定定理，培养学生推理的意识和能力. (2)根据本章内容的特点，采用“先特殊的多边形(四边形),再一般的多边形”的编排思路.在呈现方式上,摒弃“结论—例题—练习”的陈述模式，改用“问题—探究—发现—证明”的探究模式，并采用多种探究方法. (3)将合情推理与演绎推理紧密结合起来，把推理能力的培养建立在可操作的环节上. (4)本章特别强调图形性质和判定的探索过程，而不是简单地得到四边形、特殊四边形的有关性质和判定的结论. (5)在呈现具体内容时，教材力图为学生提供生动有趣的现实情境，通过各种活动，充分挖掘特殊四边形的中心对称性和轴对称性.这种设计，旨在进一步深化学生对四边形性质定理和判定定理的理解，以及对识图、简单画图等操作技能的掌握，进一步丰富学生的数学活动经验，有意识地培养学生积极的情感态度,并促进其形成良好的数学观.
主要内容 本章内容包括三个方面:基础知识——四边形、特殊四边形以及多边形的有关概念，平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质定理和判定定理，三角形中位线定理;基本方法——探索图形性质的基本方法(观察、实验、作图、变换、推理等);推理——合情推理与演绎推理,凭借经验和直觉，通过归纳和类比等方法，发现问题，提出问题及从已有的事实(包括定义、公理、定理等)和确定的规则(包括运算的定义、法则、顺序等)出发，按照逻辑推理的法则进行证明和计算. 在知识方面，四边形是最基本的平面图形之一，是三角形有关内容的进一步发展，也是学生继续学习空间与图形等其他内容的基础. 在几何知识研究方法与过程方面,把图形变换作为有效的工具，充分体现了图形变换在研究图形性质和判定中的作用. 在推理能力训练方面，理解两种推理功能不同.二者相辅相成:合情推理用于探索思路，发现结论;演绎推理用于证明结论.在解决问题的过程中，逐步掌握两种推理的运用.
教学目标 1.了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念;探索并掌握多边形内角和与外角和公式. 2.理解平行四边形矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系;了解四边形的不稳定性. 3.探索并证明平行四边形的性质定理和判定定理. 4.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理. 5.探索并掌握三角形中位线定理. 6.在本章知识的探究与深化的过程中，提高学生的合情推理与演绎推理的能力. 7.在探索图形的性质及判定定理的活动过程中,进一步建立空间观念，发展几何直觉.
课时分配 22.1 平行四边形的性质 2课时 22.2 平行四边形的判定 2课时 22.3 三角形的中位线 1课时 22.4 矩形 2课时 22.5 菱形 2课时 22.6 正方形 1课时 22.7 多边形的内角和与外角和 1课时 回顾与反思 1课时
教与学建议 1.教学活动的组织要根据本章的具体内容和呈现方式的特点，以学生的生活经验和已有的数学活动经验(包括操作经验)为基础，注意题材选取的灵活性(既可以充分利用教材中已有的题材，也可以根据实际创造更现实、更有趣的问题情境），充分展开学生活动，通过图形性质的探究过程，发展学生的抽象概括能力和推理能力. 2.应特别关注学生探索精神的培养，要有意识地引导学生自觉地用一定的活动表达自已对有关概念、结论的理解，自觉地用自己的语言说明自己操作的过程,并利用说理和简单的推理印证结论的真实性. 3.应注意图形重换的工具性作用.充分利用图形的平移、旋转(特别是中心对称)和轴对称来探究图形的性质和判定方法. 4.注意合情推理与演绎推理有机地结合.要有意识地培养学生有条理的思考、表达和交流，使学生体会证明的过程要步步有据，使学生逐步掌握几何推理的基本步骤和综合法证明的格式. 5.关注学生的合作与交流.在课堂上给学生自主、合作的活动机会,逐步培养学生的团体合作和竞争意识，发展交往与审美的能力，强调合作动机和个人责任. 6.加强对关键问题与困难环节的引导与指导,增强学生的兴趣和信心，不应使学生因此而落伍.
22.1 平行四边形的性质
第1课时
课题 平行四边形的性质 课型 新授课
教学内容 教材第116-120页的内容
教学目标 1.理解平行四边形的定义，掌握平行四边形的有关性质，并能初步应用平行四边形的性质. 2.通过学生主动探究，培养学生的观察能力及逻辑推理论证能力，渗透“转化”的数学思想. 3.培养学生的合作交流意识和探索精神，发展学生的几何直观.
教学重难点 教学重点：平行四边形性质的探究与应用. 教学难点：平行四边形性质的证明.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 在我们的周围存在着许多四边形，观察下列图片，从中找出四边形，并就它们的共同特性和不同特性，和大家交流你的看法. 老师：同学们仔细看一下第一幅图片，你能找到哪些四边形啊？ 学生：黑板是长方形的，桌面也是长方形的. 教师：好的，那第二幅图呢？ 学生：组成瓷砖的图案有正方形和平行四边形. 老师：回答的很好，再看一下第三幅图. 学生：伸缩门是平行四边形的. 老师：好，再看一下最后一幅图，有哪些四边形啊？ 学生：平行四边形和长方形. 老师：同学们回答的不错.从本节开始，我们将进一步认识一些特殊的四边形，并探究这些四边形的一些基本性质和判定. 2.类比探究，学习新知 上面图片中的四边形可以归类为以下四种： 我们把两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(parallelogram). 连接平行四边形不相邻的两个顶点的线段叫做平行四边形的对角线(diagonal). 两条对角线的交点叫做平行四边形的中心(center). 如图22-1-1，四边形ABCD是平行四边形，记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”，线段AC,BD为 ABCD的两条对角线，点O为它的中心. 【一起探究】 1.如图22-1-2，在半透明的纸上画一个 ABCD，再复制一个.将两个图形完全重合，用大头针钉在中心处,使下面的图形不动，将上面的图形绕中心O旋转180°.这两个图形能完全重合吗？平行四边形是不是中心对称图形？如果是中心对称图形，哪个点是它的对称中心？被对角线分成的三角形中，关于点0成中心对称的三角形有几对？ 2.在上面的活动过程中，你发现了 ABCD的对边AD与CB，AB与CD之间具有怎样的数量关系？对角∠BAD与∠DCB，∠ABC与∠CDA之间具有怎样的数量关系？线段OA与OC，OB与OD之间具有怎样的数量关系？ 3.把你的发现写出来，说明理由，并将结果与大家交流. 【课堂小结】 通过探究，可发现: 平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点. 同时，我们还发现平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分. 我们先来证明平行四边形的对边相等，对角相等. 已知:如图22-1-3,四边形ABCD是平行四边形. 求证:(1)AD=CB,AB=CD. (2)∠BAD=∠DCB,∠ABC=∠CDA. 证明:如图22-1-4，连接BD. 在ABD和△CDB中， ∵AD∥CB,AB∥CD, ∴∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD. 又∵BD=DB,∴△ABD≌△CDB. ∴AD=CB,AB=CD,∠BAD=∠DCB. ∵∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD, ∴∠ABD+∠CBD=∠CDB+∠ADB, 即∠ABC=∠CDA. 【课堂小结】 平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等，对角相等. 【做一做】 已知，如图22-1-5， ABCD的周长为22 cm，△ABD的周长为18 cm，求对角线BD的长. 【师生互动】 老师：四边形ABCD是一个什么四边形啊？ 学生：平行四边形. 老师：在 ABCD中，对边有什么性质呢？ 学生：对边相等. 老师：根据“ ABCD的周长为22 cm”，能不能求出AB+BD的长？ 学生：能. 老师：自己求一下吧. 老师：要求BD的长，我们还需要根据哪个条件求解？ 学生：△ABD的周长为18 cm. 老师：很好，自己求解一下吧. 【例题讲解】 例1 已知:如图22-1-6，在 ABCD中，∠B+∠D=260°.求∠A，∠C的度数. 【解题思路】 （1）平行四边形的边、角有什么性质？ （2）平行线有什么性质？ 【规范解答】 解：在 ABCD中， ∵∠B=∠D，∠B+∠D=260°, ∴∠B=∠D==130°. 又∵AD∥CB, ∴∠A=180°-∠B=180°-130°=50°. ∴∠C=∠A=50°. 3.随堂训练，巩固新知 1.在 ABCD中，AB=3，AD=2.求 ABCD的周长. 【解题思路】 （1）平行四边形的边有什么性质？ （2）已知的两边是哪两边？长度分别是多少？ （3）平行四边形的周长该如何求？ 2.如图，在 ABCD中，AC平分∠DAB，AB=3.求 ABCD的周长. 【解题思路】 （1）平行四边形的边、角分别有什么性质？ （2）角平分线的性质是什么？ （3）如何求平行四边形的周长？ 3.在 ABCD中，∠A，∠B的度数之比为5:4，求∠C的度数. 【解题思路】 （1）平行四边形的角有什么性质？ （2）平行四边形的内角和是多少？ 4.布置作业 1.课本P119习题A组第1，2，3，4题. 2.课本P119习题B组第1，2题. 结合实际生活中常见的场景和物体，让同学们找出其中的四边形，回忆小学学过的知识，从而引出本节课的主要内容——平行四边形.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 本节内容的教学分为两个课时来进行,第一课时完成概念、中心对称性和“对边相等、对角相等”的教学，第二课时完成“对角线互相平分”以及性质应用的教学. 对平行四边形概念的教学要给予足够的重视，教材设计中为学生预留了探索的空间，也设计了必要的活动内容，如观察生活情境的图片,从中抽象出几何图形，分类、比较、交流，揭示事物的本质属性最后才是定义. 教学中，教师应按“概念形成”的顺序展开教学，即把平行四边形的概念理解把握好，让学生从中学到建立概念的方法,培养学生揭示事物本质的数学抽象的思想与能力. 一起探究 这个探究过程一定要让每个学生认真参与并完成,因为充分认识平行四边形的中心对称性，是深入理解平行四边形的概念，进而探究其性质的基础. 本课时的重点是探究并掌握平行四边形的中心对称性.为此，教材设计的“一起探究”活动应充分展开: (1)一定要使每个学生按照探究1的要求亲手画图、剪图，认真进行操作,搞清楚旋转180°后,哪些图形元素相互重合，特别是四对中心对称的三角形. (2)按照探究2的要求,引导学生由“元素重合”，得出它们相等，从而把平行四边形“对边相等、对角相等”“对角线互相平分”等结论的形成,落实在操作、观察与活动的基础上，并为后面的推理证明奠定好基础. (3)探究3的设计是为了发展学生的概括能力、推理能力以及逻辑思维能力，所以,在教学中一定要充分展开. 解:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AB=DC. 由已知条件得 2(AB+AD)=22， ∴AB+AD=11. 又AB+AD+BD=18, ∴BD=18-11=7(cm). 对于性质“对边相等、对角相等”推理证明的教学: (1)关键是证明的思路,这需要教师的引导: ①证明两边相等、两角相等主要借助于全等三角形. ②从平行四边形的中心对称入手,其中有四对全等三角形. ③根据条件和求证，确定选择哪一对三角形更合适这样，就能自然地得出作辅助线(对角线)的方法. (2)书写证明过程，要求学生条理化、简单明了,这也是逻辑思维能力的培养过程. 对“做一做”和例1的教学，也应从两个环节进行强化，一是解决方法的想出或发现，二是解决方法的落实. 环节一，关注的是问题分析与合情推理;环节二，侧重于演绎推理和表述. 通常教学中对环节一的重视不够，教师应当给予足够关注. 本章内容包括平行四边形的概念及平行四边形的性质，平行四边形的“中心对称性”是核心，“对边相等”“对角相等”“对角线互相平分”均可以看作是由“中心对称性”衍生出来的.因此，本章内容的教学，一定要使学生认识并把握好平行四边形的“中心对称性”这一关键点.
板书设计 22.1 平行四边形的性质 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 连接平行四边形不相邻的两个顶点的线段叫做平行四边形的对角线. 两条对角线的交点叫做平行四边形的中心. 平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等，对角相等. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
22.1 平行四边形的性质
第2课时
课题 平行四边形的性质 课型 新授课
教学内容 教材第120-122页的内容
教学目标 1.理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质. 2.综合利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题. 3.渗透转化思想，发展推理能力和几何直观的核心素养.
教学重难点 教学重点：理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质. 教学难点：综合利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 老师：什么是平行四边形？ 学生：…… 老师：看下面的平行四边形ABCD，它的对角线是什么？中心又是什么？ 老师：继续看上面这个图，它的边有什么性质？ 学生：…… 老师追问：它的角呢？ 学生：…… 老师：你会证明它的边和角的性质吗？ 学生：…… 老师：利用平行四边形的中心对称性，图中有哪些图形是全等的？ 学生：…… 老师：我们再来看它的对角线，有什么性质呢？自己拿尺子量一下课本上的图22-1-7，AC和BD相等吗？AC和BD互相平分吗？ 学生：AC和BD不相等，AC和BD互相平分. 老师：那怎么证明呢？好了，我们这节课一起来研究平行四边形的对角线的性质. 2.类比探究，学习新知 由上节课的探究过程，我们还发现平行四边形的对角线互相平分. 现在，我们来证明这个结论. 已知：如图22-1-7，在 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.求证:OA=OC,OB=OD. 【解题思路】 （1）证明OA=OC,OB=OD，结合图形，你打算用什么知识进行解答？（全等三角形的知识） （2）哪两个三角形全等呢？（△AOB和△COD） （3）利用什么条件证明三角形全等呢？（AAS） 【规范解答】 证明:在△AOB和△COD中， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAO=∠DCO,AB=CD. 又∵∠AOB=∠COD, ∴△AOB≌△COD. ∴OA=0C,OB=OD. 通过上面的证明，我们得出如下的性质： 平行四边形的性质定理：平行四边形的对角线互相平分. 【例题讲解】 根据上面学行四边形的性质定理，我们一起来看一下下面两个例题. 例2 已知：如图22-1-8，0为 ABCD两条对角线的交点，AC=24 mm,BD=38 mm,BC=28 mm.求△OAD的周长. 【解题思路】 （1）平行四边形的边有什么性质？ （2）平行四边形的对角线有什么性质？ （3）求△OAD的周长需要知道哪些条件？ 【规范解答】 解：在 ABCD中，∵AC=24 mm,BD=38 mm, ∴，. 又∵BC=28 mm,∴AD=BC=28 mm. ∴△OAD的周长=AO+OD+AD=12+19+28=59(mm). 例3 已知：如图22-1-9，在 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,直线EF过点O,交DA于点E，交BC于点F. 求证:OE=OF，AE=CF，DE=BF. 【解题思路】 （1）结合图形，要证三组线段相等，我们可以用什么知识？ （2）结合图形，可以证明哪两个三角形全等？ （3）平行四边形有哪些性质？ 【规范解答】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC与BD相交于点O， ∴OA=OC,∠EAO=∠FCO. 又∵∠AOE=∠COF, ∴△AOE≌△COF. ∴OE=OF，AE=CF. 又∵AD=CB， ∴DE=AD-AE=CB-CF=BF. 3.随堂训练，巩固新知 1.如图，在 ABCD中，AB=5 cm，AC=6 cm, BD=8 cm.求△AOB和△AOD的周长. 【解题思路】 （1）平行四边形有哪些性质？ （2）根据哪些条件可以求出△AOB的周长？ （3）△AOB和△AOD的周长相等吗？为什么？ 2.如图， ABCD的对角线AC,BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F， ABCD的面积为24.求图中阴影部分的面积. 【解题思路】 （1）从全等的角度考虑，哪几个三角形是全等的？根据平行四边形的性质证明一下. (2)从中心对称的角度考虑，阴影部分的面积和空白部分的面积相等吗？ 4.布置作业 1.课本P121习题A组第1，2，3题. 2.课本P122习题B组第1，2题. 回顾上节课所学的平行四边形及其相关概念、平行四边形的边和角的性质，同时引出对角线的性质，从而引出本节课的主要内容——平行四边形的对角线的性质.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 对于性质“平行四边形的对角线互相平分”证明的教学，可以这样进行: (1)将上一节课探究发现的“平行四边形的对角线互相平分”这一事实，让学生画出相应的图形，写出已知、求证. (2)再一次指出图中的中心对称的三角形，确定借助其中的哪一对三角形全等就能得出“对角线互相平分”这一结论. (3)规范且有条理地写出证明过程. 对于例2,虽然这是一道几何计算题，但列式的基础是图形的性质,本质上也是一个逻辑推理过程.应要求学生搞清楚每步计算的依据，特别是图形性质的依据，这不仅是对计算能力的培养，更兼有对论证能力的培养. 对于例3的教学,应关注以下几个方面: (1)仍然应突出定理的发现和证明的表述这两个环节，且重在第一个环节. (2)本题在平行四边形的基础上附加的条件“直线EF过点O"，仍然是关于中心O构造中心对称图形，因此，相应的新图形也是中心对称的.这样的引导和概括，可加深学生对平行四边形的认识，也有利于引导学生学会数学思考. 1.△AOB和△AOD的周长都是12 cm. 2.可以分别证明△EOD≌△FOB，△ACD≌△CAB，从而得到阴影部分的面积为12.
板书设计 22.1 平行四边形的性质 连接平行四边形不相邻的两个顶点的线段叫做平行四边形的对角线. 两条对角线的交点叫做平行四边形的中心. 平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等，对角相等. 平行四边形的性质定理：平行四边形的对角线互相平分. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
22.2 平行四边形的判定
第1课时
课题 平行四边形的性质 课型 新授课
教学内容 教材第123-126页的内容
教学目标 1.探索并理解平行四边形的判定方法（一组对边平行且相等），能根据判别方法进行有关的应用. 2.探索过程中发展合理推理意识、主动探究的习惯. 3.通过探索，培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情.
教学重难点 教学重点：探索并理解平行四边形的判定方法. 教学难点：能根据判别方法进行有关的应用.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 一装潢店要招聘店员，老板出了这样一道考题：“一顾客要一张平行四边形的玻璃，你利用工具度量哪些数据可说明这张玻璃符合顾客要求.” 如何说明右图是平行四边形呢？ 【师生互动】 老师：平行四边形的定义是什么？ 学生：…… 老师：平行四边形有哪些性质？ 学生：…… 老师：我们再回头看上面老板的考题，大家有什么好主意吗？ 学生：…… 老师：好了，我们这节课一起来研究平行四边形的判定的方法吧. 2.类比探究，学习新知 我们已经知道平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分.反过来，对边相等(或对角相等，或对角线互相平分)的四边形是不是平行四边形呢？ 【一起探究】 小明用下列方法得到一个四边形ABCD. 画两条互相平行的直线，在这两条直线上分别截取线段AB=CD,连接AD,BC,得四边形ABCD. (1)将线段AB沿BC方向平行移动，线段AB与CD能不能重合？你认为这样得到的四边形ABCD是不是平行四边形？ (2)由此，你发现了什么结果？与大家交流. 现在，我们来证明这个结论. 已知:如图22-2-1，在四边形ABCD中，AD∥BC,且AD=BC. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 【师生互动】 老师：平行四边形是怎么定义的呢？ 学生：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 老师：现在我们有两组对边平行吗？ 学生：没有，只有一组对边平行. 老师：那我们如何证明另一组对边也平行呢？ 学生：可以利用全等三角形进行证明. 老师：那我们一起试着证明一下吧. 【规范解答】 证明:如图22-2-2，连接BD. 在△ABD和△CDB中， ∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD. ∵AD=CB，BD=DB，∴△ABD≌△CDB. ∴AB∥DC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 说明：为证明另两条边平行，可借助内错角相等，为此需构造相应的金等三角形. 根据上面的证明，我们得到如下结论： 平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 【例题讲解】 例1 已知：如图22-2-3，在 ABCD中，E为BA延长线上一点，F为DC延长线上一点，且AE=CF,连接BF,DE. 求证:四边形BFDE是平行四边形. 【解题思路】 （1）平行四边形有哪些性质呢？ （2）我们刚学的平行四边形的判定定理是什么？ （3）能不能利用这个判定定理解决这个题目？ 【规范解答】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD,AB=CD. 又∵AE=CF, ∴BE=BA+AE=DC+CF=DF,且BE∥DF， ∴四边形BFDE是平行四边形. 例2 求证：平行线间的距离处处相等. 已知：如图22-2-4，EF∥MN，A，B为直线EF上任意两点，AD⊥MN,垂足为D,BC⊥MN,垂足为C. 求证：AD=BC. 【解题思路】 （1）在平面内，垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ （2）四边形ABCD是一个什么四边形？ （3）平行四边形有哪些性质？ 【规范解答】 证明:∵AD⊥MN,BC⊥MN, ∴AD∥BC. 又∵EF∥MN, ∴四边形ADCB为平行四边形. ∴AD=BC. 根据上面的证明过程，我们可以得出结论： 平行四边形的定义，也是判定个四边形为平行四边形的依据. 3.随堂训练，巩固新知 1.两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？为什么？ 【解题思路】 （1）根据题意，你能画出图形，并写出已知和求证吗？ （2）利用对角相等，能得到对边互相平行吗？如何证明？ 2.将两块全等的含30°角的三角尺按如图的方式摆放在一起，则四边形ABCD是平行四边形吗？请尝试用多种方法说明理由. 【解题思路】 （1）能根据平行四边形的定义判定四边形ABCD是平行四边形吗？如何找到两组对边平行？ （2）能根据平行四边形的判定定理判定四边形ABCD是平行四边形吗？如何找到一组对边平行且相等？ 4.布置作业 1.课本P125习题A组第1，2，3题. 2.课本P125习题B组第1，2题. 结合一个有趣的考题，回顾上节课所学的平行四边形的概念及性质，引导学生考虑判定平行四边形的方法，从而引出本节课的主要内容——平行四边形的判定.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 通过操作、观察、比较、重复试验、大家交流等一系列有效的探索活动，使学生体会“一组对边平行且相等”的四边形是平行四边形的这一属性,先提出猜想，再证明猜想. 我们知道，如果一个事物W具有性质A,那么在寻找W时，就可以以性质A作为一个先决条件来思考:不具有性质A的肯定不可能是W,具有性质A的才可能是W（虽然不能肯定是）.这便是在数学中为什么常常以“性质”作为“判定”条件,以及常常是先学习某类图形的性质，而后再去学习图形的判定的原因所在. 具体到本节课，就是从已有的平行四边形的性质，去探究平行四边形的判定方法. 本节课要完成判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的探究与证明，并展示这一定理的初步应用. 对于例1. (1)重点仍是“怎样想出证明四边形BFDE是平行四边形的方法”(分析过程略). (2)进一步探究四边形BFDE是怎样的四边形(以平行四边形ABCD的中心为中心对称的四边形). 对于例1，应注意平行四边形的性质与判定的应用. 这一判定定理的教学，重点仍在于两个环节:怎样发现的 如何证明的 对于例2. 借助平行四边形的判定和性质得出“平行线间的距离处处相等”,这个结论在以后常用到，学生应理解和记忆. 对于例2，应注意引领学生如何将一个命题转化为图形与用符号表达. 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. (1)从研究平行四边形的性质入手.平行四边形的性质可以分为三类:关于边的、关于角的和关于对角线的.关于边的性质，最突出的就是“对边平行且相等”.现在就来考虑:具有对边平行且相等性质的四边形,是否一定是平行四边形 (2)按教材中“一起探究”的设计来展开，首先引导学生画图，得到符合“对边平行且相等”的四边形,通过观察，猜想它应是平行四边形,最后推证它确实是平行四边形.证明它是平行四边形，需要证明另一组对边也平行,这个结论可通过内错角相等来实现，从而需作对角线为辅助线来构造全等三角形.
板书设计 22.2 平行四边形的判定 平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形），也是判定个四边形为平行四边形的依据. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
22.2 平行四边形的判定
第2课时
课题 平行四边形的性质 课型 新授课
教学内容 教材第126-129页的内容
教学目标 1.探索并理解平行四边形的其他判定方法（两组对边分别相等、两条对角线互相平分），能根据判定方法进行有关的应用. 2.能够证明平行四边形的判定定理. 3.经历平行四边形判定定理的探究过程，发展学生合情推理的能力.
教学重难点 教学重点：掌握平行四边形的判定定理，并能选择合适的判定定理来判定平行四边形. 教学难点：判定定理的证明.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？ 【师生互动】 老师：同学们先整体感觉一下，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？ 学生：…… 老师：上节课，我们学行四边形的判定方法有哪些？ 学生：…… 老师：结合这个题目，你有什么好办法吗？ 学生：…… 老师：如果我们连接BD或AC，你能证明ABCD是平行四边形吗？ 学生：…… 老师：好了，我们这节课一起来研究平行四边形判定的其他几种方法吧. 2.类比探究，学习新知 【观察与思考】 小亮和小芳分别按下列方法得到了各自的四边形. 小亮的做法： 用4根木条搭成如图所示的四边形，其中，AB=CD,AC=BD. 小芳的做法： 画两条直线相交于点O，截取0A=OC,OB=OD；连接AB,BC,CD，DA，得到四边形ABCD. 你认为他们得到的四边形是平行四边形吗？提出猜想，并试着说明理由. 【师生互动】 老师：你们认为他俩得到的四边形是平行四边形吗？ 学生1：是. 学生2：不一定是. 老师：你们有什么办法证明是或者不一定是吗？ 学生：…… 老师：好了，我们一起来看一下课本上的证明过程吧. 我们发现，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 现在，我们先来证明两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 已知：如图22-2-5，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明：如图22-2-6,连接BD. 在△ABD和△CDB中， ∵AB=CD，AD=CB,BD=DB, ∴△ABD≌△CDB. ∴∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD. ∴AB∥CD,AD∥CB. ∴四边形ABCD是平行四边形. 【做一做】 证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【师生讨论】 老师：你能根据上面的问题写出已知和求证吗？ 学生：已知：在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，求证：四边形ABCD是平行四边形. 老师：判定一个四边形是平行四边形，有哪几种方法？ 学生：…… 老师：你打算用哪个判定方法进行证明？ 学生：…… 老师：试着写出你的证明过程吧. 【规范解答】 已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD， ∴△AOB≌△COD， ∴AB=CD，∠ABD=∠CDB， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 根据上面的证明过程，我们可以得到下面的结论： 平行四边形的判定定理： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【例题讲解】 例3 已知：如图22-2-7， ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O,E,F分别为OA,OC的中点. 求证:四边形EBFD是平行四边形. 【解题思路】 （1）平行四边形的对角线有什么性质？ （2）根据哪个判定定理可以判定四边形EBFD是平行四边形？ 【规范解答】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC,OB=OD. ∵E,F分别为OA，OC的中点， ∴OE=OF. ∴四边形EBFD是平行四边形. 【大家谈谈】 在例3的已知条件中，如果E,F不再为OA,OC的中点，请你 谈谈: (1)点E，F分别在OA，OC上，怎样确定点E和点F的位置，可使得四边形EBFD是平行四边形？ (2)点E,F分别在OA，OC的延长线上，怎样确定点E和点F的位置，可使得四边形EBFD是平行四边形？ 3.随堂训练，巩固新知 1.已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.仅从下列条件中任意选取两项作为已知条件，能够判定四边形ABCD是平行四边形的有哪些？ ①AB∥CD；②BC=AD；③AB=CD；④BC∥AD；⑤OA=OC；⑥OB=OD. 【解题思路】 （1）判定一个四边形为平行四边形的方法有哪些？ （2）针对上面的方法，你能找出哪两个条件判断四边形是平行四边形？ 2.已知:如图，AC为 ABCD的对角线，DE⊥AC,BF⊥AC,垂足 分别为E，F.求证:四边形DEBF是平行四边形. 【解题思路】 （1）平行四边形有哪些性质？ （2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线是什么位置关系？ （3）证明一个四边形的平行四边形的方法有哪些？本题适用于哪个判定方法？ 4.布置作业 1.课本P128习题A组第1，2，3题. 2.课本P129习题B组第1，2题. 结合一个变化的四边形，引入判定平行四边形的问题，让学生思考，同时回顾上节课所学的判定方法，从而引出本节课的主要内容——平行四边形判定的另外几种判定方法.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 对于“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的证明，不必拘泥与课本上的方法，也可以鼓励学生尝试连接AC，用同样的方法证出四边形ABCD是平行四边形. 对于“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的证明，可参考以下环节进行: (1)重在证明方法的获得，引导学生分析构造全等三角形的目的和方法. (2)教材上的证明是归结到用定义(两组对边分别平行),还可以归结到用“一组对边平行且相等”这一定理上(让学生课下完成). 对于“做一做”，要证明“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可有三种方法: 一是归结到用定义（两组对边分别平行); 二是归结到用“一组对边平行且相等”;三是归结到用“两组对边分别相等”. 应引导学生全面探究这些问题，这样有助于提高学生的分析和推理能力. 针对“做一做”，可以利用对角线互相平分和SAS判定定理，证明其中一对三角形全等,进一步得到对应边相等、对应角相等,最后得到有一组对边平行且相等，从而得到满足条件的四边形是平行四边形. 对于例3和“大家谈谈”，目的是让学生认识到:以平行四边形的中心(对角线的交点)为对称中心构造出的图形,仍是中心对称图形，且当新图形是四边形时,它一定是平行四边 形.这个讨论可以充分展开，变化可以多样，以强化学生对这一规律的认识. 回忆平行四边形的性质，还有: ①两组对边分别相等; ②对角线互相平分; ③两组对角分别相等. 它们是否都可以作为平行四边形的判定方法呢 引导学生探究，先画出满足条件的四边形，再以条件画出与之前不同的图形，观察画出的图形是否总是平行四边形，再相互交流，统一认识，形成猜想，得出①和②可作为判定平行四边形的依据，而③也可以(上节课的练习)，但不作为定理要求. 这样更为开放的探究过程,无论对于知识的掌握，还是对于推理能力的提高，都有很好的促进作用. 1.能够判定四边形ABCD是平行四边形的有①③，②④，⑤⑥，①④，②③，④⑤，④⑥,①⑤，①⑥. 2.提示: 证明ADE≌△CBF. 从而得DE=BF. 又DE∥BF， ∴四边形DEBF是平 行四边形.
板书设计 22.2 平行四边形的判定 平行四边形的判定定理： （1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形. （3）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形），也是判定个四边形为平行四边形的依据. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
22.3 三角形的中位线
课题 三角形的中位线 课型 新授课
教学内容 教材第130-133页的内容
教学目标 1.经历三角形中位线性质的探究过程，在活动中发展合情推理能力. 2.在探索三角形中位线性质的基础上，会证明三角形中位线性质定理，在证明三角形中位线性质定理中，进一步理解证明的意义，提高推理证明能力. 3.掌握三角形中位线的性质定理，理解三角形与四边形的联系，提高分析问题、解决问题的能力.
教学重难点 教学重点：掌握三角形中位线的性质定理. 教学难点：在探索三角形中位线性质的基础上，会证明三角形中位线性质定理.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 如图，A,B两点被池塘隔开了，不能直接到达，你有什么方法测出A，B两点之间的距离吗？ 下面是小明的办法，你能看懂吗？ 小明为了测量池塘A，B两点间的距离，他先在池塘的一侧选定一点O，然后取线段OA，OB的中点D，E，测量出DE=10 m,于是可以计算出池塘A，B两点间的距离. 他计算出来的距离是多少米呢？你知道吗？ 好了，我们这一节课就来研究一下三角形的中位线，等我们学完了，再回来看这个题目吧. 2.类比探究，学习新知 三角形的中位线是三角形中的重要线段，这条线段具有怎样的性质呢？ 【三角形中位线的概念】 连接三角形两边中点的的线段，叫做三角形的中位线(median line). 如图22-3-1，D,E分别为△ABC的两边AB，AC的中点，线段DE就是△ABC的条中位线. 【师生互动】 老师：同学们仔细看一下，一个三角形有几条中位线啊？ 学生：三条. 【小结】一个三角形有三条中位线. 【一起探究】 1.如图22-3-2，在△ABC中，画出它的三条中位线DE,DF,EF.沿中位线剪出四个小三角形，将它们叠合在一起，它们能完全重合吗？你发现三角形的中位线DE与BC具有怎样的位置关系和数量关系？ 【师生互动】 老师：我们先按照课本的要求，画一画，剪一剪. 老师：把剪出四个小三角形，将它们叠合在一起，它们能完全重合吗？ 学生：能完全重合. 老师：根据重合的三角形，利用全等的知识，我们看一看，上图中∠ADE和∠B相等吗？ 学生：相等. 老师：那么DE和BC有什么位置关系啊？ 学生：DE∥BC. 老师：我们继续观察上图，根据全等的知识，DE与BF相等吗？DE与CF相等吗？ 学生：DE=BF，DE=CF. 老师：那么DE和BC有什么数量关系啊？ 学生：BC=2DE. 老师:通过分割、叠合的方法，我们得出了DE和BC的位置、数量关系，我们接着看一下下面这个题目. 2.如图22-3-3，DE是△ABC的中位线，将△ADE以点E为中心，顺时针旋转180°，使点A和点C重合.四边形DBCF是平行四边形吗？由此发现的DE与BC的位置关系和数量关系与上面的发现是否相同？ 【师生互动】 老师：根据题目的要求旋转一下，旋转后△ADE和△CFE全等吗？ 学生：全等. 老师：BD与CF有什么数量关系？位置关系呢？ 学生：BD=CF，BD∥CF. 老师：那么四边形DBCF是平行四边形吗？ 学生：DBCF是平行四边形. 老师：DE与BC的位置关系是怎样的？ 学生：DE∥BC. 老师：DE和BC的数量关系呢？ 学生：BC=2DE. 通过探究，我们发现:三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. 现在，我们来证明这个结论. 已知:如图22-3-4,D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点. 求证:DE∥BC,且DE=BC. 证明:延长DE到点F，使EF=DE.连接CF. 在△ADE和△CFE中， ∵AE=CE,∠AED=∠CEF，DE=FE， ∴△ADE≌△CFE. ∴AD=CF，∠A=∠ECF. ∴AD∥CF,即BD∥CF. 又∵BD=AD=CF， ∴四边形DBCF是平行四边形. ∴DE∥BC，且DF=BC. ∴DE=DF=BC. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 【做一做】如图22-3-5，在△ABC中，D,E，F分别为AB，BC，AC的中点，AC=12，BC=16.求四边形DECF的周长. 【解题思路】 （1）根据图形及已知条件，可以得出哪些线段是△ABC的中位线？ （2）三角形的中位线有哪些性质？ （3）四边形DECF是平行四边形吗？ 【例题讲解】 例 已知：如图22-3-6，在四边形ABCD中，AD=BC,P为对角线BD的中点，M为DC的中点，N为AB的中点. 求证:△PMN是等腰三角形. 【解题思路】 （1）PM，PN分别是哪两个三角形的中位线？ （2）PM和PN有什么数量关系？ 【规范解答】 证明:在△ABD中， ∵N,P分别为AB,BD的中点， ∴. 同理. 又∵AD=BC，∴PN=PM. ∴△PMN是等腰三角形. 3.随堂训练，巩固新知 1.三角形三边的长分别为5，9，12.求连接各边中点所构成的三角形的周长. 【解题思路】 （1）你能根据题意画出相应的图形吗？ （2）三角形的中位线定理的内容是什么？ （3）根据这个题目，你能得出什么结论？ 2.如图，EF为△ABC的中位线，BD平分∠ABC,交EF于点D，AB=4,BC=6.求DF的长. 【解题思路】 （1）EF为△ABC的中位线，EF的长度等于多少？ （2）BD平分∠ABC,BE和ED有什么数量关系？ED的长等于多少？ 4.布置作业 1.课本P132习题A组第1，2题. 2.课本P132习题B组第1，2题. 结合一个生活实例，引入三角形中位线的一个实际应用，让学生思考问题，引起解决问题的兴趣，从而引出本节课的主要内容——三角形的中位线.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 本节教材延续了前面学习定理时合情推理在前，演绎推理在后的结构.教学时,通过教材创设的探究情境，展开探索,发现问题，提出问题.在提出猜想后，主动寻求验证的方法，从而理解证明的必要性. 尊重教材设计的操作情境,关注学生真实操作过程. 在探究环节，关注学生在操作中获得的体验.在研究三角形中位线的特征时，可通过画图，沿中位线分割三角形纸片，由分割获得的小三角形旋转、拼接成四边形等活动，展开关于三角形中位线位置关系、数量关系的猜想、探究，发现三角形中位线与第三边之间的位置关系和数量关系. 教学时，教师应尽可能地使学生在自主探索与合作交流的基础上获得猜想,经历“发现问题，提出问题”的过程. 在平行四边形BDFC中，DF=BC，DE=EF，所以BC=2DE. 证明三角形中位线定理的难点在于作辅助线，可引导学生参照探究中的方法，从而得出“延长DE到点F，使EF=DE.连接CF.”的方法，通过全等三角形的证明以及性质、平行四边形的判定及其性质，最终证明DE与BC的位置和数量关系. 由三角形的中位线的性质得出，DF∥BC，DE∥AC，DF= ，DE=. ∴四边形DECF是平行四边形,DF=8,DE= 6，因此四边形DECF的周长为（8+6）×2=28. 本题是三角形中位线的应用，引导学生找出中位线所在的三角形是解决问题的关键.注意中位线的数量关系是2倍的关系. 观察给出的图形，如果涉及线段的中点，就需要考虑能否利用三角形的中位线进行解答，中位线定理在几何问题中是常用的一个定理. 1.连接各边中点所构成的三角形的周长为 一般地，在一个三角形中，连接各边中点所构成的三角形的周长，是原来三角形周长的一半. 2.∵EF为△ABC的中位线， ∴EF∥BC，EF=BC. ∴∠EDB=∠DBC. ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠DBC， ∴∠ABD=∠EDB， ∴ED=BE.
板书设计 22.3 三角形的中位线 连接三角形两边中点的的线段，叫做三角形的中位线. 一个三角形有三条中位线. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
22.4 矩形
第1课时
课题 矩形 课型 新授课
教学内容 教材第134-136页的内容
教学目标 1.理解并掌握矩形的性质定理及推论. 2.会用矩形的性质定理及推论进行推导证明. 3.通过操作活动发展学生的直观思维，增进主动探究的意识．
教学重难点 教学重点：理解并掌握矩形的性质定理及推论. 教学难点：会用矩形的性质定理及推论进行推导证明.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 老师：如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，各个角的大小改变了吗？ 学生：改变了. 老师：这个图形的形状发什么变化了吗？ 学生：发生变化了. 老师：在这个变化过程中，形成的图形一直都是平行四边形吗？ 学生：是的. 老师：总结一下，在变化过程中，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状． 老师：我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，这个四边形也是什么图形？ 学生：长方形. 老师：很对，这种特殊的平行四边形也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示． 老师：从上面可以看出，矩形是特殊的平行四边形，它是否具有比平行四边形更特殊的性质呢？我们这节课就来一起研究一下矩形的性质. 2.类比探究，学习新知 我们把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(rectangle). 表面为矩形的物体广泛存在于实际生活中，如下图： 老师：同学们说一说，还有哪些物体的表面是矩形？ 【一起探究】 1.如图22-4-1，剪出一个矩形纸片ABCD，点O是这个矩形的中心，请你用折叠的方法，验证它是轴对称图形.矩形有几条对称轴，它们都经过矩形的中心吗？ 【师生互动】 老师：轴对称图形是怎么定义的呢？ 学生：…… 老师：通过折叠，矩形是轴对称图形吗？ 学生：是. 老师：矩形有几条对称轴啊？ 学生：2条. 老师：它们都经过矩形的中心吗？ 学生：经过. 老师：好，根据你们的操作，把矩形的对称轴在纸片上画出来吧. 2.四边形具有不稳定性，即当一个四边形的四条边长保持不变时，它的形状却是可以改变的. 如图22-4-2，使一个平行四边形保持四条边长不变，而将一个内角α由钝角先变成直角，再变成锐角. 在这个过程中： (1)这个四边形总是平行四边形吗？ (2)当α=90°时，其余三个内角各是多少度的角？ (3)当α=90°时，两条对角线的长有什么关系？ 【师生互动】 老师：在这个变化过程中，这个四边形总是平行四边形吗？ 学生：是的. 老师：你是根据什么判断的呢？ 学生：平行四边形的两组对边分别相等，两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 老师：回答的很好.那么当α=90°时,它的对角是多少度？ 学生：是90°. 老师追问：其他两个角呢？为什么？ 学生：都是90°，可以根据“两直线平行，同旁内角互补”进行计算. 老师：当α=90°时，两条对角线的长有什么关系？提示一下：可以从勾股定理的角度考虑. 学生：两条对角线的长相等.对边相等，根据勾股定理可以判定两条对角线的长相等. 通过探究，可知:矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 我们还发现:矩形的四个角都是直角，两条对角线相等. 【做一做】 1.求证：矩形的四个角都是直角. 【解题思路】 （1）矩形是特殊的平行四边形吗？ （2）平行四边形有哪些性质？ （3）结合矩形的定义，如何证明矩形的四个角都是直角？ 2.求证:矩形的两条对角线相等. 【解题思路】 （1）矩形有几条对称轴？ （2）这些对称轴把矩形分成了多少个三角形？有哪些全等的三角形？ （3）能不能利用全等三角形来证明矩形的两条对角线相等？如何证明？ 矩形的性质定理： （1）矩形的四个内角都是直角. （2）矩形的两条对角线相等. 【例题讲解】 例1 如图22-4-3，矩形ABCD两条对角线相交于点O，∠AOD= 120°，AB=4 cm.求矩形对角线的长. 解：∵四边形 ABCD是矩形， ∴AC=BD,AO=OC=BO=OD. ∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°. ∴△AOB是等边三角形. ∴AO=BO=AB=4 cm, AC=AO+OC=AO+OB=8(cm)， 即矩形ABCD对角线的长为8 cm. 3.随堂训练，巩固新知 1.矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是 . 【解题思路】 （1）一般平行四边形有哪些性质？ （2）矩形有哪些性质？ 2.如图，四边形ABCD为矩形，指出图中相等的线段和角. 【解题思路】 （1）矩形是轴对称图形吗？ （2）两条对角线可以把矩形分为多少个三角形？哪些三角形是全等的？ 4.布置作业 1.课本P136习题A组第1，2，3题. 2.课本P136习题B组第1，2，3题. 结合一个平行四边形的活动木架的实例，探究形成的四边形的形状，让学生思考问题，引起解决问题的兴趣，从而引出本节课的主要内容——矩形（长方形）.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 矩形是一种特殊的平行四边形，矩形与平行四边形的不同点，就在于它的内角都是直角.这一基本特征，应当是探究矩形的性质和判定定理的着力点. 在引入矩形定义后，通过“一起探究”设计的活动来发现矩形的性质. 对于活动1,要让学生先在纸上画出矩形，然后剪下矩形纸片(如图22-4-1),再通过折叠矩形纸片,发现它的两条对称轴，并在纸片上画出来，说明对称轴的位置. 1.通过操作活动，发 现和确认矩形的轴对称性. 对于活动2,应让学生在课前用木棍或铁丝作出平行四边形，在课堂上随教师一起演示操作,展示一个平行四边形在内角变化的过程中(不稳定性),存在四个内角皆为直角的 特殊情况，使学生理解矩形的定义以及矩形与平行四边形的联系. 2.由于平行四边形具有不稳定性，我们发现矩形是平行四边形的一个特定状态,这时平行四边形 的两条对角线相等. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形. 1.利用“两直线平行，同旁内角互补”进行证明. 2.利用三角形全等进行证明. 注意利用矩形的对称性进行证明，从“形”的角度看问题. 通过例1的教学，使学生认识到几何计算题的求解过程，往往也需要配合推理一并进行. 在认识到矩形有两条对称轴和四个角都是直角之后，再引导学生深入观察图22-4-1.发现图中两条对角线可将矩形分成八个三角形.其中相邻两边与对角线组成的四个三角形是全等直角三角形.以两条对角线交点为一个顶点的四个三角形，是两对中心对称的等腰三角形.这些事实的发现，既深化了学生对矩形的认识，又为后边的探究与证明提供了很好的基础. 1.对角线相等;四个内角都是直角. 2.相等的线段有: OA=OB=OC=OD, AB=CD，BC=AD, AC=BD. 相等的角有: ∠ABC=∠BCD= ∠CDA=∠DAB, ∠DAC=∠ACB= ∠CBD=∠BDA， ∠OAB=∠OBA= ∠ODC=∠OCD, ∠AOD=∠BOC, ∠AOB=∠COD.
板书设计 22.4 矩形 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 矩形的性质定理： （1）矩形的四个内角都是直角. （2）矩形的两条对角线相等. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
22.4 矩形
第2课时
课题 矩形 课型 新授课
教学内容 教材第137-139页的内容
教学目标 1.理解并掌握矩形的判定定理. 2.会综合运用矩形的判定定理进行推导证明. 3.通过操作活动发展学生的直观思维，增进主动探究的意识．
教学重难点 教学重点：理解并掌握矩形的判定定理. 教学难点：会综合运用矩形的判定定理进行推导证明.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 一天,小丽和小娟到一个商店准备给今天要过生日的小华买生日礼物,选了半天,她们俩最后决定买相框送给小华,在里面摆放她们三个人的相片,为了相框摆放的美观性,她们选择了矩形的相框,那么她们是用什么方法知道拿的就是矩形相框呢？ 【师生互动】 老师：矩形有哪些性质呢？ 学生：…… 老师：根据这些性质，你有什么方法判定一个四边形是矩形呢？ 学生：…… 老师：好了，同学们，这节课我们就来一起探究一下矩形的判定条件吧. 2.类比探究，学习新知 下面我们一起探究矩形的判定条件. 【一起探究】 1.我们已经知道，矩形的四个角都是直角. 反过来，一个四边形有几个角是直角，就能判断它是矩形呢？ 观察图22-4-4，提出你的猜想. 【师生互动】 老师：我们看图22-4-4，只有一个直角时，这个四边形是矩形吗？ 学生：不是. 老师：只有两个直角呢？ 学生：也不是. 老师：当有三个直角时，第四个角是多少度？ 学生：90°. 老师：这时这个四边形是平行四边形吗？ 学生：是. 老师：那此时这个四边形是矩形吗？ 学生：是. 2.矩形的对角线相等.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 请你画一个对角线相等的平行四边形，观察所画图形并提出猜想. 【师生互动】 老师：根据题意，你能画出一个对角线相等的平行四边形吗？ 学生：…… 老师：矩形的定义可以用来判定一个四边形是矩形吗？ 学生：…… 老师：平行四边形有哪些性质？ 学生：…… 老师：如何证明其中的一个角是直角？ 学生：…… 通过探究，我们发现: 有三个角是直角的四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形. 【试着做做】 求证:有三个角是直角的四边形是矩形. 现在，我们来证明对角线相等的平行四边形是矩形. 已知:如图22-4-5，在 ABCD中，AC=BD. 求证: ABCD是矩形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC. 在△ABD和△BAC中， ∵AD=BC,AB=AB,AC=BD, ∴△ABD≌△BAC. ∴∠DAB=∠CBA. 又∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠CBA=180°. ∴∠DAB=∠CBA=90°. ∴ ABCD是矩形. 矩形的判定定理： （1）有三个角是直角的四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. 例2 已知:如图22-4-6，在矩形ABCD中，E,F,G,H分别为OA，OB,OC,OD的中点. 求证:四边形EFGH是矩形. 【解题思路】 （1）矩形有哪些性质？ （2）题目中给出了四个中点，你能联想到之前学过的什么知识？ （3）如何判定一个四边形是矩形？有哪些方法？ 【规范解答】 证明:∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，且OA=OC，OB=OD. ∴OA=OC=OB=OD. 又∵E,F，G,H分别为OA，OB,OC,OD的中点， ∴OE=0G=OF=OH. ∴四边形EFGH是平行四边形. 又∵EG=OE+OG=OF+OH=HF, ∴四边形EFGH是矩形. 【大家谈谈】 在上述问题中，如果四边形ABCD是平行四边形，那么四边形EFGH是平行四边形吗？ 【解题思路】 （1）平行四边形有哪些性质？ （2）利用中位线的性质，我们可以得到哪些结论？ （3）如何判定一个四边形为平行四边形？ 3.随堂训练，巩固新知 1.指出下列说法是否正确. (1)有一个角为直角的四边形是矩形. (2)两条对角线相等的四边形是矩形. (3)两条对角线互相垂直的四边形是矩形. (4)四个角皆为直角的四边形是矩形. 【解题思路】 （1）判定一个四边形是矩形的方法有哪些？ （2）根据上面的判定定理，哪些说法是正确的？哪些是错误的？你能举出反例吗？ 2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，四边形AEDB为平行四边形，求证:四边形AECD是矩形. 【解题思路】 （1）平行四边形有哪些性质？ （2）如何判定四边形AECD为平行四边形？ （3）等腰三角形的“三线合一”说的是什么？AD与BC有什么位置关系？ （4）如何判定平行四边形AECD为矩形？ 4.布置作业 1.课本P136习题A组第1，2，3题. 2.课本P136习题B组第1，2，3题. 结合一个实际问题，判定一个四边形是不是矩形的实例，通过回忆矩形的性质，启发学生思考判定矩形的方法，从而引出本节课的主要内容——矩形的判定.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 由上一课时得到矩形的性质: ①矩形的四个内角都是直角; ②矩形的两条对角线相等. 反过来，它们都可以作为矩形的判定方法吗 由此引出探究. 一起探究 指导学生认真观察四边形从有一个直角到有三个直角给图形形状带来的变化，启发学生从性质定理的逆命题思考，并动手操作，画出符合逆命题条件的四边形，形成有效的探索过程，提出关于矩形的判定定理的猜想. 当有两个角是直角时，这个四边形可以是直角梯形. 当有三个角是直角时，根据四边形的内角和为360°，可以求出第四个角的度数是90°. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 试着做做 利用平行线的判定定理，先证明四边形是平行四边形，再说明平行四边形是矩形. 对于“对角线相等的平行四边形是矩形”的证明,先要分析证明思路:只需证出一个内角为直角即可.因为平行四边形邻角互补，所以只需证出一对邻角相等即可.为此，只要证明以一对邻角为对应角的两个三角形全等即可，等等. 对于“一起探究”中的活动1,也可以这样来进行: (1)四个角都是直角的四边形一定是矩形吗 (是矩形). (2)条件减弱,有三个内角是直角的四边形一定是矩形吗 (是矩形). (3)条件再减弱，有两个内角是直角的四边形一定是矩形吗 (这时就不一定了,可用反例说明不成立). 这样展开的探究，更贴近真实的认知过程，也更具有引导性和启发作用. 大家谈谈 如果四边形ABCD是平行四边形，那么四边形EFGH是平行四边形. 1.(1)×；（2）×；（3）×；（4）√. 对于“起探究”中的活动2,一定要让学生先画出符合“两条对角线相等”的平行四边形，进而观察发现它一定是矩形，再与“两条对角线相等”的四边形不一定是矩形相比较，更有利于认识这个判定定理的条件要求. 2.提示:证明 AE∥CD,且AE=CD， 从而四边形AECD是平行四边形. 再由AD⊥BC, 推出四边形AECD是矩形.
板书设计 22.4 矩形 矩形的判定定理： （1）有三个角是直角的四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
22.5 菱形
第1课时
课题 菱形 课型 新授课
教学内容 教材第140-143页的内容
教学目标 1.经历探索菱形的性质定理的过程,掌握菱形的性质定理. 2.通过观察、操作等活动，发展学生的直觉思维,增进主动探究的意识， 在证明性质定理的过程中，发展学生的演绎推理能力.
教学重难点 教学重点：掌握菱形的性质定理. 教学难点：会运用矩形的性质定理进行推导证明.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 【师生互动】 老师：同学们，我们学过的特殊四边形都有哪些？ 学生：…… 老师：那我们先看平行四边形，平行四边形有哪些性质？ 学生：…… 老师：那如何判定一个四边形是平行四边形呢？我们有哪些方法？ 学生：…… 老师：那我们再看矩形，矩形有哪些性质？ 学生：…… 老师：那如何判定一个四边形是矩形呢？我们有哪些方法？ 学生：…… 老师：好，我们现在拿出一张长方形的纸，如图，对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是什么呢？自己剪一剪，看一看吧. 学生：是一个菱形. 老师：好了，同学们，这节课我们就来一起探究一下菱形的性质吧. 2.类比探究，学习新知 菱形也是一种特殊的平行四边形.它有怎样的性质，又如何进行识别呢？ 【观察与思考】 从下列图片中抽象出如图22-5-1的图形，观察这些图形，它们有什么共同的特征呢？ 通过观察和验证，图22-5-1(1)，(2),(3)皆为平行四边形，而且有一组邻边相等. 我们把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(rhombus). 【师生互动】 老师：同学们想一想，还有哪些物体中存在菱形？举出几个例子吧. 学生：…… 老师：平行四边形有哪些性质？回忆一下. 学生：…… 老师：菱形作为特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊的性质呢？我们下面一起来研究一下. 【一起探究】 1.如图22-5-2,将一个菱形纸片ABCD按图示方法折叠后，再展开： (1)说明两条折痕的交点O恰为菱形的中心. (2)菱形ABCD是轴对称图形吗？如果它是轴对称图形，那么它有几条对称轴，都是哪些直线？ 【师生互动】 老师：菱形的中心是怎么定义的？ 学生：…… 老师：根据折叠的过程，你能确定两条折痕的交点O恰为菱形的中心吗？ 学生：能确定. 老师：轴对称图形是怎么定义的？ 学生：…… 老师：菱形ABCD是轴对称图形吗？ 学生：是. 老师追问：它有几条对称轴，都是哪些直线？ 学生：它有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线. 老师：回答的不错，一定要记住，对称轴是直线，而不是线段.我们继续看下面这个题目. 2.如图22-5-3,四边形ABCD是菱形. (1)菱形ABCD的四条边有怎样的数量关系？ (2)菱形ABCD的两条对角线有怎样的位置关系？ 【师生互动】 老师：根据菱形纸片的对折，我们发现，菱形ABCD的四条边有怎样的数量关系？ 学生：菱形ABCD的四条边相等. 老师：菱形ABCD的两条对角线有怎样的位置关系？ 学生：菱形ABCD的两条对角线互相垂直. 通过上述探究活动，我们发现： 菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 同时，我们还发现：菱形的四条边相等；菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 现在，我们来证明这个结论. 已知:如图22-5-4，四边形ABCD是菱形，AB=AD. 求证:(1)AB=BC=CD=DA. (2)AC⊥DB. (3)∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA. 【解题思路】 （1）菱形是如何定义的？ （2）△ADO和△CDO全等吗？如何证明？ （3）根据△ADO≌△CDO，你能得出哪些结论？ 【规范解答】 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD,AD=CB. 又∵AB=AD,∴AB=BC=CD=DA. (2)在△ADO和△CDO中， ∵DA=DC,DO=DO,AO=CO,∴△ADO≌△CDO. ∴∠AOD=∠COD. ∵∠AOD+∠COD=180°，∴∠AOD=∠COD=90°. ∴AC⊥DB. (3)∵△ADO≌△CDO, ∴∠ADB=∠CDB,∠DAC=∠DCA. ∵AB∥CD,AD∥CB, ∴∠ADB=∠CBD,∠CDB=∠ABD,∠DAC=∠BCA,∠DCA=∠BAC. ∴∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA. 菱形的性质定理 菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 【例题讲解】 例1 如图22-5-5，菱形ABCD的周长为16 cm，∠ABC=120°，求对角线BD和AC的长. 【解题思路】 （1）菱形的边长是多少厘米？ （2）菱形的对角线有什么性质？ 【规范解答】 解:∵AB+BC+CD+AD=16 cm, ∴AB=BC=CD=AD==4(cm). ∵BD平分∠ABC,∠ABC=120°， ∴∠ABD=60°. ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AB=4 cm. 在Rt△AOB中，OB=2 cm, ∴(cm)， AC=2AO=(cm). 3.随堂训练，巩固新知 1.已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm.求这个菱形的面积. 【解题思路】 （1）你能根据题意画出相应的图形吗？ （2）菱形有哪些性质？ （3）菱形的对角线把菱形分成了几个三角形？每个三角形的面积可求吗？ 2.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC= 45°，.求点B的坐标. 【解题思路】 （1）菱形的四条边是相等的吗？ （2）点C的坐标是多少？ （3）BC的长度是多少？ 4.布置作业 1.课本P143习题A组第1，2，3题. 2.课本P143习题B组第1，2，3题. 带领学生回顾前面学过的平行四边形和矩形的知识，同时结合一个动手操作的活动，通过让孩子剪一剪，找出菱形，从而引出本节课的主要内容——菱形的性质.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 本节的内容是认识菱形，探究并证明菱形的性质和判定定理. 教学内容分为两个课时,第一课时是引入菱形的定义,探究菱形的轴对称性，为后面的研究打好基础，进而考查并证明菱形的性质.第二课时主要是寻找并证明菱形的判定方法. 通过“观察与思考”中的图片,并让学生例举生活中的相关事物，来认识菱形.这个认知过程，实际上是把握菱形基本特征的过程,对学生理解菱形的定义有很大帮助. “一起探究”是为了发现菱形的性质，教学可如下展开: (1)对于活动1,引导学生: ①借助定义先画一个菱形; ②完成如图22-5-2的折叠过程,指出折叠中的重合部分; ③说明折痕(即对称轴)的位置. 在学生描述菱形的对称轴时，一定要强调“对称轴是直线”，此处是学生最容易忽视的地方. (2)对于活动2，先与折叠、重合情形相联系,观察图22-5-3,发现每条对角线将菱形分成的两个三角形是轴对称的等腰三角形，而两条对角线将菱形分成的四个三角形是全等直角三角形.这一认知十分重要，是后面更多探究和证明的思考依据. 通过前面的操作，我们可以通过观察或比较，做出菱形性质的判断，证明时，注意结合操作时的思想进行验证. 在弄清菱形的定义、中心对称性、轴对称性的基础上,引导学生来探究菱形的性质: ①由邻边相等来看四条边的数量关系; ②由“一起探究”中的折叠过程来看两条对角线的位置关系; ③由折叠过程和图22-5-3来看对角线分对角的情况,得出有关菱形性质的猜想. 菱形的四条边都相等. 菱形的两条对角线互相垂直. 关于菱形性质的证明,仍要从“证明方法的获得”与”证明的表述”两个方面来引导.需要指出的是，当“四条边相等”被证明后，借此可得菱形被两条对角线分成的四个小三角形全等，同时还可得到“两条对角线互相垂直”和“每条对角线平分一组对角”. 菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，每个直角三角形的两条直角边分别是对角线长度的一半. 实际上，菱形的面积等于对角线的乘积的一半. 结合等腰直角三角形的知识，就可以求出点C的坐标，BC的长度等于OC的长度.
板书设计 22.5 菱形 我们把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 菱形的性质定理 菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
22.5 菱形
第2课时
课题 菱形 课型 新授课
教学内容 教材第143-146页的内容
教学目标 1.经历探索菱形的判定定理的过程,掌握菱形的判定定理. 2.通过观察、操作等活动，发展学生的直觉思维,增进主动探究的意识， 在证明判定定理的过程中，发展学生的演绎推理能力. 3.会综合运用菱形的判定定理和性质定理进行推导证明.
教学重难点 教学重点：掌握菱形的判定定理. 教学难点：会综合运用菱形的判定定理和性质定理进行推导证明.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？ 菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质： 1．两条对角线互相垂直平分； 2．四条边都相等； 3．每条对角线平分一组对角． 这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？ 【师生互动】 老师：菱形是如何定义的呢？ 学生：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 老师：菱形是否具有对称性呢？ 学生：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 老师：菱形还有其他哪些性质呢？ 学生1：菱形的四条边都相等． 学生2：菱形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角． 老师：同学们回答的很好.回想矩形的判定，我们是不是也可以利用菱形的定义，来判定一个四边形是菱形啊？ 学生：可以. 老师：回答的不错.好了，同学们，这节课我们就来一起探究一下菱形的判定条件吧. 2.类比探究，学习新知 我们已经知道，菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直.反过来，如果一个四边形的四条边都相等，那么能不能判断这个四边形是菱形呢？如果一个平行四边形的对角线互相垂直，那么能不能判断这个平行四边形是菱形呢？ 【一起探究】 如图22-5-6，画两条等长的线段AB,AD,分别以点B,D为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于点C.连接BC,CD,得到四边形ABCD. 四边形ABCD是菱形吗？ 【师生互动】 老师：在尺规作图时，如何保证AB=AD？ 学生：…… 老师：分别以点B,D为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于点C，得到的线段BC和BD有什么关系？它们的长与AB的长又有什么关系？ 学生：…… 老师：所作的图形中，AB，BC，CD，DA的长度有什么关系？ 学生：四条边都相等. 事实上，我们有：四条边相等的四边形是菱形. 现在，我们来证明这个结论. 已知：如图22-5-7，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA. 求证:四边形ABCD是菱形. 【解题思路】 （1）根据四边相等，能否得出四边形ABCD是平行四边形？利用的是哪个判定定理？ （2）根据四边形ABCD是平行四边形，再添加哪个条件就可以说明四边形ABCD是菱形了？（菱形的定义） 【规范解答】 证明：∵AB=CD，且BC=AD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形. 菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形. 【大家谈谈】 如图22-5-8, ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，0是这两条对角线的交点. (1)你能说明图中的Rt△ABO,Rt△CBO,Rt△CDO,Rt△ADO都是全等的吗？ (2)平行四边形ABCD的四条边都相等吗 (3)请证明你的猜想. 【解题思路】 （1）平行四边形有哪些性质？（对角线互相平分） （2）判定三角形全等时，可以利用那个判定定理，如何寻找判定条件？ 菱形的判定定理：两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 另外，“每条对角线平分一组对角的四边形是菱形”也是正确的，只是用起来不太方便，用以不把它作为定理，同学们可以自己试着证明. 【师生互动】 老师：如何证明“每条对角线平分一组对角的四边形是菱形”？ 学生：…… 老师：已知条件如何写？证明的结论是什么？ 学生：…… 老师：你能根据已知条件画出相应的图形吗？ 学生：…… 老师：自己试着证明一下吧. 【例题讲解】 例2 已知：如图22-5-9，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC于点F. 求证:四边形AEDP是菱形. 证明：∵DE∥AC，DF∥AB, ∴四边形AEDF是平行四边形. ∴∠1=∠3. 又∵∠1=∠2, ∴∠2=∠3. ∴AE=DE. ∴四边形AEDF是菱形. 3.随堂训练，巩固新知 1.如图，在ABC中，AB=AC.画出点A关于BC的对称点A’.请用两种不同的方法证明四边形ABA'C是菱形. 【解题思路】 （1）如何作一个点关于一条直线的对称点？ （2）利用对称的性质，可以得到什么结论？ （3）证明一个四边形是菱形，有哪几种方法？ 2.如图，在 ABCD中，∠D=60°，以顶点A为圆心，AB为半径画弧，交BC于点E，交AD于点F.请你指出图中的等腰三角形、平行四边形和菱形. 【解题思路】 （1）根据题意，可以得到哪些相等的线段？ （2）如何判定一个三角形是等腰三角形？ （3）如何判定一个四边形是平行四边形？菱形呢？ 4.布置作业 1.课本P146习题A组第1，2，3题. 2.课本P146习题B组第1，2题. 回顾上节课所学，复习菱形的定义和性质，同时探讨菱形的判定定理，启发学生思考判定菱形的方法，从而引出本节课的主要内容——菱形的判定.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 引导学生思考通过考虑事物的已有性质能否判断该事物，也就是由 ①“四条边相等的四边形”; ②“对角线互相垂直的平行四边形”; ③“每条对角线平分一组对角的四边形”这些条件中的一条能否判定其是菱形. 通过思考性质定理的逆命题，使学生感受菱形判定定理的条件,指导学生画出符合性质定理逆命题条件的图形，增强探究过程的直观性. (1)教材上的“一起探究”，是用尺规作图的方法画出一个四条边都相等的四边形，这样准确画出的图形有助于学生形成正确的猜想教学中应重视这个操作环节. (2)证明“四条边都相等的四边形是菱形”的判断，仍要突出“证明方法的获得过程”，而后才是“证明的表述”.证明的获得过程，应从“目标”入手:欲说明这个四边形是菱形，根据菱形的定义,首先需证明它是平行四边形，为此需证“两组对边分别平行”或“一组对边平行且相等”或“两组对边分别相等”.结合已知条件,显然考虑最后的方法最佳. 大家谈谈 实际上是让学生证明第二条判定定理. 建议通过学生的独立思考、合作交流完成. (1)全等. (2)相等. (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 平行四边形的对角线互相平分. （1）证明Rt△ABO,Rt△CBO,Rt△CDO,Rt△ADO全等时，可以用“SAS”进行判断. （2）根据（1）中的三角形全等，可以推出四边形ABCD的四条边都相等. 对于另一条判定定理“两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的证明,由于在“大家谈谈”中作了较细的引导，证明方法已经点明,具体表述就很容易了. 需要指出的是,可启发学生再作思考:如果从给出的条件去推出这个四边形是平行四边形，且有一组邻边相等，再归结到菱形的定义，可以吗 如何表述 这样，用“多解”的办法可深化学生对知识的掌握. 对于“每组对角线平分一组对角的四边形是菱形”，由条件可得该四边形被每一条对角线分成的两个三角形是全等的，立刻得出该四边形的四条边相等. 2.等腰三角形有: △ABE,△AEF. 平行四边形有: 四边形ABCD, 四边形CDFE, 四边形ABEF. 菱形有: 四边形ABEF.
板书设计 22.5 菱形 菱形的判定定理： （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形. （2）四条边相等的四边形是菱形. （3）两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形. （4）每条对角线平分一组对角的四边形是菱形. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
22.6 正方形
课题 正方形 课型 新授课
教学内容 教材第147-149页的内容
教学目标 1.经历探索正方形性质和判定的过程,掌握正方形的性质及判定的方法. 2.通过对四边形的分类,增强对平行四边形、矩形、菱形和正方形等概念的理解以及它们之间的关系，增强对数学分类方法的认识.
教学重难点 教学重点：掌握正方形的性质及判定的方法. 教学难点：会综合运用四边形的判定定理和性质定理进行推导证明.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 活动一： 老师：我们一起来回顾一下，平行四边形是如何定义的？它的边、角、对角线分别有什么性质？对称性如何？ 学生：…… 老师：矩形是如何定义的？它的边、角、对角线分别有什么性质？对称性如何？ 学生：…… 老师：菱形是如何定义的？它的边、角、对角线分别有什么性质？对称性如何？ 学生：…… 活动二：做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形． 老师：正方形应该如何定义呢？它的边、角、对角线分别有什么性质？对称性如何呢？我们这节课就来一起研究一下正方形的性质与判定吧. 2.类比探究，学习新知 正方形也是我们非常熟悉的一种图形.本节将探究正方形的性质、判定方法及其应用. 【师生互动】 老师：我们观察手中的正方形纸片，正方形是不是平行四边形？ 学生：是. 老师：这个平行四边形的邻边有什么特点？ 学生：邻边相等. 老师：这个平行四边形的角有什么特点？ 学生：四个角都是直角. 老师：好，我们一起看一下课本是如何定义正方形的吧. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形(square). 【大家谈谈】 1.正方形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，那么它有几条对称轴，都是哪些直线？ 【师生互动】 老师：正方形是不是轴对称图形？ 学生：是. 老师：正方形有几条对称轴，都是哪些直线？ 学生：正方形有4条对称轴：横1条、竖1条、斜2条，如图： 2.结合图22-6-1，谈谈正方形与平行四边形、矩形和菱形的关系. 【师生互动】 老师：根据上图，如何判定一个四边形是平行四边形？ 学生1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 学生2：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 老师：如何判定一个平行四边形是矩形呢？ 学生1：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 学生2：对角线相等的平行四边形是矩形.（或对角线相等且互相平分的四边形是矩形）. 老师：如何判定一个平行四边形是菱形呢？ 学生1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 学生2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.（或对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）. 老师：如何判定一个四边形是正方形呢？ 学生1：先判定它是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形. 学生2：先判定它是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形. 老师：根据对角线如何确定一个四边形是正方形呢？ 学生1：先判定它是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形. 学生2：先判定它是菱形，对角线相等的菱形是正方形. 老师：回答的不错.我们继续看下面一个问题： 正方形都具有哪些性质？组内讨论，相互交流. 【课堂小结】 正方形是中心对称图形，它的中心是对称中心，正方形还是轴对称图形，它有四条对称轴：两条对角线和每组对边中点连线所在直线. 正方形具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质. 判定一个四边形是正方形，只要判定这个四边形既是矩形又是菱形即可. 老师：思考一下，为什么一个四边形既是矩形又是菱形，这个四边形就一定是正方形呢？ 【例题讲解】 例1 已知：如图22-6-2，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上. 求证：BE=DE. 【解题思路】 （1）正方形都有哪些性质？ （2）根据图形，要想证明BE和DE相等，需要采用哪种方法？（全等三角形） （3）证明哪两个三角形全等？根据那个判定定理？ 【规范解答】 证明：在△AED和△AEB中， ∵AD=AB，AE=AE，∠DAC=∠BAC=45°， ∴△AED≌△AEB, ∴BE=DE. 例2 已知：如图22-6-3,在正方形ABCD中，△BCE是等边三角形. 求证:∠EAD=∠EDA=15°. 【解题思路】 （1）等边三角形有哪些性质？ （2）要想求∠EAD的度数，先求∠BAE的度数，∠BAE的度数如何求？ （3）∠EDA的度数和∠EAD的度数相等吗？为什么？ 【规范解答】 证明：∵∠EBC=∠ECB=∠CEB=60°， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∠ABE=∠DCE=30°. ∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°. ∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°. 【做一做】 已知：如图22-6-4,点E,F,M,N分别在正方形ABCD四条边上，且AE=BF=CM=DN.求证：四边形EFMN是正方形. 【解题思路】 （1）要想证明四边形EFMN是正方形，根据条件，可以先证明四边形EFMN是什么特殊四边形？ （2）要想证明四边形EFMN是菱形，根据已知条件，可以利用那个判定定理？ （3）根据四边形EFMN是菱形，如何证明四边形EFMN是正方形？ 3.随堂训练，巩固新知 1.如图，正方形ABCD的对角线AC为菱形AEFC的一边.求∠FAB的度数. 【解题思路】 （1）正方形的对角线有什么性质？ （2）平行四边形的对角线有什么性质？ 2.如图，把一张矩形纸片折叠，把重叠部分剪下来，展开后可以得到个怎样的四边形？为什么？ 【解题思路】 （1）展开后得到的纸片是平行四边形吗？ （2）展开后得到的纸片的邻边有什么数量关系？为什么？ （3）如何判定展开后的四边形的形状？运用的是哪个判定定理？ 4.布置作业 1.课本P149习题A组第1，2，3题. 2.课本P149习题B组第1，2题. 回顾前面学过的特殊四边形：平行四边形、矩形和菱形的定义及性质，并通过折叠正方形的活动，启发学生思考正方形的定义及性质，从而引出本节课的主要内容——正方形.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 从正方形的图形及定义出发，确认正方形是平行四边形，是矩形，也是菱形.这样的认知不仅能深化正方形的概念，也能从中了解它的所有性质. 将上述过程更详细地展开，就是“大家谈谈”所设计的学习步骤. 对于正方形的轴对称情况，应从两个方面展现，一是将矩形的轴对称性和菱形的轴对称性合起来就可得到正方形的轴对称性，二是画出正方形用折叠的方法进行探究.教学 中,应将二者有机结合进行. 从平行四边形到矩形和菱形，再从矩形(或菱形)到正方形,是类属学习过程,重心在于把这种类属关系(分类)搞清楚.因此，对于图22-6-1展示的图形关系,应尽可能让学生自己画出，真正梳理好它们之间的关系以及特殊化的演进过程. 引导学生认识到：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形. 因此，正方形兼有矩形性质和菱形性质. 在此基础上，让学生自己整理出正方形的性质，可按: ①中心对称性和轴对称性; ②边的情况; ③内角的情况; ④对角线的情况， 这样逐层展开. 对于例1的证明，不拘泥于证明方法，只要证明过程正确即可.实际上，本题也可以证明△BCE和△DCE全等，从而得出结论. 对于正方形的判定，教材上只指出“只要判定这个四边形既是矩形，又是菱形即可”. 在教学中应引导学生对这些方面知识进行分类梳理. 第一类是从四边形出发的判定方法,第二类是从平行四边形出发的判定方法，第三类是从矩形出发的判定方法,第四类是从菱形出发的 判定方法. 在每一类中又可列出若干条.这样的过程，无论是帮助学生清楚的认识这些知识之间的联系,还是对学生的思维能力(条理化是逻辑推理的重要特征)培养，都有很好的作用. “做一做”的解题思路：根据正方形的性质，易知AB=BC=CD= DA，且∠A=∠B=∠C=∠D=90°，再结合AE=BF=CM=DN，易证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，因此EN=EF=FM=MN，所以四边形EFMN是菱形.再根据∠A=90°，可判定四边形EFMN是正方形. 提示：平行四边形的对角线平分一组对角，正方形的对角线也平分一组对角. ∠FAB=22.5°. 提示：先判定展开后的四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），再根据有两条邻边相等的平行四边形是菱形，判定是菱形；最后结合有一个角是直角，判定是正方形.
板书设计 22.6 正方形 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 正方形是中心对称图形，它的中心是对称中心，正方形还是轴对称图形，它有四条对称轴：两条对角线和每组对边中点连线所在直线. 正方形具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质. 判定一个四边形是正方形，只要判定这个四边形既是矩形又是菱形即可. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
22.7 多边形的内角和与外角和
课题 多边形的内角和与外角和 课型 新授课
教学内容 教材第150-154页的内容
教学目标 1.了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角及对角线等概念. 2.经历探索多边形内角和与外角和定理的过程，掌握多边形内角和与外角和定理，会用多边形内角和与外角和定理解决简单问题. 3.提高学生归纳发现问题的能力，积累用演绎推理方法验证猜想的数学活动经验.
教学重难点 教学重点：掌握多边形内角和与外角和定理，会用多边形内角和与外角和定理解决简单问题. 教学难点：提高学生归纳发现问题的能力.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？ 【师生互动】 老师：观察第一幅图，你能发现哪种图形？ 学生：六边形. 老师：请你指出它的边、顶点、对角线、内角及外角. 学生：…… 老师：我们再看第二幅图，你能发现哪些图形？ 学生：…… 老师：请你指出它的边、顶点、对角线、内角及外角. 学生：…… 老师：我们再看第三幅图，你能发现哪种图形？ 学生：…… 老师：请你指出它的边、顶点、对角线、内角及外角. 学生：…… 老师：多边形应该如何定义呢？每种多边形的内角和与外角和如何呢？我们这节课就来一起研究一下多边形的内角和与外角和吧. 2.类比探究，学习新知 本节我们探究多边形的内角和、外角和，以及它们的简单应用. 如图22-7-1，观察这些图形，它们都是平面上由线段首尾顺次相接所组成的. 平面上，由不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形，叫做多边形(polygon). 连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 多边形有几条边就叫做几边形. 三边形就是我们通常所说的三角形. 图22-7-2所示的五边形，我们把它记作五边形ABCDE. 用类似的方法可以记其他多边形. 多边形的边、顶点、内角、外角的意义和三角形相同. 一个多边形如果总在它的任何一条边所在直线的同一侧，这个多边形就叫做凸多边形.我们只研究凸多边形. 【师生互动】 老师：你还能画出其他什么多边形吗？自己试着画一画. 学生：…… 老师：根据图22-7-2，标上多边形的字母，并指出你所学的多边形的顶点、边、内角及外角.然后与同桌进行讨论. 学生：…… 老师：想一想，三角形的内角和是多少度？ 学生：180°. 老师：四边形的呢？ 学生：360°. 老师：那五边形、六边形的内角和度数呢？ 下面我们探究多边形的内角和及外角和. 【一起探究】 1.已知三角形的内角和为180°.你能猜想四边形、五边形、六边形等多边形的内角和分别是多少度吗？ 2.以四边形为例，如何将求四边形内角和的问题转化，利用三角形内角和定理求多边形的内角和？ 3.将多边形分割成不重叠的三角形，求四、五、六边形的内角和，猜想n边形的内角和，并将结果填入下表. 【师生互动】 老师：求四边形的内角和时，应该如何进行转化？ 学生：画四边形的一条对角线，把四边形分成两个三角形. 老师：如何求四边形的内角和？ 学生：每个三角形的内角和为180°，四边形被分成了两个三角形，因此内角和为180°×2=360°. 老师：求五边形的内角和时，如何对五边形进行转化？ 学生：…… 我们发现，n边形的内角和等于(n-2)×180°. 现在，我们来证明这个结论. 已知:如图22-7-3，n边形. 求证：n边形的内角和等于(n-2)×180°. 【解题思路】 （1）求n边形的内角和时，需要把它分成多少个三角形？ （2）如何进行划分？如何计算内角和？ 【规范解答】 证明：连接(i=3,4,…，n-1),得到(i=3,4,…，n-1)，共有(n-2)个三角形. ∵(i=3,4,…，n-1)的内角和等于180°， ∴n边形的内角和=△A1A2A3的内角和+△A1A3A4的内角和+…+△A1An-1An的内角和=(n-2)×180°. 多边形的内角和定理 n边形的内角和等于(n-2)×180°(n≥3). 在多边形的每个顶点处，取这个多边形的一个外角，这些外角的和叫做这个多边形的外角和. 【做一做】 利用n边形的内角和定理，求n边形的外角和. 【师生互动】 老师：n变形的内角和是多少？ 学生：(n-2)×180°. 老师：每个外角是不是对应着一个内角？ 学生：是的. 老师：n变形有多少个内角？ 学生：n个. 老师：那么内角和与外角和一共是多少度？ 学生：一共是n×180°. 老师：利用n边形的内角和定理，你能求n边形的外角和吗？学生：…… 多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°. 【例题讲解】 例1 已知一个多边形，它的内角和与外角和相等，这个多边形是几边形？ 【解题思路】 （1）多边形的内角和是确定的吗？外角和呢？ （2）n边形的内角和的内角和是多少？外角和是多少？ 【规范解答】 解：设多边形的边数为n，那么它的内角和等于(n-2)×180°，外角和等于360°. 由题意，得(n-2)×180°=360°. 解这个方程，得 n=4. 所以，这个多边形是四边形. 例2 如图22-7-4，小亮从点O处出发，前进5 m后向右转20°，再前进5 m后又向右转20°，这样走n次后恰好回到点O处. (1)小亮走出的这个n边形的每个内角是多少度，内角和是多少度？ (2)小亮走出的这个n边形的周长是多少米？ 【解题思路】 （1）多边形的外角和是多少？ （2）根据外角和，你能不能求出这个多边形是几边形？ （3）每次走的路程都是5 m，你能求出总路程吗？（周长） 【规范解答】 解：(1)这个n边形的每个内角为180°-20°=160°. 因为多边形外角和等于360°， 所以n×20°=360°， 解得n=18. 所以，这个n边形的内角和=(18-2)×180°=2880°. (2)5×18=90(m)， 所以，小亮走出的这个n边形的周长为90 m. 3.随堂训练，巩固新知 1.在540°，720°，960°中，哪个角度不可能是多边形的内角和？ 【解题思路】 （1）n边形的内角和定理是什么？ （2）n边形的内角和一定是180°的倍数吗？ 2.在四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠