课件17张PPT。列方程解应用题的一般步骤？第一步：设未知数(单位名称);第二步：列出方程；第三步：解这个方程，求出未知数的值；第四步：查(1)值是否符合实际意义,
(2)值是否使所列方程左右相等;第五步：答题完整（单位名称）。2、如果a ,b ,c 分别表示百位数字、十位数字、个位数字，这个三位数能不能写成abc形式？为什么？1、在三位数345中，3，4，5各具体表示的什么？100a+10b+c 解：设较小的一个奇数为x，则另一个为 x+2, 根据题意得：x(x+2)=323
整理后得：x2+2x-323=0
解这个方程得：x1=17 x2=-19
由x1=17 得：x+2=19
由 x2=-19 得：x+2=-17
答：这两个数奇数是17，19，或者-19，-17。例1、两个连续奇数的积是323，求这两个数。例2:有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原来的数就得到1855，求原来的两位数。解：设原来的两位数的个位数字为x,则十位上的数字为8-x，根据题意得：
［10（8-x）+x］［10x+(8-x)］=1855
整理后得： x2-8x+15=0
解这个方程得：x1=3 x2=5
答：原来的两位数为35或53.3、一个六位数，低位上的三个数字组成的三位数是a ,高位上的三个数是b，现将a，b互换，得到的六位数是_____________。课堂练习：
1、两个连续整数的积是210，则这两个数是 。2、已知两个数的和等于12，积等于32，则这两个数是 。14，15或 -14，-154，81000a+b补充练习：1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?解:设道路宽为x米，则化简得，其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.答:道路的宽为1米.练习：2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.解:设小路宽为x米，则化简得，答:小路的宽为3米.补充例题与练习例3. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S米2，
（1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是多少米？【解析】(1)设宽AB为x米，
则BC为(24-3x)米，这时面积
S=x(24-3x)=-3x2+24x
(2)由条件-3x2+24x=45
化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3
∵0＜24-3x≤10得14/3≤x＜8
∴x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米 例4．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？补充例题与练习分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．解：（1）设渠深为xm 则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m依题意，得：整理，得：5x2+6x-8=0 解得：x1=0.8m，x2=-2（不合题意,舍去）∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；
需要25天才能挖完渠道．练习：1.如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为【 】
A．400cm2 B．500cm2 C．600cm2 D．4000cm2
A2. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是【 】
A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0B3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．练习:4、某农户1997年承包荒山若干亩，投资7800元改造后种果树2000棵，其成活率为90%。在今年(注：今年指2000年)夏季全部结果时，随意摘下10棵果树的水果，称得重量如下：(单位：千克)
8，9，12，13，8，9，11，10，12，8
⑴根据样本平均数估计该农户今年水果的总产量是多少？⑵此水果在市场每千克售1.3元，在水果园每千克售1.1元，该农户用农用车将水果拉到市场出售，平均每天出售1000千克，需8人帮助，每人每天付工资25元.若两种出售方式都在相同的时间内售完全部水果，选择哪种出售方式合理？为什么？⑶该农户加强果园管理，力争到2002年三年合计纯收入达到57000元，求2001年、2002年平均每年的增长率是多少？(纯收入=总收入-总支出)解:(1)样本平均数为∴总产量=2000×90%×10=18000(千克)(2)在果园出售的利润是1.1×18000－7800=12000(元)在市场出售的利润是
1.3×18000－7800－(18000÷1000)×8×25=12000(元)所以两种出售方式相同,选择哪一种都可以;(3)设2001年、2002年平均每年的增长率是x,得∴ x1 = 0. 50=50%,x2 =－3.5(不合题意,舍去) 答： 2001年、2002年平均每年的增长率是50%．练习:4.某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况，并绘制了统计图.请你根据统计图给出的信息回答：
(1)填写完成下表：
这20个家庭的年平均收入为______万元；(2)样本中的中位数是______万元，众数是______万元；(3)在平均数、中位数两数中，______更能反映这个地区家庭的年收入水平.
(4)要想这20个家庭的年平均
收入在2年后达到2.5万元,
则每年的平均增长率是多少?112345311.61.21.3中位数解：设年平均增长率为x，根据题意，得1.6 (1＋x)2＝2.5．
(1＋x)2= ．∴1＋x=±1.25．
∴ x1 = 0.25=25%,x2 =－2.25(不合题意,舍去)
答：每年的年平均增长率为25%．课件14张PPT。21.3 实际问题与一元二次方程 变化率问题与一元二次方程1．列方程解应用题的一般步骤：
(1)审：审清题意，明确问题中的已知量和 ；
(2)设：设未知数，可以直接设也可以 ；
(3)列：依题意构建方程；
(4)解方程，求出未知数的值；
(5)检验作答．
2．构建一元二次方程来解决实际问题时，必须验证方程的解是否符合 ．未知量间接设实际意义倍数传播问题 1．(4分)早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝，在一天内，一人能传染x人，经过两轮传染后共有128人患上甲肝，则x的值为( )
A．10 B．9 C．8 D．7
2．(4分)有一人患了流感，经过两轮后共有225人患上此病，求每轮传染中平均一人传染了几人？设每轮传染中平均一人传染了x个人，则可列方程 ．D1＋x＋(1＋x)x＝2253．(8分)(2013·襄阳)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
解：(1)设每轮传染中平均每人传染x人，1＋x＋x(x＋1)＝64，x＝7或x＝－9(舍去)．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人
(2)64×7＝448(人)平均变化率问题4．(4分)(2013·兰州)据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7 600元/m2，2013年同期将达到8 200元/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为( )
A．7 600(1＋x%)2＝8 200
B．7 600(1－x%)2＝8 200
C．7 600(1＋x)2＝8 200
D．7 600(1－x)2＝8 200C5．(4分)某商品的原价为289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是( )
A．289(1－x)2＝256 B．256(1－x)2＝289
C．289(1－2x)＝256 D．256(1－2x)＝289
6．(4分)(2013·黔西南)某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )
A．50(1＋x)2＝196
B．50＋50(1＋x)2＝196
C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196AC7．(4分)党的“十六大”提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番，到21世纪的头20年(2001～2020年)，要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率都是x，那么x满足的方程为 ．(x＋1)2＝48．(8分)(2013·广东)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
解：(1)设捐款增长率为x，则10 000(1＋x)2＝12 100，解方程，得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)，故捐款的增长率为10%
(2)12 100×(1＋10%)＝13 310(元)9．某城市计划经过两年时间，将城市绿地面积从今年的144万平方米提高到225万平方米，则每年平均增长( )
A．15% B．20% C．25% D．30%
10．某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价( )
A．10% B．19% C．9.5% D．20%CA11．为落实房地产调控政策，某县加快了经济适用房的建设力度，2013年该县政府在这项建设中已投资3亿元，预计2015年投资5.88亿元，则该项投资的年平均增长率为____．
12．某商品出售价600元，第一次降价后，销售较慢，第二次大幅降价，降价的百分率是第一次的2倍，结果以432元迅速出售，若设第一次降价的百分数为x，依题意列方程得
．40%600(1－x)－600(1－x)·2x＝43213．(10分)月季生长速度很快，开花鲜艳诱人，且枝繁叶茂，现有一棵月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干、小分枝的总数是73.求每个枝干长出多少个小分支？
解：设每个枝干长出x个小分支，由题意可得：1＋x＋x·x＝73，解得x1＝－9(舍去)，x2＝8.故每个枝干长出8个小分支14．(10分)李先生将10 000元存入银行，存期为一年，到期后取出2 000元购买电脑，余下的8 000元及利息又存入银行，到期一年后本息和是8 925元，如果两次存款的利率不变，求存款的年利率．
解：设年利率为x，得[10 000(1＋x)－2 000](1＋x)＝8 925，x1＝0.05，x2＝－1.85(舍去)，∴x＝5%15．(10分)(2013·巴中)某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的月平均增长率．
解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意得，400×(1＋10%)(1＋x)2＝633.6，解得，x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意舍去)．
答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%16．(14分)菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．解：(1)设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2＝3.2，解得x1＝0.2，x2＝1.8，因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.8不符合题意，下调百分率为x1＝0.2＝20%.
答：平均每次下调的百分率是20%
(2)小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：3.2×5 000×0.9＝14 400(元)．方案二所需费用为3.2×5 000－200×5＝15 000(元).14 400＜15 000.∴小华选择方案一购买更优惠课件10张PPT。21.3实际问题与一元二次方程
第21章一元二次方程例1：百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？分析：设商品单价为（50+x)元,则每个商品得利润[（50+x) —40]元，因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其销售量会减少10 x个，故销售量为（500 —10 x）个，根据每件商品的利润×件数=8000，则应用（500 —10 x）· [（50+x) —40]=8000解：设每个商品涨价x元，则销售价为（50+x)元，销售量为（500 —10 x）个，则（500 —10 x）· [（50+x) —40]=8000，整理得
解得 都符合题意。
当x=10时,50+ x =60，500 —10 x=400；
当 x=30时，50+ x =80， 500 —10 x=200。
答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进贷量应为400；若售价为80元，则进贷量应为200个。生活有关一元二次方程的利润问题例2：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？利润问题主要用到的关系式是：
⑴每件利润=每件售价-每件进价；
⑵总利润=每件利润×总件数分析：如果设每件衬衫降价x元，则每件衬衫盈利（40-x）元，根据每降价1元就多售出2件，即降价x元则多售出2x件，即降价后每天可卖出（20+2x)件，由总利润=每件利润×售出商品的总量可以列出方程解：设每件衬衫降价x元，根据题意得：
（40-x)(20+2x)=1200
整理得，x2-30x+200=0
解方程得，x1=10,x2=20
因为要尽快减少库存，所以x=10舍去。
答：每件衬衫应降价20元。【跟踪训练】 1．某商场将每件进价 80 元的某种商品原来按每件100元
出售，一天可售出 100 件，后来经过市场调查，发现这种商
品单价每降低 1 元，其销售量可增加 10 件．(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？(2)若商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价多少元？解：(1)100×(100－80)＝2000(元)．
答：原来一天可获利润 2000 元．(2)设每件商品应降价 x 元，由题意，得
(100－80－x)(100＋10x)＝2160，
即 x2－10x＋16＝0.
解得 x1＝2，x2＝8.答：商店经营商品一天要获利 2160 元，每件商品应降价 2元或 8 元．2、某种新品种进价是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系：（1）请你根据上表中所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销售量减少的数量（件）之间的关系。（2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到1600元？3．(数字问题)两个连续奇数的积是 323，求这两个数．
解法一：设较小奇数为 x，则另一个为 x＋2，
依题意，得 x(x＋2)＝323.
整理后，得 x2＋2x－323＝0.
解得 x1＝17，x2＝－19.
由 x＝17，得 x＋2＝19.由 x＝－19，得 x＋2＝－17.答：这两个奇数是 17,19 或者－19，－17.解法二：设较小的奇数为 x－1，则较大的奇数为 x＋1.
依题意，得(x－1)(x＋1)＝323.
整理后，得 x2＝324.解得 x1＝18，x2＝－18.当 x＝18 时，18－1＝17,18＋1＝19；当 x＝－18 时，－18－1＝－19，－18＋1＝－17.
答：两个奇数分别为 17,19 或者－19，－17.解法三：设较小的奇数为 2x－1，则另一个奇数为 2x＋1.
依题意，得(2x－1)(2x＋1)＝323.
整理后，得 4x2＝324.解得 2x＝18，或 2x＝－18.当 2x＝18 时，2x－1＝18－1＝17，2x＋1＝18＋1＝19；
当 2x＝－18 时，2x－1＝－18－1＝－19，
2x＋1＝－18＋1＝－17.答：两个奇数分别为 17，19 或者－19，－17.课件15张PPT。一元二次方程
与实际问题一、情景导入，初步认识问题1 通过上节课的学习，请谈谈列方程解应用题的一般步骤是怎样的？关键是什么？
步骤：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤答问题2 现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm2，问剪去的小正方形的边长应是多少?解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则纸盒的长为（19-2x），宽为（15-2x）cm，依题意得（19-2x）（15-2x）=77
整理得：x2-17x+52=0
解得：x1=3，x2=14（舍去）
即剪去的小正方形的边长应为3cm二、思考探究，获取新知探究3 如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形。如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？解：封面的长宽之比是27：21=9:7，中央的矩形的长宽之比也应是9:7.设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是设上、下边衬的宽均为9xcm，左、右边衬的宽均为7xcm，则中央的矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm，依题意得三、典例精析，掌握新知 例1 有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）解：设四周垂下的宽度为x尺时，则台布的长为（2x+6）尺，宽为（2x+3）尺，依题意得：
（6+2x）（3+2x）=2×6×3
整理方程得：2x2+9x-9=0
解得：x1≈0.84，x2≈-5.3（不合题意，舍去）
即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺例2 如右图是长方形鸡场的平面示意图。一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m。
（1）若所围的面积为150m2，试求
此长方形鸡场的长和宽；ABCD解：设BC=xcm,则AB=CD= ，依题意可列方程：
解方程得：x1=20，x2=15
当BC=x=20m时，AB=CD=7.5m，
当BC=15m时，AB=CD=10m，
即这个长方形鸡场的长与宽分别为20m和7.5m或15m和10m。（2）如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？
解：当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽值能是15m和10m；
（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由。
解：不能围成面积为160m2的长方形鸡场，理由如下：
设BC=xm，由（1）知AB= ，从而有 ，方程整理为：x2-35x+320=0.此时Δ=352-4×1×320=-55＜0，原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不能围成面积为160m2的鸡场。四、运用新知，深化理解1.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（ ）BA. B.5 C. D.72.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm2，则原来正方形的铁皮的面积为 。
64cm23.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，若整个地毯的面积为40m2，求花边的宽。
解：设花边的宽为xcm，依题意得：
（6+2x）（3+2x）=40
解得：x1=1，x2=- （应舍去）
即花边的宽度为1m。4.某种服装进价每件60元，据市场调查，这种服装按80元销售时，每月可卖出400件，若销售价每涨1元，就要少卖出5件，如果服装店预计在销售这种服装时每月获利12000元，那么这种服装的销售价应定为多少时，可使顾客更实惠？解：设销售价提高了x个1元，则每月应少卖出5x件， 依题意可列方程：
（80+x-6）×（400-5x）=12000
解方程得：x1=20，x2=40
显然，当x=40时，销售价为120元；
当x=20时，销售价为100元，
要使顾客得到实惠，则销售价越低越好，
故这种服装的销售价应定为100元合适。五、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你对列一元二次方程解决实际问题的体会和收获？你认为有哪些地方需要特别注意？课 后 作 业1.布置作业：从教材“习题21.3”中选取。
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分。课件28张PPT。增长(下降)率问题21.3 一元二次方程的应用传染病一传十,
十传百,
百传千千万有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了
流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?探究1分析:设每轮传染中平均一个人传染了x人开始有一人患了流感,第一轮:他传染了x人,第一轮后共有______人患了流感.第一轮的传染源第一轮后共有________人患了流感.第二轮的传染源第二轮:这些人中的每个人都又传染了x人,第二轮后共有____________________人患了流感.x+1x+11+x+x(x+1)=(x+1)2列方程得1+x+x(x+1)=121x=10;x=-12注意:1,此类问题是传播问题.
2,计算结果要符合问题的实际意义.
思考:如果按照这样的传播速度,三轮后有多少人患流感? 2003年我国政府工作报告指出:为解决农民负担过重问题,在近两年的税费政策改革中,我国政府采取了一系列政策措施,2001年中央财政用于支持这项改革试点的资金约为180亿元,预计到2003年将到达304.2亿元,求2001年到2003年中央财政每年投入支持这项改革资金的平均增长率?例解:这两年的平均增长率为x,依题有（以下大家完成）180分析:设这两年的平均增长率为x,2001年 2002 年 2003年180(1+x) 类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式 若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为其中增长取“+”,降低取“－”归纳试一试 1.某乡无公害蔬菜的产量在两年内从20吨增加到35吨.设这两年无公害蔬菜产量的年平均增长率为x,根据题意,列出方程为 __________________ .3.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元,第一季度总产值175亿元,设二月、三月平均每月增长的百分率为x,根据题意得方程为( )2．某电视机厂1999年生产一种彩色电视机,每台成本 3000元,由于该厂不断进行技术革新,连续两年降低成本, 至2001年这种彩电每台成本仅为1920元,设平均每年降低成本的百分数为x,可列方程_____________. 分析:显然乙种药品成本的年平均下降额较大,是 否它的年平均下降率也较大?请大家计算看看. 两年前生产一吨甲种药品的成本是5000 元,生产一吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现代生产一吨甲种药品的成本是3000元,生产一吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?思考:经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?
应该怎样全面地比较几个对象的变化状况?探究2分析:甲种药品成本的年平均下降额________
乙种药品成本的年平均下降额________
显然,_______种药品成本的年平均下降额较大.
但:年平均下降额(元)不等于年平均下降率(百分比)第二课时:面积问题 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm
依题意得解得 故上下边衬的宽度为:
左右边衬的宽度为:探究3: 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得解方程得故上下边衬的宽度为: 1.8 CM
左右边衬的宽度为:1.4 CM
例1、如图甲，有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图乙所示的无盖纸盒。若纸盒的底面积是450cm2，那么纸盒的高是多少？解:设高为xcm,可列方程为
（40－2x)(25 -2x)=450解得x1=5, x2=27.5经检验：x=27.5不符合实际，舍去。答：纸盒的高为5cm。 在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的边宽。解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得30×20–(30–2x)(20–2x)=400整理得 x2– 25x+100=0得 x1=20, x2=5当x=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10答:这个长方形框的边宽为5cm变式分析:
本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积 取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒。要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少cm？试一试设长为5x，宽为2x，得：5（5x-10）（2x-10）=200例2、某中学为美化校园，准备在长32m，宽20m的长方形场地上，修筑若干条笔直等宽道路，余下部分作草坪，下面请同学们共同参与图纸设计，要求草坪面积为540m2，求出设计方案中道路的宽分别为多少米？答：道路宽为1米。1、若设计方案图纸为如图，草坪总面积540m2长方形面积=长×宽解：设道路宽为 m,则草坪的长为
m，宽为 m，由题意得：解得 （不合题意舍去）分析：利用“图形经过平移”，它的面积大小不会改变的道理，把纵横两条路平移一下2、设计方案图纸为如图，草坪总面积540m2答：道路宽为2米。3220解：设道路的宽为 米，根据题意得，化简，得解得 1＝2， 2＝50（不合题意舍去）3、设计方案图纸为如图，草坪总面积540m23220解：设道路宽为 m，则草坪的长为
m，宽为 m，由题意得：探究4一辆汽车以 的速度行驶，司机发现前方有情况，紧急刹车后又滑行了 后停车。
（1）从刹车到停车用了多次时间？
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?
(3)刹车后汽车滑行到15米时约用了多少时间？（精确到0.1S）
分析：汽车滑行到停止的过程可视为匀减速直线运动，受摩擦力的影响 如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动. （1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？ （2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.图4探究5解 因为∠C＝90°，所以AB＝＝＝10（cm）.
（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以 AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.
根据题意，(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.探究6:读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.
则根据题意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，
解这个方程，得x＝5或x＝6.
当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.
答 周瑜去世的年龄为36岁.探究7
一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.
（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？
（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？
（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解 依题意，梯子的顶端距墙角＝8（m）.（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.
则根据勾股定理，列方程72+(6+x)2＝102，整理，得x2+12x－15＝0，
解这个方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14（舍去），
所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.
（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm.
则根据勾股定理，列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理，得x2－16x+13＝0.
解这个方程，得x1≈0.86，x2≈15.14（舍去）.
所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.（3）设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm.
则根据勾股定理，列方程 (8－x)2+(6+x)2＝102，整理，得2x2－4x＝0，
解这个方程，得x1＝0（舍去），x2＝2.
所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.
说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形. 如图,已知A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16㎝,AD=6㎝,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3㎝/s的速度向点B移动,一直到点B为止,点Q以2㎝/s的速度向点D移动. 问:P、Q两点从出发开始几秒时,四边形PBCQ的面积是33c㎡例问(1)P、Q两点从出发开始几秒时,四边形PBCQ的面积是33c㎡分析:四边形PBCQ的形状是梯形,上下底,高各是多少?.如图，ΔABC中，∠B=90o，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
（1）如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经过几秒钟，ΔPBQ的面积等于8cm2？
（2）如果点P、Q分别从点A、B同时出发，并且点P到点B后又继续在BC边上前进，点Q到点C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，ΔPCQ的面积等于12.6cm2？2.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm.点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）.那么当t为何值时，ΔQAP的面积等于8cm2？
