辽宁省东北育才学校科学高中部2023-2024学年高二下学期第一次月考（4月）数学试题（含解析）

科学高中部2023-2024学年度下学期高二年级第一次月考
数学学科
考试时间：120分钟 满分：150分
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.定义在上的函数在区间内的平均变化率为，其中，则函数在处的导数（ ）
A.-1 B.1 C.3 D.9
2.等差数列的前项和为，已知，则的值为（ ）
A.38 B.-19 C.-38 D.19
3.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（ ）
A.1项 B.项 C.项 D.项
4.已知数列满足，若.则的值是（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6.公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即.此数列在现代物理 准晶体结构 化学等领域都有着广泛的应用.若记，数列的前项和为，则（ ）
A.0 B.1 C.2019 D.2020
7.已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），0，若不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.记函数与的定义域的交集为.若存在，使得对任意，不等式0恒成立，则称构成“函数对”.下列所给的两个函数能构成“函数对”的有（ ）
A. B.
C. D.
10.设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A.数列的公差小于0
B.
C.的最小值是
D.使成立的的最小值是4045
11.已知数列满足：，前项和为，则下列选项中正确的是（参考数据：）（ ）
A.
B.
C.
D.是单调递增数列，是单调递减数列
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.函数的导函数是，则__________.
13.已知数列满足：，其前项和，数列满足，其前项和，设为实数，若对任意恒成立，则的取值范围是__________.
14.已知函数，关于的不等式的解集为，其中，为常数.给出下列四个结论：
①直线是曲线的一条切线；
②；
③当时，的取值范围是；
④要使取唯一的值，仅当.
其中，所有正确结论的序号是__________.
四 解答题：本题共5题
15.（本小题13分）
已知函数在处取得极值-14.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在上的最值.
16.（本小题15分）
已知等比数列的前项和为，且是与2的等差中项，等差数列中，，点在一次函数的图象上.
（1）求数列的通项和；
（2）设，求数列的前项和.
17.（本小题15分）
已知数列的前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值.
18.（本小题17分）
设，函数，其中是自然对数的底数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求实数的值；
（2）求证：函数存在极小值；
（3）若，使得不等式成立，求实数的取值范围.
19.（本小题17分）
已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数.
（1）用表示；
（2）若，记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式.
（3）若是数列的前项和，证明：.
科学高中部2023-2024学年度下学期高二年级第一次月考
数学学科考试答案
1.【答案】B
解：由导数的定义可得，
故选：B.
2.【答案】C
解：等差数列的性质可知，
即.故选.
3.【答案】D
解：不等式的左边代数式中分子都为1，分母是从1开始的自然数直到，故共有项.
由变到时，左边由项增加到项，从而增加了项.故选D.
4.【答案】D
解：由得，
所以数列是等比数列，公比为，
所以
，
所以.故选D.
5.【答案】C
解：不等式等价于，
令，根据题意对任意的，
当时，，所以函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立.
令，则，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减.所以，所以.故选：.
6.【答案】A
【解答】解：由，
则，
由于，所以，
所以.故选：.
7.【答案】C
【解答】解：设，则，
可设，
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，，
当时，，
不等式的解集中恰有三个整数，结合图形可知，整数为，
，
.故选.
8.【答案】A
解：由选项知，与圆相离，圆外一点与圆上的距高最小值为：，
设，设圆心为，则，
，
令，
得.
我们知道常见不等式：，当时等号成立，
当时，，即在上单调递减；
当时，令，则单调递增，即单调递增，
显然，所以在单调递增.
综上，.
所以最小值为.故选：.
9.【答案】AC
解：选项中，易知，设，
易知在上单调递增，且，
存在，使得当时，，即；当时，.
故当时，对任意的恒成立，故正确；
选项中，易知，设，则，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.
故，故不存在，使得对任意，不等式恒成立，故不正确；
选项中，易知，由得，
即，故当时，对任意的恒成立，故正确；
选项中，，若存在，使得对任意，不等式恒成立，
则无解，故不正确.故选.
10.【答案】BD
解：在等差数列中，由，得，即，因此等差数列为递增数列，公差大于错误；
又，即，整理得，
因此，则的最小值是正确，错误；
因为，
，所以使成立的的最小值是正确.
故选：BD
11.【答案】ACD
【解答】解：令，则，
因为，所以，
令，作出的图象与直线，如图所示：
由图可得
所以单调递增，单调递减，，
则是单调递增数列，是单调递减数列，可得正确；
因为，所以，
；
因为，又，
当时，，由图知，所以，故正确；
所以，可得错误.
故选ACD.
12.【答案】
解：因为，
所以，故.
故答案为.
13.【答案】
解：，且，则当时，，
两式相减得，即，
因此，而，即，又，解得，
于是数列是首项为3，公差为2的等差数列，即有，
，
，
显然数列是单调递增的，，数列是单调递减的，，
因为，不等式恒成立，则，不等式且恒成立，
因此且，即有，所以的取值范围是.故答案为.
14.【答案】①③④
解：对于①，当时，，则，
令，解得：（舍）；
当时，，则，令，解得：，又，
所以的斜率为的切线方程为：，即，故①正确；
对于②，，
所以，所以，故②错；
对于③，当时，由）得：，
若，则；
若，则，
因为表示上任意一点与连线斜率，
此时，不妨取，所以；
若，则，
因为表示上任意一点与连线斜率，
所以；
综上所述：的取值范围为，故③正确；
对于④，当时，恒成立；
①若，
当时，由，得，
因为表示上任意一点与连线的斜率，
所以，所以，
当时，由，得，
所以，所以，
所以，此时有唯一解；
②当时，由③知：，不合题意；
③当时，若时，由，得，
因为，所以，
若，由，得，
因为，所以，
所以当时，无解；
综上所述：仅当时，取唯一的值，故④正确.
故答案为：①③④
15.【答案】解：（1）因，
故，由于在处取得极值-14.
故有，即，
化简得，解得，
经检验，时，，
令，解得或，令，解得，
所以在单调递增，单调递减，单调递增，
所以在处取得极值，符合题意，所以.
则，故.
所以曲线在点处的切线方程为：，即.
（2）由（1）知，令，得.
在时，随的变化，的变化情况如下表所示：
-3 -2 2 3
正 0 负 0 正
11 单调递增 18 单调递减 -14 单调递增 -7
当时，有极大值，当时，有极小值.
因为.
因此在的最小值为，最大值为.
16.【答案】解：（1）在数列中，，点在直线上.
得：，且，
故数列为等差数列，所以；
由，①
得，②；
将两式相减得：；即，
又；
（2）由，
得：，①
，②
①-②得，.
所以.
17.【答案】解：（1）数列的前项和满足①，
当时，解得.
当时，②，
①-②得：，
故（常数），
所以：数列是以3为首项，3为公比的等比数列.
所以.
（2），
故.
由于对任意的，不等式都成立，
所以，
即，
令，
所以，故函数单调递减，
所以.
即.
18.【答案】解：（1），
，
由题意得：，
解得；
（2）由得，
，令，则，
所以在为增函数.
又，
且函数图象在上连续不间断，
，使得，
在上；在上
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以存在极小值.
（3），使得不等式
.
设，
结合（2）可知，
其中，满足，即，
所以，
所以
，
所以时，，所以在上单调递增，
所以时，的最小值为，
所以.
即实数的取值范围为.
19.【答案】解：（1）由题意知，，则
所以曲线在点处的切线方程为
，即，
将代入，得，即，
显然，所以；
（2）证明：由（1）知，，
同理，故，
有，即，
所以数列是公比为2的等比数列，
故，即，
有，
所以解得；
（3）证明：由（2）知，，则，
所以，
当时，显然；
当时，，
所以，
综上，.