冀教版八年级数学下册第二十一章《一次函数》 同步教学设计（表格式）

0
第二十一章 一次函数
章 节 备 课
第二十一章 本章所需课时数 9课时
课标要求 1.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式. 2.会利用待定系数法确定一次函数的表达式. 3.能画出一次函数的图像.根据一次函数的图像和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时,图像的变化情况. 4.体会一次函数与二元一次方程的关系. 5.能用一次函数解决简单的实际问题. 6.进一步发展学生数学抽象能力,强化数学的应用意识.
教材分析 (1)一次函数的意义同样是比较抽象的，教科书中采用了这样的研究过程:从小学已认识的“成正比例的量”入手，先引入“正比例函数”，再扩展到“一次函数”，这样编排的目的，一是从学生已有的“数学现实”出发，使新知识的引入比较自然;二是采用"由特殊到一般”的归纳方式,符合学生的认知规律，有利于数学活动经验的积累. (2)对于学生来说，无论是“正比例函数"还是“一次函数”,其概念认识的形成，都必须借助于相当数量的、他们所熟悉的现实情境，通过归纳、抽象才能实现.因此,教科书特别关注情境的设置与“抽象”过程的有效展开,以促使学生产生有价值的数学思考,完成理性认识的飞跃. (3)对于一次函数性质的研究，教科书中突出了“数形结合”,即由图像特征引发出函数随自变量变化的增减性质.因此，图像的绘制与观察,便起着铺垫与引导的重要作用. (4)教科书紧紧抓住“一点在函数的图像上”与“该点的坐标满足函数的表达式”的对应及一致性，导出用待定系数法求一次函数的表达式，意在突出"形与数”的统一与相互转化，并显示”方程”的广泛应用.随后，又专项研究了一次函数与二元一次方程的关系,更为有力地揭示了函数与方程的关联性. (5)所有内容的呈现，一是尊重学生的数学现实,二是尽可能展开学生的观察、思考、交流与研究的活动过程,以充分提供学生自主发展的空间.
主要内容 本章的知识内容主要包括:一次函数,一次函数的图像和性质，用待定系数法确定一次函数的表达式，一次函数的应用，一次函数与二元一次方程的关系.这些内容彼此关联,依次递进. 一次函数是在学习了一般的函数概念之后,进一步研究的第一类特殊函数,它不仅是现实生活中极为广泛的一类数量关系的抽象模型，有着广泛的应用，而且在整个函数知识的学习中,起着示上启下的重要作用.这主要表现为: 第一，通过一次函数的学习,使学生对“函数”这一抽象的核心概念的理解更加深入，对“函数模型”的理解逐步走向深入与深刻、丰满与充实，对“函数”这一系统知识的认识与掌握进一步强化和提升; 第二.一次函数的学习，不仅从变量关系类型上为二次函数、反比例函数的学习提供了对照与类比，更从研究方法(如“利用函数图像研究函数的性质”“借助待定系数法求函数表达式”等)上,展示了普遍的意义和作用.
教学目标 1.通过画图像与研讨，感悟一次函数与其图像的关系. 2.掌握一次函数的图象的画法及一次函数的性质. 3.明确怎样将实际问题或数学问题转化为一次函数问题 4.通过广泛应用，进一步体会一次函数“匀速”变化的本质特征. 5.感悟一次函数与元二元一次方程的联系.
课时分配 21.1 一次函数 2课时 21.2 一次函数的图像与性质 2课时 21.3 用待定系数法确定一次函数表达式 1课时 21.4 一次函数的应用 2课时 21.5 一次函数与二元一次方程的关系 1课时 回顾与反思 1课时
教与学建议 1.关注对一次函数概念形成的抽象过程的评价.“抽象”是基本数学思想中最为重要的一个方面，是数学知识形成与发展的最为基本的思维形式，也是数学能力构成的基本要素，通过评价的引导,以促进学生对熟悉抽象的重视和自觉运用. 2.注重对知识与技能的评价.重点要放在知识的内在联系，一次函数各种表达形式的相互转换，以及如何通过建立一次函数模型来解决相关的实际问题和数学问题上. 3.在本章的教学中,大部分的教学活动都应以学生独立思考、合作交流、一起探究的形式来完成.所以，学生是否积极与独立思考,是否善于主动地与同学合作,都应该引起教师的注意，要对学生好的表现及时给予鼓励. 4.注重对学生情感态度的评价.在学生学习活动中,要注意培养学生自信、自强的性格记录学生在学习过程中的情感表现以及在解决问题的过程中所表现出来的创新精神.
21.1 一次函数
第1课时
课题 一次函数 课型 新授课
教学内容 教材第84-86页的内容
教学目标 1.掌握正比例函数的概念，理解正比例和正比例函数的关系. 2.能识别正比例函数关系并能利用函数解决简单问题. 3.会求简单的正比例函数关系式，体会生活中的正比例函数模型观念.
教学重难点 教学重点：掌握正比例函数的概念，会求简单的正比例函数关系式. 教学难点：能识别正比例函数关系并能利用函数解决简单问题.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 【师生活动】 老师：我们回忆一下，小学的时候我们学过正比例关系吗？ 学生：学过. 教师：好的，那谁能举一个正比例关系的例子呢？ 学生：商品的单价一定，商品的总价和数量成正比例. 老师：回答的很好，还有谁能再举一个例子？ 学生：…… 老师：好，我们看一下下面这个问题吧. 2.类比探究，学习新知 小刚骑自行车去上学，行驶时间和路程之间的关系如下表： 时间/min12345…17.5路程/km0.20.40.60.81…3.5
【师生互动】 老师：观察给出的表格，小刚第1分钟骑行多少千米？ 学生：0.2千米. 老师：到第2分钟，小刚骑行了多少千米？ 学生：0.4千米. 老师：同学们自己看一下其他时间的路程，再讨论一下小刚骑行的速度是匀速的吗？ 学生：是匀速的，每分钟骑行0.2千米. 老师：那小刚行驶的路程和时间成正比例吗？ 学生：成正比例. 老师追问：为什么？ 学生：因为速度一定，速度×时间=路程.路程÷时间=速度（一定）. 老师：如果用t（min）表示时间，s（km）表示路程,那么s,t之间有什么关系式？自己想一想. 学生：s=0.2t. 【小结】 通过观察与计算，我们发现小刚离开家的路程与时间的比值恒等于0.2，即这两个量是成正比例的量. s与t的函数关系式为:s=0.2t. 【做一做】 1.小亮每小时读20页书.若读书时间用字母t(h)表示，读过书的页数用字母m(页)表示，则用t表示m的函数表达式为 . 老师：这个问题中的数量关系是什么？ 老师：你能写出两个变量之间的函数表达式吗？ 2.小米去给学校运动会买奖品，每支铅笔0.5元.若购买铅笔的数量用n(支)表示，花钱的总数用w(元)表示，则用n表示w的函数表达式为 . 老师：这个问题中的数量关系是什么？ 老师：你能写出两个变量之间的函数表达式吗？ 3.拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05 mL.设t min后，水龙头滴水V mL,则用t表示V的函数表达式为 . 老师：这个问题中的数量关系是什么？ 老师：你能写出两个变量之间的函数表达式吗？ 【小结】 在上面的问题中，函数表达式分别为m=20t，w=0.5n，V=5t. 这些函数的共同特点是：都能写成y=kx的形式，其中，k为常数，且k≠0. 一般地，我们把形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数，叫做正比例函数(proportional function).其中，非0常数k叫做比例系数. 【例题讲解】 老师：好了，学习完正比例函数的概念，我们通过例题来检验一下学习成果吧. 【例1】下列函数中，哪些是正比例函数？请指出其中正比例函数的比例系数. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【解题思路】 （1）什么是正比例函数？正比例函数的定义是什么？ （2）正比例函数的特点是什么？ （3）在正比例函数中，哪个是比例系数？ 【规范解答】 解：(1)，(3)，(5)，(6)是正比例函数，比例系数分别是3，，.(2)和(4)不是正比例函数. 【归纳总结】 判断一个函数是否为正比例函数的方法：看两个变量的比是不是常数，即函数是不是形如y＝kx(k为常数，且k≠0)的函数.在函数中，比例系数为k. 老师：我们继续看下面这个例题，正比例函数在实际问题中的应用. 【例2】有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0. 5公顷/时的小麦收割机来收割. (1)求收割的面积y(公顷)与收割时间x(h)之间的函数关系式. (2)求收割完这块麦田需用的时间. 【解题思路】 （1）本题中的数量关系是什么？ （2）根据数量关系能写出函数关系式吗？ （3）收割完这块麦田，需要收割多少公顷？在函数关系中，用它代替哪个字母求解？ 【规范解答】 解：(1)y=0.5x. (2)把y=10代入y=0.5x中，得10=0.5x, 解得x=20. 即收割完这块麦田需要20 h. 答：(1)y与x之间的函数关系式为y=0.5x. (2)收割完这块麦田需要20 h. 3.随堂训练，巩固新知 1，判断下列哪个问题中的两个量具有正比例关系. (1)向圆柱形水杯中加水，水的体积与高度. (2)正方形的面积与它的边长. (3)小丽录入一篇文章，她的打字速度与所用时间. (4)人的体重与身高. 【师生互动】 老师：在第（1）个问题中，圆柱形水杯确定之后，它的底面积是确定的吗？ 学生：是确定的. 老师：水的体积和高度之间的数量关系是怎样的？ 学生：水的体积=底面积×高度. 老师：第（1）个问题中，水的体积与高度是不是成正比例关系？ 学生：是的. 老师：在第（2）个问题中，正方形的面积和边长有什么关系？ 学生：正方形的面积=边长×边长. 老师：是正比例关系吗？ 学生：不是. 老师：在第（3）个问题中，哪个量是确定的？ 学生：文章中字的总字数. 老师：打字速度与所有时间有什么关系？ 学生：打字速度×所有时间=总字数（一定） 老师：是正比例关系吗？ 学生：不是，是反比例函数关系. 老师：在第（4）个问题中，人的体重和身高有直接的函数关系吗？ 学生：没有. 老师：对，所以一定不是正比例函数关系. 2.填空： (1)已知函数y=3x.当x=3时，y= . (2)已知函数.当y=3时，x= . (3)已知函数.当x=-2时，y=10.则k= . 老师：在正比例函数中. （1）已知k和x，如何求y的值？ （2）已知k和y，如何求x的值？ （3）已知x和y，如何求k的值？ 4.布置作业 1.课本P86习题A组第1，2，3题. 2.课本P86习题B组第1，2题. 回忆小学学过的正比例关系问题，并通过举例子明确实际问题中的正比例关系，从而引出本节课的主要内容.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 从小学已熟悉的“成正比例的量”出发，由“匀速”行驶过程中行驶时间与所行路程的关系，抽象出正比例函数. (1)成正比例，因为路程与时间的比是常数0.2. (2)函数s总是自变量t的0.2倍. 一次函数是在对一般“函数”概念有了初步认识之后,继续学习的第一类特殊函数. 本节内容就是深入地认识一次函数,按照“成正比例的量”——“正比例函数”——“一次函数”这一递升次序安排的.这样做的目的主要有两个:一是更好地体现事物“由简单到复杂” “由特殊到一般”的发展规律;二是成正比例的量在小学已较为熟悉，由此抽象出正比例函数,进而由正比例函数扩展到一次函数，可更好地借用学生已有的数学知识，有效地展现知识的“抽象”生成过程,使一次函数概念的形成更自然、更深刻,更好地体现模型思想. 首先引导学生回忆上一章刚学习过的函数的意义,为本节的学习铺垫好进一步抽象的基础.其次，回忆小学时学习过的成正比例的量.实际上,成正比例的量是函数的最早雏形,也是学生最为熟悉的正比例函数的实例. 对于“观察与思考”和“做一做”活动中的问题情境,应努力引导学生通过思考与解答. 每一对成正比例的量之间都是一种函数关系,并且都可以表示成函数是自变量某一确定“倍数”的形式——这正是正比例函数形式定义的基础. 每一对成正比例的量构成的函数,函数对于自变量的变化都是“匀速"的,这正是正比例函数及一次函数的本质特征. 对于正比例函数的定义,应强调常数k既可以是正数也可以是负数,因此,正比例函数是成正比例的量的拓展与再抽象. 对于例1的教学，重点是引导学生搞清楚正比例函数的形式定义. 对于例2的教学,应引导学生掌握这类问题的思考过程应是:根据“匀速”变化的特征写出函数表达式，由函数值求相应的自变量的值就要通过解方程.
板书设计 21.1 一次函数 一般地，我们把形如(k为常数，且k≠0)的函数，叫做正比例函数.其中，非0常数k叫做比例系数. 判断一个函数是否为正比例函数的方法：看两个变量的比是不是常数，即函数是不是形如(k为常数，且k≠0)的函数.在函数中，比例系数为k. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
21.1 一次函数
第2课时
课题 一次函数 课型 新授课
教学内容 教材第86-89页的内容
教学目标 1.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式. 2.培养学生的抽象能力，体会数学的应用价值. 3.进一步体会数学结合思想，发展学生模型观念的核心素养学生的抽象能力.
教学重难点 教学重点：一次函数与正比例函数的概念及关系. 教学难点：会根据已知信息写出一次函数的表达式.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 问题：某登山队大本营所在地的气温为15℃.海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在的位置的气温是y℃.试用表达式表示y与x的关系. 老师：根据上面的问题，你能写出正确的表达式吗？ 老师：这个函数是正比例函数吗？ 老师：它与正比例函数有什么不同？ 问题：列出下列函数的关系式. (1)已知等腰三角形的周长为30，底边长为y，腰长为x，试写出y与x之间的函数关系式； (2)小红的爸爸把10000元存入银行，如果年利率是1.98%，x年后取出的本息和为y元（不计利息税），试写出y与x之间的函数关系式； (3)一根蜡烛长20cm，点燃后匀速燃烧，每分钟燃烧0.2cm，燃烧x分钟后剩下的蜡烛长为y厘米，求y与x之间的函数关系式； (4)某种商品每件的进价是100元，售出每件获利20%，售出x件的总利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式. 2.类比探究，学习新知 在本节“小刚骑自行车去上学”的问题中，小刚家到学校的路程为3.5 km,小刚骑车的速度为0.2 km/min.设小刚距学校的路程为s km，离开家的时间为t min. (1)写出s与t之间的函数关系式，并指出其中的常量与变量. (2)写出t的取值范围. (3)对比正比例函数，它们的表达式在结构上有什么相同点与不同点？ 【师生互动】 老师：回想上节课所学的知识，还记得正比例函数的定义吗？ 学生：…… 老师：好，我们一起看一下这个题目.这个题目中，小刚t min行驶的路程为多少千米？ 学生：0.2t千米. 老师：同学们自己看一下，小刚家到学校的路程为多少千米？ 学生：3.5千米. 老师：试着写一写s与t之间的函数关系式. 学生：…… 老师追问：在表达式中，哪些是常量，哪些是变量？ 学生：……. 老师：t的取值范围是什么？自己想一想. 学生：……. 老师：对比正比例函数，它们的表达式在结构上有什么相同点与不同点？ 【问题解决】 一般地，解决行程类的问题时，常常借助如下图示来分析. 分析上图，容易看出，s与t的函数关系式为s=3.5-0.2t，其中，3.5，0.2是常量，s与t是变量，如果将t作为自变量，那么s是t的函数. 因为3.5-0.2t≥0，所以t≤17.5. 所以t的取值范围为0≤t≤17.5. 【做一做】 1.某新建住宅小区的物业管理费按住房面积收缴，每月1.60元/平方米；有汽车的房主再交车库使用费，每月80元.设有车房主的住房面积为x m2，每月应缴物业管理费与车库使用费的总和为y元，则用x表示y的函数表达式为 . 2.向一个已经装有10 dm3水的容器中再注水，注水的速度为2 dm3/min.容器内的水量y(dm3)与注水时间x(min)的函数关系式为 . 3.一种计算成年人标准体重Gi(kg)的方法是，以厘米为单位量出身高值h，减常数105，所得差是G的值.用h表示G的函数表达式为 . 老师：这三个问题中的数量关系分别是什么？ 老师：你能分别写出它们的函数表达式吗？ 【大家谈谈】 从上面的问题中，我们分别得到了函数表达式： ,，，. 老师：大家想一想，这些函数表达式的形式有什么共同特点？与同学交流你的看法. 【课堂小结】 一般地，我们把形如(k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数(linear function). 对于一次函数，当b=0时，它就化为，所以正比例函数是一次函数的特殊形式. 【做一做】 在下列函数中，哪些是一次函数？请指出一次函数中的k和b的值. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【解题思路】 （1）什么是一次函数？一次函数的定义是什么？ （2）一次函数的特点是什么？ （3）一次函数中的k和b分别指的是什么？ 【例题讲解】 【例3】如图21-1-1,△ABC是边长为x的等边三角形. (1)求BC边上的高h与x之间的函数关系式.h是x的一次函数吗？如果是一次函数，请指出相应的k与b的值. (2)当，求x的值. (3)求△ABC的面积S与x之间的函数关系式，S是x的一次函数吗？ 【思路分析】 （1）在等边三角形ABC中，已知边长，如何求底边BC边上的高？ （2）正比例函数与一次函数有什么关系？ （3）三角形的面积公式是什么？ （4）一次函数的特征是什么？如何确定一个函数是不是一次函数？ 【规范解答】 解：(1)因为BC边上的高AD也是BC边上的中线， 所以. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 ， 即， 所以h是x的一次函数，且 (2)当时，有，解得x=2. （3）因为， 即，所以S不是x的一次函数. 【归纳总结】 一次函数表达式y=kx+b的结构特征：k≠0，自变量的次数为1,常数项b可以为任意实数，正比例函数是特殊的一次函数. 3.随堂训练，巩固新知 1.在下列函数中，哪些是一次函数？请指出一次函数中的k和b的值. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【解题思路】 老师：一次函数的特征是什么？如何确定一个函数是不是一次函数？ 老师：正比例函数是不是一次函数？ 老师：在一次函数中，如何确定k和b的值？ 2.已知两条平行线之间的距离为3 cm，点A在上，点B，C在上，BC=x.求△ABC的面积S与x的函数关系式，并判断这个函数是不是一次函数. 【解题思路】老师：三角形的面积公式是什么？ 老师：两条平行线之间的距离是如何定义的？ 老师：三角形的高是多少？ 老师：一次函数的特征是什么？如何判断一个函数是不是一次函数？ 4.布置作业 1.课本P89习题A组第1，2，3题. 2.课本P89习题B组. 通过给出的实际例子，结合之前学习过的函数知识，列出表达式，并判断是否为正比例函数，与正比例函数的区别，从而引出本节课的主要内容.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. （1）y=30-2x； （2）y=198x+10000； （3）y=20-0.2x； （4）y=20x. 可引导学生从表达式与“匀速”变化两个角度,回忆上一课时刚学习过的正比例函数，为一次函数的学习打好基础. （1）s=3.5-0.2t，其中3.2和0.2是常量，s和t是变量. （2）t的取值范围是0≤t≤17.5. （3）相同点:都是自变量的一次式;不同点:正比例函数表达式的常数项为0,这个函数表达式常数项不为0. 教学中应引导学生注意,在这三个问题里,函数的表达式都是由一个正比例函数与一个常数通过加或减而成的. 函数表达式分别为： 1.； 2.； 3.. 对于“一起探究”和“做一做”活动中的4个问题，可引导学生仔细作下列分析: (1)它们反映的两个变量间的关系,都是由一个正比例函数与一个常数进行加或减而成的; (2)因为加减的常数不影响函数对于自变量的变化速度,所以其中的每一个函数都与和它对应的正比例函数有着同样的变化速度(当然,对同一个自变量有不同的函数值). “大家谈谈”不只停留在表达式外形的共性上,还是从两个变量变化过程的本质特征上认识一次函数. 对于一次函数与正比例函数的关系,应使学生认识到:一次函数包括了正比例函数，正比例函数是一次函数中的一类特殊形式(表达式中常数项为0). 通过“做一做”使学生进一步明确:由表达式判别一次函数，只需看它是否为自变量的一次式. 根据“思路分析”中的问题引导学生进行思考，通过组内或同桌两人交流，进行解答. 在求出函数表达式后，可以根据自变量系数不是1说明它不是一次函数，也可以进行适当的拓展，这个函数是二次函数. 一次函数表达式y＝kx＋b的结构特征：k≠0，自变量的次数为1，常数项b可以为任意实数．正比例函数y＝kx的表达式中，比例系数k是常数，k≠0，自变量的次数为1. 1.一次函数有： （1）k=-1,b=2; （3）k=0.03,b=8； （4）k=,b=0; （5） 2.，是一次函数.
板书设计 21.1 一次函数 一般地，我们把形如(k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 对于一次函数，当b=0时，它就化为，所以正比例函数是一次函数的特殊形式. 一次函数表达式的结构特征：k≠0，自变量的次数为1,常数项b可以为任意实数，正比例函数是特殊的一次函数. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
21.2 一次函数的图像和性质
第1课时
课题 一次函数的图象和性质 课型 新授课
教学内容 教材第90-92页的内容
教学目标 1.经历描点法探究一次函数的图像的过程，培养学生自主学习和合作探究的能力. 2.能熟练地作出一次函数和正比例函数的图像，能求出与坐标轴的交点. 3.培养学生自主学习和合作探究的能力，体会抽象和数形结合的思想.
教学重难点 教学重点：会画一次函数与正比例函数的图像,并能利用一次函数的图像解决实际问题. 教学难点：利用一次函数的图像解决实际问题.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 老师：同学们，我们把课本翻到第70页，一起来回忆一下本页上的例题. 例 在直角坐标系中，画出函数y=2x+1的图像. 解:(1)取值. 根据函数表达式，取自变量的一些值，得出函数的对应值，按这些对应值列表: (2)描点. 根据自变量和函数的数值表，在直角坐标系中描点. (3)连线. 用平滑的曲线将这些点连接起来，即得函数的图像，如图20-3-2. 老师：我们总结一下，画一个函数的图像，需要哪些步骤呢？ 老师：画图时，要求准确，你是如何做到准确的呢？ 2.类比探究，学习新知 老师：一次函数是一种形式上比较简单的函数，我们想要知道一次函数的性质，我们可以借助什么进行研究呢？ 老师：我们可以借助一次函数的图像对它的性质进行研究.谁知道一次函数的图像怎么画？ 老师：这节课我们就来一起研究一下一次函数的画法. 已知函数的表达式，通过列表、描点和连线，可以在直角坐标系画出一次函数的图像. 【提出问题】如何画一次函数的图像？ 【试着做做】 老师：我们按照课本上的顺序进行解答. （1）填写表格： x…-3-2-10123…y……
（2）以（1）中得到的每对对应值分别为横坐标和纵坐标，在图21-2-1所示的坐标系中描出相应的点. （3）由（2）描出的点依次用平滑曲线连接起来，就得到的图像. 【一起探究】 1.一次函数的图像的形状是怎样的？你和其他同学得到的结果一样吗？ 2.凡是满足关系式的x，y的值所对应的点，如，，（4,7）等，都在一次函数的图像上吗？与同学交流你的看法. 老师：试着多举出几个点的坐标，看一看是否在函数图像上？是否满足函数关系式？ 老师：同桌之间或组内进行交流，能得出什么样的结论？自己说一说. 【课堂小结】 一般地，一次函数y=kx+b的图像为一条直线.因此，我们把一次函数y=kx+b的图像也称为直线y=kx+b. 画一次函数的图像时，只要确定出两个点，再过这两个点画直线就可以了. 【例题讲解】 【例1】画一次函数的图像. 【思路分析】 （1）一次函数的图像是什么形状的？ （2）要想画出一次函数的图像，我们至少要确定几个点的坐标？ （3）你打算选取哪些点的坐标进行画图？为什么选这些点？ 【规范解答】 解：当x=0时，y=1. 当y=0时，，解得x=2. 在直角坐标系中，过点（0,1）和点（2,0）画直线，即得一次函数的图像，如图21-2-2. 【归纳总结】 在画一次函数的图像时，分别求出满足各直线的两个特殊点的坐标（0，b），，经过这两点作直线即可． 3.随堂训练，巩固新知 1.在同一直角坐标系中，画出y=-3x和y=3x的图像. 【解题思路】 老师：在同一坐标系中画图像，是什么意思？ 老师：画y=-3x和y=3x的图像，分别需要几个点的坐标？可以选取哪几个点的坐标？ 老师：观察两个函数的图像，试着说一说它们之间有什么关系？ 2.在同一直角坐标系中，画出和的图像. 【解题思路】 老师：画和的图像，分别需要几个点的坐标？可以选取哪几个点的坐标？ 老师：观察两个函数的图像，试着说一说它们之间有什么关系？ 4.布置作业 1.课本P91习题A组第1，2题. 2.课本P91习题B组第1，2题. 通过前面所学的知识，引导同学们进行复习知识，引出问题，让学生参与思考并回答，从而引出本节课的主要内容.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 画图像的三个主要步骤： （1）取值. （2）描点. （3）连线. 尽量用直尺画图，图像要求尽量准确. 引导学生回忆上一章刚学习过的函数图像的画法,然后让学生尝试独立完成“试着做做”中的问题，经历确定(具有代表性的)一系列对应数值、描点、用平滑曲线连接的完整过程.这个过程是形成“一次函数的图像是一条直线”概括认识的经验基础. 本课时内容的教学应主要突出,通过学生的实际操作,让学生感知并确认一次函数的图像是一条直线. 1.图像为一条直线. 2.由画图过程知，一次函数的图像是由所有满足关系式的点(x,y)连线而得到的.因此，凡是满足关系式的x,y的值所对应的点(x,y)都在一次函数的图像上. “一次函数的图像是一条直线”包含两层意思: (1)凡是满足某个一次函数关系式的变量的一组对应值确定的点，都在这条直线上; (2)直线上的任意一点的坐标对应的变量的值，都满足这个一次函数的关系式. 在“一起探究”过程中,应让学生通过观察与举例验证的方对,获得以上两个方面的感悟与认识. 教材中指出:“画一次函数的图像时，只要确定出两个点，再过这两点画直线就可以了.”可以先引导学生思考“怎样更快地画出一次函数的图像”.通过大家的讨论取得共识,再由例1的操作实践，得到结论. “练习”题目旨在练习同学们画一次函数图像的步骤和方法，至于两个图像作对比或者分析函数图像，属于拓展内容，不要要求孩子都会解答. 通过练习题，引导学生总结出:正比例函数的图像,是过坐标原点的一条直线.
板书设计 21.2 一次函数 已知函数的表达式，通过列表、描点和连线，可以在直角坐标系画出一次函数的图像. 一般地，一次函数y=kx+b的图像为一条直线.因此，我们把一次函数y=kx+b的图像也称为直线y=kx+b. 画一次函数的图像时，只要确定出两个点，再过这两个点画直线就可以了. 在画一次函数的图像时，分别求出满足各直线的两个特殊点的坐标（0，b），，经过这两点作直线即可． 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
21.2 一次函数的图像和性质
第2课时
课题 一次函数的图象和性质 课型 新授课
教学内容 教材第92-95页的内容
教学目标 1.能根据一次函数的图象和表达式探索并理解当和时，图像的变化情况. 2.掌握一次函数的性质. 3.体会一次函数与一元一次方程、不等式之间的关系，渗透转化、数形结合的思想.
教学重难点 教学重点：掌握正比例函数和一次函数的性质. 教学难点：体会一次函数与一元一次方程、不等式之间的关系.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 【提出问题】 1.甲水池以每秒2立方米的速度注水，甲池注水量y（立方米）与时间x（秒）之间的函数关系式是什么？ 老师：这个问题中，变量和常量分别是哪些？ 老师：写出注水量y（立方米）与时间x（秒）之间的函数关系式. 老师：这个函数是一次函数吗？函数y随自变量x的变化情况是怎样的？ 2.乙水池原有水4立方米，以每秒2立方米的速度注水，乙池蓄水量y（立方米）随时间x（秒）之间的函数关系式是什么？ 老师：这个问题中，变量和常量分别是哪些？ 老师：写出蓄水量y（立方米）随时间x（秒）之间的函数关系式. 老师：这个函数是一次函数吗？函数y随自变量x的变化情况是怎样的？ 2.类比探究，学习新知 老师：上节课，我们知道：借助一次函数的图像，我们就可以探究一次函数的图像了，现在，我们先画一画一次函数的图像. 【做一做】 1.请在图21-2-3的直角坐标系中，画出一次函数和的图像. 老师：如何画一次函数的图像？有哪些主要步骤？ 老师：在取图像上的点时，最少可以取几个点？一般我们会取那几个点？ 2.请在图21-2-4的直角坐标系中，画出一次函数和的图像. 老师：如何画一次函数的图像？有哪些主要步骤？ 老师：在取图像上的点时，最少可以取几个点？一般我们会取那几个点？ 【观察与思考】 观察上面画出的四个函数，，和的图像，请思考： （1）哪些函数图像，y的值是随x的值的增大而增大的？ （2）哪些函数图像，y的值是随x的值的增大而减小的？ （3）y的值随x的值的增大而增大和y的值随x的值的增大而减小两种函数，它们的区别和自变量系数的符号有怎样的关系？ 【课堂小结】 一般地，我们有： 对于一次函数（k,b是常数，且k≠0）： 当k>0时，y的值随x的值的增大而增大； 当k<0时，y的值随x的值的增大而减小. 【大家谈谈】 参考上面画出的四个函数，，和的图像，请谈谈： （1）哪些函数的图像与y轴的交点在x轴的上方，哪些函数的图像与y轴的交点在x轴的下方？ （2）函数的图像与y轴的交点在x轴的上方和函数的图像与y轴的交点在x轴的下方，这两种函数，它们的区别与常数项有怎样的关系？ （3）正比例函数的图像一定经过哪个点？ 【课堂小结】 事实上，一次函数的图像是经过y轴上的点（0，b）的一条直线.当b>0时，点（0，b）在x轴上方；当b<0时，点（0，b）在x轴下方；当b=0时，点（0，0）是原点，即正比例函数的图像是经过原点的一条直线. 【例题讲解】 【例2】已知关于x的一次函数y=(2k-1)x+(2k+1). （1）当k满足什么条件时，函数y的值随x的值的增大而增大？ （2）当k取何值时，y=(2k-1)x+(2k+1)的图像经过原点？ （3）当k满足什么条件时，函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图像与y轴的交点在x轴的下方？ 【思路分析】 （1）在一次函数y=kx+b中，什么情况下函数y的值随x的值的增大而增大？ （2）什么情况下，一次函数y=kx+b的图像经过原点？ （3）什么情况下，一次函数y=kx+b的图像与y轴的交点在x轴的下方？ 【规范解答】 解：（1）当2k-1>0时，y的值随x的值的增大而增大. 解2k-1>0,得. (2)当2k+1=0时，即时，函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图像经过原点. (3)当2k+1<0时，函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图像与y轴的交点在x轴的下方. 解2k+1<0，得. 【做一做】 在例2中，如果y的值随x的值的增大而减小，且函数图像与y轴的交点在x轴的上方，求k的取值范围． 老师：想一下，什么情况下，一次函数y=kx+b的y的值随x的值的增大而减小？什么情况下，一次函数y=kx+b函数图像与y轴的交点在x轴的上方？本题中，两个条件都要满足，用“或”连接还是“且”？ 3.随堂训练，巩固新知 1.判断下列函数中，y的值随x的值增大而变化的情况. （1）y=-3x+3； （2）y=3x-3； （3）y=（3-π）x； （4）y=0.5x. 【解题思路】 老师：一次函数y=kx+b中，要看y的值随x的值增大而变化的情况，只需要看谁的正负即可？如何判别？ 老师：3-π是大于0还是小于0？ 2.已知关于x的一次函数y=kx+4k-2. (1)如果函数图像经过原点，求k的值. (2)如果y的值随x的值的增大而减小，求k的取值范围. 【解题思路】 老师：一次函数y=kx+b的图像经过原点，需要满足什么条件？ 老师：一次函数y=kx+b的y的值随x的值的增大而减小，需要满足什么条件？ 4.布置作业 1.课本P94习题A组第1，2，3题. 2.课本P95习题B组第1，2题. 通过实际问题，引导同学们进行复习知识，引出问题，让学生参与思考并回答，从而引出本节课的主要内容——一次函数的性质.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 问题1，函数表达式为y=2x，是正比例函数，也是一次函数；问题2中，函数表达式为y=2x+4，是一次函数. 画函数图像的三个主要步骤： （1）取值. （2）描点. （3）连线. 尽量用直尺画图，图像要求尽量准确. “做一做”的目的是让学生通过对一次函数和以及和图像的观察与对比，发现直线的倾斜方向完全由k是正数还是负数所决定. 对于“观察与思考”的教学,关键是引导学生通过对函数y=kx+b图像的观察与对比，发现k为正数还是负数决定着直线的倾斜方向，即决定了函数的增减性. “大家谈谈”是让学生通过观察,总结出直线y=kx+b与纵轴交点的坐标与常数b的关系，由此进一步确认正比例函数图像是过坐标原点的一条直线. 本课时主要探究一次函数的性质.落实过程可分为两段活动: 第一,通过对一次函数y=kx+b表达式中k取正值或负值对应的直线(函数的图像)的观察与对比,发现k的符号决定着直线的倾斜方向; 第二,直线的倾斜方向，反映着这个一次函数是随自变量的增大而增大还是减小的. 而后.通过观察，又总结出直线y=kx+b与纵轴交点的坐标与常数b的关系. 学生从发现一次函数图像的倾斜方向由k为正数还是负数决定,到总结出一次函数的性质,期间还有一个过渡,那就是在脑子里有一个“形”的确认:当图像越往右的同时越往上，就是函数随自变量的增大而增大;当图像越往右的同时越往下,就是函数随自变量的增大而减小.教学中,应把这个过渡做好,做充分. 如果y的值随x的值的增大而减小，且函数图像与y轴的交点在x轴的上方，则k的取值范围是. 关于一次函数y=kx+ b的图像与y轴的交点和常数b的关系,也是要充分借助于对图像的观察来总结得出. 1.（1）y的值随x的值的增大而减小； （2）y的值随x的值的增大而增大； （3）y的值随x的值的增大而减小； （4）y的值随x的值的增大而增大. 2.(1); (2)k<0. 本课时内容的教学最为重要的一点就是:充分展现“数形结合”，这是发现数学规律的重要途径和手段.
板书设计 21.2 一次函数和性质 一次函数的图像是经过y轴上的点（0，b）的一条直线.当b>0时，点（0，b）在x轴上方；当b<0时，点（0，b）在x轴下方；当b=0时，点（0，0）是原点，即正比例函数的图像是经过原点的一条直线. 在一次函数中， 当k＞0时，y随x增大而增大，若b＞0，图象位于第一、二、三象限；若b＜0，图象位于第一、三、四象限；若b=0，图象位于第一、三象限； 当k＜0时，y随x增大而减小，若b＜0，图象位于第一、二、四象限；若b＞0，图象位于第二、三、四象限；若b=0，图象位于第二、四象限. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
21.3 用待定系数法确定一次函数表达式
课题 用待定系数法确定一次函数表达式 课型 新授课
教学内容 教材第96-98页的内容
教学目标 1.了解通过坐标系里两点的坐标，可以确定过这两点的直线所对应的一次函数关系式. 2.会用待定系数法求一次函数的表达式.
教学重难点 教学重点：会用待定系数法求一次函数的表达式. 教学难点：能根据实际问题抽象一次函数，并写出对应的函数表达式.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 通过直接列式可以求一次函数的表达式.当然，还有其他的方法求一次函数的表达式.本节将探究用待定系数的方法来求一次函数的表达式. 【提出问题】 在图21-3-1中，直线PQ上两点的坐标分别为P(-20，5)，Q(10，20).怎样确定这个一次函数的表达式呢？ 老师：一次函数的图象是一条直线，根据P，Q两点能不能确定一次函数的表达式？ 学生：能，过两点有且只有一条直线. 老师：根据函数图像，我们能不能直接写出b的值呢？ 学生：一次函数的图像与y轴交于（0，b）点，b的值是15. 老师：你能确定吗？不是14.9吗？或者15.1？ 学生：好像不能直接看出来. 老师：那么k的值呢？ 学生：也不能直接看出来. 老师：那我们该如何求出这个一次函数的表达式呢？我们一起来看看小惠的解答过程吧. 2.类比探究，学习新知 【观察与思考】 阅读下面小惠对此问题的解答过程，并验证小惠求得的一次函数表达式是否正确. 小惠的解答过程如下： 设这个一次函数的表达式为. 因为P，Q为直线上两点，所以这两个点的坐标都满足表达式，即 解这个关于k和b的二元一次方程组，得 所以这个一次函数的表达式为. 老师：你认为上面的解答过程合理吗？ 老师：小惠求出的b是15，根据图像看也是15，画图准确性重要不重要啊？ 老师：你们还有什么方法求出k的值吗？ 【课堂小结】像这样先设出函数表达式，再根据已知条件确定表达式中未知的系数，从而求出函数表达式的方法，叫做待定系数法. 【做一做】 1.已知A（-20,5）为正比例函数y=kx图像上的一点，求这个正比例函数的表达式. 老师：我们先看一下函数表达式，y=kx中有几个未知数？ 学生：只有一个未知数k. 老师：只给出图像上的一个点A（-20,5），能求出这个正比例函数的表达式吗？ 学生：把x=-20,y=5代入函数表达式求出k的值. 老师：试着自己列方程，解一下吧. 学生：…… 2.已知一个一次函数的图像经过点M（0,1）和N（1,0），求这个一次函数的表达式. 老师：一次函数的表达式，我们可以怎么设？ 学生：设一次函数的表达式为y=kx+b. 老师：很好，那么我们可以利用什么条件列方程呢？ 学生：图像经过点M（0,1）和N（1,0）. 老师：很对，图像上的点都适合一次函数表达式，自己试着列一下方程组吧. 老师：大家都做完了吗？我们一起来做一下吧. 【例题讲解】 【例】一辆汽车匀速行驶，当行驶了20 km时，油箱剩余58.4L油；当行驶了50 km时，油箱剩余56 L油.如果油箱中剩余油量y(L)与汽车行驶的路程x(km)之间是一次函数关系，请求出这个一次函数的表达式，并写出自变量x的取值范围以及常数项的意义. 【思路分析】 （1）一次函数的表达式，我们可以怎么设？ （2）根据题意，可以看作哪两个点在函数图像上？ （3）根据实际，汽车行驶路程x越大，剩余油量y越大还是越小？据此我们可以判断，k的值应该大于0还是小于0？ （4）如何求解函数自变量的取值范围？需要注意什么？ （5）常数项的意义是什么？ 【规范解答】 解：设一次函数的表达式为y=kx+b. 根据题意，把已知的两组对应值（20,58.4）和（50,56）代入y=kx+b，得 解得 这个一次函数表达式为y=-0.08x+60. 因为剩余油量y≥0，所以-0.08x+60≥0，解得x≤750. 因为路程x≥0，所以0≤x≤750. 因为当x=0时，y=60，所以这辆汽车行驶前油箱存油60 L. 【大家谈谈】 用待定系数法求一次函数表达式的步骤有哪些？与同学交流你的看法. 【课堂小结】 用待定系数法求一次函数的表达式，一般步骤如下： （1）设一次函数表达式y=kx+b. （2）根据条件，列出关于k和b的二元一次方程组. （3）解这个方程组，求出k与b的值，从而得到一次函数表达式. 3.随堂训练，巩固新知 1.一次函数的图像经过点A（1,2）和点B（-2,1），求这个函数的表达式. 【解题思路】 （1）如何设一次函数的表达式？ （2）如何列方程组求出k和b的值？ 2.某市举办一场中学生羽毛球比赛，场地和耗材需要一些费用.场地费b（元）是固定不变的.耗材费用与参赛人数x（人）成正比例函数关系.这两部分的总费用为y（元）.已知当x=20时，y=1600；当x=30时，y=2000. (1)求y与x之间的函数关系式. (2)当支出总费用为3200元时，有多少人参加了比赛？ 【解题思路】 （1）本题中的数量关系是什么？总费用有哪两部分组成？ （2）耗材费用与参赛人数之间的函数表达式可以如何表示？ （3）y与x之间的函数表达式可以如何表示？ （4）求一次函数表达式时，可以使用的点的坐标是哪两个？ （5）当支出总费用为3200元时，如何计算有多少人参加了比赛？ 4.布置作业 1.课本P98习题A组第1，2，3题. 2.课本P98习题B组. 首先提出问题——如何求解一次函数的表达式，引导同学们复习以前的知识，让学生参与思考并回答，从而引出本节课的主要内容——一次函数表达式的求解.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 一次函数y=kx+b与坐标系里不平行于坐标轴的直线(即该函数的图像)是一一对应的;当坐标系里一条与坐标轴不平行的直线上两点的坐标,满足某一关系式y=kx+b时,则该直线上所有点的坐标，也一定都满足这一关系式. “观察与思考”这一活动的目的是让学生感悟用待定系数法求一次函数表达式的合理性. 求k的值还可以从以下角度思考：横坐标每增加1个单位长度，纵坐标增加几个单位长度，k的值就是几，这属于拓展内容，不用要求所有同学都掌握. “做一做”的目的是让学生自己试着使用待定系数法，来求出一次函数的关系式. 正比例函数属于特殊的一次函数，求正比例函数的表达式，只需要一个点的坐标就可以了. 回忆一次函数的图像及作法,指出每一个一次函数的图像都是直角坐标系里的一条不与坐标轴平行的直线，且不同的一次函数，它们的图像也不相同;反过来，坐标系里每一条不与坐标轴平行的直线,也必然是某一个一次函数的图像.这层意思,可由教师以学生易于理解的方式扼要说明. 在实际问题中，整理已知条件非常重要.本题中，找出一次函数上的两个点显得尤为重要，老师在授课过程中要积极引导学生整理已知条件. 在授课时，要引导学生认识:用待定系数法求一次函数表达式，不管条件是以什么形式给出的,都必须满足:(1)能确定要求的函数是一次函数,(2)知道该函数的两组对应值. 解决求一次函数的表达式问题时，可先引导学生思考: (1)若该直线是某一个一次函数的图像，那么这个函数的表达式的基本形式应当是怎样的 (2)怎样由直线上已知的两点的坐标,求出对应的一次函数中k和b的值呢 (想方程) 1.. 2.(1)y=40x+800. (2)40x+800=3200, 解得x=60. 因此，有60人参加了比赛. 通过解题思路引导学生自己发现解题步骤，并正确解答，可以通过组内讨论写出正确的解题步骤.
板书设计 21.3 用待定系数法确定一次函数的表达式 先设出函数表达式，再根据已知条件确定表达式中未知的系数，从而求出函数表达式的方法，叫做待定系数法. 用待定系数法求一次函数的表达式，一般步骤如下： （1）设一次函数表达式y=kx+b. （2）根据条件，列出关于k和b的二元一次方程组. （3）解这个方程组，求出k与b的值，从而得到一次函数表达式. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
21.4 一次函数的应用
第1课时
课题 一次函数的应用 课型 新授课
教学内容 教材第99-102页的内容
教学目标 1.能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式. 2.学会从文字、表格、图像等情境中捕捉提取变量之间信息，并抽象为函数关系. 3.经历应用一次函数解决数学问题的过程，增强函数应用意识，发展函数的模型观念.
教学重难点 教学重点：经历应用一次函数解决数学问题的过程，增强函数应用意识. 教学难点：学会从文字、表格、图像等情境中捕捉提取变量之间信息，并抽象为函数关系.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 老师：根据前面我学习的一次函数的知识，做一做下面这些题目： 1.一次函数表达式的形式为 ，当b=0时，一次函数的形式变为 ，也就是正比例函数. 2.已知一个正比例函数的图像经过点（2，-1），则这个正比例函数的表达式为 . 3.中国航天邮票每套50元，如果买这种邮票x套，共花去y元，那么y与x之间的函数关系式为 . 4.一棵杞柳树苗的高为30厘米，在生长期间，每月长高20厘米，试写出杞柳的高度y(厘米)与月份x之间的函数关系式 ,半年后杞柳的高度是 . 老师：大家再回忆一下上面的第3题和第4题，都是利用一次函数解决实际问题的题目.实际上，利用一次函数这一数学模型，可以解决许多与其相关的实际问题和数学自身的问题，我们这节课一起来研究一下吧. 2.类比探究，学习新知 【试着做做】 某公司与销售人员签订了这样的工作合同：工资由两部分组成，一部分是基本工资，每人每月3000元；另一部分是按月销售量确定的奖励工资，每销售1件产品，奖励工资10元. 1.设某销售员月销售产品x件，他应得的工资记为y元.求y与x之间的函数关系式. 2.用求出的函数关系式，尝试解决下列问题： （1）该销售员某月的工资为4100元，他这个月销售了多少件产品？ （2）要想使月工资超过4500元，该月的销售量应当超过多少件？ 【师生互动】 老师：销售人员的工资组成是怎样的？用数量关系表示一下. 学生：工资=基本工资+奖励工资. 老师：基本工资是多少？奖励工资怎么算？ 学生：基本工资是3000元，奖励工资是销售的产品数量×10元. 老师：如果销售了x件产品，那么奖励工资是多少？ 学生：奖励工资是10x元. 老师追问：那么工资是多少？ 学生：工资是（3000+10x）元. 老师：试着自己写一下y与x之间的函数关系式吧. 学生：y=3000+10x. 老师：根据函数关系式，该销售员某月的工资为4100元，要求他这个月销售了多少件产品，如何求？ 学生：当y=4100时，求x的值. 老师：“工资超过4500元”是什么意思？ 学生：就是y>4500. 老师：那如何计算销售量呢？ 学生：列不等式，3000+10x>4500. 老师：很好，自己试着做一下吧. 在上面的问题中，销售员的月工资数y(元)与他当月销售产品数x(件)之间的函数关系式为y=10x+3000. 当销售员的月工资为4100元时，有4100=10x+3000,解得x=110. 要想使月工资超过4500元，只要使10x+300>4500即可,解得x>150. 【一起探究】如图21-4-1，某种称量体重的台秤，最大称量是150kg.称重时，体重x（kg）与指针按顺时针方向转过的角y（°）有如下一些对应数值： （1）请你在直角坐标系中，分别以上表中的每对对应数值为横坐标和纵坐标，描点连线，画出图像. （2）求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。 （3）当体重为多少千克时，台秤的指针恰好转到180°的位置？当体重为50kg时，台秤的指针转过的角度是多少？ 【师生互动】 老师：画函数图像的一般步骤有哪些？ 学生：列表、描点、连线. 老师：好，同学们自己按照课本上提供的数据画一画. 老师：好了，大家看一下老师画的图像，图像是一个什么形状啊？ 学生：是一条直线. 老师：很好，再仔细看一下，这条直线过原点吗？ 学生：经过原点. 老师：很对，这是我们学过的什么函数的图像啊？ 学生：正比例函数. 老师：那我们设出它的函数表达式，代入一组数值求出它的函数表达式，然后小组内讨论一下，求出的函数表达式是不是一样的？ 老师：好了，大家都做完了吧，老师求出来的函数表达式是，是不是这样的啊？ 学生：还需要标准自变量的范围. 老师：啊，你们真聪明，自变量的取值范围是多少呢？ 学生：0≤x≤150. 老师：当体重为多少千克时，台秤的指针恰好转到180°的位置？ 学生：…… 老师：当体重为50kg时，台秤的指针转过的角度是多少？ 学生：…… 由这些对应值画出的函数图像，如图21-4-2所示. 由表格给出的数据可以看出，体重为0 kg时，台秤指针指向0"，每增加5 kg,台秤指针按顺时针方向旋转12°，所以y是x的正比例. 根据条件可得. 当y=180时，，解得x=75. 当x=50时，. 即当体重为75 kg时，台秤的指针恰好转到180°的位置；当体重为50 kg时，台秤的指针转过的角度是120°. 3.随堂训练，巩固新知 1.某水库在春季播种前，向下游灌溉区开闸放水.放水量V（m3）与放水时间t(min)之间有如下对应数据： (1)求放水量V(m3)与放水时间t(min)之间的函数关系式. (2)求放水24 h的放水量. 【解题思路】 （1）题目中有没有明确说V与t是什么函数关系？ （2）如何找出V与t之间的函数关系？ （3）求放水24 h的放水量，如何求？ 2.某出版社出版了一种适合中学生阅读的科普书.当该书首次出版的印数不少于5千册时，该出版社投入的成本y(万元)与印数x(千册)之间为一次函数关系，并有下表中的对应值: (1)求y(万元)与x(千册)之间的函数关系式. (2)当出版社投入成本4.1万元时，能印该书多少千册？ 【解题思路】 （1）题目中有没有明确说y与x是什么函数关系？ （2）如何求y与x之间的函数关系式？ （3）当出版社投入成本4.1万元时，求能印该书多少千册，如何求？ 4.布置作业 1.课本P101习题A组第1，2，3题. 2.课本P101习题B组. 根据前面学习的一次函数的知识给出题目，引导同学们复习以前的知识，让学生参与思考并回答，从而引出本节课的主要内容——一次函数的应用.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 首先应让学生就所述情境涉及的数量及数量关系作深入分析，然后再去完成“试着做做”中提出的问题. 函数是刻画两个变量之间的对应关系的，这是现实中极为普遍的一种数量关系的抽象，因而有着广泛的应用. 应用一次函数解决实际问题的基本过程是: (1)根据问题情境的数量关系建立相应的一次函数表达式；(2)利用一次函数的相关性质解决需要解决的问题. 显然完成(1)是最为关键的一步.而要得到一次函数的表达式，可通过直接列式，也可以借助待定系数法. “一次函数的应用”这节课的教学重点，就是要使学生把握如何地落实好以上两个过程. “一起探究”重要的是，感悟到体重与指针转过的角度具有函数关系，且由“匀速”变化，推测出具有一次函数关系. 一次函数是对于自变量为“匀速”变化的函数，其反映的实际问题不仅大量存在，并且和我们的生活与生产密切相关，这决定了一次函数有着广泛的应用. 当有了函数的表达式之后，要求某一函数值对应的自变量的值时，就是解该函数值所对应的自变量的方程;要求函数值大于(或小于)某确定的值时自变量的取值范围，就是解这些函数值所对应的自变量的不等式. 在学习本节内容与解决方法的基础上，应引导学生体会函数、方程、不等式之间的关系. 在许多情况下，函数反映的是某个过程中两个变量之间的对应关系，而方程反映的是这个过程中某一特定值(即刻)之间的对应；不等式反映的是这个过程中某一段落(区间)两个量之间的对应. 解答一次函数的应用问题时，当写表达式时，首先需要关注的是“匀速”变化这个点. 解答实际情景函数图象的信息 （1）根据题意先求出表达式. （2）结合函数图像，转化为数学问题. （3）利用数形结合的思想：将“数”转化为“形”，由“形”定“数”. （4）解决问题，检验结果. 一次函数表达式确定后，由自变量的值求其对应的函数值，就是“求代数式的值”;由函数值求对应到它的自变量的值，就是要解方程.
板书设计 21.4 一次函数的应用 解答实际情景函数图象的信息 1.根据题意先求出表达式. 2.结合函数图像，转化为数学问题. 3.利用数形结合的思想：将“数”转化为“形”，由“形”定“数”. 4.解决问题，检验结果. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
21.4 一次函数的应用
第2课时
课题 一次函数的应用 课型 新授课
教学内容 教材第102-105页的内容
教学目标 1.能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式. 2.学会从文字、表格、图像等情境中捕捉提取变量之间信息，并抽象为函数关系. 3.在同一个问题情境中出现两个一次函数时，借助对两个一次函数进行某种比较，解决有关的问题.
教学重难点 教学重点：在同一个问题情境中出现两个一次函数时，借助对两个一次函数进行某种比较，解决有关的问题. 教学难点：学会从文字、表格、图像等情境中捕捉提取变量之间信息，并抽象为函数关系.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 秤是我国传统的计重工具．为了方便了人们的生活．如图，我们可以用秤砣到秤纽的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数． 表中为若干次称重时所记录的一些数据．在如表x,y的数据中，发现有一对数据（x,y）记录错误．当y为7斤时，对应的水平距离为 . 【师生互动】 老师：y与x之间是什么函数关系？题目中说了吗？ 学生：说了，是一次函数关系. 老师：一次函数关系有什么特点呢？回忆一下我们上节课学过的. 学生：是“匀速”变化的. 老师：很好，根据这个思路，自己找一找，哪一对数据是记录错误的？ 学生：（4,2.00）是错误的. 老师：要想知道当y为7斤时，对应的水平距离，我们需要先求什么？ 学生：先求函数表达式. 老师：如何求函数表达式呢？ 学生：找出两个点，用待定系数法求解. 老师：很对，求出函数表达式后，再结合“方程”的思路，我们就能把这个题目解决了.自己试着做一做吧. 老师：这是一个一次函数的实际问题.对于在同一个问题情境中出现两个一次函数的实际问题，我们应该如何处理呢？我们这节课一起来研究一下吧. 2.类比探究，学习新知 【例题讲解】 例 甲骑自行车以10 km/h的速度沿公路行驶，出发3 h后，乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶，速度为 25 km/h. (1)设甲离开出发地的时间为x(h)，求： ①甲离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围. ②乙离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围. (2)在同一直角坐标系中，画出(1)中两个函数的图像，并结合实际问题，解释两图像交点的意义. 【师生互动】 老师：本题是行程问题，行程问题中的数量关系大家还记的吗？ 学生：速度×时间=路程. 老师：自变量x代表的是什么？ 学生：甲离开出发地的时间. 老师：甲的速度是多少？ 学生：10 km/h. 老师：甲离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式怎么写？ 学生：y=10x. 老师：乙的速度是多少？ 学生：25 km/h. 老师：乙离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式怎么写？ 学生1：y=25x. 学生2：y=25（x-3）. 老师：怎么不一样啊？x-3表示的什么？为什么不是x？同学们讨论一下吧. 老师：甲出发3小时后，乙才出发，所以是x-3，对不对？ 学生：对. 老师：两个图像的交点表示什么意思呢？大家讨论一下. 【规范解答】 解：(1)由公式s=vt，得 ①甲离开出发地的路程y与x的函数关系式为y=10x. 自变量x的取值范围为x≥0. ②乙离开出发地的路程y与x的函数关系式为y=25(x-3)， 即y=25x-75. 自变量x的取值范围为x≥3. (2)以上两个函数的图像如图21-4-3所示. 两个函数图像的交点坐标是(5，50)，即甲出发5 h后被乙追上(或乙出发2 h后追上甲).此时，两人距离出发地50 km. 【大家谈谈】 对于上例中甲、乙行驶的情况，你能借助图21-4-3解释“乙出发多少小时后可以超过甲”这一问题吗？还有其他方法解答这个问题吗？ 【师生互动】 老师：“乙超过甲”表示什么意思？ 老师：观察画出的两个一次函数图像，以交点为界，交点对应的横坐标前面的时间，谁在前面？交点后面呢？ 老师：两图像的上下关系与25（x-3）=10x，25（x-3）>10x，25（x-3）<10x之间有怎样的对应关系？ 【课堂小结】 由此可以看出,有些一元一次方程和一元次不等式问题，可以借助一次函数来考虑.借助一次函数的图像，往往能使方程和不等式的意义更加直观和形象. 【一起探究】 某电脑工程师张先生准备开一家小型电脑公司，欲租一处临街房屋.现有甲、乙两家出租屋，甲家已经装修好，每月租金为3000元；乙家未装修，每月租金为2000元，但若装修成与甲家房屋同样的规格，则需要花装修费4万元. (1)设租用时间为3个月，承租房屋所付租金为y元，分别求租用甲、乙两家的租金y与租用时间x之间的函数关系式. (2)根据求出的两个函数表达式，试判断租用哪家的房屋更合算. 【师生互动】 老师：针对上面的问题，你能分别写出租用甲、乙两家的租金y与租用时间x之间的函数关系式吗？ 老师：你是怎么理解“租用哪家的房屋更合算”的？ 老师：你打算如何求解第（2）问呢？自己试着做一做. 老师：我们一起来看一下课本上小亮和小丽的做法吧. 小亮的做法： (1)租用甲家房屋时，y=3000x； 租用乙家房屋时，y=2000x+40000. (2)①由3000x=2000x+40000，解得x=40. 即当租用40个月时，无论是租用哪一家，租金都相同. ②由3000x>2000x+40000，解得x>40. 即当租用时间超过40个月时，租乙家的房屋更合算. ③由3000x<2000+40000，解得x<40. 即当租用时间少于40个月时，租甲家的房屋更合算. 小丽的做法： (1)同小亮的做法. (2)在同一直角坐标系中，分别画出y=3000x，y=2000x+40000这两个函数的图像. 观察图像可知，当租用40个月时，甲、乙两家的租金相同；当租用时间超过40个月时，租乙家的房屋更合算；当租用时间少于40个月时，租甲家的房屋更合算. 【大家谈谈】 （1）小亮和小丽的做法都正确吗？ （2）小亮和小丽的做法有什么不同？ （3）你是怎么做的？与同学交流你的做法. 3.随堂训练，巩固新知 1.某工厂开发生产一种新产品，前期投入150000元.生产时，每件成本为25元，每件销售价为40元.设生产x件时，总成本(包括前期投入)为m元，销售额为n元. (1)分别求出m,n与x之间的函数关系式. (2)至少生产并销售多少件产品后，工厂才会有盈利？ 2.A,B两地相距36 km,甲、乙二人分别从A地和B地同时出发，相向而行.他们距A地的路程s(km)和出发后的时间t(h)之间的函数关系的图像如图所示. (1)甲行驶了几小时到达B地，乙行驶了几小时到达A地？ (2)分别写出甲、乙二人距A地的路程s与时间t之间的函数关系式. (3)求出两个图像交点的坐标，并解释交点坐标所表示的实际意义. 4.布置作业 1.课本P104习题A组第1，2题. 2.课本P105习题B组. 根据前面学习的一次函数的应用，引导同学们复习以前的知识，让学生参与思考并回答，从而引出本节课的主要内容——两个一次函数的应用.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 从x从1厘米增加到2厘米，y增加0.25斤；x从11厘米到12厘米，y增加0.25斤，而x从2厘米增加到4厘米，y增加了1斤，故x=4，y=2.00这组数据错误. y与x的函数表达式为y=0.25x+0.50， 当y=7时，7=0.25x+0.50， 解得x=26，
即当y为7斤时， 对应的水平距离为26 cm. 本课时研究的主要内容是在同一个问题情境中，出现两个一次函数，借助对两个一次函数进行某种比较，解决有关的问题. 在求乙离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式时，会有同学写成y=25x，造成错误的原因是x表示的意义不明确，误以为x代表的是乙行驶的时间，通过学生组内“讨论与辨析”真正解决这个易错点. 要求学生在同一坐标系中画出两个函数的图像，使两个函数的比较以直观的形式呈现出来，这又一次展现了“数形结合”的美妙作用. 在同一直角坐标系中画出两个一次函数的图像后，引导同学们讨论两图像的关系（相交、在上面、在下面）与25（x-3）=10x，25（x-3）>10x，25（x-3）<10x之间有怎样的对应关系. 当x>5时，y=25（x-3）的图像在y=10x的图像的上方，说明乙出发2小时后，乙可以超过甲. 还可以用25z>10(z+ 3)来解决这个问题，其中z表示乙离开出发地的时间. 应让学生自己先思考如何解决这个问题，确定解决方案，然后再阅读小亮与小丽的做法. 关于“一起探究”的教学,应当从如下两个方面展开并使认识强化: (1)用数学解决现实问题，很重要的一项任务就是求得某个过程的优化方案，“一起探究"所给出的就是这样一个问题情境.而优化方案的获得，多是以“比较”为基础或手段的.教学应从这一基本认识开始，并使这一认识得到强化. (2)数学中的“比较”，主要有两条途径，一是通过数量相减比大小,a-b>0,a- b=0，a-b<0分别对应于a>b,a=b,a25x+150000,x>10000. 至少生产并销售10000件以上. 2.(1)甲行驶了4.5小时到达B地，乙行驶了6小时到达A地. (2)甲：s=8t. 乙：s=-6t+36. （3）交点. 甲、乙两人在出发h的时候，在离A地km处相遇.
板书设计 21.4 一次函数的应用 有些一元一次方程和一元一次不等式问题，可以借助一次函数来考虑. 借助一次函数的图像，往往能够使方程和不等式的意义更加直观和形象. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
21.5 一次函数与二元一次方程的关系
课题 一次函数与二元一次方程的关系 课型 新授课
教学内容 教材第106-109页的内容
教学目标 1.体会一次函数与二元一次方程的关系. 2.感悟数学知识之间的内在联系. 3.认识到通过建立两个变量的一次等式（即二元一次方程），就可得到它们之间的一次函数关系.
教学重难点 教学重点：体会一次函数与二元一次方程的关系. 教学难点：应用一次函数与二元一次方程的关系解决问题.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 老师：我们一起回忆一下二元一次方程的内容，解答下面的题目. 1.若mx-4y=3x-7是二元一次方程，则m满足的条件是（ ） A.m≠-2 B.m≠0 C.m≠-1 D.m≠3 老师：我们回忆一下，什么样的方程是二元一次方程呢？ 老师：若mx-4y=3x-7是二元一次方程，需要满足什么条件？ 2.下面四组数值中，哪组是二元一次方程x+2y=5的解（ ） A. B. C. D. 老师：什么是二元一次方程的解？ 老师：如何判断哪组是二元一次方程x+2y=5的解？ 老师：实际上，一次函数与二元一次方程之间具有密切的联系，用不同的观点进行解释，二者可以互相转化.我们这节课一起来研究一下吧. 2.类比探究，学习新知 【观察与思考】 1.二元一次方程x+y=1有无数组解，如 等，都是这个方程的解. 如图21-5-1，以这些解为点的坐标，在直角坐标系中描点.你认为这些点在一条直线上吗？如果在一条直线上，它们在哪条直线上？请说明理由. 老师：试着把描出的点连一连，是不是都在一条直线上？ 学生：是的. 老师：什么函数的图像是一条直线呢？ 学生：一次函数. 老师：你能求出这个一次函数的表达式吗？ 学生：利用待定系数法可以求出一次函数的表达式. 老师：很好，自己求一求吧. 老师：你们求出来的一次函数的表达式是什么？ 学生：y=-x+1. 老师：很对，你们看一下，y=-x+1与x+y=1有什么关系？ 学生：是同一个等式. 老师：好，回答的很对，我们继续看下面一个题目. 2.如图21-5-2，在直角坐标系中，设点A的坐标为(-1，2)，点B的坐标为(3，-2)，经过点A,B画直线.直线AB上的点C(x0，y0)中，x0，y0之间有怎样的数量关系？是不是方程x+y=1的一组解？请说明理由. 老师：直线AB的函数是什么函数？ 学生：一次函数. 老师：直线AB的函数关系式怎么求？ 学生：设y=kx+b，利用待定系数法求解. 老师：很好，试着求一求吧. 学生：y=-x+1. 老师：直线AB上的点C(x0，y0)中，x0，y0之间有怎样的数量关系？ 学生：满足y0=-x0+1. 老师：是不是方程x+y=1的一组解？为什么？ 学生：是方程x+y=1的一组解，因为x0+y0=1. 【课堂小结】 一般地，如果以二元一次方程ax+by=c的解为坐标，在直角坐标系中画点，那么这些点在一条直线上.反过来，如果取定这个方程的两组解，那么过以这两组解为坐标的两点画出的直线，此直线上点的坐标组成的一组值是这个二元一次方程的一组解. 因此，以二元一次方程的解为坐标的点在一条直线上. 【一起探究】 1.一次函数y=kx+b图像上的一个点的坐标是不是二元-次方程kx-y=-b的一组解？请说明理由. 老师：y=kx+b经过怎样的变化能得到kx-y=-b？ 2.以二元一次方程ax+by=c的解为坐标所构成的直线，是不是一次函数的图像？请说明理由. 老师：ax+by=c经过怎样的变化能得到？ 3.你认为二元一次方程和一次函数有什么联系与区别？与同学交流你的看法. 老师：根据上面两个问题的结论试着自己说一说. 【课堂小结】 事实上，我们把二元一-次方程ax+by=c变形为后，原来的二元一次方程就化成了一次函数的形式.当x，y表示未知数时，ax+by=c就是二元一次方程；当x，y表示变量时，就是一次函数.并且，有如下结论: 以二元一次方程的解为坐标的点都在与它对应的一次函数的图像上；反过来，一次函数图像上的点的坐标都是与它对应的二元一次方程的解. 【做一做】 1.方程2x+3y=5有多少组解？请填写下表，并把每组对应值作为点的坐标，在图21-5-3所示的直角坐标系中描出各点. 老师：已知二元一次方程2x+3y=5，当x的值已知时，如何求y的值？ 老师：方程2x+3y=5有多少组解？ 老师：如何在直角坐标系中描出已知点？ 2.在上题直角坐标系中画出函数的图像. 老师：画一次函数的图像，最少需要几个点？一般选取哪几个点？ 3.以方程2x+3y=5的解为坐标的点是否都在函数的图像上？为什么？ 3.随堂训练，巩固新知 1.把二元一次方程2x-3y=4改写成一次函数y=kx+b的形式，并画出这个一次函数的图像. 老师：如何改写呢？ 老师：画一次函数的图像，需要注意哪些问题？ 2.写出二元一次方程2x-y=1的三个解，以方程的解为坐标在直角坐标系中画点，这些点是否都在一次函数y=2x-1的图像上 老师：二元一次方程2x-y=1的解该如何确定？有多少组？ 老师：二元一次方程2x-y=1与一次函数y=2x-1有什么关系？ 4.布置作业 1.课本P108习题A组第1，2题. 2.课本P108习题B组第1，2题. 3.课本P109自己读一读“匀速变化与一次函数”. 复习七年级学过的二元一次方程的知识，解答与二元一次方程有关的问题，尤其是二元一次方程的解的问题，让学生参与思考并回答，从而引出本节课的主要内容——一次函数与二元一次方程的关系.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. “探究与思考”的目的是引导学生体会:以二元一次方程的所有的解为坐标对应的点集，是坐标系里的一条直线,这条直线是一个一次函数的图像，从形的角度显示一次函数与二元一次方程的统一性. “观察与思考”是通过一个具体的例子来说明:以一个二元一次方程的解(有序数对)为坐标的点,它们的集合恰好是坐标系里的一条直线. 为此,引导学生通过画图、观察、操作，获得两个方面的感悟和认同，一是该方程所有的解对应的点，都在同一条直线上;二是该直线上的每一个点的坐标，又恰好是这个二元一次方程的解. 这一段所安排的两种活动，正是为实现以上两个方面的感悟和认同而设置的.应该清楚,学生进行以上两个方面的操作与验证，都只能是感知性的，带有“猜测”的色彩，即是“合情”思考，而不可能是严密推理性的. “一起探究”的目的是使学生搞清楚： 第一，从式的变形角度认识一次函数与二元一次方程的一致性； 第二，从图像和解集对应的点集的重合，认识一次函数与二元一次方程的一致性. “一起探究”是要实现对“二元一次方程和一次函数具有等价关系”的确认.前两个问题引导学生感悟二元一次方程解集对应的直线就是相应的一次函数的图像，由此获得第三个问题的答案:两种形式所表达的关系是一致的，只是表达方式与考察视角的不同. “做一做”的目的是让学生通过活动体会:二元一次方程与对应的一次函数，从坐标系里的图形角度看，是完全一致的. 对于二元一次方程和一次函数的关系,可以从三个角度来看: 函数角度:在关于x和y的二元一次方程ax+by=c(a,b均不为0)中,对于x的每一个值，都有y的唯一确定的值与之对应，可知变量y是变量x的函数.可见，二元一次方程实际上是确定了两个未知量(变量)间的一种函数关系. 方程角度:一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0),可变形为二元一次方程的标准形式y-kx=b,一般地，一次函数，可以变形为ax+by=c(a,b均不为0).由此看来,二元一次方程与一次函数完全是等价的. 图形角度:从对应的“形”来看，以满足二元一次方程ax+by =c的有序数对(解)为坐标的点集,恰好是一次函数的图像.
板书设计 21.5 一次函数与二元一次方程的关系 一般地，如果以二元一次方程ax+by=c的解为坐标，在直角坐标系中画点，那么这些点在一条直线上.反过来，如果取定这个方程的两组解，那么过以这两组解为坐标的两点画出的直线，此直线上点的坐标组成的一组值是这个二元一次方程的一组解.因此，以二元一次方程的解为坐标的点在一条直线上. 以二元一次方程的解为坐标的点都在与它对应的一次函数的图像上；反过来，一次函数图像上的点的坐标都是与它对应的二元一次方程的解. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容.
回顾与反思
课题 回顾与反思 课型 新授课
教学内容 教材第110-114页的内容
教学目标 1.通过对本章知识的回顾与梳理,进步感受一次函数这一数学模型既是源于实际，又是解决现实与数学中众多问题的基本工具. 2.通过对一次函数的概念及其图像关系的再认识,进一步感受“数形结合”的美妙及其应用的广泛性. 3.引导学生自主完成对一次函数的概念、性质、表达式的建立及其各种应用的回顾与总结,培养学生的学习能力,提高数学思维品质.
教学重难点 教学重点：掌握一次函数的图像与性质，会用一次函数解决生活中的实际问题. 教学难点：培养学生的学习能力,提高数学思维品质.
教 学 过 程 备 注
1.复习旧知 【知识结构】 老师：同学们，第二十一章我们已经学完了，我们先来总结一下本章的知识结构. 老师：同学们，之前我们学过的概念还记得吗？ 老师：还记得如何画一次函数的图像吗？最少需要几个点的坐标？ 老师：还记得如何求一次函数的表达式吗？ 老师：在用一次函数解决实际问题时，有哪些注意点？如果同一个问题情境中，有两个一次函数图像，你能解释相应的一些实际问题吗？ 老师：一次函数与相应的二元一次方程有什么关系？根据相应的函数图像，你能解决与之相关的二元一次方程的问题吗？ 【总结与反思】 从现实问题建立一次函数模型是强化“符号意识”的过程，这个过程着重体现了抽象与模型化的思想.一次函数的图像，不仅揭示了一次函数的性质，更重要的是凸显了“数形结合”的思想方法. 1.一次函数是一类重要的函数. 2.一次丽数y=kx+b的图像是直线，故其图像又称为直线y=kx+b. 3.一次函数y=kx+b中的系数k与b决定着它的性质： (1)当k>0时，y随x的增大而增大，图像从左向右是 的. (2)当k