中小学教育资源及组卷应用平台
专题5.1 相交线之六大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 对顶角、领补角的定义理解】 1
【考点二 对顶角、领补角性质的应用】 3
【考点三 垂线的定义的理解与应用】 6
【考点四 画垂线与点到直线的距离】 8
【考点五 利用垂线的定义求角的度数】 11
【考点六 同位角、内错角、同旁内角的辨别】 15
【过关检测】 18
【考点一 对顶角、领补角的定义理解】
例题1：（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角的定义判断即可．有一个公共点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．
【详解】解：A、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不合题意；
B、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不符合题意；
C、的两边分别是的两边的反向延长线，与是对顶角，故该选项符合题意；
D、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不合题意．
故选：C．
例题2：（2023下·河北承德·七年级统考期末）下列四个选项中，与互为邻补角的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断．
【详解】解：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，
只有选项A中的与互为邻补角．
故选：A．
【点睛】本题考查邻补角，关键是掌握邻补角的定义．
【变式训练】
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）如图，和是对顶角的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．一般地，两条直线相交能形成两对对顶角．
【详解】解：A、和的两边不互为反向延长线，不是对顶角，不符合题意；
B、和没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意；
C、和是对顶角，符合题意；
D、和的两边不互为反向延长线，不是对顶角，不符合题意；
故选C．
2．（2023下·山东滨州·七年级校联考期中）下列选项中，与互为邻补角的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断．
【详解】解：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，
只有选项D中的与互为邻补角．
故选：D．
【点睛】本题考查邻补角，关键是掌握邻补角的定义．
【考点二 对顶角、领补角性质的应用】
例题：（2023下·河南驻马店·七年级统考期中）如图，直线相交于点O．
(1)写出的邻补角．
(2)写出的对顶角．
(3)如果，求的度数．
【答案】(1)的邻补角是；的邻补角是：
(2)的对顶角是的对顶角是
(3)132°
【分析】（1）根据邻补角的定义进行求解即可；
（2）根据对顶角的定义进行求解即可；
（3）根据邻补角互补，对顶角相等进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，的邻补角是；的邻补角是：；
（2）解：由题意得，的对顶角是的对顶角是；
（3）解：∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质，熟知对顶角相等，邻补角互补是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·江苏·七年级专题练习）如图，已知直线与相交于点F，平分，若，则度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的定义及对顶角相等等知识点．先根据角平分线的定义得出，再根据对顶角相等即可得出答案．
【详解】解：∵平分，
∴，
∴．
故选：C．
2．（2023上·山东滨州·七年级校考期中）如图，直线相交于点O，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角的计算：1直角；1平角，角平分线的定义和对顶角的性质．
（1）根据角平分线定义和对顶角相等即可得到结论；
（2）由题意得，根据，得到，然后与（1）的计算方法一样．
【详解】（1）解：∵，平分，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
又∵平分，
．
3．（2023上·四川眉山·七年级统考期末）如图，直线相交于点，平分，且．
(1)求的度数；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，由角平分线的定义可得，从而得到，再由平角的定义进行计算即可得到答案；
（2）由邻补角的定义可得，由角平分线的性质可得，由对顶角相等可得，从而即可得到的度数．
【详解】（1）解： 设，
平分，
（角平分线定义），
，
（平角定义），
，
，
；
（2）解：，
，
平分，
，
又（对顶角相等），
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平角的定义、邻补角的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【考点三 垂线的定义的理解与应用】
例题：（2023下·河南洛阳·七年级统考期中）如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．点到的垂线段是线段 B．点到的垂线段是线段
C．线段是点D到的垂线段 D．线段是点到的垂线段
【答案】C
【分析】根据垂线段的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、点到的垂线段是线段，正确，故此选项不符合题意；
B、点到的垂线段是线段，正确，故此选项不符合题意；
C、线段是点到的垂线段，原说法错误，故此选项符合题意；
D、线段是点到的垂线段，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线段的定义，熟练掌握过直线外一点作这条直线的垂线，这点与垂足构成的线段叫垂线段是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，，，垂足为点D，则下面的结论正确的有（ ）
①与互相垂直；
②与互相垂直；
③点A到的垂线段是线段；
④点C到的垂线段是线段；
⑤线段的长度是点A到的距离．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据垂线的定义，点到直线的距离的概念，逐一判断，即可解答．
【详解】解：，
与互相垂直，故①正确；
，垂足为点D，
与不垂直，故②错误；
点A到的垂线段是线段，故③错误；
点C到的垂线段是线段，故④正确；
线段的长度是点A到的距离，故⑤正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂线的定义，点到直线的距离的概念，熟知点到直线是垂线段的长度是解题的关键．
2．（2023上·江苏·七年级专题练习）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，则下列结论中正确的是（ ）
①线段的长度是点P到直线l的距离；②线段是A点到直线的距离；③在三条线段中，最短；④线段的长度是点P到直线l的距离
A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了点到直线的距离及垂线段最短等知识点．点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离．熟记相关结论是解题关键．
【详解】解：∵于点B，
∴线段的长度是点P到直线l的距离，故①正确，④错误；
∵，
∴线段的长度是A点到直线的距离，故②错误；
根据垂线段最短，在三条线段中，最短，故③正确；
故选：C．
【考点四 画垂线与点到直线的距离】
例题：（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，所有小正方形的边长都为1个单位长度，、、都在格点上．
(1)过点作直线的垂线，垂足为；
(2)过点作直线，垂足为，直线交于点；
(3)点到直线的距离等于__________个单位长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）根据垂线的定义作出图形即可；
（2）根据垂线的定义作出图形即可；
（3）线段的长即为点A到直线的距离．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求．
（2）解：如图，直线即为所求．
（3）解：由（1）中图可得：点A到直线的距离等于2个单位长度．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，垂线，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解垂线的定义，属于中考常考题型．
【变式训练】
1．（2023下·河南许昌·七年级校考期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．
(1)过点P画的垂线，交于点E；过点P画的垂线，垂足为F；
(2)线段的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所以线段这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______．
【答案】(1)图见解析
(2)，，，垂线段最短
【分析】（1）如图，找点，连接，与交点即为，过点作竖直的线，与交点即为；
（2）根据点到直线的距离的定义、垂线段最短即可求解．
【详解】（1）解：由题意作图如下，是的垂线，是的垂线．
（2）解：线段的长度是点P到的距离，线段的长度是点E到直线OB的距离，
由垂线段最短可知，，
故答案为：，，，垂线段最短．
【点睛】本题考查了作垂线，垂线段最短．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
2．（2023下·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）如图，在直角三角形中，，，．请解答下列问题：
(1)点B到的距离是 ，点A到的距离是 ；
(2)请在图中作出点C到的垂线段；
(3) （填“”、“”、“”），理由是 ．
【答案】(1)8，6
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解；
（2）过点作的垂线，垂足为；
（3）根据垂线段最短进行判断．
【详解】（1）解：点B到的距离是，点A到的距离是；
故答案为：8，6；
（2）如图，为所作；
（3），理由是垂线段最短．
故答案为：；垂线段最短．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握点到直线距离的概念是解答本题的关键．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离．
【考点五 利用垂线的定义求角的度数】
例题：（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知：直线、相交于点，于点，．
(1)如图1，求的度数．
(2)如图2，过点画出直线的垂线，请直接写出图中所有与互补的角．
【答案】(1)
(2)、、
【分析】本题主要考查了垂线，互余和互补的性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．
（1）由平角的性质，得到，进而得出，即可求出的度数；
（2）利用互余和互补的性质，分别得到、、、的度数，再根据与互补的角的度数为，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
与互补的角的度数为，
与互补的角有、、．
【变式训练】
1．（2023下·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，直线与相交于点，是的平分线，，．
(1)至少写出三对相等的角（直角除外）；
(2)已知，求的度数．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义、对顶角的性质即可求得答案．
（2）根据角平分线的定义、对顶角的性质可求得，进而可求得答案．
【详解】（1）∵是的平分线，
∴．
∵直线与相交于点，
∴，．
所以，相等的三对角为，，．
（2）∵直线与相交于点，
∴．
∵是的平分线，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查角平分线、对顶角、垂直的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．
2．（2023下·广东佛山·七年级佛山市第四中学校联考阶段练习）如图，直线，相交于点O，且．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)的度数为
(2)的度数为
【分析】（1）利用垂直的定义和对顶角相等即可求解；
（2）利用平角的定义和垂直的定义即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，且，
∴，
∵，
∴
∴．
【点睛】本题考查了垂线、对顶角相等、邻补角互补等知识，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
3．（2023下·吉林白城·七年级校联考阶段练习）如图，直线、相交于点O，．
(1)若，求的度数；
(2)若平分，求与的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据得到，结合即可得到答案；
（2）根据平分得到，结合即可得到答案；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴；
【点睛】本题考查角平分线有关计算，垂直的定义，解题的关键是根据同角加等角得到的角度相等得到．．
【考点六 同位角、内错角、同旁内角的辨别】
例题：（2023上·七年级课时练习）如图所示，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的内错角是 ；的内错角是 ．
AI
【答案】 和 和 和
【分析】根据内错角的概念，结合图形中各角的位置即可顺利完成填空．
【详解】直线与被直线所截得的内错角是和；直线与被直线所截得的内错角是和；的内错角是和．
故答案为：和；和；和．
【点睛】本题考查了内错角的概念，熟练掌握两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·黑龙江绥化·七年级校考期中）如图，的同旁内角是 ，的内错角是 ，的同位角是 ．
【答案】
【分析】两直线被第三条直线所截，同位角位于两直线同侧，第三条直线的同旁；内错角位于两直线之间，第三条直线的两侧；同旁内角位于两直线之间，第三条直线的同侧．
【详解】解：由图可得：的同旁内角是；
的内错角是；
的同位角是，
故答案为：；；．
【点睛】本题涉及到三线八角的知识，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是关键．
2．（2023下·河北邢台·七年级邢台三中校考阶段练习）如图，
（1）当直线、被直线所截时，的内错角是 ；
（2）的同位角是 ；
（3）的同旁内角是 ．
【答案】 、 、、
【分析】（1）根据内错角的定义进行解答即可；
（2）根据同位角的定义进行解答即可；
（3）根据同旁内角的定义进行解答即可．
【详解】解：（1）当直线、被直线所截时，的内错角是．
故答案为：．
（2）的同位角是、．
故答案为：、．
（3）的同旁内角是、、．
故答案为：、、．
【点睛】本题主要考查了同位角，内错角和同旁内角的定义，解题的关键是熟练掌握定义，同位角：在截线同旁,被截线相同的一侧的两角；内错角：在截线两旁,被截线之内的两角；同旁内角：在截线同旁,被截线之内的两角．
3．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图，填空．
（1）若直线，被直线所截，则与 是同位角；
（2）若直线，被直线所截，则与 是内错角；
（3）与是直线和直线被直线 所截构成的 角；
（4）与是直线 和直线 被直线所截构成的 角；
（5）图中的同旁内角有 个，它们是 ．
【答案】 内错 同位 3 ，，
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐个求解即可．
【详解】解：（1）若直线，被直线所截，则与是同位角；
（2）若直线，被直线所截，则与是内错角；
（3）与是直线和直线被直线所截构成的内错角；
（4）与是直线和直线被直线所截构成的同位角；
（5）图中的同旁内角有3个，它们是，，，
故答案为：，，，内错，，，同位，3，，，．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，能根据图形找出同位角、内错角和同旁内角是解此题的关键．
一、单选题
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角的定义判断即可．有一个公共点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．
【详解】解：A、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不合题意；
B、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不符合题意；
C、的两边分别是的两边的反向延长线，与是对顶角，故该选项符合题意；
D、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不合题意．
故选：C．
2．（2023下·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考阶段练习）如图，O为直线上一点，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂直的定义得到，可得，继而得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是垂直的定义，掌握垂直的定义是解题的关键．
3．（2023下·天津宝坻·七年级校考阶段练习）P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，则点P到直线m的距离（ ）
A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于
【答案】D
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知垂线段最短是解题的关键，根据垂线段最短和点到直线的距离的定义得出即可．
【详解】解：根据垂线段最短得出点P到直线m的距离是不大于，
故选D．
4．（2023上·四川巴中·七年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图所示，有下列五种说法：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角；⑤和是同旁内角；其中正确的是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤
【答案】D
【分析】本题考查了同位角、 内错角以及同旁内角的定义，根据内错角、 同位角以及同旁内角的定义寻找出各角之间的关系， 再比照五种说法判断对错， 即可得出结论 ．
【详解】解： 根据内错角、 同位角以及同旁内角的定义分析五种说法 ．
①和是同位角， 即①正确；
②和是内错角， 即②正确；
③和是内错角， 即③不正确；
④和是同位角， 即④正确；
⑤和是同旁内角， 即⑤正确 ．
故选：D．
5．（2023下·河北沧州·七年级校考期中）如图，直线相交于点，于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】互余关系求出，对顶角相等，得到即可；
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查垂直的定义，对顶角相等．解题的关键是正确的识图，理清角度之间的和差关系．
二、填空题
6．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图，直线相交于点，若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】根据对顶角相等求出，再根据互为邻补角的两个角的和等于列式计算即可得解．
【详解】解：，对顶角相等，
，
与互为邻补角，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键．
7．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图所示的四个图形中，和是同位角的是 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】根据同位角的定义，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】解：①∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角；
②∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角；
③∠1与∠2分别是四条直线中的两对直线的夹角，不符合同位角的定义，故它们不是同位角；
④∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查同位角的定义，掌握同位角的定义：“两条直线被第三条直线所截，在两条直线的同侧，在第三条直线的同旁的两个角，叫做同位角”，是解题的关键．
8．（2023上·四川巴中·七年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图，从P处走到公路m有三条线路可走，为了尽快赶到公路上，应选择的线路是 ，理由是： ．
【答案】 垂线段最短
【分析】本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用．关键是掌握垂线段的性质:垂线段最短．
从直线外一点向这条直线所画的线段中只有垂直线段最短，据此解答即可
【详解】根据“垂线段最短”的性质，可得应选择的线路是，理由是:垂线段最短
故答案为: ，垂线段最短
9．（2023上·吉林松原·七年级校联考期末）如图，直线、相交于点O，射线平分，．若，则的度数为 ．
【答案】/55度
【分析】本题考查了图形中角的计算，涉及到角平分线的定义、垂直的定义，根据角平分线与垂直的概念结合图形中角之间的关系即可求解．
【详解】解：∵，射线平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
10．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）直线与直线相交于点O，过点O作射线垂直于，已知，则 ．
【答案】或．
【分析】此题考查了垂线的性质，对顶角相等，几何图形中角度的计算，根据题意分射线在中和射线在中两种情况讨论，然后根据角的和差关系求解即可．解题的关键是熟练掌握垂线的性质，对顶角相等．
【详解】如图所示，当射线在中时，
∵
∴
∵
∴
∴；
如图所示，当射线在中时，
∵
∴
∵
∴
∴；
综上所述，或．
故答案为：或．
三、解答题
11．（2023下·七年级课时练习）如图，直线相交于点是内部的一条射线．
(1)写出和的邻补角；
(2)写出图中所有的对顶角．
【答案】(1)的邻补角为的邻补角为
(2)与互为对顶角，与互为对顶角
【解析】略
12．（2023下·河南新乡·七年级统考期中）如图，直线，相交于点，且．
(1)图中，的对顶角是 ，的邻补角是 ；
(2)若：＝：，求的度数．
【答案】(1)，和
(2)
【分析】（1）根据对顶角的定义与邻补角的定义，结合图形，即可求解；
（2）根据题意得出，，进而即可求的度数．
【详解】（1）解：如图所示
的对顶角是，的邻补角是和；
故答案为：，和．
（2）解：，，
，
，
，
∴
【点睛】本题主要考查垂线、对顶角与邻补角的定义,角的和差关系，熟练掌握垂线的定义、角的和差关系是解决本题的关键．
13．（2023下·山东威海·六年级统考期末）如图，的一边在网格线上，另一边经过点M，点B和点M均为格点．请完成下列问题：
(1)过点M作的垂线，垂足为点N；
(2)过点M作的垂线，交于点P；
(3)找出图中与相等的角（不再添加字母）：___________：理由是_________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，同角的余角相等
【分析】（1）根据网格的特点和垂线的概念作图即可；
（2）根据网格的特点和垂线的概念作图即可；
（3）根据同角的余角相等求解即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）图中与相等的角：．理由如下：
∵
∴
∵
∴
∴
∴图中与相等的角：．理由是同角的余角相等．
【点睛】本题考查了作图，垂线的定义，同角的余角相等，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
14．（2023下·七年级课时练习）如图，已知直线与相交于点是的平分线，是的平分线．
(1)若，求的度数；
(2)无论为多少度时，均有，为什么？
【答案】(1)
(2)无论为多少度，均有
【详解】（1）因为，所以．
因为分别是和的平分线，
所以．
所以．
（2）因为分别是和的平分线，
所以．
因为，
所以．
所以无论为多少度，均有．
15．（2023上·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，已知．
(1) （填＞、＜、＝），理由是
(2)已知，则
(3)如果，求的度数（用含n的代数式表示）．
(4)图中互补的角有： ．
【答案】(1)=,同角的余角相等
(2)
(3)
(4)和，和．
【分析】（1）根据同角的余角相等即可解答；
（2）先根据角的和差求得,再根据余角的定义即可解答；
（3）先根据角的和差求得,再根据余角的定义即可解答；
（4）根据余角的定义即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴,
∴（同角的余角相等）．
故答案为：=，同角的余角相等．
（2）解：∵，
∴，
∵,
∴,
∴．
故答案为．
（3）解：∵，
∴，
∵,
∴,
∴．
故答案为．
（4）解：∵ ，
∴，
∴互余的角有：和，和．
故答案为和，和．
【点睛】本题主要考查了余角的定义、余角的性质、垂直的定义、角的和差等知识点，理解余角的性质是解答本题的关键
16．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考开学考试）如图1，是直线上的一点，，平分．
(1)若，求的度数；
(2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．
①探究和的度数之间的关系，并说明理由；
②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①，理由见解析；②
【分析】（1）由垂线的定义得，从而得到，由邻补角的定义计算可得，最后由角平分线的性质即可得到答案
（2）①先分别表示出和，再找出其中的关系即可；②根据题意得出，，代入得到，再将，代入进行计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
平分，
；
（2）解：①，
理由如下：
根据题意可得：，
，
，
平分，
，
，
；
②画出图如图所示：
，
则，，
，
整理得：，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、垂线的定义、与余角和补角有关的计算、角的计算，熟练掌握角平分线的性质、垂线的定义，准确进行计算是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题5.1 相交线之六大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 对顶角、领补角的定义理解】 1
【考点二 对顶角、领补角性质的应用】 3
【考点三 垂线的定义的理解与应用】 6
【考点四 画垂线与点到直线的距离】 8
【考点五 利用垂线的定义求角的度数】 11
【考点六 同位角、内错角、同旁内角的辨别】 15
【过关检测】 18
【考点一 对顶角、领补角的定义理解】
例题1：（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
例题2：（2023下·河北承德·七年级统考期末）下列四个选项中，与互为邻补角的是（ ）
A． B．C． D．
【变式训练】
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）如图，和是对顶角的是（ ）
A．B． C． D．
2．（2023下·山东滨州·七年级校联考期中）下列选项中，与互为邻补角的是（ ）
A． B． C．D．
【考点二 对顶角、领补角性质的应用】
例题：（2023下·河南驻马店·七年级统考期中）如图，直线相交于点O．
(1)写出的邻补角．
(2)写出的对顶角．
(3)如果，求的度数．
【变式训练】
1．（2023上·江苏·七年级专题练习）如图，已知直线与相交于点F，平分，若，则度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山东滨州·七年级校考期中）如图，直线相交于点O，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
3．（2023上·四川眉山·七年级统考期末）如图，直线相交于点，平分，且．
(1)求的度数；
(2)若平分，求的度数．
【考点三 垂线的定义的理解与应用】
例题：（2023下·河南洛阳·七年级统考期中）如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．点到的垂线段是线段 B．点到的垂线段是线段
C．线段是点D到的垂线段 D．线段是点到的垂线段
【变式训练】
1．（2023下·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，，，垂足为点D，则下面的结论正确的有（ ）
①与互相垂直；
②与互相垂直；
③点A到的垂线段是线段；
④点C到的垂线段是线段；
⑤线段的长度是点A到的距离．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2023上·江苏·七年级专题练习）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，则下列结论中正确的是（ ）
①线段的长度是点P到直线l的距离；②线段是A点到直线的距离；③在三条线段中，最短；④线段的长度是点P到直线l的距离
A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④
【考点四 画垂线与点到直线的距离】
例题：（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，所有小正方形的边长都为1个单位长度，、、都在格点上．
(1)过点作直线的垂线，垂足为；
(2)过点作直线，垂足为，直线交于点；
(3)点到直线的距离等于__________个单位长度．
【变式训练】
1．（2023下·河南许昌·七年级校考期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．
(1)过点P画的垂线，交于点E；过点P画的垂线，垂足为F；
(2)线段的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所以线段这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______．
2．（2023下·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）如图，在直角三角形中，，，．请解答下列问题：
(1)点B到的距离是 ，点A到的距离是 ；
(2)请在图中作出点C到的垂线段；
(3) （填“”、“”、“”），理由是 ．
【考点五 利用垂线的定义求角的度数】
例题：（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知：直线、相交于点，于点，．
(1)如图1，求的度数．
(2)如图2，过点画出直线的垂线，请直接写出图中所有与互补的角．
【变式训练】
1．（2023下·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，直线与相交于点，是的平分线，，．
(1)至少写出三对相等的角（直角除外）；
(2)已知，求的度数．
2．（2023下·广东佛山·七年级佛山市第四中学校联考阶段练习）如图，直线，相交于点O，且．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
3．（2023下·吉林白城·七年级校联考阶段练习）如图，直线、相交于点O，．
(1)若，求的度数；
(2)若平分，求与的度数．
【考点六 同位角、内错角、同旁内角的辨别】
例题：（2023上·七年级课时练习）如图所示，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的内错角是 ；的内错角是 ．
AI
【变式训练】
1．（2023下·黑龙江绥化·七年级校考期中）如图，的同旁内角是 ，的内错角是 ，的同位角是 ．
2．（2023下·河北邢台·七年级邢台三中校考阶段练习）如图，
（1）当直线、被直线所截时，的内错角是 ；
（2）的同位角是 ；
（3）的同旁内角是 ．
3．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图，填空．
（1）若直线，被直线所截，则与 是同位角；
（2）若直线，被直线所截，则与 是内错角；
（3）与是直线和直线被直线 所截构成的 角；
（4）与是直线 和直线 被直线所截构成的 角；
（5）图中的同旁内角有 个，它们是 ．
一、单选题
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A．B． C． D．
2．（2023下·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考阶段练习）如图，O为直线上一点，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·天津宝坻·七年级校考阶段练习）P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，则点P到直线m的距离（ ）
A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于
4．（2023上·四川巴中·七年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图所示，有下列五种说法：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角；⑤和是同旁内角；其中正确的是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤
5．（2023下·河北沧州·七年级校考期中）如图，直线相交于点，于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图，直线相交于点，若，则的度数为 ．
7．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图所示的四个图形中，和是同位角的是 ．（填序号）
8．（2023上·四川巴中·七年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图，从P处走到公路m有三条线路可走，为了尽快赶到公路上，应选择的线路是 ，理由是： ．
9．（2023上·吉林松原·七年级校联考期末）如图，直线、相交于点O，射线平分，．若，则的度数为 ．
10．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）直线与直线相交于点O，过点O作射线垂直于，已知，则 ．
三、解答题
11．（2023下·七年级课时练习）如图，直线相交于点是内部的一条射线．
(1)写出和的邻补角；
(2)写出图中所有的对顶角．
12．（2023下·河南新乡·七年级统考期中）如图，直线，相交于点，且．
(1)图中，的对顶角是 ，的邻补角是 ；
(2)若：＝：，求的度数．
13．（2023下·山东威海·六年级统考期末）如图，的一边在网格线上，另一边经过点M，点B和点M均为格点．请完成下列问题：
(1)过点M作的垂线，垂足为点N；
(2)过点M作的垂线，交于点P；
(3)找出图中与相等的角（不再添加字母）：___________：理由是_________．
14．（2023下·七年级课时练习）如图，已知直线与相交于点是的平分线，是的平分线．
(1)若，求的度数；
(2)无论为多少度时，均有，为什么？
15．（2023上·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，已知．
(1) （填＞、＜、＝），理由是
(2)已知，则
(3)如果，求的度数（用含n的代数式表示）．
(4)图中互补的角有： ．
16．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考开学考试）如图1，是直线上的一点，，平分．
(1)若，求的度数；
(2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．
①探究和的度数之间的关系，并说明理由；
②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
