2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与矩形、菱形、正方形问题 课件(共43张PPT)

(共43张PPT)
微专题　二次函数与矩形、菱形、正方形问题
微技能——分类讨论思想确定对应关系
一阶
一题多设问
设问突破
二阶
例1 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C.点P是抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，交直线BC于点E.
例1题图①
(1)求抛物线的解析式；
例1题图①
(1)将A(1，0)，B(5，0)代入y＝－x2＋bx＋c中，
得
解得
∴抛物线解析式为y＝－x2＋6x－5 ；
(2)如图②，设点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面内一点，是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】要求使得以B，C，M，N为顶点的四边形是矩形的点M的坐标，已知点M是抛物线对称轴上一点，设点M的坐标，分别求出BC，BM，CM的长，然后根据矩形的性质分别讨论∠CBM，∠BCM，∠CMB为直角的情况，利用勾股定理列方程求解．
例1题图②
M
N
(2)存在．
易得抛物线对称轴为直线x＝3，
∵点M是对称轴上一点，设点M的坐标为(3，m),
易得BC2＝52＋52＝50，BM2＝(5－3)2＋m2＝4＋m2，
①如解图①，连接CM，CM2＝32＋(m＋5)2＝m2＋10m＋34,
例1题解图①
若∠CBM＝90°，
则BC2＋BM2＝CM2,
即50＋4＋m2＝m2＋10m＋34, 解得m＝2,
此时点M的坐标为(3，2);
M
N
②如解图②， 若∠BCM＝90°.
则BC2＋CM2＝BM2,
即50＋m2＋10m＋34＝4＋m2,
解得m＝－8,
此时点M的坐标为(3，－8);
M
N
例1题解图②
③如解图③④，若∠BMC＝90°.
则BM2＋CM2＝BC2,
即4＋m2＋m2＋10m＋34＝50,
解得m＝1或m＝－6，
此时点M的坐标为(3，1)或(3，－6).
综上所述，满足条件的点M坐标为(3，2)或(3，－8)或(3，1)或(3，－6)；
M
M
N
N
例1题解图③
例1题解图④
(3)如图③，点Q是平面直角坐标系内一点，当以点P，E，B，Q为顶点的四边形为菱形时，请求出此时点Q的坐标．
例1题图③
例1题图③
【思维教练】设点P的坐标为(x，－x2＋6x－5)，则点E的坐标为(x，x－5)，共分为四种情况讨论：①当PH＝HE，QH＝HB时，四边形PQEB是菱形；②当点P在x轴上方，且PE＝EB＝BQ＝QP时，四边形PEBQ为菱形；③当点P与点A重合，且PB＝PE＝EQ＝QB时，四边形PEQB是菱形；④当点P在x轴下方，且PE＝EB＝BQ＝QP时，四边形PEBQ为菱形．
例1题图③
(3)设点P的坐标为(x，－x2＋6x－5)
设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)；
将B(5，0)，C(0，5)代入得
解得
∴直线BC的解析式为y＝x－5，则点E的坐标为(x，x－5)，
例1题解图⑤
如解图⑤
∵PE⊥QB，
∴当PH＝HE，QH＝HB时，四边形PQEB是菱形．
此时yP＝－yE，即－x2＋6x－5＝－(x－5)，
解得x1＝2，x2＝5(不合题意，舍去)，
∴QH＝HB＝3，
∴点Q的坐标为(－1，0)；
例1题解图⑥
如解图⑥，当点P在x轴上方，
且PE＝EB＝BQ＝QP时，四边形PEBQ为菱形．
∵PE＝－x2＋6x－5－(x－5)＝－x2＋5x，BE＝ BH＝ (5－x)，
∴－x2＋5x＝ (5－x)，
解得x1＝5(不合题意，舍去)，x2＝ .
当x＝ 时，BQ＝PE＝ ，
∴点Q的坐标为(5， )；
例1题解图⑦
如解图⑦，当点P与点A重合时，PB＝PE.
∴当PB＝PE＝EQ＝QB时，四边形PEQB是菱形．
易得Q的坐标为(5，－4)；
例1题解图⑧
如解图⑧，当点P在x轴下方，
且PE＝EB＝BQ＝QP时，四边形PEBQ为菱形．
∵PE＝x－5－(－x2＋6x－5)＝x2－5x，
BE＝ BH＝ (5－x)，
∴x2－5x＝ (5－x)，
解得x1＝5(不合题意，舍去)，x2＝－ .
当x＝－ 时，QB＝PE＝ ，
∴点Q的坐标为(5， )．
综上所述，存在点Q，使得以点P，E，B，Q为顶点的四边形为菱形．此时点Q的坐标为(－1，0)，(5， )，(5，－4)或(5， )．
(4)如图④，点M是抛物线的顶点，坐标平面内是否存在点P、Q(点P在点Q左侧)，使得以B，M，P，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【思维教练】由BM为定边，可分以BM为正方形的边或以BM为正方形的对角线来确定点P.
例1题图④
【解法提示】当MB为正方形的边时，
①当点P在点M的左侧时，如解图⑨，
∵点M为抛物线的顶点，
∴M点坐标为(3，4)，
∵B(5，0)，
∴BM＝ ，
∴BM＝PM＝ ，
设P1(m，n)，过点P1作P1N1⊥x轴于点N1，
例1题解图⑨
P1
P2
P3
Q1
Q2
Q3
N2
N1
∴BN1＝5－m，P1N1＝n，
∴P1O＝ ，
P1B＝ ，
P1M＝ ，
解得m＝－1，n＝2，
∴P1(－1，2)；
例1题解图⑨
P1
P2
P3
Q1
Q2
Q3
N2
N1
②当点P在点M右侧时，如解图⑨，
∵点P2与点P1关于直线BM对称，
∴P2(3×2＋1，4×2－2)，即P2(7，6)；
当MB为正方形的对角线时，
∵点P在点Q左侧，
∴点P只能在点M的左侧，如解图⑨，
∵BM＝ ，
∴P3B＝PM＝ ，
例1题解图⑨
P1
P2
P3
Q1
Q2
Q3
N2
N1
设P3(m，n)，
∴P3B＝ ，
P3M＝ ，
解得m＝2n，
∵点P3与点Q3关于直线MB对称，
∴Q3(5＋n，5－m)， ，
∴3n＝3，n＝1，∴m＝2n＝2，∴P3(2，1)，
综上所述，存在点P，使得以B，M，P，Q为顶点的四边形为正方形，此时点P的坐标为(－1，2)，(7，6)，(2，1)．
例1题解图⑨
P1
P2
P3
Q1
Q2
Q3
N2
N1
综合训练
三阶
第1题图
1. (2023抚本铁辽葫定心卷)如图，抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)交 x轴于点A(4，0)、B，交 y轴于点C(0，4)．
(1)求抛物线的解析式；
(1)∵抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)
经过A(4，0)，C(0，4)两点，
∴c＝ 解得
∴抛物线的解析式为y＝－ x2＋x＋4；
(2)∵点E是OA的中点，∴E(2，0)．
由题意易知直线CE的解析式为y＝－2x＋4.
∵直线MN到y轴的距离为 ，
∴点D的坐标为( ，0)或(－ ，0)．
当D( ，0)时，点M、N的横坐标为 ，
将x＝ 代入y＝－2x＋4中，得y＝1，
(2)如图①，点E是OA的中点，点D是线段BE上一点(不与点B、E重合)，过点D作x轴的垂线，交直线CE于点M，交抛物线于点N，若直线MN到y轴的距离为 ，求点M与点N之间的距离；
第1题图
将x＝ 代入y＝－ x2＋x＋4中，得y＝ .
∴M( ，1)，N( )，
∴MN＝ ；
当D(－ ，0)时，点M、N的横坐标为－ ，
将x＝－ 代入y＝－2x＋4中，得y＝7，
将x＝－ 代入y＝－ x2＋x＋4中，得y＝ .
第1题图
∴M(－ ，7)，N(－ ， )，
∴MN＝7－ ＝ .
∴点M与点N之间的距离为 或 ；
第1题图
第1题图
(3)如图②，点F在抛物线的对称轴上且在x轴上方，点G在坐标平面内，当以点B、C、F、G为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点F的坐标．
【解法提示】已知抛物线解析式为y＝－ x2＋x＋4，
令y＝0，即－ x2＋x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝4，
∴B(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x＝1.
设点F的坐标为(1，m)．
∵C(0，4)，
∴BC2＝OB2＋OC2＝20，BF2＝9＋m2 ，CF2＝1＋(m－4)2 .
要使以点B、C、F、G为顶点的四边形为菱形，分两种情况讨论，
当BC为菱形的边时，
①当BC＝BF时，即20＝9＋m2 ，
解得m1＝ ，m2＝－ (不符合题意，舍去)，
∴点F的坐标为(1， )；
②当BC＝CF时，
即20＝1＋(m－4)2，
解得m3＝4＋ ，m4＝4－ (不符合题意，舍去)，
∴点F的坐标为(1，4＋ )；
第1题图
当BC为菱形的对角线时，则点F在线段BC的垂直平分线上．
∴BF＝CF，
即9＋m2＝1＋(m－4)2，
解得m＝1.
∴点F的坐标为(1，1)，
综上所述，点F的坐标为(1， )或(1，4＋ )
或(1，1)．
(3)点F的坐标为(1， )或(1，4＋ )或(1，1)．
第1题图
2. 如图，已知抛物线y＝ax2－2ax＋b与x轴交于点A(－2，0)和点B，与y轴交于点C(0，4)．
(1)求抛物线的解析式；
第2题图
备用图
解：(1)将点A、C的坐标分别代入抛物线的解析式，
得 解得
∴抛物线的解析式为y＝ x2＋x＋4；
(2)点P是第四象限抛物线上一点，连接AC、AP，当∠PAB＝2∠ACO时，求点P的坐标；
(2)如解图，在OB上取一点R，使OR＝OA＝2，连接CR，
则∠ACR＝2∠ACO＝∠PAB，
过点A作AK⊥CR于点K，设直线AP交y轴于点H，
H
R
第2题图
在y＝－ x2＋x＋4中，令y＝0，
即－ x2＋x＋4＝0，
解得x1＝－2(舍去)，x2＝4，
∴B(4，0)．
K
∵A(－2，0)，C(0，4)，
∴AR＝4，OC＝4，AC＝CR＝
∴S△ACR＝ AR·OC＝ CR·AK，
即 ×4×4＝ 解得AK＝ ，
∴CK＝ ，
∴tan∠ACK＝
H
R
第2题图
K
∵∠PAB＝2∠ACO＝∠ACK，
∴tan∠ACK＝tan∠PAB.
在Rt△AOH中，OH＝OA·tan∠PAB＝ .
∴H(0， )．
由点A、H的坐标得直线AP的解析式为y＝ .
联立 解得 或 (舍去)，
∴点P的坐标为( )；
H
R
第2题图
K
(3)点M是抛物线的对称轴上一动点，在平面内是否存在点N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
第2题图
【解法提示】∵y＝ x2＋x＋4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
设点M的坐标为(1，m)，
∵B(4，0)，C(0，4)，
∴BM2＝9＋m2，CM2＝m2－8m＋17，BC2＝32.
当以M、N、B、C为顶点的四边形是矩形时，需分以BC为边和BC为对角线两种情况讨论．
①当BC为边时，以M、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形，则分以MC为斜边和以MB为斜边，
当以MC为斜边时，BC2＋BM2＝CM2，即32＋9＋m2＝m2－8m＋17，解得m＝－3，
∴点M的坐标为(1，－3)．
由xC＋xM＝xB＋xN，得xN＝－3，同理可得yN＝1，
∴点N的坐标为(－3，1)；
第2题图
当以MB为斜边时，
BC2＋CM2＝BM2，即32＋m2－8m＋17＝m2＋9，
解得m＝5，∴M(1，5)．
由xB＋xM＝xC＋xN，得xN＝5，
同理可得yN＝1，∴点N的坐标为(5，1)；
②当以BC为对角线时，以M、B、C为顶点的三角形是以BC为斜边的直角三角形，则BM2＋CM2＝BC2，即9＋m2＋m2－8m＋17＝32，
解得m1＝2＋ ，m2＝2－ ，
∴点M的坐标为(1，2＋ )或(1，2－ )，
第2题图
由xB＋xC＝xM＋xN，得xN＝3，
同理可得yN＝2－ 或2＋ ，
∴点N的坐标为(3，2－ )或(3，2＋ )．
综上所述，存在点N
使得以M、N、B、C为顶点的四边形是矩形，满足条件的点N的坐标为(－3，1)或(5，1)或(3，2－ )或(3，2＋ )．
(3)存在，点N的坐标为(－3，1)或(5，1)或(3，2－ )或(3，2＋ )．
第2题图
3. 直线y＝－x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B，与x轴的另一个交点为C.
(1)求抛物线的解析式；
第3题图①
备用图
(1)在y＝－x＋3中，令y＝0，则x＝3，
令x＝0，则y＝3，
∴A(3，0)，B(0，3)，
把A(3，0)，B(0，3)代入y＝ax2＋2x＋c得， ∴
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)如图①，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，DF⊥AB于点F，FG⊥x轴于点G，当DE＝FG时，求点D的坐标；
第3题图①
由(1)可知抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，
直线AB的解析式为y＝－x＋3，
设D(m，－m2＋2m＋3)，
∵DE∥y轴，∴E(m，－m＋3)，
∴DE＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m，ME＝－m＋3，
(2)如解图，延长DE交x轴于点M，则DM⊥x轴
M
∵B(0，3)，A(3，0)∴OB＝OA＝3，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵DM⊥x轴，DF⊥AB，∴∠DEF＝∠AEM＝45°，
∴DE＝ EF，AF＝ FG，
∵DE＝FG，∴AF＝2EF，∴AE＝EF，
∵FG⊥x轴，∴FG∥ME，
∴ ∴FG＝2ME，
∴DE＝2ME，∴－m2＋3m＝2(－m＋3)，
∴m＝2或m＝3(舍去)，
∴D(2，3)；
第3题图①
M
(3)如图②，在(2)的条件下，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，过点H作HK∥y轴，交直线CD于点K.P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．
第3题图②
【解法提示】在y＝－x2＋2x＋3中，令y＝0，则－x2＋2x＋3＝0，
解得x＝－1或x＝3，∴点C的坐标为(－1，0)，
设直线CD的解析式为y＝kx＋b，根据题意得
解得 ，
∴直线CD的解析式为y＝x＋1.
联立直线CD与直线AB的解析式得 解得
∴点M的坐标为(1，2)．
①当MK为正方形边时，则MH⊥MK时，
H点在AB上，K点在CD上．
∵H点在抛物线上，∴H(3，0)或H(0，3)；
当H(3，0)时，MH＝ ，∴KH＝4，
∴K(3，4)
∴HK的中点为(3，2)，则MP的中点为(3，2)；
∴P(5，2)；
第3题图②
当H(0，3)时，MH＝ ，∴KH＝2，∴K(0，1)，
∴HK的中点为(0，2)，则M的中点为(0，2)∴P(－1，2)；
②当MK为正方形的对角线时，如解图②，则MH⊥HK，PM∥KH，
∵HK∥y轴， ∴PM∥y轴，MH⊥y轴，
∴∠PMK＝∠OBA＝45°，MH∥x轴，
∴点H的纵坐标为2，∴－x2＋2x＋3＝2，
解得x1＝ ＋1，x2＝－ ＋1，
即点H的横坐标为为 ＋1或－ ＋1，
∴MH＝ ，
第3题解图②
∵四边形MHKP是正方形，
∴PM＝MH＝ ，
又PM∥y轴，
∴点P的坐标为(1，2＋ )或(1，2－ )．
综上所述，点P的坐标为(5，2)或(－1，2)
或(1，2＋ )或(1，2－ )．
(3)(1，2＋ )或(1，2－ )．
第3题解图②