2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与直角三角形问题（41张PPT）

(共41张PPT)
微专题 二次函数与直角三角形问题
例1题图
微技能——分类讨论思想确定动点位置
一阶
例1 如图，已知抛物线交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.连接AC.
一题多设问
探究1：在抛物线对称轴上找一点P使得△ACP为直角三
角形．
例1题图①
(1)若AC为斜边时，∠APC＝90°；在图①中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)；
例1 　探究1：(1)满足条件的点P如解图①
例1题解图①
【作图依据】__________________________
直径所对圆周角等于90°.
例1题图②
(2)若AC为直角边时，∠CAP＝_____或∠ACP＝_____；在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)；
90°
90°
(2)满足条件的点P如解图②；
例1题解图②
例1题图③
探究2：在抛物线上找一点E使得△ACE为直角三角形．在图③中画出所有满足条件的点E的示意图(保留作图痕迹).
探究2: 满足条件的点E如解图③、④.
例1题解图③
例1题解图④
【方法总结】二次函数中直角三角形的存在性一般要分情况讨论：常以已知边为_____或________讨论；以自主探究1为例，已知边AC为斜边时，可以作以斜边AC为直径的圆，作图方法为：_______________，所找点即为___________的交点；若已知边AC为直角边时，作图方法为：_____________________________，所找点即为_____________的交点．
斜边
直角边
以AC为直径画圆
圆与对称轴
分别过点A，C作线段AC的垂线
垂线与对称轴
【思考】若动点在y轴上、x轴上时，确定动点位置有什么不同呢？
一题多设问
二阶
一题多设问
例2 如图，已知抛物线y＝ x2－ x－2与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC，对称轴为直线l，顶点为M.
例2题图①
(1)求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；
例2 解：(1)令y＝ x2－ x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝4，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(4，0)．
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ；
例2题图①
例2题图②
(2)若点G是x轴上一点，当△OCG为等腰直角三角形时，请直接写出点G的坐标；
【思维教练】由于点G在x轴上，可知∠COG＝90°，要让它为等腰直角三角形，则需要分为当点G在x正半轴和负半轴两种情况讨论．
【解法提示】由题意知，点C的坐标为(0，－2)．∴OC＝2.
∵点G在x轴上，
∴当△OCG为等腰直角三角形时，
分点G在x轴正半轴和负半轴两种情况讨论：
①当点G在x轴正半轴时，
∵OC＝OG，∴OG＝2.
∴点G的坐标为(2，0)；
②当点G在x轴负半轴时，
∵OC＝OG，∴OG＝2.
∴点G的坐标为(－2，0)．
综上所述，满足条件的点G的坐标为(2，0)或(－2，0)；
(2)点G的坐标为(2，0)或(－2，0)；
例2题图②
例2题解图
(3)抛物线对称轴上是否存在点Q，使得△OCQ是以OC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】△OCQ是以OC为直角边的直角三角形，所以需分点O为直角顶点和点C为直角顶点两种情况讨论，进而求解．
【解法提示】如解图，∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴设点Q的坐标为( ，q)，
∵△COQ是以CO为直角边的直角三角形，
∴当∠COQ＝90°时，点Q是对称轴与x轴的交点，
此时点Q的坐标为( ，0)；当∠OCQ＝90°时，CQ∥x轴，
∴点Q的坐标为( ，－2)．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为( ，0)或( ，－2)；
(3)存在，点Q的坐标为( ，0)或( ，－2)；
例2题解图
例2题图④
(4)若点N是对称轴上一点，是否存在点N使得△NBC是直角三角形，若存在，请直接写出点N的纵坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】点N是对称轴l上一点，当△NBC是直角三角形时，需分∠NCB，∠NBC，∠BNC为直角时三种情况进行讨论，进而求解．
【解法提示】设点N的坐标为( ，t)，
则CN2＝( )2＋(2＋t)2，BN2＝(4－ )2＋t2，BC2＝20，
当△NBC是直角三角形时，分以下三种情况：
①当∠NCB＝90°时，NC2＋BC2＝NB2，
即( )2＋(2＋t)2＋20＝(4－ )2＋t2，解得t＝－5；
②当∠NBC＝90°时，NB2＋BC2＝NC2，
即(4－ )2＋t2＋20＝( )2＋(2＋t)2，
解得t＝5；
③当∠BNC＝90°时，NB2＋NC2＝BC2，
即(4－ )2＋t2＋( )2＋(2＋t)2＝20，
解得t＝ 或 .
综上所述,当△NBC是直角三角形时,点N的纵坐标为－5或5或 或 ；
(4)存在．点N的纵坐标为－5或5或 或 ；
例2题图④
【拓展设问】点N是对称轴上一点，若△NBC是锐角三角形时，请直接写出点N的纵坐标n的取值范围．
【思考】若△NBC是钝角三角形时，点N的纵坐标n的取值范围是什么．
【拓展设问】由(4)知，当∠NCB＝90°时，t＝－5，当∠NBC＝90°时，t＝5，当∠BNC＝90°时，t＝ 或t＝ ，
结合图象可知，当△NBC是锐角三角形时，点N的纵坐标n的取值范围是－5＜n＜ 或 ＜n＜5；
【思考】同理可得当△NBC是钝角三角形时，点N的纵坐标n的取值范围是n＜－5或 ＜n＜ 或n＞5.
例2题图⑤
(5)点D是y轴上一点，其坐标为(0，4)．动点E是直线BD上一点，过点E作EF⊥BD，交y轴于点F，连接AF，BF，若△ABF是直角三角形，试求点E的坐标．
【思维教练】点F在y轴上，所以当△ABF是直角三角形时，∠FAB和∠FBA不可能是直角，所以只能是∠AFB为直角，
当∠AFB为直角时，注意要分点F在y轴的正、负半轴
两种情况讨论．
(5)∵点D在y轴上，且点D的坐标为(0，4)，点B的坐标为(4，0)，
∴直线BD的函数表达式为y＝－x＋4，
∵点E是直线y＝－x＋4上一点，
∴设点E的坐标为(m，－m＋4)，
∵EF⊥BD，
∴易得直线EF的函数表达式为y＝x－2m＋4.
∴点F的坐标为(0，－2m＋4)．
∴AF2＝12＋(－2m＋4)2，BF2＝42＋(－2m＋4)2，AB2＝52＝25.
例2题图⑤
∵点F在y轴上，
∴只能有∠AFB＝90°.即AF2＋BF2＝AB2.
即12＋(－2m＋4)2＋42＋(－2m＋4)2＝25.
解得m＝1或3.
当m＝1时，点E的坐标为(1，3)；
当m＝3时，点E的坐标为(3，1)．
综上所述，当△ABF是直角三角形时，点E的坐标为(1，3)或(3，1)．
例2题图⑤
综合训练
三阶
第1题图
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为(3，0)，B点坐标为(－1，0)，连接AC、BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每 秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
(1)求b、c的值．
解:(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(－1，0)，
则 ，解得
第1题图
第1题图
(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
(2)由(1)得，抛物线表达式为y＝－x2＋2x＋3，C(0，3)，A(3，0)，
∴△OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知AP＝ t，
如解图，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，
∴AE＝PE＝ ＝t，即E(3－t，0)，
E
∟
＝ ×4×3－ ×[3－(－1＋t)]t＝ t2－2t＋6，
∵当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,
AC＝ ，AB＝4，
∴0≤t≤3，
∵ ＞0，∴当t＝2时，四边形BCPQ的面积最小，
最小值为 ×22－2×2＋6＝4；
E
∟
又Q(－1＋t，0)，
∴S四边形BCPQ＝S△ABC－S△APQ
第1题图
(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形.
理由如下：
∵点M是线段AC上方的抛物线上的点，
第1题解图②
如解图②，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，
过M作EP的垂线交EP的延长线于点F，
∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，∠MPQ＝90°，
∴∠MPF＋∠QPE＝90°，又∠MPF＋∠PMF＝90°，
∴∠PMF＝∠QPE，
在△PFM和△QEP中，
∴△PFM≌△QEP(AAS)，
第1题解图②
∴MF＝PE＝t，PF＝QE＝4－2t，
∴EF＝4－2t＋t＝4－t，
∴点M的坐标为(3－2t，4－t)，
∵点M在抛物线y＝－x2＋2x＋3上，
∴4－t＝－(3－2t)2＋2(3－2t)＋3，
解得t＝ 或 (舍去)，
∴点M的坐标为( ， )．
第1题解图②
第2题图
2.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)．
(1)求抛物线的表达式；
解:(1)设抛物线的表达式为y＝a(x＋2)(x－6)，
把点C(0，－3)代入，得－3＝a(0＋2)(0－6)，
解得a＝ ，
∴抛物线的表达式为：
y＝ (x＋2)(x－6)＝ x2－x－3；
第2题图
(2)点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当 最大时，求点P的坐标及 的最大值；
设点P的坐标为(n， n2－n－3)(0＜n＜6)，则OE＝n，
设直线AP的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
根据题意得 解得
(2)如解图，过点P作PE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，
则MF∥PE，
F
∟
E
∟
∴直线AP的解析式为y＝ (n－6)x＋ (n－6)，
设直线BC的解析式为y＝mx＋a(m≠0)，
根据题意得 解得
，
∴直线BC的解析式为y＝ x－3，
联立直线AP和BC的解析式
得 解得
第2题图
F
∟
E
∟
即点M的坐标为( ， )，则OF＝ ，
∴EF＝ = ，AF＝ ，
又∵MF∥PE，
∴
，
∴
第2题图
F
∟
E
∟
∵ ＜0，0＜n＜6，
∴当n＝3时， 有最大值，最大值为 ，
此时点P的坐标为(3， )， 的最大值为 .
第2题图
F
∟
E
∟
第2题图
(3)在(2)的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标;若不存在，请说明理由．
【解法提示】设点D的坐标为(3，m)，∵B(6，0)，C(0，－3)，
∴BD2＝m2＋9，CD2＝(m＋3)2＋9，BC2＝45，
①当∠BCD＝90°时，有BD2＝CD2＋BC2，
∴m2＋9＝(m＋3)2＋9＋45，
整理得：6m＝－54，解得m＝－9，
∴点D的坐标为(3，－9)；
②当∠BDC＝90°时，有BC2＝BD2＋CD2，
∴45＝m2＋9＋(m＋3)2＋9，整理得．m2＋3m－9＝0
解得m1＝ ，m2＝ ，
∴点D的坐标为(3， )或(3， )；
③当∠CBD＝90°时，有CD2＝BC2＋BD2，
∴(m＋3)2＋9＝45＋m2＋9，
解得m＝6，
∴点D的坐标为(3，6)；
第2题图
综上所述，满足条件的点D坐标为(3，－9)或(3，6)或(3， )或(3， )．
(3)存在点D，使△BCD是直角三角形，点D的坐标为(3，－9)或(3，6)或(3， )或(3， )．
第2题图
备用图
3.如图，抛物线y＝－ x2＋bx＋c与x轴交于点A和点C(－1，0)，与y轴交于点B(0，3)，连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E.
第3题图
(1)求抛物线的解析式；
解:(1)∵抛物线y＝－ x2＋bx＋c经过C(－1，0)，B(0，3)两点，
∴ ，解得
∴抛物线的解析式为:
；
第3题图
(2)如图①，作PF⊥PD于点P，使PF＝ OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF.当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；
(2)令y＝0，∴ ，
解得x1＝－1，x2＝4，
∴A点坐标为(4，0)，
设直线AB的解析式是y＝kx＋m，
把A(4，0)，B(0，3)代入
得 ， 解得 ，
∴直线AB的解析式是 ，
设点P坐标为(x， )，则点E坐标为(x， )，
∴PE＝ ，
∴S矩形PEGF＝PF·PE＝ OA·PE＝ ×4×PE＝2(－ x2＋3x)，
∵S△BOC＝ OC·OB＝ ×1×3＝ ，
∵S矩形PEGF＝3S△BOC＝3× ＝ ，
∴ ，
解得x1＝1，x2＝3，
∴点P的坐标为(1， )或(3，3)；
第3题图
(3)如图②，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q，A，B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．
【解法提示】抛物线 对称轴为直线x＝ ，
如解图，过点B作BQ1⊥AB交对称轴于Q1，
过点A作AQ2⊥AB交对称轴于Q2，
∵A(4，0)，B(0，3)，
∴直线AB解析式为 ，
第3题图
Q1
∟
Q2
∟
∵BQ1⊥AB，
∴直线BQ1解析式为 ，
令 ，得 ，
∴Q1( ，5)；
∵AQ2⊥AB，
∴直线AQ2解析式为 ，令x＝ ，得 ，
当∠AQB＝90°时，AQ2＋BQ2＝AB2，设此时点Q的坐标为( ，n)，
Q1
∟
Q2
∟
第3题图
∴ ，解得：n1＝ ，
t2＝ ，
∴当 ≤t≤ 时，∠AQC≥90°，
∵△ABQ为锐角三角形，
∴点Q( ，n)必须在线段Q1Q2上(不含端点Q1、Q2)，
∴－ ＜n＜ 或 ＜n＜5.
(3)－ ＜n＜ 或 ＜n＜5.
第3题图
Q1
∟
Q2
∟
第3题图
【拓展设问】在(3)的条件下，若以点Q、A、B为顶点的三角形是钝角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．
由(3)知，∵△ABQ为钝角三角形，
∴点Q纵坐标n的取值范围为n＜ 或 ＜n＜ 或n＞5.