绝密★启用前
7．等差数列 an 共 2n+1个项，且奇数项和为 165，偶数项和为 150，则 n=（ ）
2023——2024 学年度下学期月考考试
A．10 B．13 C．11 D．22
高二年级数学试题 8．已知数列 an 满足 a1 1，且 an 1 an 2，数列 bn 满足b1 1 b 6，且b nn 1 bn an 1，则 的最n
考试时间：120 分钟；满分：150 分
注意事项： 小值为（ ）
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 13 17
A． B．5 C．2 6 D．
2．请将答案正确填写在答题卡上 3 3
第 I卷（选择题） 二、多选题
一、单选题
9．已知数列 an 是公差为 d的等差数列， Sn是其前 n项的和，若 a1 0， S2000 S2024，则（ ）
a a 2 a 271．在等比数列 中， ， ，则公比 q n 2 5 （ ）4
A． d 0 B． a2012 0 C． S4024 0 D． S S3 2 3 n 2012
A B C 2． ． ． 3 D．2 3 2
10．已知等比数列{an}的各项均为正数，a1 20，2a6 a5 a4 0，数列{an}的前 n项积为Tn，则（ ）
2．在等差数列 an 中， a2 1, a4 5，则 a8 （ ）
A．数列{an}单调递增 B．数列{an}单调递减
A．9 B．11 C．13 D．15
3．下列求导运算结果正确的是（ ） C．Tn的最大值为T5 D．Tn的最小值为T5
1 ' 1 11．在边长为 3的正方形 ABCD中，作它的内接正方形 EFGH，且使得 BEF 15 ，再作正方形 EFGHA． x 1
'
2 B． xlnx lnx 1 x x 的内接正方形 MNPQ，使得 FMN 15 ，依次进行下去，就形成了如图所示的图案．设第 n个正
x ' ex x 1
' e 方形的边长为
an （其中第 1个正方形的边长为a AB，第 2个正方形的边长为 a EF ，……），C． sinπ cosπ D 1 2．
x
x
2
第 n个直角三角形（阴影部分）的面积为 S
1 n
（其中第 1个直角三角形 AEH的面积为 S1，第 2个直
4．在等比数列 an 中， a1 ，公比 q = 2，则a3与 a5的等比中项是（ ）2 角三角形 EQM的面积为 S2 ，……，则（ ）
A．2 B．4 C． 2 D． 4
A． a2 6
5．曲线 f x x3 ax2 2在点 1, f 1 3处的切线的倾斜角为 π，则实数a （ ）
4 3
B． S1
A． 2 B． 1 C．2 D．3 2
a a 3 a 1 a n a C
6
．数列 a 是公比为 的等比数列
6．已知数列 n 满足 1
n
， n 1 1 a ，则数列 n 前 2023项的积为（ ） 3n
A．2 B．3 C． 2 D． 6 D．数列 Sn 的前 n项和T 3 9n的取值范围为 4，4
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{#{QQABJQIEogAIQJBAABhCAQGwCgCQkAECAKoOwBAMIAIByRNABAA=}#}
第 II 卷（非选择题）
19．若有穷数列 a1,a2 an（ n是正整数），满足 a1 an， a2 an 1，…， an a1即 ai an i 1（ i是正
三、填空题
12．设数列 a 为等比数列，其公比为q，已知 a a a 4， a a a 32，则 a . 整数，且1 i n），就称该数列为“对称数列”．n 1 2 3 4 5 6 1
a n A 2n 3 aA B n 8 (1)已知数列 bn b 是项数为 8的对称数列，且b1，b2，b13 3，
b4成等差数列，b1 1，b4 10，试写出 bn
．已知两个等差数列 n 和 n 的前 项和分别为 n和 n，且 B 3n 1，则n b
.
8
的每一项．
14．等差数列 an 中，已知 a1 5，且在前 n项和 Sn中，仅当 n 10时， S10 最大，则公差d 的取值
(2)已知 cn 是项数为 2k （其中 k 1，且 k Z）的对称数列，且 ck 1,ck 2 , ,c2k 构成首项为15，公
范围为 ．
差为 2的等差数列，数列 cn 的前 2k 项和为 S2k，则当 k为何值时，S2k取到最大值？最大值为多少？
四、解答题
(3)对于给定的正整数 i 1，试写出所有项数为 2i 1的对称数列，使得1,2,22 2i 1成为数列中的连
15．已知 an 为等差数列，公差 d 2，且 a1、 a2、 a5成等比数列．
续项；当 i 2000时，并分别求出所有对称数列的前 2024项和 S2024．
(1)求数列 an 的通项公式；
1 1
(2)记bn ba n a ，数列 n 的前 项和为 Sn，证明： Sn ．n n 1 2
16．已知数列 an 满足 a1 1, an 1 2an 3n 5, n N* .
(1)设bn an n 2，证明： bn 是等比数列；
(2)求数列 an 的前 n项和 Sn .
17 n 1．已知数列 an 的前 n项和 Sn满足 Sn n 1 2 2．
(1)求 an 的通项公式；
n 2
(2)求数列 ·a
n 1 的前 n项和Tn．
n 1
18．已知抛物线 x2 2 py ( p 0 )上点 P处的切线方程为 x y 1 0 .
（1）求抛物线的方程；
（2）设 A(x1，y1)和B(x2，y2 )为抛物线上的两个动点，其中 y1 y2，且 y1 y2 4，线段 AB的垂直
平分线 l与 y轴交于点C，求 ABC面积的最大值.
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{#{QQABJQIEogAIQJBAABhCAQGwCgCQkAECAKoOwBAMIAIByRNABAA=}#}高二数学数学试题参考答案：
一．单选（每题 5分）
1．A 2．C 3．B 4．D 5．C 6．A 7．A 8．B
二．多选（每题 6分，漏选得 3分，错选不得分）
9．ACD 10．BC 11．AC
三．填空（每题 5分）
4 27 5 1
12． 13． 14．
7 46
,
9 2
四．解答题（15题 13分，16、17题每题 15分，18、19题每题 17分）
15．（1）依题意 a2 a1 d a1 2， a5 a1 4d a1 8，
又 a1、 a2、 a5成等比数列，
a a 2 2所以 1 5 a2，即 a1 a1 8 a1 2 ，解得 a1 1，
所以 an a1 n 1 d 2n 1 .
1 1 1 1 1
（2）由（1）可得bn an an 1 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1
，
所以 Sn b1 b2 bn
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
3 2 3 5 2 2 n 1 2 n 1
1 1 1 1 1 1
1
2 3 3 5 2n 1 2n 1
1 1 1 1 1 1 .
2 2n 1 2 4n 2 2
16．（1）因为 an 1 2a
*
n 3n 5,n N ，
所以 an 1 n 1 2 2an 3n 5 n 1 2 ，
所以 an 1 n 1 2 2an 2n 4，
所以 an 1 n 1 2 2 an n 2 ，所以bn 1 2bn ，
b
又b1 a1 1 2 2 0
n 1
，则 2b ，n
所以 bn 是以 2为首项， 2为公比的等比数列.
2 n 1 n 1（ ）由（1）可知，bn b1 2 2 2 ，
答案第 1页，共 4页
{#{QQABJQIEogAIQJBAABhCAQGwCgCQkAECAKoOwBAMIAIByRNABAA=}#}
由于 an bn n 2，所以 an 2 2
n 1
n 2 ，
所以 Sn a1 a2 a3 an
2 2 0 1 2 n1 1 2 2 0 2 2 1 2 2 n 2
2 2 0 2 2 1 2 2 2 2 2 n 1 1 0 1 n 2
2 0 2 2
1 2 2 2 n 1 1 0 1 n 2
1 2 n n 1 n 2
2
1 2 2
n
2 2 2 n n 3
.
3 3 2
17．（1）
当 n 1时， a1 S1 2，
n 2 S n 1 2n 1 2 S n 2 2n当 时，由 n ，得 n 1 2，
a S S n 1 2n 1 n 2 2n n则 n n n 1 n 2 ，
因为 a1 2 1 2
1
，所以 an n 2
n；
（2）
n 2
由（1）可知， ·an 1 n 2 2n 1，n 1
T 3 22则 n 4 2
3 5 24 n 2 2n 1，
2T 3 23 4 24则 n 5 2
5 n 2 2n 2，
T 3 22 23 24 2n 1 n 2 2n 2则 n
8 1 2n 1
12 n 2 2n 2
1 2
12 2n 2 8 n 2 2n 2
4 n 1 2n 2，
T n 1 2n 2所以 n 4．
答案第 2页，共 4页
{#{QQABJQIEogAIQJBAABhCAQGwCgCQkAECAKoOwBAMIAIByRNABAA=}#}
x2 2 x
18．（1）设点 P(x 00， )，由 x2
x
2 py y 得 ，求导得 y
2 p 2 p p
，
∵抛物线 x2 2 py上点 P处的切线斜率为1，切线方程为 x y 1 0，
x 20 x
∴ 1，且 x 00 1 0p ，解得
p 2，
2 p
∴抛物线的方程为 x2 4y；
x x y y
（2）设线段 AB中点M (x0，y 1 20 )，则 x0 ， y0 1 2 2，2 2
x22 x
2
1
y 2k y
2 1 4 4 1 (x x ) x0 ，∴直线 l的方程为 y 2 (x x ) 0 ，AB x2 x1 x x 4
1 2 2 x2 01
即 2x x0( 4 y) 0 ，∴ l过定点 (0，4)，即点C的坐标为 (0，4)，
y x 2 0 (x x
2 0
)
联立 x2 2xx0 2x
2
0 8 0 ，
x
2 4y
4x2得 0 4(2x
2
0 8) 0 2 2 x0 2 2，
x2 x2| AB | 1 0 | x x 0 21 2 | (1 )(32 4x 0) (4 x
2
0)(8 x
2) ，
4 4 0
设C(0，4)到 AB的距离 d |CM | x 20 4 ，
∴ S
1 1
ABC | AB | d (4 x
2
0 )
2 (8 x20 )2 2
1 1
(x2 2 2 1 1 24 3
2 2 0
4)(x0 4)(16 2x0 ) ( ) 8，2 2 3
x2当且仅当 0 4 16 2x
2
0 ，即 x0 2时取等号，∴ S ABC的最大值为8 .
19（1）因为b1，b2，b3，b4成等差数列，b1 1，b4 10，设前4项的公差为d ，
b b
所以 d 4 1 3，所以b2 b1 d 4，b3 b1 2d 7，4 1
又数列 bn 是项数为8的对称数列，
所以b8 b1 1，b7 b2 4，b6 b3 7，b5 b4 10，
所以 bn 的项依次为1，4， 7，10，10， 7，4，1.
（2）因为 ck 1,ck 2 c2k构成首项为15，公差为 2的等差数列，
k k 1 2
所以 ck 1 ck 2 c2k 15k k
2 16k ，
2
答案第 3页，共 4页
{#{QQABJQIEogAIQJBAABhCAQGwCgCQkAECAKoOwBAMIAIByRNABAA=}#}
又c1 c2k， c2 c2 k 1，L ， ck ck 1，
所以 S2k 2 c 2k 1 ck 2 c2k 2k 32k 2 k 8
2
128，
所以当 k = 8时 S2k取得最大值，且 S2k 128max .
（3）因为1， 2， 22，...， 2i 1成为数列中的连续项，且该对称数列的项数为 2i 1，
所以这样的对称数列有：
①1， 2， 22 ，...， 2i 2，2i 1， 2i 2，...， 22， 2，1；
②2i 1， 2i 2，...， 22， 2，1， 2， 22 ，...， 2i 2，2i 1；
因为 i 2000，
1 22024
对于①，当 i 2024时 S 1 2 22 22023 220242024 1 ；1 2
当2000 i 2024时 S2024 1 2 2
2 2i 1 2i 2 2i 3 22i 2025
2i 2025 2024 i
1 2i 2 1 2
2i 1 2i 1 2 2i 2025 ，
1 2 1 2
22024 1, i 2024
所以 S2024 2i 1 2i 1
；
2
2i 2025 , 2000 i 2024
2i 2024 1 22024
对于②，当 i 2024时 S 2i 1 2i 2 2i 2024 2i 2i 2024 ；2024 1 2
当2000 i 2024 i 1 i 2 2 1 2 2024 i时 S2024 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2i 2 1 22024 i
2i 1 2 22025 i 2i 3 22025 i ，
1 2 1 2
2i 2i 2024 , i 2024
所以 S2024 i 2025 i ；
2 3 2 ,2000 i 2024
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