第9章 平面向量 综合复习训练（含解析）2023——2024学年苏教版（2019）高中数学必修第二册

第9章平面向量综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．化简（ ）
A． B． C． D．
2．已知平面向量，，若向量与共线，则（ ）
A．－2 B． C．2 D．5
3．已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（ ）
A．36 B． C．32 D．
4．已知平面向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆E（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．以下四个说法中，正确的是（ ）
A．若，则或
B．与是平行向量
C．若与是共线向量，则四点共线
D．若对于任意向量，有
7．已知向量，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
8．如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知平面向量 ，则下列说法正确的是 （ ）
A．向量 与的夹角为 B．
C． D．向量 在上的投影向量为
10．在平行四边形中，设，其中，则下列命题是真命题的是（ ）
A．当时，点在线段上
B．当点在线段上时，
C．当时，点在对角线上
D．当时，点在某线段上运动
11．在中，是边中点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是在上的投影向量
B．若点Q是线段AD上的动点，且满足，则的最大值为
C．若O为的外心，点P满足，则P为的内心
D．若单位向量满足，且，则
12．以下结论中错误的是（ ）
A．“”是“共线”的充分不必要条件
B．若，则存在唯一的实数，使
C．若，则
D．若为平面的一组基底，则构成平面的另一组基底
三、填空题
13．已知向量满足，则在上的投影向量的坐标为 ．
14．已知正方形的边长为2，点满足，则= ．
15．如图．已知矩形中，，，分别是，的中点，则 ．

16．如图，在矩形中，，，是的中点，那么= ．
四、解答题
17．在中，，，边AB，BC上的点M，N满足，，P为AC中点．
(1)设，求实数，的值；
(2)若，求边AC的长．
18．在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，．
(1)当时，求的值；
(2)求向量的夹角；
(3)求的取值范围．
19．如图，分别是等腰梯形的边上的动点，，其中为定值，，设，其中.
(1)用所给字母，求出的表达式；
(2)证明：的余弦值与的取值无关；
(3)求的取值范围.
20．在中，、为边、上的点，且满足，．
(1)若为边长为2的等边三角形，，，求；
(2)若，，，求；
(3)若，，，，求的最大值．
21．已知，且与的夹角为120°，求:
(1)；
(2)与的夹角；
(3)若向量与垂直，求实数λ的值.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】根据向量的线性运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：D.
2．B
【分析】直接利用向量平行的坐标运算列方程求解．
【详解】因为向量与共线，
所以，
解得．
故选：B．
3．B
【分析】由向量数量积的定义及运算律计算可得.
【详解】设与的夹角为，则，
.
故选：B
4．B
【分析】根据向量的加减运算以及数量积的运算律求出，继而利用向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】由题意知平面向量满足，
故，所以，
所以，所以，
则，，故，
故选：B.
5．B
【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，结合的最值得到答案.
【详解】取的中点，连接，
则，，
两式分别平方再相减得，
设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2，
当当与或重合时，最大，最大值为，
所以.
故选：B
【点睛】思路点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
6．B
【分析】A. 由的方向不确定判断；B.由与的方向相反判断；C.由AB，CD所在的直线平行或重合判断；D.举反例判断.
【详解】A. 由，得到的模相等，但方向不确定，故错误；
B. 与的方向相反，所以两个向量是平行向量，故正确；
C.当与是共线向量时，AB，CD所在的直线平行或重合，
所以四点不一定共线，故错误；
D.当非零向量与方向相反时，则，故错误；
故选：B
7．D
【分析】根据向量共线定理及坐标运算列式计算即可.
【详解】因为，所以，则，解出.
故选：D.
8．C
【分析】根据平面向量线性运算法则及平行四边形的性质计算可得.
【详解】根据向量加法的平行四边形法则知，故A正确；
根据向量减法的三角形法则知，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：C．
9．BCD
【分析】根据平面向量的坐标运算公式，逐项计算即可.
【详解】因为，
所以，
则，
故向量 与的夹角为，则A错误；
，则B正确；
，故C正确；
向量 在上的投影向量为
，故D正确，
故选：BCD.
10．BCD
【分析】根据向量的共线关系以及线性运算即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，当时，,
点在线段上,A错误，
对于B，点在线段上时，存在实数使得，因此，故B正确，
对于C,当时，由可知三点共线，故点在对角线上，C正确，
对于D，在边上分别取使得，
所以,当时，则，
故三点共线，因此点在线段上运动,D正确，
故选:BCD
11．AD
【分析】根据条件得到为的平分线，则，从而判断A；利用向量三点共线的推论，将转化为关于的函数，从而判断B；利用向量的线性运算可得的几何性质，故可判断C；利用向量数量积的运算法则与转化法判断D.
【详解】对于A，如图所示，，，分别表示平行于，，的单位向量，
由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量，
又，所以为的平分线，
又因为为的中线，所以，
所以向量在向量的投影向量，故A正确；
对于B，因为在上，即，，三点共线，
设，，
又因为，所以，
因为，则，，
则，
所以当时，取最大值为，故B错误；
对于C，因为是边中点，所以，
由，得，则，即，
因为O为的外心，所以，则，
同理可得，故P为的垂心，故C错误；
对于D，因为，，
所以，
因为是边中点，所以，，
所以，即，
因为，所以，则，故D正确.
故选：AD.
【点睛】方法点睛：解决向量问题的主要方法有：
（1）定义法：运用向量的加减数乘和数量积的定义进行计算分析；
（2）基底表示法：将相关向量用一组基底表示再进行相关计算；
（3）建系法：通过建立平面直角坐标系，引入相关点的坐标，利用向量运算的坐标表示进行分析计算.
12．BC
【分析】解命题“”得，解命题“与共线”得或0，即可判断A；举例即可判断B；根据垂直的向量表示即可判断C；根据共线向量和基底的概念即可判断D.
【详解】A：，，
由，得，
即，由，得；
由与共线，得或0，
所以“”是“与共线”的充分不必要条件，故A正确；
B：当时，，但不存在实数使得，故B错误；
C：若，不一定有，故C错误；
D：假设与共线，则存在实数m使得，
由为平面的一组基底，得，方程无解，所以假设不成立，
即与不共线，所以与可以构成平面的另一个基底，故D正确.
故选：BC
13．
【分析】根据题意，利用向量的运算法则，求得，结合，即可求解.
【详解】因为，可得，
又因为，可得，解得，
所以在上的投影向量为．
故答案为：.
14．6
【分析】由条件代入向量，根据向量数量积的四则运算计算即可.
【详解】在正方形中，，且向量的夹角为，
则有，
.
故答案为：6
15．
【分析】用、作为一组基底表示出，，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】依题意，
，
所以
.
故答案为：
16．
【分析】把都用表示，再利用数量积的运算法则即可得解.
【详解】因为在矩形中，是的中点，，
所以，， ,
则.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据图形，利用向量的几何运算求解即可；
（2）用向量表示，然后代入，列方程求出边AC的长．
【详解】（1），
则；
（2），
，
所以
解得，负值舍去，
即边AC的长为.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先根据向量的线性运算表示出和；再根据向量的数量积运算律即可求解.
（2）先根据向量的线性运算表示出；再根据向量的数量积运算得出即可解答.
（3）先根据表示出；再根据向量的数量积运算得出；最后根据即可求解.
【详解】（1）当时，
依题意知，，，.
则， .
因为，
，
.
所以.
因此.
因为， ，，
所以，，
所以.
（2）由（1）知.
因为，，
所以；
.
则.
因为，， ，
所以，
故向量的夹角为.
（3）由（2）可知：
，
.
则.
因为，， ，
所以
,
由题意知，，
所以的取值范围是，
∴的取值范围是．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先利用等腰梯形求得，然后利用基底表示向量，最后利用向量模的运算求解即可；
（2）结合数量积的运算律，利用向量夹角公式求解即可证明；
（3）根据向量模的运算求得，先将作为整体，利用二次函数性质得函数的值域，再将作为整体，利用二次函数性质得函数的值域，从而可得，即可求解.
【详解】（1）如图：
过和分别作的垂线，垂足为和，在中，，，所以，
由题意知，
因此，
；
（2）证明：由（1）可知，
，
因此，
因此的余弦值与的取值无关；
（3）由题意知，
因此，
考虑，对称轴，
因此当时，，
再考虑，当时，，
因此且，当时，，
综上所述，，即，因此.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先由题意得到、的夹角为，再用、表示出、，结合数量积的定义及运算律即可得解；
（2）利用基底法，结合向量线性运算的几何表示即可得解；
（3）利用向量线性运算与数量积的运算法则，结合转化法得到关于的表达式，从而构造函数，利用其单调性定义即可得解.
【详解】（1）若为边长为2的等边三角形，，，
则、分别是、的中点，与的夹角为，
，，
所以
；
（2）若，，，
则距离是近的三等分点，是距离近的三等分点，
则，
又，
所以，所以；
（3）因为，所以，
所以，
，
因为，所以，且，
所以
，
，，
令，设，
所以，
因为，所以，，
所以，在上单调递增，
所以，
当即时有最大值为．
21．(1)；
(2)；
(3)或.
【分析】（1）利用关系结合数量积的性质计算；
（2）求出，，然后利用向量夹角余弦公式计算即可；
（3）分析可知，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的方程，解之即可.
【详解】（1）；
（2）因为，
所以，又，
所以，
又，
所以与的夹角为；
（3）因为向量与垂直，
则，
整理可得，解得或.
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