四川省内江市第六中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题（含答案）

内江六中2023～2024学年下学期高2026届第一次月考
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 ．选择题（满分60分）
一、单选题（每题5分，共40分）
1．（ ）．
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）．
A．单位向量均相等
B．向量，满足，则，中至少有一个为零向量
C．零向量与任意向量平行
D．若向量，满足，则
3．若，，则（ ）．．
A． B． C． D．
4．已知四边形ABCD，满足，则四边形ABCD一定为（ ）．
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
5．已知函数，则图中的函数图象所对应的函数解析式为（ ）．
A． B．
C． D．
6．在中，已知，则是（ ）．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
7．已知函数在一个周期内的图象与x轴、y轴交于点A、点B，过点A的直线相交于另外两点C、D．设O为坐标原点，则在方向上的投影向量的模为（ ）．
A． B． C． D．
8．设函数在区间恰有三个取得最值的点、两个零点，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知函数，函数的图象由图象向右平移个单位长度得到，则下列关于函数的说法正确的有（ ）．
A．的图象关于点对称
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增上单调递增
D．在上单调递减
10．若，则下列结论不正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
11．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深（单位：m）与时间t（单位：h）从时的关系可近似地用函数来表示，函数的图象如图所示，则（ ）．
A．
B．函数的图象关于点对称
C．当时，水深度达到
D．已知函数的定义域为，有2个零点，，则
12．对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中．给出以下命题，其中错误选项的是（ ）．
A．若时，则
B．若时，则
C．若时，则的取值个数最多为7
D．若时，则的取值个数最多为
第Ⅱ卷 非选择题（满分90分）
三、填空题（每题5分，共20分）
13．与同向的单位向量为__________．
14．已知，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________．
15．在中，，，则C的大小是__________．
16．在中，，，（，），若对任意的实数t，恒成立，则BC边的最小值是__________．
四、解答题
17．（本小题满分10分）
如图，在中，已知，，，，设，．
（1）用向量，表示；
（2）求向量与的数量积及夹角的余弦值．
18．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，向量，，其中．
（1）判断向量，是否垂直？
（2）若，且，求的值．
19．（本小题满分12分）
已知，，且，．
（1）求的值；
（2）求角的大小．
20．（本小题满分12分）
如图，OABC为正方形，，，点为直角坐标平面内的一点，M为线段AB的中点，设．
（1）求点B的坐标及的表达式；
（2）当取最大值时，求的值．
21．（本小题满分12分）
某学校将在校园内悬挂各种宣传板，有一种宣传板由一个四边形和一个三角形拼接而成（如图），在四边形ABCD中，，，P为四边形ABCD外一点，于点M，PN交AB于点N，，，，．
（1）若，求BC；
（2）若N为AB的中点，，求四边形ABCD的面积的最大值．
22．（本小题满分12分）
已知函数，若的最小正周期为．
（1）求的解析式；
（2）若函数在上有三个不同零点，，，且．
①求实数a取值范围；
②若，求实数a的取值范围．
内江六中高2026届第二学期第1次月考
参考答案
1．D 2．C 3．A 4．B 5．B
6．D
【详解】因为，
所以，即，
所以或，故或，
所以是等腰三角形或直角三角形．
7．B
【详解】因为，可得，即，
由图可知：点A为减区间的对称中心，
令，，解得，，
取，则，即，可得，
因为点A为线段CD的中点，则．
8．C
【解析】显然不合题意；
当时，设，则，
当时，，函数在上恰有三个最值点、两个零点在上恰有三个最值点、两个零点，如图1．
图1 图2
由图可知应有，解得；
当时，，如图2，
由图可知在上不可能有三个最值点、两个零点，不合题意；
所以实数的取值范围是，故选C．
9．ABC 10．ACD
11．ACD
【详解】对A，由图知，，
∴，，
∵的最小正周期，∴，
∵，∴，
解得：，
又，∴，∴，故A正确；
对B，令，解得，
当时，，则，
则函数的图象关于点对称，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，则，令，则，
令，则根据图象知两零点，关于直线，
则，即，则，
则，故D正确．
12．BD
【详解】对A，若时，，，
两式相乘得，
又，∴，即，
∴，即，故A正确；
对B，若地，则，
同理，相乘得到，
又，所以，即，
则取值时符合，此时，故B错误；
对C，若时，则，
同理，相乘得，
又，∴，∴，
又，得，
∴，，3，，，，6，7，8，9，，
∴的取值个数最多为7个，故C正确；
对D，若时，由上面推导方法可知，
∴，∴，∴，
∴的取值个数最多为，故D错误．
13． 14．
15．【详解】由，，
两式平方和得，
即，因而．
在中，，且，
因而或，
又化为，
所以，则，故．
16．【详解】设，如图所示，
因为对任意的实数t，都有恒成立，
由恒成立，则，
因为，，
所以，，
所以，
当且仅当时，等号成立．故答案为：．
17．【详解】（1）由题意可得：
．
（2）由题意可得：，
可得，
，
所以，
故，夹角的余弦值为．
18．（1）不垂直．
（2），
又，∴，
整理得，，
即，，∴，有．
19．（1）因为，所以．
又，所以，所以．
而，所以，
所以．
由且，得，
所以
．
（2）由（1）知，，，
．
又，，所以，所以．
20．【详解】（1）设，因为ABCD为正方形，所以，
又，，所以，，
所以点B的坐标为．
又因为M为线段AB的中点，所以，
因为，，
所以，
所以．
（2）因为，
其中，，
所以当，即时，有最大值，
此时，
故当取最大值时，．
21．【详解】（1）在中，，，
∴．
又，∴，
又，，，
所以四边形BCMN为矩形，∴．
（2）由题可以得出，，，
根据N为AB的中点即可得出，
四边形ABCD的面积，
化简，
令，，
又，
故，，
所以，
对称轴：，，
所以，当时，，四边形ABCD的面积的最大值为7．
22．（1），
因为的最小正周期为，所以，即，
所以．
（2）①由（1）知，
由，可得，
令，则，，
若函数在有三个零点，
即在有三个不相等的实数根，
也就是关于t的方程在区间有一个实根，另一个实根在上，
或一个实根是1，另一个实根在，当一个根在，另一个实根在，
所以，即，解得：，
当一个根为0时，即，所以，此时方程为，所以，不合题意；
当一个根是，即，解得，
此时方程为，所以，不合题意；
当一个根是1，另一个实根在，
由得，此时方程为，解得或，
这两个根都不属于，不合题意，综上a的取值范围是．
②设，为方程的两个不相等的实数根，则，
由①知，，，所以，
即，，
所以，即，
由得，所以，
因为，，
所以，
所以，
所以，
又，且，所以，
所以，整理得，
因为，所以，
解得或，
又，所以．