课件16张PPT。 第十五章 整式平方差公式14.2.1教学目标 熟记平方差公式，能说出平方差公式的结构特征，会用平方差公式进行运算.?探索引入1. 如图，边长为20厘米的大正方形中有一个边长为8厘米的小正方形，请表示出图中阴影部分面积： 图（1）的面积为： 图（2）的面积为：
即： 图（1） 图（2）再举几个数试试.如果是一个数和一个字母，或两个都是字母呢？它们的情况又如何？ 2. 计算下列各题： (1) (x+2)(x-2) (2) (1+3a)(1-3a) (3) (x+5y)(x-5y) (4) (y+3z)(y-3z) 3、观察以上等式的左边与右边，你发现了什么规律？能不能大胆猜测得出一个一般性的结论？规律：1）左边是两个数的和乘以这两个数的差；2）右边是这两个数的平方的差．解：原式解：原式解：原式解：原式(x + 2)(x – 2) = x2 - 4(1 + 3a)(1 – 3a) = 1 – 9a2(x + 5y)(x – 5y) = x2 - 25y2(y + 3z)(y – 3z) = y2 - 9z2 平方差公式 对于大家提出的猜想，我们一起来进行证明．证明：(a+b)(a-b) 我们经历了由发现——猜测——证明的过程，最后得出一个公式性的结论，我们将这个公式叫做平方差公式.两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.（多项式乘法法则）（合并同类项）注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等等．初 识 平 方 差 公 式(a+b)(a?b)=a2?b2 (1) 公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘； 且左边两括号内有一项相同、 另一项符号相反[互为相反数(式)];(2) 公式右边是这两个数的平方差； 即右边是左边括号内的相同项的平方
减去互为相反数项的平方. (3) 公式中的 a和b 可以代表数、字母、单项式以及多项式． 练 习(1) (a+b)(?a?b) ；
(2) (a?b)(b?a) ;
(3) (a+2b)(2b+a);
(4) (2a?b)(2a+b) ;
(5) (?2x+y)(y?2x). (不能) 下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? (第一个数不完全一样 ) (不能) (不能) (能) (不能) 公式的应用 例1、用平方差公式计算下列各题（1） （2） (1) (5+6x)(5-6x)(2) (x-2y)(x+2y)分析：要利用平方差公式解题，必须找到是哪两个数的和与这两个数的差的积结果为这两个数的平方差.解：原式解：原式 例2、用平方差公式计算下列各题(-m+n)(-m-n)(1) (-m+n)(-m-n)解：原式(2) (-2x-5y)(5y-2x)解：原式 前面两个例题可以直接套用平方差公式，可是不要“得意忘形”，现在让我们来看看下面一个例题. 例3、下列计算对不对？如果不对，怎样改正？
2)错1) 分析：最后结果应是两项的平方差错 3) 分析：应先观察是哪两个数的和与这两个数的差错 分析：应将 当作一个整体，用括号括起来再平方 1.（1）（3m+2n)(3m-2n）
（2） (b+2a)(2a-b)
（3）（-4a-1)(4a-1)
(4) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(2x-3)
练 习(1)102×98
(2) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) a2 - b2 =(a+b)(a-b) 逆向思维训练：
11、 25-a2 = （5+a）( )
12、n2-m2 = （ ）（ ）
13、 4x2-9y2 =( ) ( )
纠 错 练 习(1) (1+2x)(1?2x)=1?2x2
(2) (2a2+b2)(2a2?b2)=2a4?b4
(3) (3m+2n)(3m?2n)=3m2?2n2本题对公式的直接运用，以加深对公式本质特征的理解． 指出下列计算中的错误： 第二数被平方时，未添括号。第一 数被平方时，未添括号。第一数与第二数被平方时，
都未添括号。今天我们学习了什么？
1、平方差公式是特殊的多项式乘法，要理解并掌握公式的结构特征.
??? 2) 右边是这两个数的平方差.1) 左边是两个数的和与这两个数的差的积.注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等等．应用平方差公式 时要注意一些什么？运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，
找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式； 欢迎指导课件23张PPT。完全平方公式=+++如何进行多项式乘多项式的运算? 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.1、多项式的乘法法则是什么？ 公式的结构特征:左边是a2 ? b2; 两个二项式的乘积,2.平方差公式应用平方差公式的注意事项:(a+b)(a?b)=即两数和与这两数差的积.右边是这两数的平方差. 使用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2 时，关键在于
找准_a__与_b__，也就是说要明确谁是第一数，谁是第二数。 仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后，才能使用平方差公式。 算一算,你能发现什么? (1)(3+x)2=x2-2×x×3y+(3y)2=(3+x)(3+x)=9+3x+3x+x2 =9+6x+x2 (2)(2x+3y)2=(2x+3y)(2x+3y)=4x2+12xy+9y2(3)(2a-5)2=(2a-5)(2a-5)=4a2-20a+252(4)(x-3y)2=(x-3y)(x-3y)=x2-6xy+9y2观察以上算式，你发现了什么规律？猜想：(a+b)2 =(a-b)2 =a2+2ab+b2 .？？ a2-2ab+b2 .=32+2×3x+x2=(2x)2+2×2x×3y+(3y)2=(2a)2-2×2a×5+52(a+b)2(a-b)2= a2 +2ab+b2= a2 - 2ab+b2= a2 +ab +ab +b2= a2 - ab - ab +b2=(a+b) (a+b)=(a-b) (a-b)验证方法一(a+b)2a2b2和的平方公式完全平方公式 的图形理解验
证
方
法
二(a-b)2b2差的平方公式完全平方公式 的图形理解完全平方公式的数学表达式：完全平方公式的文字叙述： 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。公式特点：4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和
多项式。(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b21、积为二次三项式；2、积中两项为两数的平方和；3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
间的符号相同。首平方，尾平方，积的2倍在中间 完全平方公式：(a＋b)2=a2＋2ab+b2(a－b)２=a2－2ab+b2(a+b)(a-b)=a2-b2(a＋b)2=a2＋2ab+b2(a－b)２=a2－2ab+b2平方差公式和完全平方公式统称为乘法公式它们有什么
区别？练习：下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？(x+y)2=x2 +y2(2)(x -y)2 =x2 -y2(3) (x -y)2 =x2+2xy +y2(4) (x+y)2 =x2 +xy +y2错错错错(x +y)2 =x2+2xy +y2(x -y)2 =x2 -2xy +y2(x -y)2 =x2 -2xy +y2(x +y)2 =x2+2xy +y2例1 运用完全平方公式计算：解： (x+2y)2==x2(1)(x+2y)2(a +b)2= a2 +2 ? a ? b + b2x2+2?x ?2y+(2y)2+4xy+4y2完全平方公式的使用与平方差
公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确哪个是 a , 哪个是 b.解：(2x-3y)2==4x2(2)(2x-3y)2(a - b)2 = a2 - 2 a ? b + b2(2x)2-2?2x ?3y+(3y)2-12xy+9y2(3) ( a2 + b3)2解：原式= ( b3 a2)2= b6 - 2 a2 b3+ a4(-a+b)2 =(b-a)2( )2 b3 =-2× b3 × a2+( a2)2（口诀：首项为负换位置）(4)(- x2y - )2解：原式= ( x2y + )2= x4y2 + x2y +(-a-b)2 =(a+b)2( x2y)2=+2× x2y×+(口诀：两项为负都变正)几点注意：1、项数：结果有三项；2、符号：特别是(a-b)2= a2 - 2ab+b2；3、字母：不要漏写；4、字母指数：当公式中的a、b所代表的
单项式字母指数不是1时，乘方时要记
住字母指数需乘2。练习p32.1，2，3例2. 运用完全平方公式计算：(1) 1042解： 1042= (100+4)2=10000+800+16=10816(2) 99.992解： 99.992= (100 –0.01)2=10000 -2+0.0001=9998.000119928.92
练习.利用完全平方公式计算： 完全平方公式口诀：首平方，尾平方，积的两倍在中间 我们把和的完全平方公式与差的完全平方公式统称为完全平方公式小结在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；利用乘法公式计算： (1) (x+3)(x-3)(x2-9)(2) (a+b+c)2拓展提高课件17张PPT。整式乘法及乘法公式
小结与复习 （x ＋ 3)( x＋５）=x2＋5x＋3X＋15=x2＋8x＋15 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn知识复习
1.多项式与多项式相乘的法则：4.完全平方公式：头平方，尾平方，积的2倍在中间。 3.平方差公式: (a+b)(a-b) = .2.二次三项式公式:（x+a)(x+b)= .x2+(a+b)x+aba2-b2知识复习
6、完全平方的变形公式：(-a-b)2 (a-b)2=(a+b)2=(b-a)2(-a+b)2=(b-a)2(a-b)2=(a + b +c ) 2
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.5、三个数和的完全平方公式例 运用乘法公式计算:
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ; (2) (a + b +c ) 2.解: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3)
= [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y-3) ]
= x2- (2y- 3)2
= x2- ( 4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.(a + b +c ) 2
= [ (a+b) +c ]2
= (a+b)2 +2 (a+b)c +c2
= a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.1.运用乘法公式计算:
(a + 2b – 1 ) 2 ;
(2x +y +z ) (2x – y – z )2.如图,一块直径为a+b的圆形钢板,从中挖去直径分别为a与b的两个圆,求剩下的钢板的面积.练习a2+4ab+4b2-2a-4b+1
4x2-y2-z2-2yz∏【0.5（a+b）】2- 【∏(0.5a）2+ ∏(0.5b）2】= 0.25∏【（a+b）2-(a2+b2)】=0.5 ∏ab1、有一长方形耕地，其中长为a，宽为b，现要在该耕地上种植两块防风带，如图所示的绿色部分，其中横向防风带为长方形，纵向防风带为平行四边形，则剩余耕地面积为（ ）
A、bc-ab+ac+c2
B、ab-bc-ac+c2
C、a2+ab+bc-ac
D、b2-bc+a2-ab
B拓展思维 更上一层2. =_______;
3.若 是一个完全平方公式,
则 _______;
4.若 是一个完全平方公式,
则 _______;1拓展思维 更上一层拓展思维 更上一层(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b25、 (3a+__ )2=9a2－ ___ +166、代数式2xy-x2-y2= ( )
A.(x-y)2 B.(-x-y)2
C.(y-x)2 D.-(x-y)2
D-412a7、x+y=4,则x2 + 2xy + y2的值是（ ）A、8 B、16 C、2 D、4B8、(a-b)2+M=a2 + 2ab + b2,则M为（ ）A、ab B、0 C、2ab D、4abD9、若使x2 -6x + m成为形如(x-a)2的完全平方形式，则m,a的值（ ）A、m=9,a=9 B、m=9,a=3
C、m=3,a=3 D、m=-3,a=-2B拓展思维 更上一层10、如果(x+a)(x+b)的积中不含x的一次项，那么a、b一定满足( )
A、互为倒数 B、互为相反数
C、a=b=0 D、ab=0B拓展思维 更上一层11、若
求
拓展思维 更上一层11、观察下列各式：
(x-1)(x+1)=x2-1
(x-1)(x2+x+1)=x3-1
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1
……
根据前面各式的规律可得到：
(x-1)(xn+xn-1+xn-2+……+x+1)=________Xn+1-1拓展思维 更上一层拓展思维 更上一层(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2小结１.这节课学习了那些知识？
２.你有什么收获或疑惑？作业布置 1、书面作业：
《学习之友》：P43第9题， P48第12题.
2、附加题： 《学习之友》：P43第12题谢谢 再见
