第11章 解三角形 综合复习训练（含解析）2023——2024学年苏教版（2019）高中数学必修第二册

第11章 解三角形 综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，角的对边分别为，若，又的面积，且，则（ ）
A．64 B．84 C．-69 D．-89
2．在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，分别是角所对的边，的平分线交于点，，则的最小值为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
4．在中，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
5．在锐角中，角所对的边分别为，若，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．
B．的取值范围为
C．的取值范围为
D．的最小值为
6．记的内角的对边分别为．若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知分别为内角的对边，的面积，则（ ）
A． B． C． D．
8．碧津塔是著名景点·某同学为了浏量碧津塔的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么碧津塔高约为（，）（ ）
A．37.54 B．38.23 C．39.53 D．40.52
二、多选题
9．在中，角的对边分别为，则下列对的个数的判断正确的是（ ）
A．当时，有两解
B．当时，有一解
C．当时，无解
D．当时，有两解
10．在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则为直角三角形
C．若为锐角三角形，的最小值为1
D．若为锐角三角形，则的取值范围为
11．在中，内角所对的边分别为，若的面积为16，则下列结论正确的是（ ）
A．是直角三角形
B．是等腰三角形
C．的周长为32
D．的周长为
12．下列命题中是假命题的是（ ）
A．若，则
B．若向量，满足，且与同向，则
C．若两个非零向量，满足，则
D．在中，，，，则使有两解的的范围是
三、填空题
13．在中，，D是AB边上一点，，则 ．
14．在中，内角的对边分别为，且，则的最小值为 .
15．中，角、、的对边分别为a、b、c，若，则的周长为 ．
16．在中，内角的对边分别是，且，平分交于，，则面积的最小值为 ；若，则的面积为 ．
四、解答题
17．10世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度，如图，假设地球是一个标准的球体，为地球的球心，弧为地线，有两个观测者在地球上的两地同时观测到一颗流星，观测的仰角分别为，其中，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的两点测得，地球半径为千米，两个观测者的距离弧千米.（参考数据：）
(1)求流星发射点的近似高度．
(2)在古希腊时代，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体．已知对流层（地球大气层靠近地面的一层）高度大约在18千米左右，若地球半径千米，请你据此判断该流星是地球蒸发物还是“天外来客”，并说明理由．
18．在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面对问题中，并解答问题.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 .
(1)求；
(2)若的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值.
19．如图，某公司有一块边长为百米的正方形空地，现要在正方形空地中规划一个三角形区域种植花草，其中分别为边上的动点，，其他区域安装健身器材，设为弧度．
(1)求的面积关于的函数解析式；
(2)求面积的最小值．
20．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求；
(2)若，再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积．
条件① ：；条件② ：；条件③ ：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
21．已知．
(1)求函数图象的对称轴方程；
(2)设的内角所对的边分别为，若且，求周长的取值范围．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式整理可求得关系，再由三角形面积公式和余弦定理求得三边，再由数量积运算得到结果
【详解】解法一：由，得，
则，
即，即，
又，即；
又，得；
综上．
则，即．
由，
平方知
所以.
解法二：
.
故选：．
2．A
【分析】利用正弦定理计算即得.
【详解】由正弦定理可得，所以.
故选：A.
3．B
【分析】由题中等式以及正弦定理进行角化边运算可得边的关系，由余弦定理可求出，结合角平分线由三角形面积公式建立等量关系，结合均值不等式可得出最小值.
【详解】由及正弦定理知，，．
在中，由余弦定理知，，，．
，，
即，得，
，
当且仅当且，即时，等号成立，.
故选：B
4．D
【分析】利用余弦定理将化简为，从而可求解.
【详解】由，得，
由余弦定理得，化简得，
当时，即，则为直角三角形；
当时，得，则为等腰三角形；
综上：为等腰或直角三角形，故D正确.
故选：D.
5．C
【分析】对A：借助正弦定理与两角差的正弦公式计算即可得；对B：借助锐角三角形及三角形内角的关系计算即可得；对C：借助正弦定理将边的比例化成正弦值的比例后借助角与角间的关系化简即可得；对D：借助三角函数间的关系与基本不等式计算即可得.
【详解】对A：由正弦定理可将式子化为，
又，
代入上式得，即，
因为，则，故，
所以或，即或（舍去），
所以，故A错误；
对B：因为为锐角三角形，，所以，
由解得，故B错误；
对C：，
因为，所以，，
即的取值范围为，故C正确；
对D：
，
当且仅当，即时取等号，
但因为，所以，，无法取到等号，故D错误.
故选：C.
6．B
【分析】先根据边的关系求出的范围，然后表示出，求出其范围进而可得的范围，则的取值范围可求.
【详解】根据三角形三边关系可得，
即，
由对勾函数单调性可知，其在上单调递减，在单调递增；
即，可得,所以.
故选：B
7．C
【分析】根据余弦定理和三角形面积公式得到方程，求出，得到答案.
【详解】由余弦定理得，
又三角形面积公式得，
故，
又，故，即，
又，故.
故选：C
8．B
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，再结合直角三角形边角关系求解即得.
【详解】在中，，则，，
由正弦定理得，则，
在中，，则，
在中，，则，又，
因此，，
所以碧津塔高约为38.23米.
故选：B
9．AC
【分析】由正弦定理对四个选项一一判断，得到答案.
【详解】对于A，由正弦定理得，即，所以，
又因为，所以或，有两解，故A正确；
对于B，由正弦定理得，无解，故B错误；
对于C，由正弦定理得，无解，故C正确；
对于D，由正弦定理得，
又，所以为锐角，此三角形只有一解，故D错误.
故选：AC.
10．ABD
【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，即可得，所以A正确；再利用由正弦定理计算可得，可得，B正确；由锐角三角形可得，再由二倍角公式可得，即C错误；由正弦定理可得，结合的范围并利用函数单调性可得D正确.
【详解】对于中，由正弦定理得，
由，得，即，
由，则，故，所以或，
即或（舍去），即，A正确；
对于B，若，结合和正弦定理知，
又，所以可得，B正确；
对于，在锐角中，，即.
故，C错误；
对于，在锐角中，由，
，
令，则，
易知函数单调递增，所以可得，D正确；
故选：ABD.
11．AD
【分析】由，，可得，再由面积为16，求出，求出，进而判断选项.
【详解】因为，所以，
所以.因为，所以.因为，
所以.因为16，所以，可得，则，
即.又因为，所以，A正确.
由上知，可得，B错误.
的周长为，C错误，D正确.
故选：AD
12．ABD
【分析】A举反例可判断A为假命题；B根据向量不能比较大小判断；C根据共线向量定理判断；D根据有两解的边长关系判断即可.
【详解】若，例如，但，则命题不成立，故选项A是假命题；
因为空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有这种写法，故选项B是假命题；
因为，所以，即与共线，故，选项C是真命题．
要使有两解，则需，故，即，故D是假命题.
故选：ABD．
13．
【分析】由余弦定理求出，即可得，在中，所以，代入即可得出答案.
【详解】因为，
所以由余弦定理可得：，
因为，所以，
所以在中，所以.
故答案为：
14．
【分析】由正弦定理及条件可得，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】由正弦定理得，，
因为，所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
15．
【分析】先利用两角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理对题目条件进行化简得出：；再结合和余弦定理得出的值即可求解.
【详解】因为，
所以，
即.，
由正弦定理可得：，
由余弦定理可得：，整理得：.
因为，
所以，整理得：，
则，
所以，
故答案为：.
16． /
【分析】由，求得，利用基本不等式，求得面积的最小值的最小值，再由余弦定理，求得，求得的面积.
【详解】由题意，平分交于且，
可得，即，
整理得，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值，
因为，即，
又因为，所以，即，
因为，解得，因此．
故答案为：；.

17．(1)公里
(2)“天外来客”，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件及正弦定理，利用余弦定理即可求解；
（2）根据（1）的结论，求出的值可得流星发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，从而可得结论.
【详解】（1）因为，则，
所以为等边角形，所以．
又因为，
所以，
所以，
所以，，．
在中，由正弦定理：，得，解得，
在中，由余弦定理：
所以，
所以公里．
（2）由（1）知，公里．公里，
所以流星发射点近似高度为公里，远远大于对流层最高近似高度公里，
所以该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”．
18．(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选①：利用正弦定理边化角结合两角和的正弦化简求解；选②：利用平方关系结合正弦定理角化边，再利用余弦定理求解；选③：利用正弦定理角化边得即可求解；
（2）由面积得，结合余弦定理和基本不等式求最值.
【详解】（1）若选择①：，
由正弦定理可得，
因，,故，，
则有，因,故.
若选择②：，
则，
由正弦定理可得，
故，
因,故.
若选择③ ；
由正弦定理可得，，
再由余弦定理得，，即，
，．
（2），又，
在三角形BCD中，，
，
当且仅当时取等号，
的最小值为．
19．(1)，
(2)
【分析】（1）用表示出，代入三角形面积公式即可得到结果；
（2）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简得到，根据正弦型函数值域求法可求得结果.
【详解】（1），，，
，，
，其中，
即，.
（2），
，
，，，
.
20．(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合同角公式计算即得.
（2）选择条件①，利用余弦定理及三角形面积公式计算求解；选择条件②，利用正弦定理计算判断三角形不唯一；选择条件③，利用正弦定理计算判断，再求出三角形面积.
【详解】（1）由得：，而，
则，为锐角，又，解得，
所以且为锐角.
（2）若选条件①，由，为锐角，得，
由余弦定理得，又，则，
解得唯一确定，所以.
若选条件②，由正弦定理得，则，
由，得，因此角有两解，分别对应两个三角形，不符合题意.
若选条件③，由，为锐角，得，
又，得，，则，
因此唯一确定，
由正弦定理得，则，所以.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换，可得的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案；
（2）由求出B，由正弦定理求出的表达式，结合三角恒等变换化简可得的表达式，利用三角函数性质求出其范围，即可得三角形周长的取值范围.
【详解】（1）由于，
故
，
由，得
故函数图象的对称轴方程为；
（2）由，得，而,
故，
由于，则，
则，
则
，
而，
则，即，
故周长的取值范围为.
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