北京市顺义区第一中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷（含答案）

顺义一中2023-2024学年度第二学期高二年级4月考试
数学试卷
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）
1．函数在处的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
2．用0，1，2，3，4可以组成无重复数字的两位数的个数为（ ）
A．25 B．20 C．16 D．15
3．已知数列的前项和；则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知函数的导函数的图象如图所示，那么（ ）
A．函数在上不单调 B．函数在的切线的斜率为0
C．是函数的极小值点 D．是函数的极大值点
5．已知函数在定义域内导数存在，且，则“”是“是的极值点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．2 B．0 C． D．
7．将5封不同的信分别投入到4个信箱中，则不同的投送方式的种数为（ ）
A． B． C．120 D．24
8．已知函数，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
9．如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数下列命题正确的是（ ）
①是奇函数；②在R上是增函数；
③方程有且仅有1个实数根；
④如果对任意，都有，那么的最大值为2．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11．，则n等于__________．
12．已知数列是等比数列，则数列的通项公式__________；数列的前9项和的值为__________．
13．设函数满足．则__________。
14．已知函数的定义域为R，的导函数．，若函数无极值，则__________；若是的极小值点，则的取值范围是__________．
15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题（本大题共6小题，共85．0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．已知数列是等差数列，
（1）求数列的通项公式；（2）设求数列的前n项和．
17．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求在上的最值．
18．已知函数．
（1）判断函数的单调性，并求出的极值：
（2）在给定的直角坐标系中画出函数的大致图像；
（用黑色签字笔作图）
（3）讨论关于的方程的实根个数．
19．已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且
（1）求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润=年销售收入-年总成本）
（2）将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大．
20．设函数，记
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数的图象恒在，的图象的下方，求实数的取值范围．
21．已知函数，曲线在点处切线斜率为
（1）求的值；
（2）求证：有且只有一个极值点；
（3）求证：方程：无解．
顺义一中2023-2024学年度第二学期高二年级4月考试（答案）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C C D B A A C D B
11．10 12． 13． 14． 15．①②③
16．已知数列是等差数列，．
（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前项和．
【详解】（1）由等差数列中设首项为，公差为，
由于：．
则：，解得．所以．
（2），则
17．已知函数．
（1）求的单调区间：（2）求在上的最值．
【详解】（1）解：因为，其中，则，
由可得，由可得或，
所以，函数的减区间为，增区间为和．
（2）解：列表如下：
+ 0 - 0 +
增 极大值9 减 极小值 增
又因为，则，
因此，函数在上的最大值为9，最小值为．
18．已知函数
（1）判断函数的单调性，并求出的极值；
（2）佂给定的直角坐标系中画出函数的大致图像；
（3）讨论关于的方程的实根个数．
【详解】（1）
即函数的单调递增区间为，单调递减区间为
极小值为，无极大值．
（2）当时，；当时，，且
结合单调性，可画出函数的大致图像，如下图所示
（3）画出函数与函数的简图，如下图所示
由图可知，当时，方程没有实数根；
当或时，方程只有一个实数根；
当时，方程有两个不相等的实数根；
19．已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且
（1）求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润年销售收入一年总成本）；
（2）将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大．
【详解】（1）由题意得，总售价固定为，
当产量不足60万箱时，．
当产量不小于60万箱时，．
则
（2）设，
当时，，令，得，
得在上单调递增，在上单调递减，
则；
当时，由基本不等式有
当且仅当，即时取等号；
又因为，所以当时，所获利润最大，最大值为1300万元
20．设函数，记．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数的图象恒在的图象的下方，求实数的取值范围．
【详解】（1），又在处的切线方程为，即．
（2）由题意知：，则定义域为，
当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，若，则；若，则；
的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（3）由题意知：当时，恒成立，；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减．
，即实数的取值范围为．
21．已知函数，曲线在点处切线斜率为
（1）求的值；
（2）求证：有且只有一个极值点：
（3）求证：方程无解．
【详解】（1）
（2）由的定义域为，又，
所以在上单调递减，因为，
所以，使，且当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数有且只有一个极值点；
（3）设，则，
当时，，则单调递减，
且，由（2）可得在上单调递减，
时，时，，
在上单调递减，
又当时，，即，
当时，，所以当时，，
即时，恒成立，
所以函数无零点，即方程无解．