2023-2024学年高一下学期数学- 简单几何体的表面积和体积（人教A版2019必修第二册）
一、知识归纳：
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）正方体、长方体的表面积：
长、宽、高分别为的长方体的表面积： ；
棱长为的正方体的表面积： .
（2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图:
棱柱的侧面展开图为 ，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的 .如图:
棱锥的侧面展开图由若干个 拼成如图
棱台的侧面展开图由若干个 拼成如图.
（3）棱柱、棱锥、棱台的表面积:
棱柱的表面积：；棱锥的表面积：；棱台的表面积：
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
（1）棱柱的体积
棱柱的高：柱体的 之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.
棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即 .
（2）棱锥的体积
棱锥的高：锥体的 之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.
棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即 .
（3）棱台的体积
棱台的高：台体的 之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长
棱台的体积： (,分别为上下底面面积，为台体的高)
3.圆柱、圆锥、圆台的表面积
（1）圆柱的表面积
圆柱的侧面积：
圆柱的侧面展开图是一个 .圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的 ，故圆柱的侧面积为.
圆柱的表面积： .
（2）圆锥的表面积：
圆锥的侧面积：
圆锥的侧面展开图是一个 .圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的 ，故圆锥的侧面积为 .
圆锥的表面积：
（3）圆台的表面积：
圆台的侧面积：圆台的侧面展开图是一个 .圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故
圆台的侧面积为
圆台的表面积：
4.圆柱、圆锥、圆台的体积
（1）圆柱的体积：
（2）圆锥的体积：
（3）圆台的体积：
5.球的表面积和体积：
（1）球的表面积： ；（2）球的体积: .
6.内切外接球的常用结论：
（1）球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的 ，此时球的半径为 ，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）．
（2）球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有 ，如图（2）．
（3）长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的 ，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为，则球的半径为 ，如图（3）.
（4）正方体棱长与外接球半径的关系为 ．
（5）正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为 ．
自检自纠：
1. （1）， （2）平行四边形，底面周长，三角形，梯形
2. （1）两底面， （2）顶点到底面，（3）两底面，
3. （1）矩形，母线长，，（2）扇形，母线长，（3）扇环，， 4. （1）（2）（3） 5. （1）（2）
6. （1）内切球， （2） （3）外接球，（4） （5）
二、分层小练
A.基础训练
一、单选题：（每小题5分，共30分）
1．已知棱柱的底面积为，高为，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据棱柱的体积公式可得，.故选：D
2．一个长方体的三个面的面积分别为则这个长方体的体积为( )
A．6 B． C．3 D．2
【答案】B
【详解】设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则，，﹒故选：B.
3．如图所示，圆柱与圆锥的组合体，已知圆锥部分的高为，圆柱部分的高为，底面圆的半径为，则该组合体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意可知，底面圆的半径为圆柱部分的高为，圆锥部分的高为，所以圆柱部分的体积为，圆锥部分的体积为，所以该组合体的体积为.故选：C.
4．已知一个底面半径为2，高为的圆锥，被一个过该圆锥高的中点且平行于该圆锥底面的平面所截，则截得的圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意可得圆台的下底面半径为2，上底面半径为1，高为，故该圆台的体积.故选：A.
5．某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为，，故该香料收纳罐的容积为．故选：C．
6．一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1、、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，它的外接球就是以分别为长宽高的长方体的外接球，长方体的对角线长：，所以球的直径是4，半径为2，球的表面积：.故选：A
二、多选题（每小题5分，有错选0分，有漏选得2分，共10分）
7．已知某球的表面积为，则下列说法中正确的是（ ）
A．球的半径为2 B．球的体积为 C．球的体积为 D．球的半径为1
【答案】AC
【详解】设球的半径为，则，所以球的体积为，所以AC选项正确，BD选项错误.故选：AC
8．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（ ）
A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥的侧面积为
【答案】ABD
【详解】设为等边三角形的中心，为的中点，连接，则为正三棱锥的高，为斜高，又，，故,故AB正确.而正三棱锥的体积为，侧面积为，故C错误，D正确.故选：ABD.
三、填空题（每小题5分，共10分）
9．若球的过球心的圆面圆周长是，则这个球的表面积是 .
【答案】
【详解】设求的半径为，则，所以球的表面积是：.故答案为：
10．如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长度都是2，则它的外接球的体积是 .
【答案】
【详解】因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且侧棱均为，所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，求出正方体的对角线的长为，所以球的直径是，半径为，所以球的体积为.
故答案为：.
B.提升强化
一、单选题：（每小题5分，共30分）
1．如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是2和4，则该圆台的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设圆台上底面圆半径为，则，解得：，设圆台下底面圆的半径为，则，解得：，圆台的母线长为，画出圆台，如下，过点D作DE⊥AB于点E，则，
由勾股定理得：，所以圆台的体积为.故选：B.
2．已知某种装水的瓶内芯近似为底面半径是4dm、高是8dm的圆锥，当瓶内装满水并喝完一半，且瓶正立旋置时（如图所示），水的高度约为（ ）（参考数据：，）
A．1.62dm B．1.64dm C．3.18dm D．3.46dm
【答案】B
【详解】因为瓶内装满水并喝完一半，所以当装水的瓶正立放置时，圆锥上半部分的体积占圆锥体积的一半，设上半部分小圆锥的底面半径为r dm，则由题意可得小圆锥的高为2r dm，则，解得，即，．则剩余的水的高度为．故选：B
3．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过，，，的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设当底面水平放置时，液面高为，依题意，侧面水平放置时，液面恰好过，，，的四等分点处，，所以水的体积，解得.
故选：B
4．著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设圆柱的母线长为l，内切球的半径为r，如图所示， 则其轴截面如图所示，则，所以圆柱的内切球体积为，圆柱体积为，所以圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为.故选：D.
5．如题图所示，长方体的底面ABCD的斜二测直观图为平行四边形．已知，，，则将该长方体截去一个三棱锥后剩余的几何体体积为（ ）
A．50 B．30 C．25 D．15
【答案】A
【详解】因为，，，所以在长方体中，，所以长方体的体积为，又，所以长方体截去一个三棱锥后剩余的几何体体积为，故选：A.
6．将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥（接缝处忽略不计），则该圆锥的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，由题意可得，由，所以．因为，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，该等边三角形（如图）的内切圆半径为圆锥内切球半径，而等边三角形的边长为4，故，故．故选：C．
二、多选题（每小题5分，有错选0分，有漏选得2分，共10分）
7．如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ）
A．直三棱柱侧面积是 B．直三棱柱体积是
C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为
【答案】ACD
【详解】在直三棱柱中，，，，底面和是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2+，故A正确；直三棱柱的体积为，故B不正确；由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱上的一个动点， 三棱锥的高为定值，××2＝，××＝，故C正确；
设BE＝x，则B1E＝2﹣x，在和中，∴＝．由其几何意义，即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值，由对称可知，当为的中点时，其最小值为，故D正确．故选：ACD．
8．若正四面体外接球的表面积为，则（ ）
A．该正四面体的体积
B．该正四面体的表面积为
C．该正四面体内切球的半径为
D．该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距离的最小值为
【答案】ACD
【详解】设正四面体的外接球半径为R，则，得.把正四面体A－CFG补形为正方体ABCD－EFHG，则，得，AF＝3.，A正确.该正四面体的表面积为，B错误.设正四面体的高为h，则，得，因为正四面体的外接球球心与内切球球心重合，所以内切球半径，C正确.该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距离的最小值为，D正确.故选：ACD.
三、填空题（每小题5分，共10分）
9．若一个正四棱台的上下底面的边长分别为2和4，侧棱长为，则这个棱台的体积为 ．
【答案】28
【详解】因为上下底面的对角线长分别为和，求得正四棱台的高为，所以棱台的体积为．故答案为：28.
10．在四面体中，，，，，，则四面体ABCD外接球的表面积为 ．
【答案】
【详解】如图,因为,,,所以,在中,由正弦定理得,解得,因为,所以.取的中点,可知为四面体ABCD外接球的球
心,外接球的半径.所以四面体外接球的表面积．2023-2024学年高一下学期数学- 简单几何体的表面积和体积（人教A版2019必修第二册）
一、知识归纳：
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）正方体、长方体的表面积：
长、宽、高分别为的长方体的表面积： ；
棱长为的正方体的表面积： .
（2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图:
棱柱的侧面展开图为 ，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的 .如图:
棱锥的侧面展开图由若干个 拼成如图
棱台的侧面展开图由若干个 拼成如图.
（3）棱柱、棱锥、棱台的表面积:
棱柱的表面积：；棱锥的表面积：；棱台的表面积：
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
（1）棱柱的体积
棱柱的高：柱体的 之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.
棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即 .
（2）棱锥的体积
棱锥的高：锥体的 之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.
棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即 .
（3）棱台的体积
棱台的高：台体的 之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长
棱台的体积： (,分别为上下底面面积，为台体的高)
3.圆柱、圆锥、圆台的表面积
（1）圆柱的表面积
圆柱的侧面积：
圆柱的侧面展开图是一个 .圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的 ，故圆柱的侧面积为.
圆柱的表面积： .
（2）圆锥的表面积：
圆锥的侧面积：
圆锥的侧面展开图是一个 .圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的 ，故圆锥的侧面积为 .
圆锥的表面积：
（3）圆台的表面积：
圆台的侧面积：圆台的侧面展开图是一个 .圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故
圆台的侧面积为
圆台的表面积：
4.圆柱、圆锥、圆台的体积
（1）圆柱的体积：
（2）圆锥的体积：
（3）圆台的体积：
5.球的表面积和体积：
（1）球的表面积： ；（2）球的体积: .
6.内切外接球的常用结论：
（1）球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的 ，此时球的半径为 ，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）．
（2）球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有 ，如图（2）．
（3）长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的 ，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为，则球的半径为 ，如图（3）.
（4）正方体棱长与外接球半径的关系为 ．
（5）正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为 ．
自检自纠：
1. （1）， （2）平行四边形，底面周长，三角形，梯形
2. （1）两底面， （2）顶点到底面，（3）两底面，
3. （1）矩形，母线长，，（2）扇形，母线长，（3）扇环，， 4. （1）（2）（3） 5. （1）（2）
6. （1）内切球， （2） （3）外接球，（4） （5）
二、分层小练
A.基础训练
一、单选题：（每小题5分，共30分）
1．已知棱柱的底面积为，高为，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
2．一个长方体的三个面的面积分别为则这个长方体的体积为( )
A．6 B． C．3 D．2
3．如图所示，圆柱与圆锥的组合体，已知圆锥部分的高为，圆柱部分的高为，底面圆的半径为，则该组合体的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知一个底面半径为2，高为的圆锥，被一个过该圆锥高的中点且平行于该圆锥底面的平面所截，则截得的圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ）
A． B． C． D．
6．一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1、、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
二、多选题（每小题5分，有错选0分，有漏选得2分，共10分）
7．已知某球的表面积为，则下列说法中正确的是（ ）
A．球的半径为2 B．球的体积为 C．球的体积为 D．球的半径为1
8．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（ ）
A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥的侧面积为
三、填空题（每小题5分，共10分）
9．若球的过球心的圆面圆周长是，则这个球的表面积是 .
10．如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长度都是2，则它的外接球的体积是 .
B.提升强化
一、单选题：（每小题5分，共30分）
1．如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是2和4，则该圆台的体积是（ ）
A． B． C． D．
2．已知某种装水的瓶内芯近似为底面半径是4dm、高是8dm的圆锥，当瓶内装满水并喝完一半，且瓶正立旋置时（如图所示），水的高度约为（ ）（参考数据：，）
A．1.62dm B．1.64dm C．3.18dm D．3.46dm
3．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过，
，，的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（ ）
A． B． C． D．
4．著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为（ ）．
A． B． C． D．
5．如题图所示，长方体的底面ABCD的斜二测直观图为平行四边形．已知，，，则将该长方体截去一个三棱锥后剩余的几何体体积为（ ）
A．50 B．30 C．25 D．15
6．将半径为,圆心角为的扇形围成一个圆锥（接缝处忽略不计）,则该圆锥的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题5分，有错选0分，有漏选得2分，共10分）
7．如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ）
A．直三棱柱侧面积是 B．直三棱柱体积是
C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为
8．若正四面体外接球的表面积为，则（ ）
A．该正四面体的体积
B．该正四面体的表面积为
C．该正四面体内切球的半径为
D．该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距离的最小值为
三、填空题（每小题5分，共10分）
9．若一个正四棱台的上下底面的边长分别为2和4，侧棱长为，则这个棱台的体积为 ．
10．在四面体中，，，，，，则四面体ABCD外接球的表面积为 ．
