山东省烟台市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（含解析）

山东省烟台市2023-2024学年高二上学期期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知数列的前几项为：﹣1，4，﹣7，10，…，则该数列的一个通项公式可能为（ ）
A. B.
C. D.
2.已知等比数列中，，，则（ ）
A.2 B.﹣2 C. D.4
3.已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（ ）
A.2 B.4 C. D.6
4.已知椭圆C：（）经过和两点，则C上的点到右焦点距离的最小值为（ ）
A. B.1 C.2 D.3
5.抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点F发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（ ）
A. B. C. D.
6.三角形数由古希腊毕达哥拉斯学派提出，是由一列点等距排列表示的数，其前五个数如图所示.记三角形数构成的数列为，则使数列的前n项和的最小正整数n为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
7.已知数列的各项均为正整数，，若，则的所有可能取值组成的集合为（ ）
8.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点作直线l与C交于两点A，B（点B在第一象限），线段的垂直平分线过点，点到直线l的距离为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9.已知等差数列的前n项和为，且，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.最小
（多选）10.已知曲线Γ：（），则（ ）
A.Γ可能是等轴双曲线
B.若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则
C.Γ可能是半径为的圆
D.若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则
（多选）11.已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），的内切圆与切于点M，过点的直线l与C交于A，B两点，则（ ）
A.的最大值为5 B.的内切圆面积最大值为π
C.为定值1 D.若Q为中点，则l的方程为
（多选）12.若正整数数列：，，…，（）满足：若对任意的正整数k（），都有，则称该数列为“数列”.下列关于“数列”的说法中正确的有（ ）
A.若数列8，x，4，y，8为“数列”，则有序数组有3个
B.若数列1，m，n，8为“数列”，则的最大值为6
C.若数列，，…，（）为“数列”，则使的n的最大值为16
D.若数列，，…，（）为“数列”，且，则满足的n的最大值为10
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为_________.
14.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点关于C的一条渐近线的对称点为M，且，则C的渐近线方程为__________.
15.已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，P为C上一点，且，O为坐标原点，则的值为____________.
16.已知数列满足：；；，，其中，.数列的通项公式____________，令，则数列的前n项和____________.（本小题第一空2分，第二空3分.）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知为数列的前n项和，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
18.（12分）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值.
19.（12分）已知点F是抛物线C：的焦点，过点F的直线l交抛物线C于P，Q两点，过点P作C的准线的垂线，垂足为M，O为坐标原点.
（1）证明：Q，O，M三点共线；
（2）若，求直线l的方程.
20.（12分）网上创业成为越来越多大学生的就业选择.李红大学毕业后在网上经营了一家化妆品店，计划销售A，B两种品牌化妆品.据市场调研，销售A品牌化妆品第一年的利润为3.8万元，预计以后每年利润比上一年增加0.5万元；销售B品牌化妆品第一年的利润为4万元，预计以后每年利润的增长率为8%.设，分别为销售A，B两种品牌的化妆品第n年的利润（单位：万元）.
（1）试比较销售A，B两种品牌化妆品前10年总利润的大小；
（2）问：第几年销售A品牌化妆品较销售B品牌化妆品在同一年的利润差最大？
参考数据：，，，，.
21.（12分）设数列，的前n项和分别为，，，，且，（）.
（1）求的通项公式，并证明：是等差数列；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
22.（12分）已知点P在圆上，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，Q为线段的中点，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为Γ.
（1）求Γ的方程；
（2）设，，过点作直线与Γ交于不同的两点M，N（异于A，B），直线，的交点为G.
（ⅰ）证明：点G在一条平行于x轴的直线上；
（ⅱ）设直线，交点为H，试问：与的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
山东省烟台市2023-2024学年高二上学期期末数学试卷
【参考答案】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.【分析】根据题意，分析数列前4项的规律，用n表示即可得答案.
【解答】解：根据题意，数列的前几项为：﹣1，4，﹣7，10，…，
即，，，，
故数列的一个通项公式可以为.
故选：C.
【点评】本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题.
2.【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解.
【解答】解：∵等比数列中，，，
所以，解得.
又，可得与同号，
故.
故选：A.
【点评】本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题.
3.【分析】利用双曲线方程求出a，b，然后求出c 即可得到结果.
【解答】解：双曲线的方程为：，
可得，，所以，
所以双曲线的焦距长为：.
故选：D.
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属基础题.
4.【分析】根据已知条件求得a，b，c以及椭圆方程，进而求解结论.
【解答】解：∵椭圆C：（）经过和两点，
∴，，
∴，椭圆方程为：.
∴C上的点到右焦点距离的最小值为：.
故选：B.
【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查计算能力，属于基础题.
5.【分析】求解抛物线的焦点坐标，求解从抛物线的焦点F发出的入射光线过点的直线方程，然后求解直线与抛物线的交点，即可得到反射光线所在直线方程.
【解答】解：抛物线的焦点，从抛物线的焦点F发出的入射光线过点的直线方程：，
联立，可得，可得或，
结合已知条件可知反射光线所在直线方程为：.
故选：D.
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题.
6.【分析】由题意可得，则，然后累加求和即可.
【解答】解：由题意可得，
则，
则，
又，
则，
则，
则使数列的前n项和的最小正整数n为7.
故选：C.
【点评】本题考查了裂项求和法，重点考查了阅读理解能力，属中档题.
7.【分析】采用“倒推”的方式，推导过程中注意分类讨论思想的应用.
【解答】解：∵，∴若为奇数，则，则舍；
若为偶数，则，.
当时，若为奇数，则，则；若为偶数，则，.
当时，
若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则.
若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则.
若为奇数，则，则；若为偶数，则，则.
当时，
若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则.
若为奇数，则，则；若为偶数，则，则.
当时，
若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则.
当时，
若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则.
综上，所有可能的取值的集合.
故选：B.
【点评】本题考查简单的归纳推理、数列的递推公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
8.【分析】根据题意，由双曲线的定义可得，再由勾股定理列出方程即可得到a，c的关系，进而求解结论.
【解答】解：设双曲线的半焦距为c，，
，根据题意得到，
又，
故，设的中点为C，
在中，，，
故，
则，，
根据，
可知，
故，可得.
故选：C.
【点评】本题主要考查双曲线的性质应用，考查计算能力，属于中档题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9.【分析】根据题意，由等差数列的性质分析可得，由此分析选项可得答案.
【解答】解：根据题意，等差数列中，若，即，则有，
变形可得，
依次分析选项：
对于A，，但不确定的符号，不能确定是还是，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，不确定的符号，故不能确定最小还是最大，D错误.
故选：BC.
【点评】本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题.
（多选）10.【分析】根据圆，椭圆，双曲线的标准方程，逐一判断选项即可.
【解答】解：对于A，若Γ是等轴双曲线，则，显然不成立，故A错误；
对于B，Γ表示焦点在y轴上的椭圆，
则，解得，故B正确；
对于C，Γ是圆，则3+m＝1﹣m＞0，解得m＝﹣1，故C正确；
对于D，Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则，
解得，故D正确.
故选：BCD.
【点评】本题考查曲线的方程，属基础题.
（多选）11.【分析】根据椭圆的几何性质，的等面积算法，点差法，即可分别求解.
【解答】解：根据题意可得，，，，，，
对A选项，∵，
当且仅当P，，Q三点共线时，等号成立，
∴的最大值为5，∴A选项正确；
对B选项，设的内切圆的半径为r，
则根据的等面积算法可得：
，
∴，
当且仅当P为短轴顶点时，等号成立，
∴的内切圆面积最大值为，∴B选项错误；
对C选项，根据的内切圆的性质易得：
，
∴，∴，∴C选项正确；
对D选项，若为中点，设，，
则，两式相减可得：
，
∴，
∴，∴，
∴l的方程为，即，∴D选项正确.
故选：ACD.
【点评】本题考查椭圆的几何性质，椭圆的焦点三角形问题，点差法的应用，属中档题.
（多选）12.【分析】根据“数列”的定义，逐项验证即可.
【解答】解：对于A，因为数列8，x，4，y，8为“数列”，
所以，所以.或，或，故A正确；
对于B，因为数列1，m，n，8为“数列”，
所以，
，解得，，
当时，，3，4，
当时，，4，
所以的最大值为6，故B正确；
对于C，数列，，…，（）为“数列”，
因为，所以，
所以是递增数列，所以最小是1，的最小值为，
该数列可以是：，1，1，2，4，7，11，16，22，29，37，46，56，67，79，82，100，
此时，故C错误；
对于D，数列，，…，（）为“数列”，且，
所以该数列每一项的最小取值为：6，1，1，2，4，7，11，16，22，29，37，
，此时，故D正确.
故选：ABD.
【点评】本题考查对新定义的理解和应用，数列的综合应用，属难题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.120.
【分析】根据题意，设等比数列的公比为q，由，求出q的值，进而计算可得答案.
【解答】解：根据题意，设等比数列的公比为q，
若，则有，即，解可得或0（舍），
则，
故答案为：120.
【点评】本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的性质，属于基础题.
14..
【分析】根据双曲线的性质可知，，由条件得，根据三角形中位线，可得，即可求出渐近线方程.
【解答】解：设与渐近线的交点为A，
因为关于C的一条渐近线的对称点为M，
所以，，
因为，所以，
所以，
所以C的渐近线方程为.
故答案为：.
【点评】本题考查双曲线的性质，属中档题.
15..
【分析】根据椭圆的性质以及余弦定理即可求解结论.
【解答】解：椭圆C：，可得，，故，
∵，分别为椭圆C：的左、右焦点，P为C上一点，且，
∴，
∴，可得.
.
故.
故答案为：.
【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查余弦定理以及向量知识的应用，属于中档题.
16.；.
【分析】由，，，解方程可得，由等比数列的定义和通项公式，求得；再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和.
【解答】解：设，，（），又，
由，，可得，
解得，，，则，即有，
可得，即有；
，
则数列的前n项和.
故答案为：；.
【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【分析】（1）利用数列递推式求数列的通项公式，结合累乘法求解；
（2）分，两种情况，利用等差数列的求和公式求解.
【解答】解：（1）由，
得（），
两式相减得.
即（），
所以当时，，
经检验也适合上式，
故（）.
（2）由题意，数列的前n项和，
所以，当时，，
当时，，
综上，.
【点评】本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等差数列的求和公式，属中档题.
18.【分析】（1）由双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，得，，由此能求出双曲线方程.
（2）联立方程组，得，利用韦达定理、弦长公式、根的判别式能求出结果.
【解答】解：（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，
设双曲线的方程（，），
由已知得，，
所以，.
所以双曲线方程为.
（2）直线与双曲线C交于A，B两点，且，
联立方程组，得，，.
所以
令，解得.
经检验符合题意，所以.
【点评】本题考查双曲线、椭圆、焦点、渐近线、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
19.【分析】（1）设直线l的方程为，利用已知条件证明即可；
（2）利用（1）及，求出m的值即可.
【解答】（1）证明：抛物线的焦点坐标为，
设直线l的方程为，点，，
联立，消去得，则
所以，，
因为，所以，
又，，，
所以，即，
所以O，Q，M三点共线；
（2）解：因为，所以，
于是，即，
所以，
所以直线l的方程为.
【点评】本题考查了抛物线的性质和直线与抛物线的综合运用，属于中档题.
20.【分析】（1）根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，以及等比数列的前n项和公式，即可求解；
（2）先求出，再结合作差法，即可求解.
【解答】解：（1）A品牌化妆品年销售利润构成首项为3.8、公差为0.5的等差数列.
B品牌化妆品年销售利润构成首项为4、公比为1.08的等比数列.
设销售A、B品牌化妆品前n年总利润分别为，，
则（万元），
（万元），故，
所以A品牌化妆品的前10年总利润更大.
（2），，
所以，
则，，
由参考数据，，，
令，得到.
令，得到，
知，，所以.
故第7年时两种化妆品在同一年的利润差额最大.
【点评】本题主要考查数列的应用，考查转化能力，属于中档题.
21.【分析】（1）利用等差数列及等比数列的定义和通项公式，即可求解；
（2）利用错位相减法得，，由得，，求出的最小值即可.
【解答】解：（1）∵，，
∴两式相减得，（）.
又，且，
则，.
∴数列为等比数列，.
又（），，
∴，
∴数列是以为首项、1为公差的等差数列.
（2）由（1）可得，，
∴，
，
两式相减得，，
∴.
又，
∴，
又，当且仅当时等号成立，
∴.
故实数的取值范围为.
【点评】本题考查了数列的递推式，等差数列及等比数列的定义和通项公式，数列与不等式的综合，属于中档题.
22.【分析】（1）设，利用中点可得.进而可求Γ的方程；
（2）（ⅰ）设过点的直线方程为，联立方程可得，进而求得直线，的方程可得，计算可得定直线方程；
（ⅱ）求得点G，H的坐标，可得，的表达式，计算可得结论.
【解答】解：（1）设所求轨迹上的任意意一点，因为点P为的中点，所以.
因为点P在圆上，所以，
整理可得，
所以点Q的轨迹Γ的方程为（）.
（2）（ⅰ）设过点的直线方程为，
代入轨迹Γ的方程可得：，
设点，，则，.可得，
过的直线：，过的直线：，
两式相除可得
，
所以，解得，所以点G在直线上，
（ⅱ）因为点G在：上，令，可得.
同理，点H直线：上，且，.
因为，，
所以，
将，，代入得：
.
所以的面积之积为定值3.
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合，考查方程思想，考查运算求解能力，属难题.