第12章 复数 综合复习训练（含解析）2023——2024学年苏教版（2019）高中数学必修第二册

第12章 复数 综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数满足，则（ ）
A． B． C．4 D．12
2．复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m的值是（ ）
A． B．3 C． D．
5．若复数，且z和在复平面内所对应的点分别为P，Q，O为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
6．复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
7．已知复数且有实数根b，则=（ ）
A． B．12 C． D．20
8．关于复数与其共轭复数，下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称
B．
C．必为实数，必为纯虚数
D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根
二、多选题
9．已知是复数，且为纯虚数，则（ ）
A． B．
C．在复平面内对应的点在实轴上 D．的最大值为
10．已知z为复数，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知复数，则（ ）
A．的虚部为
B．是纯虚数
C．的模是
D．在复平面内对应的点位于第四象限
12．已知复数，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若复数，不相等且，则在复平面内对应的点在一条直线上
三、填空题
13．若复数是方程的一个根，则的虚部为 ．
14．若向量分别表示复数，则= ．
15．已知复数，，满足，，为虚数单位，则 ．
16．设集合，，，其中，为实系数方程的根，则中所有元素之和为 ．
四、解答题
17．设为坐标原点，向量、、分别对应复数、、，且，， . 已知是纯虚数.
(1)求实数的值；
(2)若三点共线，求实数的值.
18．已知：
①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．
②被称为欧拉公式，是复数的指数形式．
③方程（为正整数）有个不同的复数根．
(1)设，求；
(2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合；
(3)复数，求．
19．（1）记是虚数单位，若复数满足，求；
（2）若复数．
①若复数为纯虚数，求实数的值；
②若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
20．设虚数z满足.
(1)计算的值；
(2)是否存在实数a，使？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
21．已知复数分别对应向量， (O为原点).
(1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围；
(2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值.
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参考答案：
1．B
【分析】根据复数的运算法则，求得，再由复数模的计算公式，即可求解.
【详解】由复数满足，可得，
则.
故选：B.
2．B
【分析】根据复数的除法运算和共轭复数定义计算即可
【详解】由题知，复数．
故选:B．
3．B
【分析】利用复数运算化简复数，结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
【详解】，其共轭复数为，
在复平面内对应的点所在的象限为第二象限．
故选：B．
4．C
【分析】先根据复数的乘法运算求出复数，再根据纯虚数的定义即可得解.
【详解】，
因为复数是纯虚数，
所以，解得.
故选：C.
5．D
【分析】由求出，得到,，再由即可求出结果.
【详解】因为，，
所以z和在复平面内所对应的点分别为,,故,,
.
故选：D.
6．D
【分析】利用复数除法法则及复数的概念即可求解.
【详解】由，得，
所以复数的虚部为.
故选：D.
7．D
【分析】根据题意可求得，从而得，求解得，从而可求解.
【详解】由题意知为的实数根，
则，即，
则，解得，所以，
所以，故D正确.
故选：D.
8．D
【分析】利用复数的几何意义可判断A正确，时可排除BC，易知当一元二次方程有两实根时正确，若可得方程两根互为共轭复数，即D正确.
【详解】对于选项A，表示复数和的点关于实轴对称，故A错误：
对于选项B和选项C，当时均不成立，故BC错误；
对于选项D，若方程的可得为实数，即，符合题意；
若，则方程的两个复数根为和，
此时两根互为共轭复数，因此D正确.
故选：D
9．ABD
【分析】先设，代入中化简，根据为纯虚数得出：，且即可判断选项A、C；由可判断选项B；根据复数的几何意义可判断选项D.
【详解】由题意设，
则.
因为为纯虚数，
所以，且，即，且.
因此，故选项A正确；，所以故选项B正确；
因为在复平面内对应的点为，
所以在复平面内对应的点不在实轴上，故选项C错误；
因为表示圆上的点到点的距离，
且最大距离为，故选项D正确.
故选：ABD.
10．BC
【分析】利用复数的运算法则计算即可.
【详解】设，则，
所以，解之得或，
则或.
故选：BC
11．AC
【分析】根据复数的基本概念，以及复数的几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：由虚部定义知的虚部为，故A正确；
对B：纯虚数要求实部为0，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D错误.
故选：AC.
12．AD
【分析】由共轭复数的定义分析A，举反例说明BC，由复数上的几何意义确定D.
【详解】设，，则，故，则必有，故A正确；
若，则有，但，故B错误；
若，则有，但，故C错误；
设复数在复平面内对应的点为和，若，则在复平面内对应的点为线段的中垂线，故在复平面内对应的点在一条直线上，故D正确.
故选：AD
13．
【分析】首先求出方程的虚根，再由复数代数形式的乘法运算化简，即可判断其虚部.
【详解】方程，即，解得或，
若，则，所以的虚部为；
若，则，所以的虚部为；
综上可得的虚部为.
故答案为：
14．
【分析】由复数减法的几何意义以及复数模的运算公式即可求解.
【详解】因为，又向量分别表示复数，
所以表示复数，
所以.
故答案为：.
15．
【分析】根据给定条件，设出复数的代数形式，再利用复数模及复数乘除法运算计算得解.
【详解】设（），（），
由，得，
即，整理得，
又，因此，
所以.
故答案为：
16．
【分析】由复数根的性质及根与系数关系得到的所有可能值，并求出，从而得到中所有元素之和.
【详解】由题设，，对应，
由与为方程两根，由根与系数的关系知，或或或，
所以，故 中所有元素之和为.
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据是纯虚数，结合共轭复数、纯虚数的定义求解即可；
（2）根据求解即可.
【详解】（1）由题意可得，
由于复数是纯虚数，则，解得；
（2）由（1）可得，，则点，，点
所以，　　　　
因三点共线，所以，所以，
所以
18．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据给定的定义，转化为复数的三角形式求解即得.
（2）设，利用指数运算，结合定义求得，进而求出得解.
（3）利用给定的定义求出方程根的形式，再借助方程根的意义列出等式，赋值计算即得.
【详解】（1）依题意，，
所以.
（2）设，则，
因此，，解得，
由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为，
因此对应的依次为，
所以所求的集合是.
（3）当时，，，
则，，
因此关于的方程的根为，
则，
又，
由此可得，
则，
令，得，而为奇数，
所以.
19．（1）或；（2）① ；② ．
【分析】（1）设，根据，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）①根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解；②根据复数在复平面内对应的点在第二象阳，列出不等式组，即可求得实数的取值范.
【详解】解：（1）设且，则，
因为，所以，
即，解得或，所以或．
（2）由复数，
①因为复数为纯虚数，所以，解得；
②因为复数在复平面内对应的点在第二象阳，可得，
解得，即，所以实数的取值范围为．
20．(1)
(2)存在，
【分析】（1）首先设复数的标准形式，再根据复数模的运算公式，化解求解；
（2）根据复数的除法运算公式，化简，即可判断.
【详解】（1）设且，则，
因为，
所以，
所以，
所以，所以，
所以；
（2）存在满足题意.
设且，假设存在实数a使，
则有，
所以，因为，所以，
得
所以存在实数，满足.
21．(1)
(2)
【分析】
（1）根据复数的几何意义，结合第四象限的点的特征即可求解，
（2）根据复数减法的几何意义，由纯虚数的定义即可求解.
【详解】（1）
因为复数，向量表示的点在第四象限，
所以解得.
所以a的取值范围是.
（2）
因为，
所以向量对应的复数为.
根据向量对应的复数为纯虚数，可得且，
解得.
答案第1页，共2页
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