广东省深圳市龙华外国语高级中学2023-2024学年高一下学期第一次段考数学试卷（含解析）

深圳市龙华外国语高级中学2023—2024学年度第二学期
第一次段考高一数学试卷
时间120分钟 分值150分
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案.
3. 非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的周长为（ ）
A. 4a B. 8a C. 6a D.
5. 已知复数，则z的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是方程的两个实数根，且的面积为，则角C的大小是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
7. 设，是两个单位向量，若在上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. D.
8. 武灵丛台位于邯郸市丛台公园中心处，为园内的主体建筑，是邯郸古城的象征.某校数学兴趣小组为了测量其高度AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得点A的仰角为，，，且，则武灵丛台的高度AB约为（ ）（参考数据：）
A. 22m B. 27m C. 30m D. 33m
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知点，，，则以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，对于有如下命题，其中正确的是（ ）
A. 若，则是锐角三角形
B. 若，，则的外接圆的面积等于
C. 若，且，则是等边三角形
D. 若，则是等腰直角三角形
11. 已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 点在复平面上的坐标为 B.
C. 的最大值为 D. 的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知x、，若，则______.
13. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则a等于______.
14. 已知，，且.若，则当时，的取值范围为______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）在锐角中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，且，求的周长.
16.（15分）已知是虚数单位，复数，.
（1）当复数z为实数时，求m的值；
（2）当复数z为纯虚数时，求m的值；
（3）当复数z在复平面内对应的点在第三象限时，求m的取值范围.
17.（15分）已知O为坐标原点，，.
（1）判断的形状，并给予证明；
（2）若，求证：A、B、C三点共线；
（3）若D是线段AB上靠近点A的四等分点，求D的坐标.
18.（17分）在中，，，P为AB边上一点，且.
（1）设，求实数x、y的值；
（2）若，求的值；
（3）设点Q满足，用向量方法证明：.
19.（17分）在锐角中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，.
（1）求角A；
（2）设AD是角A的平分线，与BC边交于D，若，，求b，c；
（3）若，求面积的取值范围.
高一数学第二学期第一次段考参考答案
1. D 2. A 3. B
4. B 【详解】由直观图可得原图形，
∴，，，
∴，原图形的周长为8a.
5. C
6. D 【详解】由于a，b是方程的两个实数根，由韦达定理可得，
据题意，得，.
∵，解得或.
7. A 【详解】∵在上的投影向量为，
∴，
∴，又，是两个单位向量，即，
∴.
8. B 【详解】由题知，设，
则，，，
又，
所以在中，，①
在中，，②
联立①②，解得.
9. ABC
【分析】将平行四边形转化为向量相等，通过向量的坐标表示可得结果.
【详解】设点D的坐标为，
由于平行四边形的四个顶点为A，B，C，D，
所以可能有以下三种情形：
当时，即，解得，即D的坐标为；
当时，即，解得，即D的坐标为；
当，即，解得，即D的坐标为；
故选：ABC.
10. BC
【分析】根据余弦定理即可判断A；根据正弦定理，即可判断B；利用数量积得定义即可判断C；根据正弦定理和二倍角的正弦公式计算化简，即可判断D.
【详解】A. 由余弦定理，得，得B为锐角，
不能判断为锐角，故A错误；
B. 设的外接圆的半径为R，由正弦定理得
得，所以其外接圆的面积为，故B正确；
C.
；
所以，故，
因为，
所以，所以是等边三角形，C正确；
D. ，由正弦定理，得，
即，而A，B，，所以或，
即或，则为等腰三角形或直角三角形，故D错误.
11. ABC 【分析】A. 根据复数的表达式直接写出点的坐标进行判断即可；
B. 根据复数的共轭复数的定义进行判断即可；
C，D. 根据复数模的几何意义，结合圆的性质进行判断即可.
【详解】复数在复平面内对应的点为，故A正确；
复数，所以复数，故B正确；
设，则，即，所以，复数在复平面内对应的点在圆上，其圆心为，半径
表示的是复数和在复平面内对应的两点之间的距离，即.
而的最大值是；的最小值是.所以的最大值为，最小值为，故C正确，D错误.
12. 2
13. 【详解】由正弦定理得：，即：，解得：.
14. 法一（代数）
令，则，
由三角不等式，
又，
因为，
所以，
故.
所以，
即的取值范围为，
当且仅当，且的方向与的方向相同时取最小值；
当且仅当，且的方向与的方向相反时取最大值.
法二（几何）
如图所示，做，，易知，
且，，，
令，，则，
因为，，
所以点B在线段UV上，
又，所以点A在以O为圆心，半径为1的上，
所以的最大值，是，当且仅当点时，取得，
的最大值，是，当且仅当点B与V重合时，取得，
即的取值范围为.
15. 解：（1）由及正弦定理得，
因为，，故.
又∵为锐角三角形，所以.
（2）（法一）由余弦定理，
∵，得，
解得：或，
∴的周长为.
（法二）由余弦定理，
∵，得，即，
∴的周长.
16. 解：（1）当z为实数时，有，
解得；
（2）当z为纯虚数时，有，
解得.
（3）当z在复平面内对应的点在第三象限时，有，
解得，
所以m的取值范围为.
17. 解：（1）（法一）由已知有，，，
其中，所以，即，
故为直角三角形.
（法二）由已知有，，，
所以，故为直角三角形.
（2）由已知有，，
因为，所以与共线.
又与有公共点A，所以A，B，C三点共线.
（3）因为D是线段AB上靠近点A的四等分点，所以，
则，
故.
18.解：（1）因为P为AB边上一点，，所以，
故，
由平面向量基本定理，有，；
（2）
；
（3）由题意，，
因为，，所以
，
因为，所以，
故，
所以，即，得证.
19. 解：（1）（法一：角化边）在锐角中，，
由余弦定理得，化简得，
可得，又，得.
（法二：边化角）在锐角中，，由正弦定理得，
即，
可得，
又，，得.
又，得.
（2）在中，由正弦定理有，
在中，由正弦定理有，
因为AD是角A的平分线，故，
又，故，
所以，
设，，
在中，由余弦定理，有，
解得，，
所以，.
（3），
由正弦定理，
得，
在锐角中，，，，
即，
可得，
则有，，，，
即，得，
所以面积的取值范围为.