中小学教育资源及组卷应用平台
专题6.1 平方根、算术平方根、立方根之八大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 平方根、算术平方根、立方根概念的理解】 1
【考点二 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】 2
【考点三 利用算术平方根的非负性解题】 3
【考点四 求代数式的平方根】 4
【考点五 求算术平方根的整数部分与小数部分】 6
【考点六 与算术平方根有关的规律探索题】 7
【考点七 利用平方根、立方根的定义解方程】 11
【考点八 算术平方根和立方根的综合应用】 12
【过关检测】 15
【典型例题】
【考点一 平方根、算术平方根、立方根概念的理解】
例题：（2023上·陕西西安·八年级校联考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B．负数没有立方根
C．的平方根是 D．的算术平方根是2
【变式训练】
1．（2023下·七年级课时练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．8的立方根是±2 B．4的算术平方根是2
C．的平方根是±3 D．立方根等于它本身的数是±1，0
2．（2023上·浙江杭州·七年级翠苑中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．的算术平方根是5 B．3是9的一个平方根
C．负数没有立方根 D．立方根等于它本身的数是0，1
【考点二 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】
例题：（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）的立方根是 ，2的算术平方根是 ，的平方根是 ， ．
【变式训练】
1．（2023上·四川成都·八年级校考期中）的平方根是 ；的立方根是 ．
2．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）的算术平方根是 ， ，的平方根是 .
【考点三 利用算术平方根的非负性解题】
例题：（2023上·四川达州·八年级校考期末）若为实数，且满足，则的值是 ；
【变式训练】
1．（2023下·七年级课时练习）已知，则的算术平方根是 .
2．（2023上·河南周口·八年级统考期中）若实数x，y满足，则的立方根是 ．
【考点四 求代数式的平方根】
例题：（2023下·福建莆田·七年级校考期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．
【变式训练】
1．（2023上·四川宜宾·八年级统考期中）（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值；
（2）若，求的平方根．
2．（2023下·全国·七年级专题练习）已知的平方根是，的算术平方根是4．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
【考点五 求算术平方根的整数部分与小数部分】
例题：（2023下·全国·七年级专题练习）的整数部分是 ．小数部分是 ．
【变式训练】
1．（2023上·浙江湖州·七年级统考期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求图甲中阴影正方形的面积和边长；
（2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）．
解：（1）甲：面积______；边长______．
（2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______．
【考点六 与算术平方根有关的规律探索题】
例题：（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题：
a … 1 100 10000 …
… x 1 y 100 …
(1)表格中_______，________；
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面问题：已知，则________；
(3)试比较与a的大小．（提示：在的前提下分三种况讨论）
【变式训练】
1．（2023上·安徽宿州·八年级校考阶段练习）归纳与探究：
(1)计算：___________，，_________，_____________________，…；
(2)猜想：对于任意实数一定等于吗？利用（1）中的计算，你发现的值等于多少呢？
(3)应用：有理数在数轴上所对应的点如图所示，是4平方根．计算：
2．（2023上·河南郑州·八年级郑州中学校考阶段练习）（1）观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律：
a 0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 x 1 y 100
填空： ， ．
（2）根据你发现的规律填空：
①己知，则 ， ；
②，记的整数部分为x，则 ．
【考点七 利用平方根、立方根的定义解方程】
例题：（2023上·宁夏银川·八年级银川一中校联考期中）解方程
(1) (2)
【变式训练】
1．（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）求下列各式中的的值：
(1)； (2)．
2．（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）解方程：
(1)． (2)．
【考点八 算术平方根和立方根的综合应用】
例题：（2023上·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）已知的立方根是的算术平方根为．
(1)分别求的值；
(2)求的平方根．
【变式训练】
1．（2023下·广东珠海·七年级珠海市文园中学校考期中）已知的算术平方根是2，的立方根是，的平方根是．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根和立方根．
2．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）已知，表示的算术平方根，，表示的立方根．
(1)求m、n的值；
(2)求M和N的值；
(3)求的平方根．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023上·山东淄博·七年级淄博市淄川实验中学校考阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．的平方根是 B．是81的一个平方根
C．的算术平方根是 D．的立方根是
2．（2023下·宁夏银川·八年级校考期末）下列各式中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·陕西西安·七年级统考期末）已知，满足，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·广东揭阳·八年级校考期中）下列计算或命题：①都是27的立方根；②；③的算术平方根是2；④；⑤，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023上·河北保定·八年级定兴二中校考期中）若，，则的值为（ ）
A．2或 B．或1 C．6或0 D．2或
二、填空题
6．（2023上·山东青岛·八年级青岛三十九中校考期中）的立方根是 ，25的算术平方根是 ，的平方根是 ．
7．（2023下·黑龙江佳木斯·七年级校考期中）已知，则的立方根为 ．
8．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）已知与互为相反数，是的立方根，的平方根为 ．
9．（2023下·全国·八年级专题练习）已知、、…则第四个式子为 ．
10．（2023上·湖北武汉·七年级校联考阶段练习）若、都是有理数，定义“”如下：，例如．现己知，则的值为 ．
三、解答题
11．（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）求下列各式中x的值：
(1)
(2)
12．（2023上·江苏宿迁·八年级南师附中宿迁分校校考期中）（1）已知正数的平方根分别是和2，的立方根是2，求a、b的值．
（2）已知一个正数x的两个平方根分别是和，求x的值．
13．（2023下·全国·七年级专题练习）已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根．
14．（2023上·广东深圳·八年级统考期中）已知的一个平方根是，的立方根是3；
(1)求的值；
(2)求的算术平方根．
15．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知一个正数的两个平方根分别是和．
(1)求的值；
(2)若为的算术平方根，为的立方根，求代数式的值．
16．（2023下·广东广州·七年级广州市南武中学校考期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．例如：
，，．
(1)仿照以上方法计算：_________；_________．
如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．
(2)对290连续求根整数，多少次之后结果为1？
17．（2023上·江苏·八年级专题练习）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
(1)，，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．
(2)已知，，则_____；______．
18．（2023下·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）观察表格，回答问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y z …
(1)表格中 ， ； ；
(2)从表格中探究a与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，则 ；
②已知，若，用含m的代数式表示b，则b＝ ；
(3)试比较与a的大小．
当 时，；当 时，；当 时，．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题6.1 平方根、算术平方根、立方根之八大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 平方根、算术平方根、立方根概念的理解】 1
【考点二 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】 2
【考点三 利用算术平方根的非负性解题】 3
【考点四 求代数式的平方根】 4
【考点五 求算术平方根的整数部分与小数部分】 6
【考点六 与算术平方根有关的规律探索题】 7
【考点七 利用平方根、立方根的定义解方程】 11
【考点八 算术平方根和立方根的综合应用】 12
【过关检测】 15
【典型例题】
【考点一 平方根、算术平方根、立方根概念的理解】
例题：（2023上·陕西西安·八年级校联考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B．负数没有立方根
C．的平方根是 D．的算术平方根是2
【答案】D
【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐一判断即可．熟练掌握这几个定义是解题的关键．
【详解】解：A、9的平方根是，故此选项不符合题意；
B、负数有立方根，故此选项不符合题意；
C、， 的平方根是，故此选项不符合题意；
D、，的算术平方根是2，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式训练】
1．（2023下·七年级课时练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．8的立方根是±2 B．4的算术平方根是2
C．的平方根是±3 D．立方根等于它本身的数是±1，0
【答案】A
【解析】略
2．（2023上·浙江杭州·七年级翠苑中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．的算术平方根是5 B．3是9的一个平方根
C．负数没有立方根 D．立方根等于它本身的数是0，1
【答案】B
【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟记概念是解题的关键．
【详解】解：A. 的算术平方根是，说法错误；
B. 3是9的一个平方根，说法正确；
C. 负数的立方根是负数，说法错误；
D. 立方根等于它本身的数是0，1，，说法错误；
故选B．
【考点二 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】
例题：（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）的立方根是 ，2的算术平方根是 ，的平方根是 ， ．
【答案】 4
【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义计算即可．
【详解】解：的立方根是；
2的算术平方根是；
，故的平方根是；
4；
故答案为：；；； 4．
【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，熟练掌握它们的定义及计算方法是解题关键．
【变式训练】
1．（2023上·四川成都·八年级校考期中）的平方根是 ；的立方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
根据平方根，算术平方根及立方根的定义即可求得答案．
【详解】解：，其平方根是；
的立方根是；
故答案为：；．
2．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）的算术平方根是 ， ，的平方根是 .
【答案】 3
【分析】本题考查了算术平方根、立方根和平方根的应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
依据算术平方根，平方根和立方根的定义解答即可．
【详解】，
的算术平方根是3
，
的平方根是
故答案为：3，，．
【考点三 利用算术平方根的非负性解题】
例题：（2023上·四川达州·八年级校考期末）若为实数，且满足，则的值是 ；
【答案】1
【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，据此求出，再代值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
【变式训练】
1．（2023下·七年级课时练习）已知，则的算术平方根是 .
【答案】2
【解析】略
2．（2023上·河南周口·八年级统考期中）若实数x，y满足，则的立方根是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了立方根以及绝对值和偶次方的性质，直接利用偶次方以及绝对值的性质得出x，y的值，进而利用立方根的定义计算得出答案．
【详解】解：∵，
，
解得：，
故，
∴的立方根为：．
故答案为：．
【考点四 求代数式的平方根】
例题：（2023下·福建莆田·七年级校考期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于、的方程组求得、的值，然后估算出的大小，可求得的值，接下来，求得的值，最后求它的平方根即可．
【详解】解：由题意得：，
，．
，
．
．
．
的平方根是．
【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·四川宜宾·八年级统考期中）（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值；
（2）若，求的平方根．
【答案】（1）， （2）
【分析】本题考查了平方根的应用：
（1）根据平方根的定义可得，求得的值，进而求得和x；
（2）根据被开方数为非负数，可得，求得的值，代入求得的平方根即可．
【详解】解：（1），
解得，
则，
；
（2），
，
，
则的平方根是．
2．（2023下·全国·七年级专题练习）已知的平方根是，的算术平方根是4．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)a＝5，b＝4；
(2)．
【分析】（1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可；
（2）根据平方根定义，求解即可．
【详解】（1）解：∵的平方根是，的算术平方根是4．
∴，，解得a＝5，b＝4．
（2）解：当a＝5，b＝4时，ab+5＝25 ，而25的平方根为，
即ab+5的平方根是．
【点睛】此题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根，算术平方根的定义．
【考点五 求算术平方根的整数部分与小数部分】
例题：（2023下·全国·七年级专题练习）的整数部分是 ．小数部分是 ．
【答案】 3
【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为；
故答案为3，．
【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·浙江湖州·七年级统考期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求图甲中阴影正方形的面积和边长；
（2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）．
解：（1）甲：面积______；边长______．
（2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______．
【答案】（1）10；；（2）；2；
【分析】本题考查了作图，无理数等知识．
（1）根据用整体正方形的面积减去周围四个三角形的面积即可；
（2）令正方形的边长为即可，再根据算术平方根的估算即可求解．
【详解】解：（1）面积为，
边长为：；
故答案为：10；；
（2）正方形如图所示，
面积为，
边长为：；
，
该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为．
故答案为：；2；
【考点六 与算术平方根有关的规律探索题】
例题：（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题：
a … 1 100 10000 …
… x 1 y 100 …
(1)表格中_______，________；
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面问题：已知，则________；
(3)试比较与a的大小．（提示：在的前提下分三种况讨论）
【答案】(1)，10
(2)
(3)当时，；当时，；当时，
【分析】本题主要考查了算术平方根，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
（1）根据算术平方根的性质，即可求解；
（2）根据题意可得当扩大100倍时，扩大10倍，由，即可求解；
（3）分三种情况：当时，当时，当时，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，，
故答案为：，10；
（2）根据题意得：当扩大100倍时，扩大10倍，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）当时，，此时；
当时，根据与数位规律得：；
当时，根据与数位规律得：；
综上所述，当时，；当时，；当时，．
【变式训练】
1．（2023上·安徽宿州·八年级校考阶段练习）归纳与探究：
(1)计算：___________，，_________，_____________________，…；
(2)猜想：对于任意实数一定等于吗？利用（1）中的计算，你发现的值等于多少呢？
(3)应用：有理数在数轴上所对应的点如图所示，是4平方根．计算：
【答案】(1)2，，3，，0
(2)对于任意实数a，不一定等于a；
(3)2
【分析】（1）分别计算各式的值即可；
（2）根据（1）中各式运算结果，归纳出探究结果即可；
（3）先利用（2）式的探究结果化简各式，再根据字母a、b、c在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简， 合并后即可得出结果．
【详解】（1）解：，，，，．
故答案为：2，，3，，0；
（2）解：由（1）各式计算结果可以发现：对于任意实数a，有．
故对于任意实数a，不一定等于a；
（3）解：由数轴，得，
∴，
∴原式
∵是4的平方根，且为正数，
∴，
∴原式．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的计算以及规律的探究，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力．
2．（2023上·河南郑州·八年级郑州中学校考阶段练习）（1）观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律：
a 0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 x 1 y 100
填空： ， ．
（2）根据你发现的规律填空：
①己知，则 ， ；
②，记的整数部分为x，则 ．
【答案】（1）（2）①②
【分析】（1）被开方数小数点每移两位，算术平方根小数点移一位；
（2）①②利用（1）中所得结论即可求解．
【详解】解：（1）观察表格可知，被开方数小数点每移两位，算术平方根小数点移一位，
故
故答案为：
（2）①根据（1）中所得结论可知：，
②同理可得：
故答案为：①②
【点睛】本题考查了算术平方根的性质．掌握相关结论即可．
【考点七 利用平方根、立方根的定义解方程】
例题：（2023上·宁夏银川·八年级银川一中校联考期中）解方程
(1) (2)
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了平方根和立方根性质，直接开平方法解方程，利用平方根和立方根性质求方程即可．
（1）利用平方根性质求方程即可；
（2）利用立方根性质求方程即可．
【详解】（1）解：
，
，
，；
（2）
，
．
【变式训练】
1．（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）求下列各式中的的值：
(1)； (2)．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了利用平方根解方程，立方根．熟练掌握利用平方根解方程，立方根是解题的关键．
（1）利用平方根解方程即可；
（2）移项后求立方根即可．
【详解】（1）解：，
，
解得，，；
（2）解：，
，
解得，．
2．（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）解方程：
(1)． (2)．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程：
（1）原式变形得，利用平方根解方程；
（2）原式变形得，利用立方根解方程．
【详解】（1）解：，
，
，
解得，；
（2）解：，
，
，
解得．
【考点八 算术平方根和立方根的综合应用】
例题：（2023上·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）已知的立方根是的算术平方根为．
(1)分别求的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)或
【分析】本题考查立方根，算术平方根，平方根．熟练掌握相关概念，是解题的关键．
（1）根据立方根，平方根和算术平方根的定义进行求解即可；
（2）先求出3a b+c的值，再计算平方根即可．
【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根为，
∴，，
解得：，，
∵，
∴；
（2）当时，
∴，
∴的平方根是．
当时，
∴，
∴的平方根是．
综上所述，的平方根是或．
【变式训练】
1．（2023下·广东珠海·七年级珠海市文园中学校考期中）已知的算术平方根是2，的立方根是，的平方根是．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根和立方根．
【答案】(1)a，b，c的值分别为3，2，4
(2)平方根是，立方根为
【分析】（1）根据平方根和立方根的概念分别计算出a、b、c即可；
（2）利用（1）的结论结合平方根和立方根的性质求值即可．
【详解】（1）解：∵的算术平方根是2，
∴，
∴；
∵的立方根是，
∴，
∴；
∵的平方根是，
∴，
∴；
即a，b，c的值分别为3，2，4；
（2）解：由（1）得，，
∴的平方根是，立方根为．
【点睛】本题主要考查平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的知识是解题的关键．
2．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）已知，表示的算术平方根，，表示的立方根．
(1)求m、n的值；
(2)求M和N的值；
(3)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
(3)4
【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义，即可得出m和n的值；
（2）将m和n的值代入M和N即可求解；
（3）将（2）中得出的M和N的值相加即可．
【详解】（1）解：∵表示的算术平方根，
∴，
解得：，
∵表示的立方根，
∴，
把代入得：，
解得：，
综上：，；
（2）解：∵，，
∴，，
综上：；
（3）解：∵，
∴．
【点睛】本题考查了平方根和立方根，明确平方根和立方根的意义，熟练运用相关知识求解是解题关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023上·山东淄博·七年级淄博市淄川实验中学校考阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．的平方根是 B．是81的一个平方根
C．的算术平方根是 D．的立方根是
【答案】C
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，根据平方根、算术平方根、立方根，即可解答．解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根、立方根的定义．
【详解】A、的平方根是，选项A正确；
B、是81的一个平方根，选项B正确；
C、的算术平方根是，选项C不正确；
D、的立方根是，选项D正确；
故选C．
2．（2023下·宁夏银川·八年级校考期末）下列各式中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了算术平方根及立方根．根据算术平方根及立方根进行求解即可．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D．
3．（2023上·陕西西安·七年级统考期末）已知，满足，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了非负数的性质，利用非负数的性质可得，，解方程即可求得，的值，进而得出答案，熟知几个非负数的和为，那么每个非负数都为是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
则，
故选：．
4．（2023上·广东揭阳·八年级校考期中）下列计算或命题：①都是27的立方根；②；③的算术平方根是2；④；⑤，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据立方根、算术平方根的定义与性质逐一判断即可．
【详解】解：①3是27的立方根，故命题错误；
②，故命题错误；
③，4的算术平方根是2，故命题正确；
④，故命题正确；
⑤，故命题错误，
则正确的个数有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了立方根、算术平方根，熟练掌握立方根、算术平方根的定义与性质是解题的关键．
5．（2023上·河北保定·八年级定兴二中校考期中）若，，则的值为（ ）
A．2或 B．或1 C．6或0 D．2或
【答案】C
【分析】本题主要考查了代数式求值，立方根和平方根定义，根据算术平方根定义和立方根定义求出或，，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
当，时，，
当，时，，
综上分析可知，的值为6或0．
故选：C．
二、填空题
6．（2023上·山东青岛·八年级青岛三十九中校考期中）的立方根是 ，25的算术平方根是 ，的平方根是 ．
【答案】 5
【分析】本题考查了立方根、算术平方根和平方根等知识，利用立方根、算术平方根和平方根的定义求解即可．
【详解】解：的立方根是，
25的算术平方根是5，
∵，3的平方根是，
∴的平方根是．
故答案为：，5，．
7．（2023下·黑龙江佳木斯·七年级校考期中）已知，则的立方根为 ．
【答案】2
【分析】根据算术平方根的非负性得到x的值，以及y的值，再根据立方根定义求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵8的立方根为2，
∴的立方根为2
故答案为2．
【点睛】此题考查了算术平方根的非负性，立方根的定义，熟练掌握理解算术平方根的非负性是解题的关键．
8．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）已知与互为相反数，是的立方根，的平方根为 ．
【答案】
【分析】由与互为相反数，可得，由是的立方根，可得，代入即可求出的平方根；
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，即：
∵是的立方根，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查立方根的定义及性质，平方根的定义，熟练掌握方根的定义及性质是解决本题的关键．
9．（2023下·全国·八年级专题练习）已知、、…则第四个式子为 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根的规律探索问题，根据题意找到规律即可完成．
【详解】根据前三个式子的规律可得第四个式子为：．
故答案为：．
10．（2023上·湖北武汉·七年级校联考阶段练习）若、都是有理数，定义“”如下：，例如．现己知，则的值为 ．
【答案】5
【分析】此题考查了解一元一次方程和平方根解方程．根据题中的新定义分两种情况化简已知等式，求出x的值即可．
【详解】解：当时，则，解得，不符合题意；
当时，则，解得，（舍去），
综上，x的值为5．
故答案为：5．
三、解答题
11．（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）求下列各式中x的值：
(1)
(2)
【答案】(1)或；
(2)
【分析】本题考查了平方根与立方根的应用；
（1）根据平方根的定义解方程，即可求解；
（2）根据立方根的定义解方程，即可求解．
【详解】（1）解：
∴
∴，
解得：或；
（2）解：
∴
∴
解得：
12．（2023上·江苏宿迁·八年级南师附中宿迁分校校考期中）（1）已知正数的平方根分别是和2，的立方根是2，求a、b的值．
（2）已知一个正数x的两个平方根分别是和，求x的值．
【答案】（1），；（2）
【分析】本题主要考查了立方根和平方根，解题的关键在于熟知对于实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根．
（1）根据平方根的定义得到，根据立方根的定义得到，解方程即可得到答案；
（2）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，由此求出，进而求出，则．
【详解】解：（1）∵正数的平方根分别是和2，
∴，
∴；
∵的立方根是2，
∴，
∴；
（2）∵一个正数x的两个平方根分别是和，
∴，
∴，
∴，
∴．
13．（2023下·全国·七年级专题练习）已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根．
【答案】±5
【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解．
【详解】解：∵＝3，
∴2a﹣1＝9，
解得：a＝5，
∵3a﹣b+1的平方根是±4，
∴15﹣b+1＝16，
解得：b＝0，
∵，
∴10＜＜11，
∴c＝10，
∴a+b+2c＝5+0+2×10＝25，
∴a+b+2c的平方根为＝±5．
【点睛】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键．
14．（2023上·广东深圳·八年级统考期中）已知的一个平方根是，的立方根是3；
(1)求的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查平方根，算术平方根和立方根．
（1）根据平方根和立方根的定义，求出的值即可；
（2）将的值代入，化简后，再求算术平方根即可．
熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴，
解得：；
（2）∵，
∴，
∴的算术平方根为．
15．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知一个正数的两个平方根分别是和．
(1)求的值；
(2)若为的算术平方根，为的立方根，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平方根的定义、立方根的定义、算术平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，求出，即可得出答案；
（2）根据算术平方根和立方根的定义计算出，，再代入进行计算即可．
【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：为的算术平方根，为的立方根，
∴，，
∴．
16．（2023下·广东广州·七年级广州市南武中学校考期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．例如：
，，．
(1)仿照以上方法计算：_________；_________．
如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．
(2)对290连续求根整数，多少次之后结果为1？
【答案】(1)5，7
(2)4次之后结果为1．
【分析】（1）先计算和估算的大小，再由新定义可得结果；
（2）根据定义对290进行连续求根整数，可得4次之后结果为1．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，，
故答案为：5，7；
（2）解：第一次：，
第二次：，
第三次：，
第四次：，
答：对290连续求根整数，4次之后结果为1．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的算术平方根的计算能力．
17．（2023上·江苏·八年级专题练习）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
(1)，，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．
(2)已知，，则_____；______．
【答案】(1)两；右；一
(2)；
【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律型题目，观察题目，总结规律是解题的关键．
（1）从数字找规律，即可解答；
（2）利用（1）的规律进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：，，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．
故答案为：两；右；一；
（2）已知，，则；；
故答案为：12.25；0.3873．
18．（2023下·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）观察表格，回答问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y z …
(1)表格中 ， ； ；
(2)从表格中探究a与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，则 ；
②已知，若，用含m的代数式表示b，则b＝ ；
(3)试比较与a的大小．
当 时，；当 时，；当 时，．
【答案】(1)0.1；10；100
(2)①31.6；②
(3)；或0；
【分析】（1）由表格得出规律，求出x，y和z的值即可；
（2）根据得出的规律确定出所求即可；
（3）根据表格中的数据，分类讨论a的范围，比较大小即可．
【详解】（1），，．
故答案为：0.1；10，100；
（2）①∵，
∴．
②∵结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍，
∴．
故答案为：31.6；；
（3）由表格中数据可知：
当时，；
当或0时，；
当时，，
故答案为：；或0；．
【点睛】此题考查了算术平方根的规律问题，弄清题中的规律是解本题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
