第15章 概率 综合复习训练（含解析）2023——2024学年苏教版（2019）高中数学必修第二册

第15章 概率 综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知6件产品中有2件次品，从中随机抽取2件，其中恰好有1件正品的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．若古典概型的样本空间，事件，事件，相互独立，则事件可以是（ ）
A． B． C． D．
3．2024年韩国釜山举行世界乒乓球团体锦标赛.男团比赛规则，各单位每次比赛双方选取三人出场比赛.每场比赛采用5局3胜制，以先赢3场者为胜方，赛前双方用抽签方法选定主、客队.如主队3名选手出场依次为A、B、C；客队3名选手出场依次定为X、Y、Z，规定：5场比赛的次序为①对，②对，③对，④对X，⑤对.已知某次比赛甲方为主队，乙方为客队.甲方参赛队员为，乙方为（）根据以往经验，甲方各位队员赢乙方队员概率如下表
了解到乙队出场比赛队员依次为.甲方对乙方出场顺序有四种预案：（一）；（二）；（三）；（四）；以本次比赛甲赢的概率比较，应选定哪种方案（ ）
A．(一) B．(三) C．(二) D．(四)
4．袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回的摸出两张卡片.事件“第一次摸得偶数”，“第二次摸得2”，“两次摸得数字之和大于8”，“两次摸得数字之和是6”，则（ ）
A．M与Q相互独立 B．N与R相互独立
C．N与Q相互独立 D．Q与R相互独立
5．下列事件中，随机事件的个数是（ ）个．
①某人购买福利彩票一注，中奖万元；②三角形的内角和为；
③地球上，没有空气和水，人类可以生存下去；④同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上．
A． B． C． D．
6．近几年随着技术的发展，虚拟人的智能化水平得到极大的提升，虚拟主播逐步走向商用，下图为2014~2022年中国虚拟主播企业注册增加数（较上一年增加的数量）条形图，根据该图，下列说法错误的是（ ）

A．2014~2022年中国虚拟主播企业注册数量逐年增加
B．2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为410
C．2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为915
D．从2018~2022年企业注办增加数字中任取2个数字，这两个数字的平均数不大于300的概率为
7．已知事件两两互斥，若，，，则（ ）．
A． B． C． D．
8．袋子中有大小和质地相同的12个小球，分别为红球、黄球、绿球、黑球，从中任取一个球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，问得到黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．，为对立事件
C．，相互独立 D．
10．已知甲乙两人进行射击训练，两人各试射次，具体命中环数如下表（最高环数为环），从甲试射命中的环数中任取个，设事件表示“至多个超过平均环数”，事件表示“恰有个超过平均环数”，则下列说法正确的是（ ）
人员 甲 乙
命中环数
A．甲试射命中环数的平均数小于乙试射命中环数的平均数
B．甲试射命中环数的方差大于乙试射命中环数的方差
C．乙试射命中环数的的分位数是
D．事件，互为对立事件
11．质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（ ）
A．事件、、两两互斥
B．事件与事件对立
C．
D．事件、、两两独立
12．甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
三、填空题
13．将一枚股子连抛两次，记事件为“第一次得到1点”，事件为“两次得到的点数之和为7”，则 ．
14．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面朝上”，事件B是“第二枚为正面朝上”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有 （用数字①②③作答）
①事件A与事件B；②事件A与事件C；③事件C与事件B.
15．设是一个随机试验中的两个事件，且，则 ．
16．某班成立了，两个数学兴趣小组，组有5名学生，组有10名学生．在某次测验中，组学生的成绩如图所示，组学生的平均成绩为117分，方差为14．若从组学生中随机抽取2人作为兴趣小组组长，则这2个组长的成绩均在120分以上的概率为 ；若将组学生、组学生该次测验的成绩混合在一起，产生一组新的数据，则这组新数据的方差为 ．
四、解答题
17．亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率分布直方图如图所示，

(1)求频率分布直方图中的值；
(2)估计这600名学生成绩的中位数；
(3)根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率．
18．某市物理教研员在一次高二全市统考后为了了解本市物理考试情况，从全市高二学生中随机抽取50名对其物理成绩（单位：分，成绩都在内）进行统计，制成频率分布直方图如图所示：
(1)求的值，并以样本估计总体，求本次全市统考物理成绩的中位数；
(2)从样本中物理成绩在与的学生中随机抽取2人，求这2人的物理成绩均不低于90分的概率．
19．2023年11月10日，第六届中国国际进口博览会圆满闭幕，在各方的共同努力和大力支持下，本届进博会办成了一届高标准、高质量、高水平的全球经贸盛会，为世界经济复苏和全球发展繁荣做出积极贡献．本届进博会优化了志愿者服务，为展客商提供了更加准确、细致的服务．为了解参会的展客商对志愿者服务的满意度，组委会组织了所有的展客商对志愿者服务进行评分（满分100分），并从评分结果中随机抽取100份进行统计，按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)求的值，并以样本估计总体，求所有展客商对志愿者服务评分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)在这100份评分结果中按照分层抽样的方法随机抽取20份，再从其中评分在和的评分结果中随机抽取2份，求这2份评分结果均不低于90分的概率．
20．某校对2023年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图：
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数；
(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，在成绩位于和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率.
21．Unidentified Flying Object，简称UFO，俗称飞碟，通常被人们看作是外地文明派到地球的使者．为了调查国内网友对UFO的了解情况，资深UFO爱好者李磊，在网上发起了一项“UFO”有奖问答，共有10000名网友参加，李磊随机抽取了1000名（得分都在60～100分之间），将得分分成4组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)李磊决定根据得分从高到低，对参与活动的的高分网友发放奖品，试估计这次有奖问答的获奖分数线；（保留一位小数）
(2)用分层随机抽样的方法从，两个分数段共抽取出4名网友，再从这4名网友中随机抽取2名依次分享UFO时间供大家交流，求第一个分享的网友得分在的概率．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．A
【分析】列举出所有情况和满足要求的情况，利用古典概型求概率公式求出答案.
【详解】由题意，设4件正品的编号分别为件次品的编号分别为，
则从这6件产品中随机抽取2件的所有情况为，
,共15种.
设恰好有1件正品为事件，
则事件包含的情况有，共8种，
则.
故选：A.
2．A
【分析】根据与是否相等判断事件是否独立，得到答案.
【详解】由题意得，
A选项，，，故，
所以，故事件相互独立，A正确；
B选项，，，故，
所以，故事件不相互独立，B错误；
C选项，，，故，
所以，故事件不相互独立，C错误；
D选项，，，故，
所以，故事件不相互独立，D错误；
故选：A
3．B
【分析】分别考虑各预案5场比赛甲方各位队员赢乙方队员概率，再由独立事件的乘法公式求出甲三连胜的概率，结合第四局和第五局甲方各位队员赢乙方队员概率即可得出答案.
【详解】选择预案（一），则5场比赛的次序为①对，②对，③对，④对，⑤对，
甲方各位队员赢乙方队员概率分别为：，，，，，
若甲三连胜则概率为：，
选择预案（二），则5场比赛的次序为①对，②对，③对，④对，⑤对，
甲方各位队员赢乙方队员概率分别为：，，，，，
若甲三连胜则概率为：，
选择预案（三），则5场比赛的次序为①对，②对，③对，④对，⑤对，
甲方各位队员赢乙方队员概率分别为：，，，，，
若甲三连胜则概率为：，
选择预案（四），则5场比赛的次序为①对，②对，③对，④对，⑤对，
甲方各位队员赢乙方队员概率分别为：，，，，，
若甲三连胜则概率为：，
由甲三连胜可看出选择方案三赢的概率更大，
而且第四局和第五局甲方各位队员赢乙方队员概率也比其他方案赢的概率更大.
所以选择预案（三）甲赢的概率更大，
故选：B.
4．B
【分析】利用列举法结合古典概率求出各事件的概率，再结合相互独立事件的意义逐项分析即可.
【详解】有放回摸出两张卡片的样本空间：
，共25个结果，
事件，共10个结果，，
事件，共5个结果，，
事件，共3个结果，，
事件，共5个结果，，
对于A，，，，事件M与Q不相互独立，A错误；
对于B，，，，事件N与R相互独立，B正确；
对于C，，，，事件N与Q不相互独立，C错误；
，，，事件Q与R不相互独立，D错误.
故选：B
5．B
【分析】利用随机事件的定义逐个判断，可得出结论.
【详解】对于事件①，某人购买福利彩票一注，中奖万元，该事件为随机事件；
对于事件②，三角形的内角和为，该事件为必然事件；
对于事件③，地球上，没有空气和水，人类可以生存下去，该事件为不可能事件；
对于事件④，同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上，该事件为随机事件.
因此，随机事件的个数为.
故选：B.
6．B
【分析】
根据条形统计图判断A、B、C ，利用古典概型的概率公式判断D.
【详解】由每年注册增加数均为正数，可知2014~2022年中国虚拟主播企业注册数量逐年增加，故A正确；
2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数从小到大排列为：，，，，，，，，，
所以2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为，故B错误；
2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为，故C正确；
从，，，，中任取两个数字，结果有种，
所取两个数字平均数不大于的取法有，共种，
所以所求概率，故D正确.
故选：B.
7．B
【分析】
根据互斥事件定义、并事件概率公式直接求解即可.
【详解】
两两互斥，，
，，
.
故选：B.
8．A
【分析】设出事件，由已知条件得出事件的概率，根据对立事件以及互斥事件的概率性质，即可得出答案.
【详解】从袋中任取一球，记事件“得到红球”，“得到黑球”，“得到黄球”，“得到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D彼此互斥.
由已知可得，，，，
则，即，
所以，则，
故从中任取一球，得到黄球的概率分别是，
故选：A.
9．AD
【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的性质直接求解.
【详解】，是随机事件，，且，
对于A， ，即，
，即，
又，故，A正确；
对于BCD，因为，
所以，由于，，
则，所以，不是对立事件；
又，所以，不是相互独立事件，故BC错误，D正确.
故选：AD
10．BCD
【分析】根据平均数和方差的计算公式直接求解判断选项AB，利用分位数的定义判断选项C，结合对立事件分析两事件的意义即可直接判断选项D.
【详解】对于A，甲试射命中环数的平均数为，
乙试射命中环数的平均数为，故A错误；
对于B，甲试射命中环数相比乙试射命中环数，更为分散，则甲对应的方差更大，故B正确；
对于C，乙试射命中环数排序为，
因为，所以分位数为，故C正确；
对于D，因为甲试射命中环数的平均数为，
且甲试射命中的环数中有两个超过平均数的，
则任取个的情况为：“没有个超过平均环数”、“有个超过平均环数”和“有个超过平均环数”，
而事件表示“没有个超过平均环数”或“有个超过平均环数”，
事件事件表示“恰有个超过平均环数”，
所以事件，互为对立事件，D正确.
故选：BCD
11．ABC
【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念判断即可.
【详解】依题意抛掷一次可能出现的结果有、、、，
事件包含的基本事件有、，则；
事件包含的基本事件有、，则；
事件包含的基本事件有、，则；
显然事件与事件，事件与事件，事件与事件均可以同时发生，
故事件与事件，事件与事件，事件与事件均不互斥，故A错误；
事件包含的基本事件有、、，
事件包含的基本事件有，
当出现时事件与事件均发生，故事件与事件不互斥，
显然不对立，故B错误；
又事件包含的基本事件有，所以，
所以，故C错误；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
即事件、、两两独立，故D正确.
故选：ABC
12．ACD
【分析】
根据古典概型求解概率即可比较求解.
【详解】
A项，P(点数为奇数) P(点数为偶数)；
B, 同时抛掷两枚硬币，共有4种情况：正正；正反；反正；正反.
则 P(恰有一枚正面向上)，P(两枚都正面向上)＝；概率不相等，故B错误，
C项，P(牌色为红) P(牌色为黑) ；
D项，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同) .
故选：ACD.
13．12
【分析】根据列举法，结合古典概型的概率计算公式求解即可.
【详解】由题意得，一枚股子连抛两次的所有可能情况共36种，
事件A的所有可能情况为，共6种，
事件B的所有可能情况为，共6种，
事件AB的所有可能情况为，共1种，
所以，，，
所以．
故答案为：12
14．①②③
【分析】利用古典概型分别求得事件的概率，再利用独立事件的概率公式逐一判断即可得解.
【详解】依题意，，
，
对于①，，所以与是相互独立本件；
对于②，，所以与是相互独立事件；
对于③，，所以与是相互独立事件.
故答案为：①②③.
15．
【分析】由可得答案.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
16． /0.3 /
【分析】根据给定的茎叶图，结合列举法求出古典概率；求出组学生该次测试成绩的平均成绩及方差，再利用分层抽样的方差公式计算即得.
【详解】由茎叶图知，组5名学生的测试成绩分别为，他们分别记为，
从5名学生任抽2人的样本空间，共10个，
成绩均在以上的事件，共3个，
所以这2个组长的成绩均在120分以上的概率为；
组5名学生测试成绩的平均分为，
方差为，而组学生的平均成绩为，方差为，
因此新数据组的平均分，
方差.
故答案为：；
17．(1)
(2)80
(3)
【分析】（1）根据各矩形面积之和为1，列式计算，即可求得a的值；
（2）根据频率分布直方图，结合中位数的求解方法，即可求得答案；
（3）求出内的人数之比，根据分层抽样可求得两组各抽取的人数，列举出从这5人中任意选取2人的所有可能情况，再列举出这2人中至少有1人成绩不低于90分的情况，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】（1）由频率分布直方图，得，
解得；
（2）由频率分布直方图，得，
，
则估计这600名学生成绩的中位数为80；
（3）由题意得，成绩在的频率为，
成绩在的频率为，频率之比为，
所以按分层抽样的方法从中选取5人，成绩在的学生有2人，分别记为，
成绩在的学生有3人，分别记为，
从这5人中任意选取2人，有，共10种选法，
其中至少有1人成绩不低于90分的选法有，，共9种，
所以这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率.
18．(1)，中位数为
(2)
【分析】（1）由概率和为1计算的值，由频率分布直方图中位数的计算公式计算中位数.
（2）根据频率分布直方图计算成绩在与的学生人数，列举法分别求出随机抽取2人总的情况数和中抽取2人的情况数，做比即可求出概率.
【详解】（1）由题知，， 解得．
，
，
故设中位数为，则，则，解得，
所以本次全市统考物理成绩的中位数为68分．
（2）由题知，样本中物理成绩在的学生人数为，设为，
物理成绩在的学生人数为，设为，
从这7人中随机抽取2人的所有情况为，，，，共21种不同情况，
记事件为“这2人的物理成绩均不低于90分”，则事件包含的情况有，共6种不同情况，
，所以这2人的物理成绩均不低于90分的概率为．
19．(1)，平均值为
(2)
【分析】（1）利用频率和等于即可求出的值；根据频率分布直方图得出各组的频率，再计算各组中间值乘以频率的和即可解答.
（2）先根据分层抽样的特点得出评分在和的数量并进行编号；再根据古典概型的概率公式即可求解.
【详解】（1）由频率分布直方图可得：
，
即评分在的频率为0.2，
故，
故各组频率依次为：，，，，。
所以平均值为．
（2）由题可知：抽取的20份评分结果中，评分在的份数为，分别记为，
评分在的份数为，分别记为.
则从这8份评分结果中任取2份，不同取法有：
，
，共28种，
记“这2份评分结果均不低于90分”为事件，
则事件包含的基本事件有：
，，共15种，
故所求概率．
20．(1)
(2)97.5
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1计算即可；
（2）根据频率分布直方图和中位数的定义进行计算即可；
（3）根据题意列出样本空间，根据古典概型概率计算公式求解即可.
【详解】（1）由，
可得.
（2）由（1）知样本数据中数学考试成绩90分以下的所占比例为，
110分以下的所占比例为，
因此，中位数一定位于内，由，
可以估计样本数据的中位数约为97.5分，
据此可以估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数约为97.5分.
（3）由题意分数段的人数为，
分数段的人数为，
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，
则需在分数段内抽取2人，分别记为，，
分数段内抽取3人，分别记为，，.
设“从这5名学生中任取2人，至少有1人成绩在）内”为事件，
则样本空间，共包含10个样本点，
而事件包含7个样本点，所以，
故抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为.
21．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用面积法列式计算即得.
（2）求出两段抽取的人数，再利用列举法求出古典概率.
【详解】（1）分数在的频率为0.3，依题意，有奖问答的获奖分数线，
则，解得，
所以这次有奖问答的获奖分数线约为.
（2）分数在的频率分别为，因此抽取的4人中，分数在内的抽1人，记为，
分数在内的抽3人，依次记为，
抽取2人依次分享的试验样本空间，共12个结果，
第一个分享的得分在的事件，共9个结果，
所以第一个分享的网友得分在的概率.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页