15.3互斥事件和独立事件 同步练习（含解析）2023——2024学年苏教版（2019）高中数学必修第二册

15.3 互斥事件和独立事件 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若古典概型的样本空间，事件，事件，相互独立，则事件可以是（ ）
A． B． C． D．
2．袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回的摸出两张卡片.事件“第一次摸得偶数”，“第二次摸得2”，“两次摸得数字之和大于8”，“两次摸得数字之和是6”，则（ ）
A．M与Q相互独立 B．N与R相互独立
C．N与Q相互独立 D．Q与R相互独立
3．如果事件与事件互斥，那么（ ）条件.
A． B．
C．与一定互斥 D．与一定独立
4．袋子中有大小和质地相同的12个小球，分别为红球、黄球、绿球、黑球，从中任取一个球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，问得到黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．给出下列命题，其中说法正确的是（ ）
A．若A，B为两个随机事件，则
B．若事件A，B，C两两互斥，则
C．若A，B为互斥事件，则
D．若，则
6．如图，电路中、、三个电子元件正常工作的概率分别为，，，则该电路正常工作的概率为（ ）

A． B． C． D．
7．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋各摸出一个球，记事件A：2个球都是红球，事件B：2个球中恰有1个红球，事件C：2个球至少有1个红球，事件D：2个球不都是红球，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件互斥 B．
C．事件A与事件D对立 D．
8．端午节是我国传统节日，随着淄博烧烤的示范作用，徐州烧烤也备受游客欢迎，经过随机发放并回收调查问卷，在连云港、宿迁、淮安三个淮海经济圈城市中对广大市民的端午短途游进行了解，每个城市回收300份调查问卷，其中连云港市有100份勾选去徐州旅游，宿迁市有120份勾选去徐州旅游，淮安市有75份勾选去徐州旅游．端午节期间，连云港游客甲，宿迁游客乙，淮安游客丙打算外出旅游，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内三个人中至少有1人来徐州旅游的概率约为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．，为对立事件
C．，相互独立 D．
10．已知甲乙两人进行射击训练，两人各试射次，具体命中环数如下表（最高环数为环），从甲试射命中的环数中任取个，设事件表示“至多个超过平均环数”，事件表示“恰有个超过平均环数”，则下列说法正确的是（ ）
人员 甲 乙
命中环数
A．甲试射命中环数的平均数小于乙试射命中环数的平均数
B．甲试射命中环数的方差大于乙试射命中环数的方差
C．乙试射命中环数的的分位数是
D．事件，互为对立事件
11．质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（ ）
A．事件、、两两互斥
B．事件与事件对立
C．
D．事件、、两两独立
12．袋中装有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片．A表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”，表示事件“第二次取出的卡片数字是偶数”，表示事件“两次取出的卡片数字之和是6”，则（ ）
A． B．
C．与相互独立 D．与相互独立
三、填空题
13．甲 乙两人独立地破译一份密码，若甲能破译的概率是，乙能破译的概率是，则甲 乙两人中至少有一人破译这份密码的概率是 .
14．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面朝上”，事件B是“第二枚为正面朝上”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有 （用数字①②③作答）
①事件A与事件B；②事件A与事件C；③事件C与事件B.
15．已知甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.7，0.5，0.4，若甲、乙、丙各投篮一次（三人投篮互不影响），则至多有一人命中的概率为 .
16．某地区人群中各种血型的人所占比例如表1所示，已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任何一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，因病需要输血，任找一个人，其血可以输给小明的概率为 ；任找两个人，则小明有血可以输的概率为 ．
血型 A B AB O
该血型的人占比
四、解答题
17．象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲、乙丙丁4名同学所在小组的赛程如表：
第一轮 甲－乙 丙－丁
第二轮 甲－丙 乙－丁
第三轮 甲－丁 乙－丙
规定；每场比赛获胜的同学得3分.输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为，假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜负平的概率均为，丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜，负，平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立.
(1)求丁同学的总分为5分的概率；
(2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率.
18．某地文化和旅游局统计了春节期间100个家庭的旅游支出情况，统计得到这100个家庭的旅游支出（单位：千元）数据，按分成5组，并绘制成频率分布直方图，如图所示．

(1)估计这100个家庭的旅游支出的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
(2)估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数（结果保留一位小数）；
(3)以这100个家庭的旅游支出数据各组的频率代替各组的概率，在全国范围内随机抽取2个春节期间出游的家庭，每个家庭的旅游支出情况互相不受影响，求恰有1个家庭的旅游支出在内的概率．
19．停车场临时停车按时间收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时免费，超过半小时的部分每小时收费4元（不足1小时的部分按1小时计算）.已知甲、乙两人在该停车场临时停车，停车时间互不影响且都不超过小时，且甲、乙两人停车半小时以上且不超过小时的概率分别为，，停车小时以上且不超过小时的概率分别为，.
(1)求甲、乙两人临时停车付费一样的概率；
(2)求甲、乙两人停车付费之和不少于8元的概率.
20．在某项比赛中，7位专业评委和7位观众评委分别给选手打分.针对某位选手，下面是两组评委的打分：
组 42 45 48 53 52 47 49
组 48 52 70 66 77 49 51
(1)选择一个可以度量每一组评分相似性的量，据此判断哪一组分数更可能是专业评委打的分数；
(2)现从组评委所打分数中随机抽取2个分数，记为，，从组评委所打分数中随机抽取2个分数，记为，.记事件，中有一个数据为48，事件或，判断事件与事件是否相互独立
21．蓝莓富含花青素，具有活化视网膜的功效，可以强化视力，防止眼球疲劳，是世界粮农组织推荐的五大健康水果之一.截至2023年，全国蓝 种植面积达到110万亩，其中云南蓝莓种植面积达到17.6万亩，产量达到10.5万吨，是蓝莓鲜果产量第一省.已知甲农户种植了矮丛蓝莓 高丛蓝莓 兔眼蓝莓3种蓝莓，这3种蓝莓年产量各自达到1000斤的概率分别为.
(1)求这3种蓝莓年产量都达到1000斤的概率；
(2)求这3种蓝莓中至多有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】根据与是否相等判断事件是否独立，得到答案.
【详解】由题意得，
A选项，，，故，
所以，故事件相互独立，A正确；
B选项，，，故，
所以，故事件不相互独立，B错误；
C选项，，，故，
所以，故事件不相互独立，C错误；
D选项，，，故，
所以，故事件不相互独立，D错误；
故选：A
2．B
【分析】利用列举法结合古典概率求出各事件的概率，再结合相互独立事件的意义逐项分析即可.
【详解】有放回摸出两张卡片的样本空间：
，共25个结果，
事件，共10个结果，，
事件，共5个结果，，
事件，共3个结果，，
事件，共5个结果，，
对于A，，，，事件M与Q不相互独立，A错误；
对于B，，，，事件N与R相互独立，B正确；
对于C，，，，事件N与Q不相互独立，C错误；
，，，事件Q与R不相互独立，D错误.
故选：B
3．B
【分析】
根据题意，结合实例，利用互斥事件的定义，独立事件的定义，以及概率的意义，逐项判定，即可求解.
【详解】
例如：口袋中由3个红球、2个白球和1个黄球，从而任取一个球，
事件“表示取到的是红球”，事件“表示取到得是白球”，事件“表示取到的是黄球”，
此时，事件，事件和事件是互斥事件，所以事件不可能同时发生，
且，
对于A中，由，所以A不正确；
对于B中，由事件与事件不可能同时发生，可得，所以B正确；
对于C中，由事件；“取得一个球不是红球”，事件：“取得一个球不是白球”，
当取得到的一个球为黄球时，此时事件和事件同时发生，
所以与事件不一定互斥，所以C不正确；
对于D中，由，，可得，
此时事件和事件不独立事件，所以D错误.
故选：B.
4．A
【分析】设出事件，由已知条件得出事件的概率，根据对立事件以及互斥事件的概率性质，即可得出答案.
【详解】从袋中任取一球，记事件“得到红球”，“得到黑球”，“得到黄球”，“得到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D彼此互斥.
由已知可得，，，，
则，即，
所以，则，
故从中任取一球，得到黄球的概率分别是，
故选：A.
5．C
【分析】
AB选项，可举出反例；C选项，根据得到C正确；D选项，根据概率的性质得到.
【详解】
对于A：当A，B为两个互斥事件时，才有，
当A，B不互斥时，，A选项错误；
对于B：当事件A，B，C两两互斥，且时，才有，所以B错误；
对于C：当A，B为互斥事件时，，C选项正确；
对于D：由概率的性质可知，若，则，D选项错误；
故选：C.
6．A
【分析】
分析可知，该电路正常工作指的是元件正常工作且、中至少有一个能正常工作，利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
由题知该电路正常工作指的是元件正常工作且、中至少有一个能正常工作，
因为该电路正常工作为事件，则
，
故选：A．
7．C
【分析】记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，根据互斥和对立事件的定义分析判断AC；根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率求法分析判断BD.
【详解】记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，
可知，相互独立，
于是：，
由此可得：可能同时发生，A错误；互为对立事件，C正确；
因为，所以，B错误；
因为，所以，D错误.
故选：C.
8．B
【分析】借助频率估计概率后，结合相互独立事件的概率公式计算即可得.
【详解】甲来徐州旅游的概率约为，乙来徐州旅游的概率约为，
丙来徐州旅游的概率约为，
则三人都没有来徐州旅游的概率约为，
故三个人中至少有1人来徐州旅游的概率约为.
故选：B.
9．AD
【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的性质直接求解.
【详解】，是随机事件，，且，
对于A， ，即，
，即，
又，故，A正确；
对于BCD，因为，
所以，由于，，
则，所以，不是对立事件；
又，所以，不是相互独立事件，故BC错误，D正确.
故选：AD
10．BCD
【分析】根据平均数和方差的计算公式直接求解判断选项AB，利用分位数的定义判断选项C，结合对立事件分析两事件的意义即可直接判断选项D.
【详解】对于A，甲试射命中环数的平均数为，
乙试射命中环数的平均数为，故A错误；
对于B，甲试射命中环数相比乙试射命中环数，更为分散，则甲对应的方差更大，故B正确；
对于C，乙试射命中环数排序为，
因为，所以分位数为，故C正确；
对于D，因为甲试射命中环数的平均数为，
且甲试射命中的环数中有两个超过平均数的，
则任取个的情况为：“没有个超过平均环数”、“有个超过平均环数”和“有个超过平均环数”，
而事件表示“没有个超过平均环数”或“有个超过平均环数”，
事件事件表示“恰有个超过平均环数”，
所以事件，互为对立事件，D正确.
故选：BCD
11．ABC
【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念判断即可.
【详解】依题意抛掷一次可能出现的结果有、、、，
事件包含的基本事件有、，则；
事件包含的基本事件有、，则；
事件包含的基本事件有、，则；
显然事件与事件，事件与事件，事件与事件均可以同时发生，
故事件与事件，事件与事件，事件与事件均不互斥，故A错误；
事件包含的基本事件有、、，
事件包含的基本事件有，
当出现时事件与事件均发生，故事件与事件不互斥，
显然不对立，故B错误；
又事件包含的基本事件有，所以，
所以，故C错误；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
即事件、、两两独立，故D正确.
故选：ABC
12．BC
【分析】根据相互独立事件的概率计算方法计算，从而得到答案.
【详解】根据题意可知第一次抽取和第二次抽取是相互独立的，故A与B相互独立，故C正确；
C事件结果有，其中也满足B事件，故B与C不是相互独立的，故D错误；
易知，，，
，故A错误；
，故B正确．
故选：BC．
13．
【分析】先计算出两人均没能破译这份密码的概率，进而利用对立事件求概率公式求出答案.
【详解】两人均没能破译这份密码的概率为，
故甲 乙两人中至少有一人破译这份密码的概率为.
故答案为：
14．①②③
【分析】利用古典概型分别求得事件的概率，再利用独立事件的概率公式逐一判断即可得解.
【详解】依题意，，
，
对于①，，所以与是相互独立本件；
对于②，，所以与是相互独立事件；
对于③，，所以与是相互独立事件.
故答案为：①②③.
15．0.45/
【分析】利用独立事件的乘法公式、对立事件的概率公式以及互斥事件的概率加法公式求解即可.
【详解】甲、乙、丙各投篮一次（三人投篮互不影响），
则没有人命中的概率为，
恰有一人命中的概率为，
所以至多有一人命中的概率为.
故答案为：0.45
16． 0.7 0.91
【分析】
根据互斥事件的概率加法公式即可求解空1，根据相互独立事件的概率乘法公式即可求空2.
【详解】由于小明是B型血，所以可以血型为O,B的可以给小明输血，故概率为，
小明是B型血，两个人都不可以给小明输血的概率为，
所以任找两个人，则小明有血可以输的概率为，
故答案为：0.7；0.91
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用相互独立事件的乘法公式即可求解；
（2）利用相互独立事件的乘法公式及互斥事件的概率的加法公式即可求解.
【详解】（1）丁同学总分为5分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平，
记第轮比赛丁同学胜、平的事件分别为，，丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为M，则，
即丁同学的总分为5分的概率为.
（2）由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜，故丁同学的总分为7分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得0分，0分、1分，若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名.
① 若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何，甲同学的总分为6分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率.
②若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙2名同学平局，第三轮比赛中乙、丙2名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概
率.
③若第一轮比赛中甲、乙2名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜，第三轮比赛中当乙、丙2名同学平局时，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率；
第三轮比赛中当乙，丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为4分，需要进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获得奖励，此时的概率.
综上，甲同学能获得奖励的概率.
18．(1)8.3千元；
(2)9.7；
(3)0.18.
【分析】（1）利用频率分布直方图估计平均数.
（2）利用频率分布直方图求出第70百分位数.
（3）利用频率估计概率，再利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解即得.
【详解】（1）估计这100个家庭的旅游支出的平均值为：
（千元）.
（2）由频率分布直方图知，旅游支出在的频率为，
在的频率为，则这100个家庭的旅游支出的第70百分位数，
则，解得，
所以估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数为9.7.
（3）以频率估计概率，得每个家庭的旅游支出在内的概率为，
所以抽取2个家庭，恰有1个家庭的旅游支出在内的概率为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；
（2）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式求出甲、乙两人停车付费之和少于元的概率，再由对立事件的概率公式计算可得.
【详解】（1）设甲停车的时长不超过半小时、半小时以上且不超过小时、小时以上且不超过小时分别为事件，，，
乙停车的时长不超过半小时、半小时以上且不超过小时、小时以上且不超过小时分别为事件，，，
则，
，
则甲、乙两人临时停车付费一样的概率为：
.
（2）甲、乙两人停车付费之和少于元的概率为：
，
故甲、乙两人停车付费之和不少于元的概率.
20．(1)更可能是专业评委打的分数
(2)事件与事件不独立.
【分析】
（1）根据题意,比较两组评委的量,选择方差作为相似性的量,并计算度量值；
（2）根据相互独立事件的概率定义判断.
【详解】（1）可以用方差来度量每一组评委打分的相似性，方差越小，相似程度越高.
，
，
所以组数据的方差是
，
组数据的方差是
，
因为专业评委给分更符合专业规则，所以相似程度更高，因此组分数更可能是专业评委打的分数.
（2），
，
，各有两种，
所以，
事件：当时， 可以任意，有种，
当，中有一个数据为48，另一个不是52时，则，有种，
所以，
，则事件与事件不独立.
21．(1)
(2)
【分析】
（1）利用相互独立事件的概率公式结合已知条件求解即可；
（2）分别求出这3种蓝莓中没有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率和这3种蓝莓中恰有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率，然后利用互斥事件的概率公式可求得结果.
【详解】（1）因为这3种蓝莓年产量各自达到1000斤的概率分别为，
所以这3种蓝莓年产量都达到1000斤的概率为.
（2）这3种蓝莓中没有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率为，
这3种蓝莓中恰有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率为，
则这3种蓝莓中至多有1种蓝莓年产量达到1000斤的概率为.
答案第1页，共2页
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