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专题5.3 解题技巧专题：平行线中有关拐点问题之四大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 平行线中含一个拐点问题】 1
【考点二 平行线中含两个拐点问题】 11
【考点三 平行线中含多个拐点问题】 18
【考点四 平行线中在生活上含拐点问题】 24
【考点一 平行线中含一个拐点问题】
例题：（2023上·重庆·九年级重庆第二外国语学校校考期中）如图，直线，，，则的度数为 度．
【变式训练】
1．（2023下·上海·七年级校考期中）如图，直线，交于点，交于点，若，，则 度．
2．（2023下·七年级课时练习）如图，已知，若，，则 ．
3．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，已知，，，求的度数．
4．（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期末）（1）如图1，已知直线且分别交、于点A、B，分别交、于点C、D，点P在线段上，连接、，试确定之间的数量关系，并说明理由；
（2）在图2中，小刀的刀片是上下平行的，刀柄外形是一个直角梯形（下面挖去一个小的半圆），求的度数．
5．（2023下·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期中）探究题
(1)如下图，，，．求度数；
(2)如下图，，点在射线上运动，，．
①当点P在A，B两点之间运动时，，，之间的数量关系为__________
②当点P在A，B两点外侧运动时(点P与点A，B，O三点不重合)，请写出，，之间的数量关系，并说明理由．
6．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若，点P在、内部，探究，，的关系．小明只完成了（1）的部分证明．
(1)请你继续完成的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成
过点作．
∵，
∴________（ ）
∴____（ ）
又∵
∴
∴________．
(2)小明猜想：是不是类似的问题都可以过点P作来实现等角转移从而推导出相应结论呢？．如图2，若，点P在、外部，，，的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．
(3)探究：若，如图3，图4，请直接写出小于平角的，，之间的数量关系．
【考点二 平行线中含两个拐点问题】
例题：如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【变式训练】
1．如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
2．如图，，则∠1、∠2、∠3的关系为______________．
3．①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
4．（23·24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）如图①，如果，求证：．
（2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________．
（3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）．
5．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.
(1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（ ）内填写依据.
证明：过点P作直线，
（已作），
（______），
又，（已知）
______，（______）
，
______.
(2)如图2，若的平分线与的平分线交于点.
①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由；
②【结论运用】若，求的度数.
(3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______.
【考点三 平行线中含多个拐点问题】
例题：如图，直线，则的度数为___________°．
【变式训练】
1.如图：
(1)如图1， ， 若， 计算并直接写出的大小．
(2)如图2， 在图1的基础上， 将直线变成折线， 证明：
(3)如图3， 在图2的基础上， 继续将且线变成折现．请你写出一条关于 、的数量关系（无需证明直接写出）
2．猜想说理：
（1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由：
拓展应用：
（2）如图4，若，则 度；
（3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数．
【考点四 平行线中在生活上含拐点问题】
例题：某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023·广东深圳·模拟预测）“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（22·23七年级下·河南郑州·阶段练习）卫星信号接收锅、汽车灯等很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线、等反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（22·23七年级下·山东聊城·期末）七年级四班在项目学习中研究生活中的平行关系，小明发现家中的护眼灯，如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，则的度数为 ．
4．（22·23七年级下·浙江金华·期末）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为 ．
5．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）图1是一盏可调节台灯，图2为示意图．固定底座于点O，BA与CB是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体CD始终保持平行于OE，台灯最外侧光线DM，DN组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且CD的延长线恰好是的角平分线，则 ．
6．（2023下·江苏·七年级专题练习）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有．设镜子与的夹角．
(1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由．
(2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索α与β的数量关系，并说明理由．
(3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）
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专题5.3 解题技巧专题：平行线中有关拐点问题之四大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 平行线中含一个拐点问题】 1
【考点二 平行线中含两个拐点问题】 11
【考点三 平行线中含多个拐点问题】 18
【考点四 平行线中在生活上含拐点问题】 24
【考点一 平行线中含一个拐点问题】
例题：（2023上·重庆·九年级重庆第二外国语学校校考期中）如图，直线，，，则的度数为 度．
【答案】
【分析】过点C作，则，利用平行线的性质计算即可，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】过点C作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：78．
【变式训练】
1．（2023下·上海·七年级校考期中）如图，直线，交于点，交于点，若，，则 度．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，得出，进而根据即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2．（2023下·七年级课时练习）如图，已知，若，，则 ．
【答案】
【解析】略
3．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，已知，，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，过点作，根据平行线的传递性得到，根据平行线的性质得到，，根据已知条件等量代换得到，由等式性质得到，于是得到结论，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
【详解】解：过点C作，
∵（辅助线做法）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∵（已知），（辅助线做法）
∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∵（已知）
∴（等量代换）
∵，（已求）
∴（等量代换）
4．（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期末）（1）如图1，已知直线且分别交、于点A、B，分别交、于点C、D，点P在线段上，连接、，试确定之间的数量关系，并说明理由；
（2）在图2中，小刀的刀片是上下平行的，刀柄外形是一个直角梯形（下面挖去一个小的半圆），求的度数．
【答案】（1）∠3=∠1+∠2，理由见解析；（2）
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
（1）如图所示，过点P作，则，根据平行线的性质可得 ，再由可得∠3=∠1+∠2；
（2）过点M作，则，根据平行线的性质可得．
【详解】解：（1）∠3=∠1+∠2，理由如下：
如图所示，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴∠3=∠1+∠2；
（2）如图所示，过点M作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
∴的度数是．
5．（2023下·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期中）探究题
(1)如下图，，，．求度数；
(2)如下图，，点在射线上运动，，．
①当点P在A，B两点之间运动时，，，之间的数量关系为__________
②当点P在A，B两点外侧运动时(点P与点A，B，O三点不重合)，请写出，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)①；②或．
【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
（1）过P作，构造同旁内角，利用平行线性质，可得；
（2）①过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
②画出图形（分两种情况：点P在的延长线上，点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案．
【详解】（1）解：过P作，
∵，
∴，
∵，．
∴，，
∴；
（2）解：①：
如图3，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：；
②当P在延长线时，；
理由：如图4，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
当P在之间时，．
理由：如图5，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴．
综上所述，，，之间的数量关系为或．
6．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若，点P在、内部，探究，，的关系．小明只完成了（1）的部分证明．
(1)请你继续完成的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成
过点作．
∵，
∴________（ ）
∴____（ ）
又∵
∴
∴________．
(2)小明猜想：是不是类似的问题都可以过点P作来实现等角转移从而推导出相应结论呢？．如图2，若，点P在、外部，，，的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．
(3)探究：若，如图3，图4，请直接写出小于平角的，，之间的数量关系．
【答案】(1)；；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行内错角相等；
(2)
(3)；
【分析】本题考查了平行线的性质与判定；
（1）首先过点P作，根据平行线的性质，可得，，从而证得；
（2）同（1）的方法可得，，，进而即可得出结论；
（3）同（1）的方法分别结合图3，图4，得出，，的关系，即可求解．
【详解】（1）解：过点作．
∵，
∴（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴（两直线平行内错角相等）
又∵
∴
∴．
故答案为：；；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行内错角相等；．
（2）发生变化，应是．
证明：如图2，
过点作．
∵，
∴（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴
又∵
∴
∴．
即
（3）如图3，过点作，
∵，，
∴
∴
又∵
∴
∴．
即
如图4，过点作，
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴．
即
【考点二 平行线中含两个拐点问题】
例题：如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【答案】
【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到结论．
【详解】解：连接BD，如图，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，
∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．
故答案为：540°．
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
【变式训练】
1．如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
【答案】30°##30度
【分析】过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，由平行线的性质可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，进而可求解．
【详解】解：过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，
∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，
∵直线l1l2，
∴ABCD，
∴∠6=∠7，
∵∠2比∠3大10°，
∴∠2-∠3=10°，
∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，
∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，
∴40°-∠4=10°，
解得∠4=30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键．
2．如图，，则∠1、∠2、∠3的关系为______________．
【答案】
【分析】根据可得，，又因为，所以可得．
【详解】解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，正确判断角之间的关系是解答本题的关键．
3．①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
【答案】②③④
【分析】①过点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
②过点点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；
④过点P作PFAB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．
【详解】解：①如图1，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，
∵ABEF，
∴ABEFCD，
∴∠DCF=∠EFC，
由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，
又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，
∴，故③正确；
④如图4，过点P作PFAB，
∵ABCD，
∴ABPFCD，
∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，
∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
4．（23·24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）如图①，如果，求证：．
（2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________．
（3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）过P作，利用平行线的判定与性质证明即可；
（2）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质即可求解；
（3）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：过P作，如图，
∴，
∵（已知），
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，过点P作，过点Q作，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
故答案为：；
（3）过点P作，过点Q作，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质和判定是解题的关键．
5．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.
(1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（ ）内填写依据.
证明：过点P作直线，
（已作），
（______），
又，（已知）
______，（______）
，
______.
(2)如图2，若的平分线与的平分线交于点.
①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由；
②【结论运用】若，求的度数.
(3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______.
【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两直线平行；
(2)①，理由见解析；②
(3)
【分析】（1）过点P作直线，根据平行线的性质即可得到答案；
（2）①分别过点P，Q作，，由平行线的性质和角平分线的定义得，进而即可求解；②结合平角的定义和即可得到答案；
（3）过点P、H作，可得，进而即可得到结论．
【详解】（1）证明：过点作直线，
（已作），
（两直线平行，内错角相等）
又，（已知），
，（平行于同一直线的两直线平行），
，
；
（2）解：①.
理由：如图1，分别过点P，Q作，.
的平分线与的平分线交于点，
，.
.
同（1）可证得，
②，，
.
又，
（3）过点P、H作，
∵，
∴，
∴，
∴，即
故答案为：
【点睛】本题考查平行的性质，角平分线的定义，添加合适的辅助线是解题关键．
【考点三 平行线中含多个拐点问题】
例题：如图，直线，则的度数为___________°．
【答案】360
【分析】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，根据平行线的判定得出EF∥GH∥MN∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可．
【详解】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，如图所示：
∵CD∥AB，
∴EF∥GH∥MN∥AB∥CD，
∴∠1=∠BEF，∠GEF+∠EGH=180°，∠HGM+∠GMN=180°，∠NMC=∠5，
∵∠2=∠BEF+∠GEF，∠3=∠EGH+∠HGM，∠4=∠GMN+∠NMC，
∴．
故答案为：360．
【点睛】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．
【变式训练】
1.如图：
(1)如图1， ， 若， 计算并直接写出的大小．
(2)如图2， 在图1的基础上， 将直线变成折线， 证明：
(3)如图3， 在图2的基础上， 继续将且线变成折现．请你写出一条关于 、的数量关系（无需证明直接写出）
【答案】(1)65°
(2)见解析
(3)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4
【分析】（l）过P作PE∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论；
（2）过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4，根据平行线的性质和等量代换即可得到结论；
（3）分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论．
（1）
解：过P作PE∥l1
∵l1∥l2
∴PE∥l2∥l1
∴∠A=∠1，∠B=∠2
∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65°
即∠A+∠B=65°；
（2）
证明：过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4
∵l1∥l2
∴l1∥l2∥l3∥l4
∵l1∥l3（已知）
∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）
∵l3∥l4（已知）
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）
∵l2∥l4（已知）
∴∠4+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180°
又∵∠1+∠2=∠P，∠3+∠4=∠Q
∴∠A+∠B+∠Q=∠P+180°．
（3）
解：如图，分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，
∵，
∴
∴∠1=∠APC，∠QPC=∠PQD，∠DQM=∠EMQ，∠EMB=∠5，
∴∠2=∠1+∠PQD，∠4=∠5+∠DQM，
∴∠2+∠4=∠1+∠PQD+∠5+∠DQM=∠1+∠3+∠5，
∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．
【点睛】本题考查了平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
2．猜想说理：
（1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由：
拓展应用：
（2）如图4，若，则 度；
（3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数．
【答案】（1）；；
（2）
（3）
【分析】（1）根据平行线的性质可直接得到结论；
（2）过点F作AB的平行线，利用平行线的性质，计算出的度数；
（3）过点E作AB的平行线，过点F作AB的平行线，利用平行线的性质，计算出度数；通过前面的计算，找出规律．利用规律得到有n个折点的结论；
【详解】解：（1）如图1：，
如图2：，
如图3：，
如图1说明理由如下：
∵，
∴，
∴，
即；
（2）如下图：
过F作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即；
故答案为：；
（3）如下图：，
过E作，过F作，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
即；
综上所述：
由当平行线AB与CD间没有点的时候，，
当A、C之间加一个折点F时，；
当A、C之间加二个折点E、F时，则；
以此类推，如图5，，
当、之间加三个折点时，
则；
…
当、之间加n个折点时，
则，
即的度数是．
【点睛】本题是探索型试题，主要考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用平行线的性质及三角形外角的性质等知识求解是解答此题的关键．
【考点四 平行线中在生活上含拐点问题】
例题：某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．
【详解】解：如图，延长交于，
∵，，
，
又，，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
【变式训练】
1．（2023·广东深圳·模拟预测）“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作，则，由平行线的性质可得，，由此进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作，
，
，
，
，，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解此题的关键．
2．（22·23七年级下·河南郑州·阶段练习）卫星信号接收锅、汽车灯等很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线、等反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质求得的度数，再根据，得到的度数，最后根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．（22·23七年级下·山东聊城·期末）七年级四班在项目学习中研究生活中的平行关系，小明发现家中的护眼灯，如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，则的度数为 ．
【答案】/100度
【分析】过点D作，过点E作，根据平行线的性质和垂直的定义，进行求解即可．
【详解】解：过点D作，过点E作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线．
4．（22·23七年级下·浙江金华·期末）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】过顶点做直线支撑平台，直线将分成两个角，根据平行的性质即可求解．
【详解】解：过顶点做直线支撑平台，
支撑平台工作篮底部，
、，
，
，
．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）图1是一盏可调节台灯，图2为示意图．固定底座于点O，BA与CB是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体CD始终保持平行于OE，台灯最外侧光线DM，DN组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且CD的延长线恰好是的角平分线，则 ．
【答案】80°/80度
【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，过点A作，过点B作交于点H，根据平行线的判定和性质，求出的度数，利用角平分线的性质，即可得解.
【详解】解：
过点A作，过点B作交于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵的延长线恰好是的角平分线，
∴；
故答案为：.
6．（2023下·江苏·七年级专题练习）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有．设镜子与的夹角．
(1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由．
(2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索α与β的数量关系，并说明理由．
(3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）
【答案】(1)平行，见解析
(2)，见解析
(3)或
【分析】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用．
（1）在△BEG中，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，进而可得；
（2）在中，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，在中，，可得α与β的数量关系；
（3）分两种情况画图讨论：①当时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及内角和，可得．②当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符；则只能在边反射后与平行，根据三角形外角定义，可得，由，且由（1）的结论可得，．
【详解】（1）解：，理由如下：
在中，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，，
在中，，
∴
；
（3）解：或．
理由如下：①当时，如下图所示：
∵，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
则，
则，
由内角和，得
②当时，如果在边反射后与平行，则，
与题意不符；
则只能在边反射后与EF平行，
如下图所示：
根据三角形外角定义，得，
由，且由（1）的结论可得，
，则．
综上所述：γ的度数为：或150°．
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