中小学教育资源及组卷应用平台
专题6.3 解题技巧专题：与实数有关的问题之六大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 对无理数的概念理解不透彻致错】 1
【考点二 对实数的分类不清楚致错】 3
【考点三 易混淆a与的平方根】 6
【考点四 利用平方根、立方根解方程开平方、开立方致错】 8
【考点五 无理数整数部分的有关计算问题】 11
【考点六 与实数运算相关的规律题】 14
【典型例题】
【考点一 对无理数的概念理解不透彻致错】
例题：（2024上·四川成都·八年级校考期末）在数，，，，，中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练】
1．（2023上·甘肃酒泉·八年级校考期末）下列实数，，，，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023上·湖南衡阳·八年级衡阳市外国语学校校联考期末）有下列各数：(相邻两个之间的个数逐次增加)，其中无理数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．（2024上·河北石家庄·八年级校考期中）实数，0，，，，，（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）在，，，，，，…（每两个之间依次多一个）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点二 对实数的分类不清楚致错】
例题：（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）把下列各数分别填入所属的集合中：
①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨
有理数：{_____________________________}；
无理数：{_____________________________}；
正实数：{_____________________________}；
负实数：{_____________________________}．
【变式训练】
1．（2023上·河南郑州·八年级统考期中）把下列各数的序号写入相应的集合中：
①，②，③，④，⑤，⑥（相邻两个之间的个数逐次加）．
(1)负数集合{ …}；
(2)有理数集合{ …}；
(3)无理数集合{ …}．
2．（2023上·浙江湖州·七年级校联考期中）把下列各数对应的序号填在相应的括号里.
①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（每两个“2”之间依次多一个“0” ）.
(1)正整数：（ ）
(2)负分数：（ ）
(3)无理数：（ ）
3．（2023上·浙江杭州·七年级统考期中）把下列各数写入相应的集合中：，，，，，，，．
正分数集合{ …}；
整数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
4．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）从下列各数中，选择合适的数填空．
．
(1)无理数有_________．
(2)如图，被阴影覆盖的数有_________．
(3)平方根等于本身的数有_________．
(4)将一个长，宽，高分别为3米，2米，2米的长方体铁块熔化，制成两个一样的正方体铁块，则该正方体铁块的棱长为_________米．
【考点三 易混淆a与的平方根】
例题：（2023下·山东菏泽·八年级校考阶段练习）的算术平方根是 ；36的平方根是 ．
【变式训练】
1．（2023上·广东揭阳·八年级校考阶段练习）的平方根是 ；的算术平方根是 ．
2．（2023上·浙江金华·七年级校考期中）16的平方根是 ； 的平方根是 ．
3．（2022上·河南驻马店·八年级校考期中）25的算术平方根是 ，的平方根是 ，的平方根是 ．
4．（2023上·山东枣庄·八年级校考阶段练习）144平方根是 ，的算术平方根是 ，的平方根是 ， .
【考点四 利用平方根、立方根解方程开平方、开立方致错】
例题：（2024上·陕西汉中·八年级统考期末）解方程：．
【变式训练】
1．（2023上·上海徐汇·八年级校考期中）解方程：．
2．（2023上·江苏连云港·八年级统考阶段练习）求出下列各式中x的值
(1)；
(2)．
3．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）解方程
(1)
(2)
4．（2023上·河南南阳·八年级校联考阶段练习）求下列各式中的x．
(1)
(2)
【考点五 无理数整数部分的有关计算问题】
例题：（2023上·江苏·八年级专题练习）若的整数部分是，小数部分是，则 ．
【变式训练】
1．（2024上·河北石家庄·八年级校考期中）如果的小数部分为a，的整数部分为b，则的值为 ．
2．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期末）已知的整数部分为m，的小数部分为n，求的值
3．（2023上·安徽宿州·八年级统考期中）已知的立方根是2，b是的整数部分，是9的平方根，则的算术平方根是 ．
4．（2024上·河北秦皇岛·八年级统考期末）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．
又例如：，即，的整数部分是2，小数部分为．
(1)的整数部分是_________，小数部分是_________；
(2)若m，n分别是的整数部分和小数部分，求的值．
5．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）阅读下面的文字，解答问题．
例如：，即，
的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是_________；小数部分是_________．
(2)已知：的整数部分是m，的小数部分是n．
①求m、n的值；
②若，请求出满足条件的x的值．
【考点六 与实数运算相关的规律题】
例题：（2023上·江苏·八年级专题练习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a、b为有理数，x为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题：
(1)如果，其中a、b为有理数，那么 ， ；
(2)如果，其中a、b为有理数，求的平方根．
【变式训练】
1．（2024下·全国·七年级假期作业）观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题：
，
，
,
，
…
(1)计算：；
(2)试比较与的大小．
2．（2023上·山东济南·七年级校联考阶段练习）观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1) ．
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式 ．
(3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．
3．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期中）观察下列各式：
第一个式子：；
第二个式子：；
第三个式子：；
…
(1)求第四个式子为： ；
(2)求第n个式子为： （用n表示）；
(3)求＋…＋的值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题6.3 解题技巧专题：与实数有关的问题之六大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 对无理数的概念理解不透彻致错】 1
【考点二 对实数的分类不清楚致错】 3
【考点三 易混淆a与的平方根】 6
【考点四 利用平方根、立方根解方程开平方、开立方致错】 8
【考点五 无理数整数部分的有关计算问题】 11
【考点六 与实数运算相关的规律题】 14
【典型例题】
【考点一 对无理数的概念理解不透彻致错】
例题：（2024上·四川成都·八年级校考期末）在数，，，，，中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】此题主要考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根，根据无理数的定义，即可求解．
【详解】解：，
所以无理数有：，共2个．
故选：B．
【变式训练】
1．（2023上·甘肃酒泉·八年级校考期末）下列实数，，，，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的定义、算术平方根、立方根等知识点，对含根号的数进行化简是解题的关键．
根据无理数的定义、算术平方根、立方根这个判断即可．
【详解】解：是无理数；是有理数；是有理数；是有理数；是有理数；是无理数；总共有2个无理数．
故选B．
2．（2023上·湖南衡阳·八年级衡阳市外国语学校校联考期末）有下列各数：(相邻两个之间的个数逐次增加)，其中无理数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】根据无理数的定义判断即可．本题考查了无理数即无限不循环小数，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】∵，是无理数，3个
故选A．
3．（2024上·河北石家庄·八年级校考期中）实数，0，，，，，（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．掌握根据无理数的三种形式（①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数）是解题的关键．
先根据无理数的概念逐个判定,然后再统计无理数的各数即可个数即可．
【详解】解：是无理数，0是有理数，是无理数，是无理数，是有理数，是有理数，（相邻两个1之间依次多一个0）是无理数，无理数共有4个．
故选C．
4．（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）在，，，，，，…（每两个之间依次多一个）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．由题意直接根据无理数的定义，进行分析即可得出答案．
【详解】解：实数，，，，，，…（每两个之间依次多一个）中，无理数有、、…（每两个之间依次多一个），共计个，
故选：C．
【考点二 对实数的分类不清楚致错】
例题：（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）把下列各数分别填入所属的集合中：
①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨
有理数：{_____________________________}；
无理数：{_____________________________}；
正实数：{_____________________________}；
负实数：{_____________________________}．
【答案】答案见解析
【分析】本题考查实数的分类，求解算术平方根，立方根，化简绝对值，掌握实数的分类是解本题的关键．
【详解】解：∵，，，
有理数：{；；0；；；；}；
无理数：{；；，}；
正实数：{； ；；，}；
负实数：{；；}．
【变式训练】
1．（2023上·河南郑州·八年级统考期中）把下列各数的序号写入相应的集合中：
①，②，③，④，⑤，⑥（相邻两个之间的个数逐次加）．
(1)负数集合{ …}；
(2)有理数集合{ …}；
(3)无理数集合{ …}．
【答案】(1)①④⑥
(2)①③④⑤
(3)②⑥
【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握有理数、无理数、负实数的概念是解此题的关键．
（1）根据负实数的概念即可得到答案；
（2）根据有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即可得到答案；
（3）根据无理数的概念，无理数就是无限不循环小数，即可得到答案．
【详解】（1）解：负数集合{ ① ④ ⑥ …}；
（2）有理数集合{ ① ③ ④ ⑤ …}；
（3）无理数集合{ ② ⑥ …}．
2．（2023上·浙江湖州·七年级校联考期中）把下列各数对应的序号填在相应的括号里.
①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（每两个“2”之间依次多一个“0” ）.
(1)正整数：（ ）
(2)负分数：（ ）
(3)无理数：（ ）
【答案】(1)⑦
(2)③，⑤
(3)②，④，⑧
【分析】本题主要考查实数的分类，掌握无理数，负分数和整数的概念是解题的关键．
（1）根据正整数概念即可求解；
（2）根据负分数概念即可求解；
（3）根据无理数的概念即可求解．
【详解】（1）解：，
正整数：（⑦）；
（2）负分数：（ ③，⑤）；
（3）无理数：（②，④，⑧）．
3．（2023上·浙江杭州·七年级统考期中）把下列各数写入相应的集合中：，，，，，，，．
正分数集合{ …}；
整数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
【答案】，；，，；，
【分析】此题考查了实数的分类，求个一数的立方根，算术平方根；根据实数的分类，按要求填空，即可求解．
【详解】解：；；
正分数集合{，，…}；
整数集合{，，，…}；
无理数集合{，，…}．
故答案为：，；，，；，．
4．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）从下列各数中，选择合适的数填空．
．
(1)无理数有_________．
(2)如图，被阴影覆盖的数有_________．
(3)平方根等于本身的数有_________．
(4)将一个长，宽，高分别为3米，2米，2米的长方体铁块熔化，制成两个一样的正方体铁块，则该正方体铁块的棱长为_________米．
【答案】(1)，，；
(2)，；
(3)0；
(4)．
【分析】本题考查了实数的分类，实数与数轴，立方根的意义．
（1）根据实数的分类解答即可；
（2）根据无理数的估算解答即可；
（3）根据立方根的意义解答即可．
【详解】（1）是有理数；
是无理数．
故答案为：；
（2）∵，，
∴，，
∴被阴影覆盖的数有，．
故答案为：，；
（3）∵，
∴平方根等于本身的数有0．
故答案为：0；
（4）．
故答案为：．
【考点三 易混淆a与的平方根】
例题：（2023下·山东菏泽·八年级校考阶段练习）的算术平方根是 ；36的平方根是 ．
【答案】
【分析】根据平方根与算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：，其算术平方根是，
36的平方根是±6
故答案为：；±6．
【点睛】本题考查了平方根及算术平方根的知识，注意第一个要先算，避免误以为是求25的算术平方根．
【变式训练】
1．（2023上·广东揭阳·八年级校考阶段练习）的平方根是 ；的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】根据求一个数的平方根，算术平方根的计算即可求解．
【详解】解：的平方根是，
∵，
∴的算术平方根是，
故答案是：，．
【点睛】本题主要考查平方根，算术平方根的计算，掌握求一个数的平方根，算术平方根的方法是解题的关键．
2．（2023上·浙江金华·七年级校考期中）16的平方根是 ； 的平方根是 ．
【答案】 ±4 ±2
【分析】根据平方根的定义进行解答即可．
【详解】∵，
∴16的平方根是±4，
∵=4，，
∴ 的平方根是±2，
故答案为：±4，±2．
【点睛】题考查求一个数的算术平方根．熟练掌握平方根的意义是解题关键．注意=4，求的平方根实际上就是求4的平方根．
3．（2022上·河南驻马店·八年级校考期中）25的算术平方根是 ，的平方根是 ，的平方根是 ．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义以及平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：，
的算术平方根为：；
，
的平方根是；
,
的平方根是．
故答案为：；；．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义与平方根的定义，理解定义是解题的关键．
4．（2023上·山东枣庄·八年级校考阶段练习）144平方根是 ，的算术平方根是 ，的平方根是 ， .
【答案】 7 /
【分析】根据平方根和算术平方根的定义及绝对值的性质求解即可．
【详解】解：144平方根是，
的算术平方根是7，
的平方根是，
，
故答案为：，，．
【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义及绝对值的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的定义及绝对值的性质是解题的关键．
【考点四 利用平方根、立方根解方程开平方、开立方致错】
例题：（2024上·陕西汉中·八年级统考期末）解方程：．
【答案】或．
【分析】本题考查了平方根解方程，利用平方根的性质得到，即可求解．
【详解】解：
，
，
或．
【变式训练】
1．（2023上·上海徐汇·八年级校考期中）解方程：．
【答案】
【分析】本题考查了根据平方根解方程，先将方程整理为，再根据平方根的定义将两边开方，即可解答．
【详解】解：，
或，
解得：．
2．（2023上·江苏连云港·八年级统考阶段练习）求出下列各式中x的值
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平方根与立方根的应用；
（1）根据平方根的定义解方程，即可求解；
（2）根据立方根的定义解方程，即可求解．
【详解】（1）解：
∴
解得：
（2）解：
∴，
∴
解得：
3．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）解方程
(1)
(2)
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本题考查利用平方根，立方根概念解方程，解题的关键是掌握平方根，立方根的概念．
（1）将方程变形，再用平方根概念即可解得x的值；
（2）将方程变形，再用立方根概念即可解得x的值．
【详解】（1）解：：，
两边同除以9得：，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得：．
4．（2023上·河南南阳·八年级校联考阶段练习）求下列各式中的x．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据立方根的定义求解即可；
（2）根据平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴；
（2）解：，
移项得，，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是通过方程的特殊结构选择解方程的方法求解．
【考点五 无理数整数部分的有关计算问题】
例题：（2023上·江苏·八年级专题练习）若的整数部分是，小数部分是，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是估算无理数的大小，先估算出的取值，进而可得出、的值，代入进行计算即可．
【详解】解：，
，
，
的整数部分是5，小数部分是，
∴,
．
故答案为：．
【变式训练】
1．（2024上·河北石家庄·八年级校考期中）如果的小数部分为a，的整数部分为b，则的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查无理数估算、代数式求值、无理数的运算等知识点，掌握无理数的估算方法是解题的关键．
先根据无理数的估算确定a、b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：3．
2．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期末）已知的整数部分为m，的小数部分为n，求的值
【答案】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算出的大小，从而可确定出m的值，然后可表示出n的值，代入计算可得结果．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴
故答案为：．
3．（2023上·安徽宿州·八年级统考期中）已知的立方根是2，b是的整数部分，是9的平方根，则的算术平方根是 ．
【答案】3或
【分析】本题考查了无理数的估算，平方根和立方根，分类讨论的思想，根据立方根的定义求出a，估算无理数的大小得到b的值，根据平方根的定义得到c的值，代入代数式求值再求算术平方根即可．掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键，不要漏解．
【详解】解：∵a的立方根是2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵c是9的平方根，
∴，
当时，，算术平方根为3；
当时，，算术平方根为；
综上分析可知，的算术平方根为3或．
故答案为：3或．
4．（2024上·河北秦皇岛·八年级统考期末）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．
又例如：，即，的整数部分是2，小数部分为．
(1)的整数部分是_________，小数部分是_________；
(2)若m，n分别是的整数部分和小数部分，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确计算的前提，
（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可；
（2）估算无理数的大小，确定、的值，再代入计算即可．
【详解】（1）解： ，即，
的整数部分为4，小数部分为，
故答案为：4，；
（2）∵，即，
∴，
∴的整数部分为3，小数部分为，即，
∴．
5．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）阅读下面的文字，解答问题．
例如：，即，
的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是_________；小数部分是_________．
(2)已知：的整数部分是m，的小数部分是n．
①求m、n的值；
②若，请求出满足条件的x的值．
【答案】(1)3；
(2)①；；②或
【分析】本题考查与无理数有关的整数部分的计算．
（1）根据题干给定的方法，进行求解即可；
（2）①根据题干给定方法求出的范围，进而求出的整数部分和小数部分，即可；②利用平方根解方程即可．
掌握“夹逼法”，确定无理数的范围，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是3，小数部分是；
故答案为：3，；
（2）①，
，
的整数部分为4，
的小数部分；
②
，
解得：或．
【考点六 与实数运算相关的规律题】
例题：（2023上·江苏·八年级专题练习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a、b为有理数，x为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题：
(1)如果，其中a、b为有理数，那么 ， ；
(2)如果，其中a、b为有理数，求的平方根．
【答案】(1)2，6
(2)
【分析】本题主要考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键．
（1）利用材料中的规定列出a，b的方程，解方程即可得出结论；
（2）利用材料中的规定列出a，b的方程，解方程求得a，b的值，再利用平方根的意义解答即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴．
故答案为：2；6；
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
∵16的平方根为，
∴的平方根为．
【变式训练】
1．（2024下·全国·七年级假期作业）观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题：
，
，
,
，
…
(1)计算：；
(2)试比较与的大小．
【答案】(1)2022
(2)
【详解】解：（1）原式
．
（2），
，
．
又,
，
，
．
2．（2023上·山东济南·七年级校联考阶段练习）观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1) ．
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式 ．
(3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导规律计算求解是解题的关键．
（1）根据，计算求解即可；
（2）由题意知，；
（3）根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
故答案为：；
（2）解：由题意知，，
故答案为：；
（3）解：由题意知，．
3．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期中）观察下列各式：
第一个式子：；
第二个式子：；
第三个式子：；
…
(1)求第四个式子为： ；
(2)求第n个式子为： （用n表示）；
(3)求＋…＋的值．
【答案】(1)
(2)（n为正整数）
(3)
【分析】本题考查二次根式的性质与化简及数字变化的规律，解题的关键是：
（1）观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题．
（2）利用（1）中的发现即可解决问题．
（3）根据（2）中的结论即可解决问题．
【详解】（1）解：观察题中所给式子可知，
第四个式子为：．
故答案为：．
（2）由（1）中的发现可知，
第个式子为：．
故答案为：为正整数）．
（3）原式
．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
