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专题5.2 平行线的判定与性质之八大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行】 1
【考点二 垂直于同一直线的两直线平行】 4
【考点三 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补】 5
【考点四 添加一条件使两条直线平行】 8
【考点五 根据平行线的性质与判定求角度】 9
【考点六 平行线的性质在生活中的应用】 12
【考点七 平行线的性质与判定探究角的关系】 14
【考点八 命题的判定与逆命题】 21
【过关检测】 22
【考点一 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行】
例题：（2023下·上海徐汇·七年级校考期中）如图所示，已知，垂足为，，垂足为，，试说明直线与平行．
解∶∵，垂足为B，垂足为D，(已知)，
∴____，____(_____)
即，，
又∵(___)，
∴____=____(___)，
∴ (___)．
【变式训练】
1．（2023下·福建龙岩·七年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，如果，求证：；．
观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论．
证明：∵（已知），
（______________），
∴（_______________），
又∵（已知），
∴（____________）（等式的性质）
∴（_______________）
又∵（_____________），
∴（等式的性质）
∵（已知），
∴，
∴（___________________________）
2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，，与互余．
(1)与平行吗？为什么？
(2)若，则与平行吗？为什么？
【考点二 垂直于同一直线的两直线平行】
例题：（2022上·广东梅州·八年级校考期末）如图，，，垂足分别是，，．
(1)判断与的位置关系；（不需要证明）
(2)求证：．
【变式训练】
1．（2023下·四川成都·七年级校考阶段练习）如图所示，直线相交于点O，平分，平分，，垂足为点H，与平行吗？说明理由．
【考点三 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补】
例题：（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，已知，，垂足分别为D、F，．
求证：．
（ ）：∵，（已知）
∴（ ）
∴（ ）（同位角相等，两直线平行）
∴（ ）
∵（ ）
∴（ ）
∴（ ）
∴（ ）
【变式训练】
1．（2023上·陕西西安·八年级高新一中校考阶段练习）如图，已知，，求证：．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）推理填空：如图：，．求证：．
证明：因为（已知），（____________），
得，
所以（____________），
得，
因为（已知），
得（等量代换），
所以（____________），
所以（____________）．
【考点四 添加一条件使两条直线平行】
例题：（2023下·四川达州·七年级校考期末）如图：请写出一个条件： ，使．理由是： ．
【变式训练】
1．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，要使，需添加的一个条件是 （写出一个即可）
2．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，对于下列条件：①；②；③；④；其中一定能判定的条件有 （填写所有正确条件的序号）．
【考点五 根据平行线的性质与判定求角度】
例题：（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，点在同一条直线上，点在同一条直线上，连接，过点作，已知．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
【变式训练】
1．（2023上·重庆沙坪坝·八年级统考期中）已知：如图，在中，点在边上，分别交，于点，， 平分，，
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
2．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）如图，在中，，F、G是、上的两点，．
(1)求证：；
(2)若，平分，求的度数．
【考点六 平行线的性质在生活中的应用】
例题：（2023下·贵州黔南·七年级校考期中）如图，的一边是平面镜，，点C是上一点，一束光线从点C射出，经过平面镜上的点D反射后沿射线射出，已知，要使反射光线，则的度数是 度．
【变式训练】
1．（2023下·全国·七年级专题练习）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点在射线上，，则 ．
2．（2023下·吉林松原·七年级统考期中）如图1，为响应国家新能源建设，公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线），如图2，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，要使，需将电池板逆时针旋转度， ．
【考点七 平行线的性质与判定探究角的关系】
例题：（2023下·辽宁营口·七年级统考期中）如图，已知，．点P是射线AM上一动点（与点A不重合）、BC，BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D．
(1)求的度数．
(2)当点P运动到使时，的度数是多少？为什么？
(3)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
【变式训练】
1．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图，已知直线，且和分别交于A、B两点，点P在直线上．
(1)之间的关系为 ；
(2)如果点P在A、B两点之间运动时，之间的关系为 ；
(3)如果点P（点P和A、B不重合）在A、B两点外侧运动时，之间关系为 ．
2．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若，点P在、内部，探究，，的关系．小明只完成了（1）的部分证明．
(1)请你继续完成的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成
过点作．
∵，
∴________（ ）
∴____（ ）
又∵
∴
∴________．
(2)小明猜想：是不是类似的问题都可以过点P作来实现等角转移从而推导出相应结论呢？．如图2，若，点P在、外部，，，的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．
(3)探究：若，如图3，图4，请直接写出小于平角的，，之间的数量关系．
【考点八 命题的判定与逆命题】
例题：（2023下·辽宁营口·七年级统考期中）命题“同角的补角相等”是 命题．写成“如果…那么…”的形式 ．
【变式训练】
1．（2023上·湖南娄底·八年级校考阶段练习）命题“同位角相等”的条件是 结论是 ，它是 命题．
2．（2023上·浙江绍兴·八年级校联考期中）把命题“同位角相等，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ．
一、单选题
1．（2023上·四川达州·八年级达州市通川区第八中学校考期末）下列命题中，真命题是（ ）
A．若两个角相等，则这两个角是对顶角 B．同位角一定相等
C．若，则 D．平行于同一条直线的两直线平行
2．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，直线a，b被直线c所截，，，则∠2的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·七年级课时练习）如图，下列能判定的条件有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023·辽宁·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023下·福建莆田·七年级校联考期中）如图，在不添加任何字母的条件下，写出一个能判定的条件 .
7．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）如图，平分，，，则 ．
8．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）一节数学实践课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并要说出自己做法的依据．小奇、小妙两位同学的做法如图：小奇说：“我做法的依据是：同位角相等，两直线平行．”则小妙做法的依据是 ．
9．（2023下·浙江·七年级专题练习）生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于A，平行于地面，则 °．
10．（2023上·福建泉州·七年级统考期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺ADE固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图：当时，，则（）其它所有可能符合条件的度数为 ．
三、解答题
11．（2023上·七年级课时练习）如图，已知于点于点．试说明：．
解：（已知），
（__________）．
同理，．
（__________），
即．
（已知）
_______（___________）．
∴__________（____________）．
12．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）请将下列证明过程补充完整：
已知：如图，平分，平分，且
求证：．
证明：∵平分，
∴．
∵平分（已知），
∴______（角的平分线的定义）．
∴（______）．
即．
∵（已知），
∴______（______）．
∴（______）．
13．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图，在三角形中，点D在上，交于点E，点F在，．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
14．（2023上·四川遂宁·七年级射洪中学校联考阶段练习）如图1，直线，点分别在和上，，平分．
(1)试说明：；
(2)如图2，若于点，请问与有何数量关系，并说明理由．
15．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）将一副直角三角板按如图①方式摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．
(1)如图②，当为的平分线时，____________；
(2)当时，求的度数；
(3)在旋转过程中，当三角板的边平行于三角板的某一边时（不包含重合的情形），直接写出的值．
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专题5.2 平行线的判定与性质之八大考点
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【典型例题】 1
【考点一 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行】 1
【考点二 垂直于同一直线的两直线平行】 4
【考点三 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补】 5
【考点四 添加一条件使两条直线平行】 8
【考点五 根据平行线的性质与判定求角度】 9
【考点六 平行线的性质在生活中的应用】 12
【考点七 平行线的性质与判定探究角的关系】 14
【考点八 命题的判定与逆命题】 21
【过关检测】 22
【考点一 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行】
例题：（2023下·上海徐汇·七年级校考期中）如图所示，已知，垂足为，，垂足为，，试说明直线与平行．
解∶∵，垂足为B，垂足为D，(已知)，
∴____，____(_____)
即，，
又∵(___)，
∴____=____(___)，
∴ (___)．
【答案】、、垂直的定义、已知、、、等量代换、同位角相等，两直线平行．
【分析】根据垂直的性质，平行线的判定求证即可．
【详解】证明：∵，垂足为B，垂足为D，(已知)，
∴，(垂直的定义)
即，，
又∵(已知)，
∴ (等量代换)，
∴ (同位角相等，两直线平行)．
故答案为：、、垂直的定义、已知、、、等量代换、同位角相等，两直线平行．
【点睛】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．
【变式训练】
1．（2023下·福建龙岩·七年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，如果，求证：；．
观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论．
证明：∵（已知），
（______________），
∴（_______________），
又∵（已知），
∴（____________）（等式的性质）
∴（_______________）
又∵（_____________），
∴（等式的性质）
∵（已知），
∴，
∴（___________________________）
【答案】对顶角相等；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行；邻补角互补；内错角相等，两直线平行
【分析】根据对顶角，邻补角的性质，平行线的判定定理，进行作答即可．
【详解】证明：∵（已知），
（对顶角相等），
∴（等量代换），
又∵（已知），
∴（）（等式的性质）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
又∵（邻补角互补），
∴（等式的性质）
∵（已知），
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）
故答案为：对顶角相等；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行；邻补角互补；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了对顶角，邻补角的性质，平行线的判定定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，，与互余．
(1)与平行吗？为什么？
(2)若，则与平行吗？为什么？
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【详解】解：（1）．理由如下：
，，
与互余，，
，．
（2）．理由如下：
由（1）知，
，，
．
【考点二 垂直于同一直线的两直线平行】
例题：（2022上·广东梅州·八年级校考期末）如图，，，垂足分别是，，．
(1)判断与的位置关系；（不需要证明）
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可得出结论；
（2）根据可得，则，即可求证．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
（2）证明：，，
（等式的性质），
即 ，
（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线互相平行，同位角相等，两直线平行．
【变式训练】
1．（2023下·四川成都·七年级校考阶段练习）如图所示，直线相交于点O，平分，平分，，垂足为点H，与平行吗？说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】由平分，平分，可得，，由，可得，即，由，可得．
【详解】解：，理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线，平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【考点三 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补】
例题：（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，已知，，垂足分别为D、F，．
求证：．
（ ）：∵，（已知）
∴（ ）
∴（ ）（同位角相等，两直线平行）
∴（ ）
∵（ ）
∴（ ）
∴（ ）
∴（ ）
【答案】证明；垂直的定义；；两直线平行，同旁内角互补；已知；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先根据垂直定义可得，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用同角的补角相等可得，进而可得，最后利用平行线的性质可得，即可解答．
【详解】证明：∵，（已知）
∴（垂直的定义）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∵（已知）
∴（同角的补角相等）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
【变式训练】
1．（2023上·陕西西安·八年级高新一中校考阶段练习）如图，已知，，求证：．
【答案】见解析，
【分析】本题考查了邻补角，平行线的判定与性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由题意可得，，证明，进而可得，证明，进而可证．
【详解】证明：由题意知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）推理填空：如图：，．求证：．
证明：因为（已知），（____________），
得，
所以（____________），
得，
因为（已知），
得（等量代换），
所以（____________），
所以（____________）．
【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【分析】本题考查了平行线的判定及性质，根据平行线的判定及性质即可求证结论，解题的关键是掌握平行线的判定及性质．
【详解】证明：因为（已知），（对顶角相等），
得，
所以（同位角相等，两直线平行），
得，
因为（已知），
得（等量代换），
所以（内错角相等，两直线平行），
所以（两直线平行，内错角相等），
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【考点四 添加一条件使两条直线平行】
例题：（2023下·四川达州·七年级校考期末）如图：请写出一个条件： ，使．理由是： ．
【答案】 内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的判定即可求解．
【详解】解：可以写一个条件：；理由如下：
，
∴（内错角相等，两直线平行），
故答案是：，内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力．
【变式训练】
1．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，要使，需添加的一个条件是 （写出一个即可）
【答案】
【分析】根据同位角相等两直线平行，图中和为同位角，所以加上即可．
【详解】解：∵图中和为同位角，
根据同位角相等两直线平行，则加上，可得．
【点睛】本题比较简单，记住平行线的判定定理即可．
2．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，对于下列条件：①；②；③；④；其中一定能判定的条件有 （填写所有正确条件的序号）．
【答案】①③/③①
【分析】本题考查了平行线的判定，准确识图是解题的关键．
根据平行线的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：①，
，符合题意；
②，
，故本选项错误；
③，
，故本选项正确；
④；
，故本选项错误；
故选答案为：①③．
【考点五 根据平行线的性质与判定求角度】
例题：（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，点在同一条直线上，点在同一条直线上，连接，过点作，已知．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、利用邻补角求角的度数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行线的性质可得，从而得出，从而即可得出；
（2）由角平分线的定义可得，利用邻补角求出，从而得出，最后由平行线的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
．
；
（2）解：平分，
，
，
，
，
，
．
【变式训练】
1．（2023上·重庆沙坪坝·八年级统考期中）已知：如图，在中，点在边上，分别交，于点，， 平分，，
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质和判定，是解决本题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵．
∴．
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴．
2．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）如图，在中，，F、G是、上的两点，．
(1)求证：；
(2)若，平分，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【考点六 平行线的性质在生活中的应用】
例题：（2023下·贵州黔南·七年级校考期中）如图，的一边是平面镜，，点C是上一点，一束光线从点C射出，经过平面镜上的点D反射后沿射线射出，已知，要使反射光线，则的度数是 度．
【答案】
【分析】利用平行线的性质，求解即可．
【详解】解：∵
∴
又∵
∴
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的有关性质．
【变式训练】
1．（2023下·全国·七年级专题练习）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点在射线上，，则 ．
【答案】25
【分析】根据平行线的性质知，结合图形求得的度数．
【详解】解：，
．
，
．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键．
2．（2023下·吉林松原·七年级统考期中）如图1，为响应国家新能源建设，公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线），如图2，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，要使，需将电池板逆时针旋转度， ．
【答案】
【分析】先根据与太阳光线互相垂直，得出，再根据平行线的性质可得当时，，即可得出结论．
【详解】解：∵与太阳光线互相垂直，
∴，
当时，，
∴需将电池板逆时针旋转，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．
【考点七 平行线的性质与判定探究角的关系】
例题：（2023下·辽宁营口·七年级统考期中）如图，已知，．点P是射线AM上一动点（与点A不重合）、BC，BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D．
(1)求的度数．
(2)当点P运动到使时，的度数是多少？为什么？
(3)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)不变，
【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）由（1）知，再根据角平分线的定义知、，可得，即；
（2）由得、，根据平分知，从而可计算；
（3）由得、，根据平分知，从而可得结果．
【详解】（1），
，
，
，
平分，平分，
，，
，
；
（2），
，
，
，
；
由（1）可知：，，
，
；
（3）不变，．
，
，，
平分，
，
．
【变式训练】
1．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图，已知直线，且和分别交于A、B两点，点P在直线上．
(1)之间的关系为 ；
(2)如果点P在A、B两点之间运动时，之间的关系为 ；
(3)如果点P（点P和A、B不重合）在A、B两点外侧运动时，之间关系为 ．
【答案】(1)∠3=∠1+∠2；
(2)∠3=∠1+∠2
(3)或
【分析】本题考查了平行线性质：两直线平行，内错角相等，平行于同一直线的两条直线平行．
（1）过点P作，如图1，由于，则，根据平行线的性质得，，所以；
（2）由（1）中的证明过程，可知之间的关系不发生变化；
（3）根据题意，画出图形，分点P在延长线上和点P在延长线上两种情况；利用平行线的性质可推出之间的关系．
【详解】（1）解：如图1，过点P作，
∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（平行于同一条直线的两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴∠3=∠1+∠2（等量代换）；
故答案为：∠3=∠1+∠2；
（2）解：由（1）的证明过程知，之间的关系不发生变化；
故答案为：∠3=∠1+∠2；
（3）解：过点P作，
∵，
∴；
当点P在延长线上时，如左图，
则，∠1=∠CPQ=∠3+∠4，
∴，
即；
当点P在延长线上时，如右图，
∵，
∴，∠2=∠CPQ=∠3+∠4，
∴，
即；
综上，或．
故答案为：或．
2．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若，点P在、内部，探究，，的关系．小明只完成了（1）的部分证明．
(1)请你继续完成的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成
过点作．
∵，
∴________（ ）
∴____（ ）
又∵
∴
∴________．
(2)小明猜想：是不是类似的问题都可以过点P作来实现等角转移从而推导出相应结论呢？．如图2，若，点P在、外部，，，的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．
(3)探究：若，如图3，图4，请直接写出小于平角的，，之间的数量关系．
【答案】(1)；；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行内错角相等；
(2)
(3)；
【分析】本题考查了平行线的性质与判定；
（1）首先过点P作，根据平行线的性质，可得，，从而证得；
（2）同（1）的方法可得，，，进而即可得出结论；
（3）同（1）的方法分别结合图3，图4，得出，，的关系，即可求解．
【详解】（1）解：过点作．
∵，
∴（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴（两直线平行内错角相等）
又∵
∴
∴．
故答案为：；；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行内错角相等；．
（2）发生变化，应是．
证明：如图2，
过点作．
∵，
∴（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴
又∵
∴
∴．
即
（3）如图3，过点作，
∵，，
∴
∴
又∵
∴
∴．
即
如图4，过点作，
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴．
即
【考点八 命题的判定与逆命题】
例题：（2023下·辽宁营口·七年级统考期中）命题“同角的补角相等”是 命题．写成“如果…那么…”的形式 ．
【答案】 真 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等
【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，把一个命题写成“如果．．．那么．．”形式是解决问题的关键．
把命题的题设和结论，写成“如果．．．那么”的形式即可；
【详解】解：命题“同角的补角相等”是真命题，把命题“同角的补角相等”改写成“如果．．．那么”的形式为如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；
故答案为：真；如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
【变式训练】
1．（2023上·湖南娄底·八年级校考阶段练习）命题“同位角相等”的条件是 结论是 ，它是 命题．
【答案】 如果两个角是同位角 那么这两个角相等 假
【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论．据此解答即可．
【详解】解：命题“同位角相等”的条件是“如果两个角是同位角”，结论是“那么这两个角相等”．此命题是错误的，故是假命题．
故答案为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等，假
2．（2023上·浙江绍兴·八年级校联考期中）把命题“同位角相等，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ．
【答案】如果两条直线被第三条直线所截同位角相等，那么两直线平行
【分析】本题主要考查了命题与定理，根据命题的构成，如果后面是条件，那么后面是结论，解答即可；
【详解】解：同位角相等，两直线平行改写成“如果两条直线被第三条直线所截同位角相等，那么两直线平行”．
故答案为：如果两条直线被第三条直线所截同位角相等，那么两直线平行
一、单选题
1．（2023上·四川达州·八年级达州市通川区第八中学校考期末）下列命题中，真命题是（ ）
A．若两个角相等，则这两个角是对顶角 B．同位角一定相等
C．若，则 D．平行于同一条直线的两直线平行
【答案】D
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据对顶角、同位角、等式的性质和平行线的判定判断即可．
【详解】解：A、若两个角相等，则这两个角不一定是对顶角，是假命题；
B、两直线平行，同位角一定相等，是假命题；
C、若，则或，是假命题；
D、平行于同一条直线的两直线平行，是真命题；
故选：D．
2．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，直线a，b被直线c所截，，，则∠2的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角．根据平行线的性质可得，再根据，即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：B
3．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知条件即可求出的度数．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
4．（2023下·七年级课时练习）如图，下列能判定的条件有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】略
5．（2023·辽宁·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可．
【详解】解：∵
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
二、填空题
6．（2023下·福建莆田·七年级校联考期中）如图，在不添加任何字母的条件下，写出一个能判定的条件 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据平行线的判定方法解答即可.
【详解】解：添加，则根据同位角相等，两直线平行可得；
故答案为：（答案不唯一）.
【点睛】本题考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；熟练掌握平行线的判定方法是关键.
7．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）如图，平分，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线．熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．
由平行线的性质，角平分线的定义可得，，，计算求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：．
8．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）一节数学实践课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并要说出自己做法的依据．小奇、小妙两位同学的做法如图：小奇说：“我做法的依据是：同位角相等，两直线平行．”则小妙做法的依据是 ．
【答案】内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定；根据题意，，得出，即可求解．
【详解】解：∵根据题意，，
∴，依据为：内错角相等，两直线平行
故答案为：内错角相等，两直线平行．
9．（2023下·浙江·七年级专题练习）生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于A，平行于地面，则 °．
【答案】270
【分析】过点B作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论．本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
【详解】解：过点B作，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
故答案为：270．
10．（2023上·福建泉州·七年级统考期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺ADE固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图：当时，，则（）其它所有可能符合条件的度数为 ．
【答案】或或或
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据题意画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可，掌握平行线的性质是解答此题的关键．
【详解】解：当时，；
当时，；
当时，则：，
∴；
当时，则，
∴．
故答案为：或或或．
三、解答题
11．（2023上·七年级课时练习）如图，已知于点于点．试说明：．
解：（已知），
（__________）．
同理，．
（__________），
即．
（已知）
_______（___________）．
∴__________（____________）．
【答案】垂直的定义，等量代换，，等量代换，，，内错角相等，两直线平行
【分析】根据垂直的定义得到，推出，得到，由此证得．
【详解】解：（已知），
（垂直的定义）．
同理，．
（等量代换），
即．
（已知）
（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
12．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）请将下列证明过程补充完整：
已知：如图，平分，平分，且
求证：．
证明：∵平分，
∴．
∵平分（已知），
∴______（角的平分线的定义）．
∴（______）．
即．
∵（已知），
∴______（______）．
∴（______）．
【答案】角平分线的定义，，等式性质，，等量代换，同旁内角互补，两直线平行．
【分析】本题主要考查了平行线的判定的运用，解题时注意：同旁内角互补，两直线平行．先根据角平分线的定义，得到，再根据，即可得到，进而判定．
【详解】证明：∵平分 （已知），
∴ （角平分线的定义）．
∵平分（已知），
∴（角的平分线的定义）．
∴（等式性质）．
即．
∵（已知），
∴ （等量代换）．
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义，，等式性质，，等量代换，同旁内角互补，两直线平行．
13．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图，在三角形中，点D在上，交于点E，点F在，．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（1）先根据平行线的性质得到，再根据证得，根据同位角相等，两直线平行证得结论；
（2）已知，可求得，进而求得，再利用证得结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
14．（2023上·四川遂宁·七年级射洪中学校联考阶段练习）如图1，直线，点分别在和上，，平分．
(1)试说明：；
(2)如图2，若于点，请问与有何数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．
（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到；
（2）依据，可得，进而得出，再依据即可得证．
【详解】（1）解：，
，
，
，
平分，
，
，
；
（2）解：，
理由如下：
，，
，
，
，
，
，
．
15．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）将一副直角三角板按如图①方式摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．
(1)如图②，当为的平分线时，____________；
(2)当时，求的度数；
(3)在旋转过程中，当三角板的边平行于三角板的某一边时（不包含重合的情形），直接写出的值．
【答案】(1)3
(2)
(3)的值为15或27或35
【分析】本题考查旋转的性质、角平分线的性质、平行线的性质，关键在于数形结合，分类讨论．
（1）根据角平分线的定义求出，然后求出t的值即可；
（2）当时，旋转角为，可求出，即可求出；
（3）分三种情况进行讨论，分别画出图形，求出t的值即可．
【详解】（1）解：如图2，∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
（2）当秒时，的旋转角度为，
即，如图，
∴
；
（3）①当时，如图，
此时与重合，旋转角度为，
∴；
②当时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴；
③当时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴．
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