2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与相似三角形问题 课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋1与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C的抛物线y＝ax2－ x＋c与直线AC交于点B(4，3)．
例 1
微技能——分类讨论思想确定对应关系
一阶
一题多设问
微专题 　二次函数与相似三角形问题(含全等)
一题多设问
二阶
见微专题 相似三角形的对应关系不确定
解：(1)∵直线y＝kx＋1与y轴交于点C，
∴点C的坐标为(0，1)．
∵抛物线y＝ax2－ x＋c过C(0，1)，B(4，3)，
∴
∴抛物线的表达式为y＝ x2－ x＋1；
(1)求抛物线的表达式；
例1题图①
(2)已知x轴上一动点Q(m，0)，连接BQ，若△ABQ与△AOC相似，求m的值；
【思维教练】已知点Q的坐标，即可用m表示出AQ的长，由于未说明两三角形相似的对应关系，要考虑两种情况：①当点C的对应点是点B时；②当点C的对应点是点Q时，然后利用三角形相似的性质得到对应边成比例，从而列关于m的方程即可求解．
例1题图②
(2)如解图①，分两种情况讨论，
①当点C的对应点是点B时，过点B作BQ1⊥x轴于点Q1，
∵BQ1∥CO，
∴△AOC∽△AQ1B，
此时点Q1的坐标为(4，0)，即m的值为4；
②当点C的对应点是点Q2时，过点B作BQ2⊥AB，交x轴于点Q2，
∵∠CAO＝∠Q2AB，∠AOC＝∠ABQ2＝90°，
∴△AOC∽△ABQ2，
∴ ，
例1题解图①
由①知△AOC∽△AQ1B，
∴ ，
∴AO＝2，∴AC＝ ，
在Rt△AQ1B中，AQ1＝AO＋OQ1＝2＋4＝6，BQ1＝3，
∴由勾股定理得AB＝
∴
解得m＝ .
综上所述，若△ABQ与△AOC相似，m的值为4或 ；
例1题解图①
(3)设抛物线的对称轴与BC相交于点Q，点P是抛物线对称轴上的动点，且点P不与点Q重合，是否存在点P，使得以P、B、Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
例1题图③
【思维教练】由已知条件可知△AOC是直角三角形，所以△BPQ一定也是直角三角形，故点P一定在点Q的上方．在△AOC和△BPQ中，∠ACO＝∠BQP，所以只需要在△BPQ中确定一个直角即可．分情况考虑：①∠BPQ＝90°；②∠QBP＝90°，
再分别求解，点P的坐标即可求出．
例1题图③
例1题图③
(3)存在，
∵C(0，1)，B(4，3)在直线y＝kx＋1上，∴代入得k＝ ，
∴直线AC的表达式为y＝ x＋1，
由抛物线的表达式y＝ x2－ x＋1得对称轴为直线x＝ ，
∵点Q在直线AC上，
∴将x＝ 代入y＝ x＋1中，
得y＝ ，
∴点Q的坐标为( ， )，
如解图②，设直线x＝ 与x轴的交点为点M，
则OC∥QM，
∴∠OCA＝∠MQA＝∠BQP，
又∵∠AOC＝90°，
∴要分为两种情况：
①当∠BP1Q＝90°，即BP1∥x轴时，△BP1Q∽△AOC，
∵点B的坐标为(4，3)，
∴点P1的坐标为( ，3)；
例1题解图②
②当∠QBP2＝90°，即BP2⊥BQ时，△QBP2∽△COA，
∴
由(2)得AC＝ ，
设P2( ，p)，
∵B(4，3)，Q( ， )，P1( ，3)，
∴BP1＝4－ ＝ ，P1Q＝3－ ＝ ，P2Q＝p－ ，
在Rt△BQP1中，
由勾股定理得BQ＝
例1题解图②
例1题解图②
∴
∴点P2的坐标为( ， ) .
综上所述，满足条件的点P的坐标为
( ，3)或( ， )；
(4)连接BO，点S是抛物线CB段上的动点，过点S作SK∥x轴，交BO于点K，是否存在点S，使得△AOB∽△SKO？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．
例1题图④
【思维教练】由△AOB∽△SKO得∠AOB＝∠SKO，即点S在点K的右侧，再由△AOB∽△SKO，得∠ABO＝∠SOK，从而得到OS∥AB，由(2)可得AB的表达式，再平移得到OS的表达式，然后与抛物线表达式联立解方程即可求出点S的坐标．
(4)存在．
理由如下：∵△AOB∽△SKO，
∴∠AOB＝∠SKO，
∴点S在点K的右侧，
由△AOB∽△SKO，
得∠ABO＝∠SOK，
∴OS∥AB，
∴直线OS的表达式为y＝ x，
例1题图④
∴综上所述，满足条件的点S的坐标为(2－ ，1－ )或(2＋ ， 1＋ )．
例1题图④
综合训练
三阶
1. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D.
第1题图
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
解：(1)∵A(－1，0)，B(3，0)，a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴点D的坐标为(1，－4)；
(2)连接BC、BD、CD，求△BCD的面积；
(2)如解图，当x＝0时，y＝－3，
∴C(0，－3)．
∵D(1，－4)，
∴BC＝ ，CD＝ ，
BD＝
∵BC2＋CD2＝18＋2＝20＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°.
∴S△BCD＝ BC·CD＝ ×3 × ＝3；
第1题图
(3)点E在y轴上，且DE＝EB，点P在直线DE上，当△BEP与△BOE相似时，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．
【解法提示】设点E的坐标为(0，m)，
∴BE2＝OE2＋OB2＝m2＋9.
如解图②，过点D作DF⊥y轴于点F，
∴DE2＝EF2＋DF2＝(m＋4)2＋1.
∵DE＝EB，
∴(m＋4)2＋1＝m2＋9，
第1题解图②
第1题图
解得m＝－1，
∴点E的坐标为(0，－1)．
∵D(1，－4)
∴DE所在的直线表达式为y＝－3x－1，
∵点B(3，0)，
∴BO＝EF＝3，EO＝DF＝1，
根据勾股定理，得BE＝ ，
∵∠BOE＝∠EFD＝90°，
∴△BOE≌△EFD，
第1题解图②
∴∠DEF＝∠EBO.
又∵∠EBO＋∠BEO＝90°，
∴∠DEF＋∠BEO＝90°，
∴∠BED＝180°－90°＝90°，
∴DE⊥BE.
①当OB与EB是对应边时，
∵△BOE∽△BEP，
∴ ∴EP＝ .
第1题解图②
如解图②，过点P作PG⊥y轴于点G，易得△EGP∽△EFD，
∴EG＝ EF＝1，PG＝ DF＝ .
当点P在点E的左边时，OG＝EG－EO＝1－1＝0，
∴代入直线DE∶y＝－3x－1，得x＝－ ，
∴点P(－ ，0)；
当点P在点E的右边时，OG＝EO＋EG＝1＋1＝2，
∴代入直线DE∶y＝－3x－1，得x＝ ，∴点P( ，－2)；
第1题解图②
②当OB与EP是对应边时，
∵△BOE∽△PEB，
∴
∴EP＝ .
过点P作PG⊥y轴于点G，
∵△EPG∽△EDF，
∴
∴EG＝3EF＝9，PG＝3DF＝3.
当点P在点E的左边时，OG＝EG－OE＝9－1＝8，
第1题解图②
(3)点P的坐标为(－ ，0)或( ，－2)或(－3，8)或(3，－10)．
∴代入直线DE：y＝－3x－1，得x＝－3，
∴点P(－3，8)；
当点P在点E的右边时，OG＝OE＋EG＝1＋9＝10，
∴代入直线DE得：y＝－3x－1，x＝3，
∴点P(3，－10)．
综上所述，满足条件的点P的坐标为(－ ，0)或( ，－2)或(－3，8)或(3，－10)．
第1题解图②
2. 如图，抛物线y＝ x2＋bx＋c与x轴交于A(－8，0)、B(2，0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线上第三象限内的一个动点，连接AC，AD，DC，BC.
第2题图
(1)求抛物线的函数表达式及点C的坐标；
解：(1)将A(－8，0)、B(2，0)代入y＝ x2＋bx＋c中，
∴抛物线的表达式为y＝ x2＋ x－4.
当x＝0时，y＝－4，
∴点C的坐标为(0，－4)；
第2题图
(2)当四边形ABCD的面积为36时，求点D的坐标；
∵A(－8，0)，B(2，0)，C(0，－4)，
∴AB＝10，OC＝4.
∴S△ABC＝ AB·OC＝ ×10×4＝20.
∴S△ADC＝S四边形ABCD－S△ABC＝36－20＝16.
第2题图
G
H
(2)如解图，过点D作DG⊥AB交AB于点G，交AC于点H.
设直线AC的表达式为y＝kx＋d(k≠0)，
将A(－8，0)，C(0，－4)代入，得
∴直线AC的表达式为y＝－ x－4.
第2题图
G
H
设D(x， x2＋ x－4)(－8＜x＜0)，
则H(x，－ x－4)，
∴DH＝yH－yD＝(－ x－4)－( x2＋ x－4)
＝－ x2－2x，
∴S△ADC＝ DH·OA＝ ×(－ x2－2x)×8
＝－x2－8x＝16，
解得x1＝x2＝－4，
代入抛物线得y＝－6，
∴点D的坐标为(－4，－6)；
第2题图
G
H
(3)在(2)的条件下，平面内是否存在点M(不与点C重合)，使得以点A，D，M为顶点的三角形与△ACD全等？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解法提示】由题意，当以点A，D，M为
顶点的三角形与△ACD全等时，
可分两种情况进行讨论：
①当△ACD △AMD时，
CD＝MD，AC＝AM.
∵A(－8，0)，C(0，－4)，D(－4，－6)
≌
第2题图
G
H
∴直线AD的表达式为y＝－ x－12.
∵△ACD △AMD，
∴点C与点M关于直线AD对称，
∴直线CM⊥AD.
∴直线CM的表达式y＝ x－4.
≌
设直线AD的表达式为y＝k1x＋b1(k1≠0)，将A(－8，0)，D(－4，－6)代入得
第2题图
G
H
∴线段CM中点的坐标为(－ ，－ )．
设点M的坐标为(m，n)，
∴
∴点M1的坐标为(－ ， )．
第2题图
G
H
②当△ACD △DMA时，
Ⅰ.当点M在AD的下方时，MA＝CD，∠MAD＝∠CDA.
∴MA∥CD.
∵A(－8，0)，C(0，－4)，D(－4，－6)，
∴点M2的坐标为(－12，－2)；
Ⅱ.当点M在AD的上方时，
此时M1M3与AD互相平分．
∵A(－8，0)，D(－4，－6)，
∴AD中点的坐标为(－6，－3)．
≌
第2题图
G
H
设M3的坐标为(m3，n3)，
∴
∴M3坐标为(－ ， )．
综上所述，存在点M使得以A，D，M为
顶点的三角形与△ACD全等，此时点M的
坐标为(－ ， )或(－12，－2)或(－ ， )．
第2题图
G
H
(3)存在，点M的坐标为(－ ，－ )或(－12，－2)或(－ ， )．
第2题图
G
H