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抢分秘籍09实际应用问题（含一次函数、反比例函数、二次函数的实际问题）（压轴通关）
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【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）
用一次函数、反比例函数、二次函数解决实际问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，用函数求最值问题是数学的基础，也是高频考点、必考点，所以必须提高运算能力。
2．从题型角度看，以解答题的第五题或第六题为主，分值8分左右，着实不少！
题型一 用一次函数解决实际问题
【例1】（2024·河南漯河·一模）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以龙的十二生肖专属汉字“辰”为名．设计灵感以中华民族龙图腾的代表性实物，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某网店从工厂购进大号、中号两种型号的“龙辰辰”，已知每个大号“龙辰辰”进价比中号“龙辰辰”多15元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元．
(1)求大号、中号两种型号的“龙辰辰”的进价．
(2)该网点准备购进两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半．中号“龙辰辰”定价60元，大号“龙辰辰”的定价比中号多．当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)大号的“龙辰辰”的进价为55元，中号的“龙辰辰”的进价为元
(2)当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是元．
【分析】此题考查了一次函数、一元一次不等式、一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解题的关键．
（1）设大号的“龙辰辰”的进价为x，则中号的“龙辰辰”的进价为元，根据2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元列方程，解方程即可得到答案；
（2）设购进大号“龙辰辰”m个，则中号“龙辰辰”的个数为个，销售总利润为元，得到，再根据题意求出，根据一次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：设大号的“龙辰辰”的进价为x，则中号的“龙辰辰”的进价为元，则
解得，
则，
答：大号的“龙辰辰”的进价为55元，中号的“龙辰辰”的进价为元；
（2）解：设购进大号“龙辰辰”m个，则中号“龙辰辰”的个数为个，销售总利润为元，
则，
∵大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半
∴，
∴，
∵中，，
∴w随着m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，
∴当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是元．
【例2】（2024·河南信阳·一模）烟花爆竹的发明与火药技术的使用息息相关．最初的爆竹是由唐朝的李畋发明的，他利用火药、纸筒等材料制作爆竹，目的是产生巨大声响以驱鬼辟邪，烟花爆竹不仅在重要节日以示庆贺，还承载着中国人迎祥纳福的美好愿望．小红的爸爸是一家烟花爆竹店的老板，在春节前购进甲，乙两种烟花，用3120元购进甲种烟花与用4200元购进乙种烟花的数量相同，乙种烟花进货单价比甲种烟花进货单价多9元．
(1)求甲、乙两种烟花的进货单价；
(2)小红的爸爸打算再购进甲、乙两种烟花共1000个，其中乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍，如何进货才能花费最少？并求出最少的花费．
【答案】(1)甲种烟花的进货单价为26元，则乙种烟花的进货单价为元；
(2)购进甲种烟花个，则乙种烟花个，花费最少为元．
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程及一元一次不等式和相应的函数关系式．
（1）设甲种烟花的进货单价为x元，则乙种烟花的进货单价为元，由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种烟花m个，则乙种烟花个，花费为y元，根据题意确定相应的函数关系式和不等式，然后求解，利用一次函数的性质即可得出结果．
【详解】（1）解：设甲种烟花的进货单价为x元，则乙种烟花的进货单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则，
答：甲种烟花的进货单价为26元，则乙种烟花的进货单价为元；
（2）设购进甲种烟花m个，则乙种烟花个，花费为y元，
由题意得：，
∵乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍，
∴，
解得：，
∵，则y随m的增大而减小，
∴当时，y最小，最小为元，
则，
答：购进甲种烟花个，则乙种烟花个，花费最少为元．
1．（2024·浙江温州·一模）2023 年 10月4日，亚运会龙舟赛在温州举行． 某网红店看准商机，推出了 A 和B 两款龙舟模型． 该店计划购进两种模型共200个，购进 B 模型的数量不超过 A模型数量的2 倍． 已知B 模型的进价为30元/个，A 模型的进价为20元/个，B 模型售价为45元/个, A 模型的售价为30元/个．
(1)求售完这批模型可以获得的最大利润是多少
(2)如果B模型的进价上调m元，A 模型的进价不变，但限定 B模型的数量不少于 A 模型的数量，两种模型的售价均不变． 航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的最大利润是2399元，请求出m的值．
【答案】(1)2665元
(2)2
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）分及三种情况，找出y关于x都函数关系式．
（1）设购进模型x个，则购进模型个，根据购进模型的数量不超过模型数量的2倍，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论；设售完这批模型可以获得的总利润为y元，利用总利润=每个的销售利润×销售数量（购进数量），可得出y关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
（2）由购进模型的数量不少于模型的数量，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，结合（1）的结论可确定x的取值范围，分三种情况，找出y关于x的函数关系式或y的值，结合y的最大值为2399，可求出m的值，取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设购进模型x个，则购进模型个，
根据题意得：，
解得： ，
又∵x为正整数，∴x的最大值为
设售完这批模型可以获得的总利润为y元，则，
即
∵
∴y随x的增大而增大，
∴当时，y取得最大值，最大值．
答：售完这批模型可以获得的最大利润是2665元；
（2）解：根据题意得：
解得：
又∵，且x为正整数，
∴且x为整数．
当时，
即
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，y取得最大值，此时，
解得：；
当时，
即，不符合题意，舍去；
当时，
即，
∵
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最大值，此时
解得：（不符合题意，舍去）．
答：m的值为2．
2．（2024·湖南怀化·一模）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知B型充电桩比A型充电桩的单价多万元，且用20万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划购买A，B两种型号充电桩共26个，购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A，B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？
【答案】(1)A，B两种型号充电桩的单价各是1万元，万元
(2)A，B型充电桩各购买18个，8个可使购买总费用最少
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设A型号充电桩的单价为x万元，则B型号充电桩的单价为万元，根据用20万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等列出方程求解即可；
（2）设购买A型号充电桩m个，总费用为W，则购买B型号充电桩个，先根据题意列出不等式组求出m的取值范围，再求出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A型号充电桩的单价为x万元，则B型号充电桩的单价为万元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：A，B两种型号充电桩的单价各是1万元，万元；
（2）解：设购买A型号充电桩m个，总费用为W，则购买B型号充电桩个，
∵购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．
∴，
解得，
，
∵，
∴W随m增大而减小，
又∵m为正整数，
∴当时，总费用最少，
∴，
答：A，B型充电桩各购买18个，8个可使购买总费用最少．
3．（2024·河北石家庄·一模）周末，甲、乙两学生从学校出发，骑自行车去图书馆． 两人同时从学校出发，以每分钟a米的速度匀速行驶，出发5分钟时，甲同学发现忘带学生证，以a米/分的速度按原路返回学校，取完学生证后（在学校取学生证的时间忽略不计），立即以另一速度匀速追赶乙． 甲追上乙后，两人继续以a米/分的速度前往图书馆，乙骑自行车的速度始终不变． 设甲、乙两名同学相距的路程为s（米），行驶的时间为x（分），s与x之间的函数图象如图1所示； 甲学生距图书馆的路程为y（米），行驶的时间为x（分），y与x之间的部分函数图象如图2所示．
(1)学校与图书馆之间的路程为 米， ；
(2)分别求及时，s与x的函数关系式，并求甲、乙两名同学相距的路程不小于1000米的总时长；
(3)请直接在图2中补全y与x之间的函数图象．
【答案】(1)5000，200；
(2)，分钟
(3)见解析
【分析】本题考查一次函数的应用、行程问题等知识，解答本题时认真分析函数图象反应的数量关系是关键．
（1）由图②可得学校与净月潭公园之间的路程和a的值；
（2）利用待定系数法求出s与x的函数关系式，然后分别求出时x的值，进而求解即可；
（3）计算出甲第20分钟时y的值和第25分钟时y的值，完成图象．
【详解】（1）由图②可得学校与净月潭公园之间的路程为5000米，
（米/分），
故答案为：5000，200；
（2）当时，设
将，代入得
解得
∴；
当时，设
将，代入得
解得
∴；
综上所述，，
当甲返回学校时，
当时，
解得；
当时，
解得；
∴（分钟）
答：甲、乙两名同学相距的路程不小于1000米的总时长为分钟；
（3）由（2）得，甲追乙的过程中，
当时，甲的速度是400米/分，
当时，，
甲乙两人第25分钟时，到达公园，
如图，
4．（2024·陕西西安·二模）2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，联合国呼呼全世界关注和重视水资源的重要性．小明同学发现水龙头关闭不严会造成滴水浪费．为了倡议全校同学节约用水，他做了如下试验：用一个足够大的量杯，放置在水龙头下观察量杯中水量的变化情况．知量杯中原来装有水，内7个时间点量杯中的水量变化如下表所示，其中表示时间，表示量杯中的水量．
时间 0 5 10 15 20 25 30
量杯中的水量 10 20 30 40 50 60 70
为了描述量杯中的水量与时间的关系，现有以下三种函数类型供选择：，，
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际情况的函数类型，求出y与t的函数表达式；
(2)在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，请你估计照这样漏一天，量杯中的水量约为多少？
【答案】(1)图见解析，函数类型为，y与t的函数表达式为
(2)
【分析】本题考查一次函数的应用，关键是熟知一次函数的图象及其函数解析式．
（1）用描点、连线方法画出函数图象，根据图象选择一次函数解析式，然后利用待定系数法求解函数表达式即可；
（2）先算出一天的时间，再代入（1）中函数表达式中求解即可．
【详解】（1）解：如图，
根据图象，所给数据对应点都在一条直线上，故该函数符合一次函数类型：，
∴将，代入中，
得，解得，
∴y与t的函数表达式为；
（2）解：一天时间为，
当时，，
答：估计照这样漏一天，量杯中的水量约为2890．
题型二 用反比例函数解决实际问题
【例1】（新考法，跨学科，拓视野）（2024·宁夏吴忠·一模）已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求该品牌电动车电池的电流I与电阻R的函数类系式．
(2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键．
（1）设电流I与电阻R之间的函数表达式为，将点代入求解即可；
（2）把，分别代入解析式求出对应的R，然后结合函数图象即可得出结果．
【详解】（1）解：设电流I与电阻R之间的函数表达式为，
由图象知，函数图象过点，
∴，解得，
∴电流I与电阻R之间的函数表达式为；
（2）解：当时，，解得，
当时，，解得，
观察图形可知：，
即该小组确定这时电阻值的范围为．
【例2】（2024·广东中山·一模）在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I，电压U，电阻R三者之间满足关系式 电流与电阻之间的函数关系如图．
(1)写出Ⅰ 与R的函数解析式；
(2)结合图象回答：当电路中的电流不超过 12 A时，电路中电阻 R的取值范围是什么
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，结合图形求出函数解析式是解题的关键；
（1）由图知，把点A的坐标代入中，可求得U的值，从而确定函数解析式；
（2）求出当时，．结合反比例函数的图象与性质即可确定电路中电阻 R的取值范围．
【详解】（1）解：电源电压U保持不变，由图象可知，
I与R的函数解析式为；
把点A的坐标代入上式中得：，即，
∴ ；
（2）解：由（1）可知，函数解析式为．
∵电源电压U保持不变，
∴当时，．
∵函数图象在第一象限内，I随R的增大而减小，
∴当电路中的电流不超过时，．
1．（2024·山西临汾·一模）在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值：
频率f（） 5 10 15 20 25 30
波长 60 30 20 15 12 10
(1)该段电磁波的波长与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长关于频率f的函数表达式；
(2)当时，求此电磁波的波长．
【答案】(1)反比例函数关系，
(2)
【分析】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．
（1）由表中数据可知，电磁波的波长与频率满足反比例函数关系，设解析式为，用待定系数法求解即可；
（2）把值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长．
【详解】（1）解：由表中数据可知，电磁波的波长与频率的乘积为定值，
∴电磁波的波长与频率满足反比例函数关系，
设波长关于频率f的函数解析式为，
把点代入上式中得：，
解得：，
；
（2）当时，，
答：当时，此电磁波的波长为．
题型三 用二次函数解决实际问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），需要增加经费元．
(1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当米，求的长度．
(2)只考虑经费情况下，求出的最大值．
【答案】(1)①；②米
(2)米
【分析】（1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于、、的方程组，求解即可；
②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论；
（2）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值．
【详解】（1）解：①如图，以为原点，分别以和所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知：，，，
设改造前的抛物线解析式为，
∴，
解得：，
∴改造前的抛物线的函数表达式为；
②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，
由①知改造前抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，
设改造后抛物线解析式为：，
∵调整后与上升相同的高度，且，
∴对称轴为直线，则有，
当时，，
∴，
∴，，
∴改造后抛物线解析式为：，
当时，
改造前：，
改造后：，
∴（米），
∴的长度为米；
（2）如（2）题图，设改造后抛物线解析式为，
∵当时，，
当时，，
∴，，
∴，
由题意可列不等式：，
解得：，
∵，
要使最大，需最小，
∴当时，的值最大，最大值为米．
【例2】（2024·河南信阳·一模）信阳位于中国南北地理分界线，地处淮河中上游，素有“北国江南，江南北国”美誉，自古雨水充沛，河流众多，降雨量和人均水资源量久居河南第一，素以“水广桥多”著称，被誉为“千湖之市”．其中一座桥的桥洞形状符合抛物线形状，如图1所示，桥墩高3米，拱顶A与起拱线相距4米，桥孔宽6米．
(1)若以起拱点B为坐标原点建立平面坐标系，求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标．
(2)河面的平均水位2米，信阳游客服务部门打算建造河上观赏船，故应考虑船下水后的吃水线问题．额定载客后，观赏船吃水线上面部分的截面图为矩形（如图2），当船宽为3米时．①求吃水线上船高约多少米时，可以恰好通过此桥；②若考虑涝季水面会再往上升1米，则求此时吃水线上船高的设计范围．
【答案】(1)抛物线的函数表达式，顶点坐标为，
(2)①米，②当船宽为3米时，要求吃水线上船高小于3米
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据建立的平面直角坐标系求出函数的表达式是解题关键．
（1）以起拱点B为坐标原点建立平面坐标系，所在线为轴，过点作的垂线为轴，建立的平面直角坐标系如下：
因此，抛物线的顶点坐标为，可设抛物线的函数表达式为，再将点的坐标代入即可求解；
（2）①根据题（1）的结果，令求出值，从而可得吃水线上船高；②涝季水面会再往上升1米，即要求吃水线上船高在①的基础上减少1米.
【详解】（1）以起拱点B为坐标原点建立平面坐标系，所在线为轴，过点作的垂线为轴，建立的平面直角坐标系如下：
根据所建立的平面直角坐标系可知，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为、点的坐标为，
因此设抛物线的函数表达式为，
将代入得：，
解得：，
则所求的抛物线的函数表达式为；
（2）①由题意，当船的中轴线与桥拱的对称轴重合时，而且恰好通过此桥，如图：
∵，则、的横坐标，
当得，即坐标为，
∵河面的平均水位2米，
故（米）
船高约4米时，可以恰好通过此桥，
②若考虑涝季水面会再往上升1米，则要求吃水线上船高的减少1米，
吃水线上船高，即若考虑涝季水面会再往上升1米，则要求吃水线上船高小于3米.
1．（2024·陕西西安·二模）如图，某一抛物线型隧道在墙体处建造，现以地面和墙体分别为轴和轴建立平面直角坐标系．已知米，且抛物线经过点请根据以上信息，解决下列问题．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)现准备在抛物线上的点处，安装一个直角形钢拱架对隧道进行维修（点，分别在轴，轴上，且，轴，轴），已知钢拱架的长为米，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）利用待定系数法求解析式即可；
（）设点，则点，，从而有求出的值，然后代入求解即可；
本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次图象及性质是解题的关键．
【详解】（1）∵米，
∴设抛物线的函数表达式为
将点，代入，
得，
解得，
∴抛物线的函数表达式是；
（2）由题意，设点，则点，，
由题意，得
解得，，
当时，（不符合题意，舍去）；
当时，
∴点的坐标为．
2．（2024·河北石家庄·一模）一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面上时的纵向截面如图所示，其左右轮廓线、都是抛物线的一部分，已知水杯底部宽为 ，水杯高度为，杯口直径为 且， 以杯底的中点为原点，以为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．
（1）轮廓线、所在的抛物线的解析式为： ；
（2）将水杯绕点倾斜倒出部分水，杯中水面，如图 当倾斜角 时， 水面宽度为
【答案】 ； ．
【分析】（）设抛物线的解析式为，把点，代入中，求出抛物线的解析式即可；
（）在坐标系中作出，求出的解析式，进而求出点的坐标，即可求出的长；
本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出抛物线的解析式时解题的关键．
【详解】（）由题意可知，，，
设抛物线的解析式为，
将点、坐标代入得，解得，
∴解析式为；
（）如图，易知，
设、分别与轴交于点、，
在中，，
∴，
即，，
设直线解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
令，
解得，，
将代入 ，
得，
∴，
∴．
3．（2024·辽宁鞍山·一模）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．图2是图1所示乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度（距离球台的高度）为的点A处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：）．测得如下数据：
水平距离 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度 33 45 49 45 33 0
(1)如图3，在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象．
(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______．
②求满足条件的抛物线的表达式．
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练，如图2，乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】(1)见解析
(2)①49，230；②
(3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）根据描点法画出函数图象即可求解；
（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，；
②待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是，
当时，，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：；．
②设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（3）解：∵当时，抛物线的解析式为，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
依题意，当时，，
即，
解得：．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为．
题型四 用一次函数和反比例函数解决实际问题
【例1】（2024·河南漯河·一模）河南作为粮食生产大省，发展设施农业是推动乡村产业振兴的重要抓手．设施农业就是利用工程技术手段和工业化生产的农业，能够为植物生产提供适宜的生长环境，使其在舒适的生长空间内，健康生长，从而获得较高经济效益．例如冬天的寒潮天气，气温较低不利于蔬菜生长，可用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时之问的函数关系，其中线段表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示温系统关闭阶段，请根据图中信息解答下列问题：
(1)求图象中段的函数表达式，并写明自变量的取值范围．
(2)解释线段的实际意义．
(3)大棚里栽培的这种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长．
【答案】(1)
(2)线段表示恒温系统设定恒温为；
(3)
【分析】本题是以实际应用为背景的函数综合题，主要考查求一次函数、反比例函数的关系式，解题的关键是根据图象求出一次函数、反比例函数解析式．
（）利用待定系数法求函数解析式即可；
（）根据函数图象结合题意回答即可；
（）把代入和中，即可求得结论．
【详解】（1）当时为双曲线的一部分，设与的关系式为，
∴，解得：，
∴与的关系式为；
（2）线段表示恒温系统设定恒温为；
（3）设段的解析式为，由图象可知过点，，
∴，
解得：，
∴段的解析式为，
∴当时，代入得,
解得；
代入得，
∴最适合生长的时间有（小时）．
1．实验数据显示，一般成年人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图所示（图象由线段与部分双曲线组成）．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线的函数表达式；
(2)假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由．
【答案】(1)
(2)第二天早上不能驾车去上班
【分析】本题考查反比例函数的实际应用．
（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）求出时对应的时间，结合规定可进行判断．
读懂题意，正确的识图，是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得，直线OA过，即小时时酒精含量为20毫克/百毫升，
则1小时时酒精含量为80毫克/百毫升，
则直线OA的表达式为，
当时，，即，
设函数表达式为，将点代入得：，
∴；
（2）由得，当时，，
从晚上到第二天早上时间间距为小时，
∵，
∴第二天早上不能驾车去上班．
题型五 用一次函数和二次函数解决实际问题
【例1】（2024·湖北襄阳·一模）某地大力推广成本为10元/斤的农产品，该农产品的售价不低于15元/斤，不高于30元/斤．
(1)每日销售量（斤）与售价（元/斤）之间满足如图函数关系式．求与之间的函数关系式；
(2)若每天销售利润率不低于，且不高于，求每日销售的最大利润；
(3)该地科技助农队帮助果农降低种植成本，成本每斤减少元（），已知每日最大利润为2592元，求的值．
【答案】(1)
(2)每日销售的最大利润为1600元
(3)的值为6
【分析】本题考查了一次函数及二次函数的应用，利用函数解决实际问题时，要注意自变量的取值范围，这也是解决实际问题的难点和关键．
（1）由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为，把和代入即可求出结果；
（2）由每天销售利润率不低于，且不高于可求出的取值范围，设每日销售利润为元，利用二次函数模型即可求出最大利润；
（3）设成本每斤减少元后每日销售利润为元，由和确定当时，利润最大，从而得出关于的方程，解出方程即可求得的值．
【详解】（1）解：由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为，
由题意得：当时，；当时，；
，
解得：，．
，
答：与之间的函数关系式为；
（2）解：由题意得：，
解得：，
设每日销售利润为元，
，
，
开口向下，
对称轴为直线，，
随的增大而增大，
当时，利润最大为（元，
答：每日销售的最大利润为1600元；
（3）解：设成本每斤减少元后每日销售利润为元，则
，
对称轴为：直线，
，
，
，
当时，利润最大，
，
解得：或（不合题意舍去），
答：的值为6．
【例2】（2024·广东深圳·一模）飞盘运动是一种老少皆宜的健身项目，只要有一片空旷的场地就能让我们开心地锻炼．某商家销售某品牌的橡胶飞盘，成本价为每个16元，销售中平均每天销售量y（个）与销售单价x（元）的关系可以近似地看作一次函数，如表所示：
x 18 20 22 24
y 70 60 50 40
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)设该商家每天销售该品牌的橡胶飞盘的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，当x取何值时，w的值达到最大 最大值是多少
【答案】(1)
(2)，当时，w取最大值，最大值为320
【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用：
（1）根据表中数据，利用待定系数法求解；
（2）结合（1）中结论，根据利润、销量、进价、售价之间的关系可得w与x之间的二次函数关系式，化为顶点式可得最值．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由表中数据知，当时，，当时，，
，
解得，
y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由题意知， ，
即w与x之间的函数关系式为；
，
当时，w取最大值，最大值为320．
1．（2024·湖北襄阳·模拟预测）某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件 30元，每天销售 y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为 W元．网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于 220 件．
(1)求 y 与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）．
(2)当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？ 最大利润是多少？
(3)如果每天的利润不低于3000 元，直接写出销售单价x(元)的取值范围．
【答案】(1)
(2)当销售单价为 48元时，每天获得的利润最大，最大利润是 3960 元
(3)
【分析】
本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数表达式，是解题的关键．
（1）设函数解析式为，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）利用总利润等于单件利润乘以销量列出二次函数解析式，求最值即可；
（3）先求出时的的值，进而求出的取值范围即可．
【详解】（1）
解∶设，
将代入，得
，
解得 ，
∴y与x之间的函数关系式为．
（2）
依题意得，
又∵，
∴．
∵时，W 随x的增大而增大，
∴当时，W 取得最大值，最大值为．
（3）当时：，
解得：，
∵抛物线的开口向下，且，
∴当时，．
2．（23-24九年级下·湖北随州·阶段练习）某公司开发出一种新技术产品，上市推广应用，从销售的第1个月开始，当月销售量（件）与第个月之间的函数关系如图1所示，月产品销售成本（元）与当月销售量（件）之间的函数关系如图2所示，每件产品的售价为100元．
(1)求出与和与之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）
(2)推广销售的第三个月利润为多少？
(3)第几个月获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)，
(2)元
(3)第个月利润最大，最大利润为元
【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用．
（1）根据图1知，一次函数图象上经过了两个点，利用待定系数法即可求，根据图2已知点代入即可；
（2）先用月份表示出利润，再令即可求出利润；
（3）先用月份表示出利润，再利用二次函数的顶点式即可求出最值．
【详解】（1）解：设与的函数关系式，代入得
解得
将代入得
或（舍去）
；
（2）设第个月的利润为元，则
当时，，
故第个月的利润为元；
（3）由（2）知，
当时，有最大值为元，
答：第个月利润最大，最大利润为元．
3．（2024·新疆·一模）某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜．经调查发现，甲蔬菜种植成本y与其种植面积x的函数关系如图所示，其中；乙蔬菜的种植成本为50元/．
(1)当甲蔬菜的种植面积______时，其种植成本；
(2)设2024年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
(3)学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲蔬菜种植成本平均每年下降10%．乙蔬菜种植成本平均每年下降a%；当a为何值时，2026年的总种植成本为28920元？
【答案】(1)500
(2)当种植甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小
(3)20
【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用等知识：
（1）当时，由待定系数法求出一次函数关系式，当时，，再求出当时x的值，即可得出结论；
（2）当时，，由二次函数的性质得当时，W有最小值，最小值为42000，再求出当时，，由一次函数的性质得当时，W有最小值为43000，然后比较即可；
（3）根据2026年的总种植成本为28920元，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：当时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/ ）与其种植面积x（单位： ）的函数关系式为，
把，代入得：，
解得：，
∴，
当时，，
∴当时，，
解得：，
故答案为：500；
（2）解：当时，，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，W有最小值，最小值为42000，
此时，，
当时，，
∵，
∴当时，W有最小值为：，
∵，
∴当种植甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小；
（3）解：由（2）可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为42000元，乙种蔬菜的种植成本为（元），
则甲种蔬菜的种植成本为（元），
由题意得：，
设，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
答：当a为20时，2026年的总种植成本为28920元．
题型六 用一次函数、反比例函数和二次函数解决实际问题
【例1】（2024·广西钦州·一模）百惠超市从果农处购进柚子的成本价为3元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当销售单价为10元时，该超市每天的销售利润最大，最大利润为980元
【分析】
本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用：
（1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解；
（2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得：，
∴当时，y与x的函数关系式为，
当时，设y与x的函数关系式为，
，
解得，
即当时，y与x的函数关系式为，
综上所述，y与x的函数关系式为；
（2）解：设利润为w元，
当时，，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，此时，
当时，，
∴当x=10时，w取得最大值，此时w=980，
∵980>480，
∴当销售单价为10时，该超市每天的销售利润最大，最大利润是980元，
答：当销售单价为10时，该超市每天的销售利润最大，最大利润是980元．
1.（2024·广西·一模）某科技公司用160万元作为新产品研发费用，成功研制出成本价为4元/件的新产品，在销售中发现销售单价x（单位：元），年销售量y（单位：万件）之间的关系如下图所示，其中为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式．
(2)设销售产品年利润为w（万元），求出第一年年利润w与x之间的函数关系式，并求出第一年年利润最大值；
(3)在（2）的条件下，假设第一年恰好按年利润w取得最大值进行销售，现根据第一年的盈亏情况（若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本），决定第二年将这种新产品每件的销售价格x定在8元以上（），当第二年年利润不低于103万元时，请你根据题意，简单画出w与x之间函数关系的草图，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)当时的函数解析式为，当时的函数解析式为；
(2)当时，，当时，，
当第一年的售价为16元时，第一年年利润最大值为万元；
(3)画图见解析，
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用：
（1）分别设出反比例函数解析式和一次函数解析式，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据公式“总利润单件利润数量”即可得出解析式，再根据反比例函数和二次函数的性质即可得出答案；
（3）根据（2）所求列出w关于x的二次函数关系式，再令年利润等于103，解一元二次方程并结合图像性质即可得出答案．
【详解】（1）解：设当时的函数解析式为，
把代入中得：，解得，
∴当时的函数解析式为；
设当时的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴当时的函数解析式为；
（2）解：当时，，
∵，
∴w随x增大而增大，
∴当时，W最大，最大为万元；
当时，，
∵，
∴当时，w最大，最大为万元；
∵，
∴当第一年的售价为16元时，第一年年利润最大值为万元；
（3）解：由（2）得第一年的年利润为万元，
∴16万元应作为第二年的成本，
∴第二年的年利润，
当时，解得，
在坐标系中画函数图象如下：
∴由函数图象可知，当时，第二年年利润不低于103万元．
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抢分秘籍09实际应用问题（含一次函数、反比例函数、二次函数的实际问题）（压轴通关）
目录
【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）
用一次函数、反比例函数、二次函数解决实际问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，用函数求最值问题是数学的基础，也是高频考点、必考点，所以必须提高运算能力。
2．从题型角度看，以解答题的第五题或第六题为主，分值8分左右，着实不少！
题型一 用一次函数解决实际问题
【例1】（2024·河南漯河·一模）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以龙的十二生肖专属汉字“辰”为名．设计灵感以中华民族龙图腾的代表性实物，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某网店从工厂购进大号、中号两种型号的“龙辰辰”，已知每个大号“龙辰辰”进价比中号“龙辰辰”多15元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元．
(1)求大号、中号两种型号的“龙辰辰”的进价．
(2)该网点准备购进两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半．中号“龙辰辰”定价60元，大号“龙辰辰”的定价比中号多．当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？
【例2】（2024·河南信阳·一模）烟花爆竹的发明与火药技术的使用息息相关．最初的爆竹是由唐朝的李畋发明的，他利用火药、纸筒等材料制作爆竹，目的是产生巨大声响以驱鬼辟邪，烟花爆竹不仅在重要节日以示庆贺，还承载着中国人迎祥纳福的美好愿望．小红的爸爸是一家烟花爆竹店的老板，在春节前购进甲，乙两种烟花，用3120元购进甲种烟花与用4200元购进乙种烟花的数量相同，乙种烟花进货单价比甲种烟花进货单价多9元．
(1)求甲、乙两种烟花的进货单价；
(2)小红的爸爸打算再购进甲、乙两种烟花共1000个，其中乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍，如何进货才能花费最少？并求出最少的花费．
1．（2024·浙江温州·一模）2023 年 10月4日，亚运会龙舟赛在温州举行． 某网红店看准商机，推出了 A 和B 两款龙舟模型． 该店计划购进两种模型共200个，购进 B 模型的数量不超过 A模型数量的2 倍． 已知B 模型的进价为30元/个，A 模型的进价为20元/个，B 模型售价为45元/个, A 模型的售价为30元/个．
(1)求售完这批模型可以获得的最大利润是多少
(2)如果B模型的进价上调m元，A 模型的进价不变，但限定 B模型的数量不少于 A 模型的数量，两种模型的售价均不变． 航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的最大利润是2399元，请求出m的值．
2．（2024·湖南怀化·一模）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知B型充电桩比A型充电桩的单价多万元，且用20万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划购买A，B两种型号充电桩共26个，购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A，B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？
3．（2024·河北石家庄·一模）周末，甲、乙两学生从学校出发，骑自行车去图书馆． 两人同时从学校出发，以每分钟a米的速度匀速行驶，出发5分钟时，甲同学发现忘带学生证，以a米/分的速度按原路返回学校，取完学生证后（在学校取学生证的时间忽略不计），立即以另一速度匀速追赶乙． 甲追上乙后，两人继续以a米/分的速度前往图书馆，乙骑自行车的速度始终不变． 设甲、乙两名同学相距的路程为s（米），行驶的时间为x（分），s与x之间的函数图象如图1所示； 甲学生距图书馆的路程为y（米），行驶的时间为x（分），y与x之间的部分函数图象如图2所示．
(1)学校与图书馆之间的路程为 米， ；
(2)分别求及时，s与x的函数关系式，并求甲、乙两名同学相距的路程不小于1000米的总时长；
(3)请直接在图2中补全y与x之间的函数图象．
4．（2024·陕西西安·二模）2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，联合国呼呼全世界关注和重视水资源的重要性．小明同学发现水龙头关闭不严会造成滴水浪费．为了倡议全校同学节约用水，他做了如下试验：用一个足够大的量杯，放置在水龙头下观察量杯中水量的变化情况．知量杯中原来装有水，内7个时间点量杯中的水量变化如下表所示，其中表示时间，表示量杯中的水量．
时间 0 5 10 15 20 25 30
量杯中的水量 10 20 30 40 50 60 70
为了描述量杯中的水量与时间的关系，现有以下三种函数类型供选择：，，
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际情况的函数类型，求出y与t的函数表达式；
(2)在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，请你估计照这样漏一天，量杯中的水量约为多少？
题型二 用反比例函数解决实际问题
【例1】（新考法，跨学科，拓视野）（2024·宁夏吴忠·一模）已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求该品牌电动车电池的电流I与电阻R的函数类系式．
(2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围．
【例2】（2024·广东中山·一模）在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I，电压U，电阻R三者之间满足关系式 电流与电阻之间的函数关系如图．
(1)写出Ⅰ 与R的函数解析式；
(2)结合图象回答：当电路中的电流不超过 12 A时，电路中电阻 R的取值范围是什么
1．（2024·山西临汾·一模）在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值：
频率f（） 5 10 15 20 25 30
波长 60 30 20 15 12 10
(1)该段电磁波的波长与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长关于频率f的函数表达式；
(2)当时，求此电磁波的波长．
题型三 用二次函数解决实际问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），需要增加经费元．
(1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当米，求的长度．
(2)只考虑经费情况下，求出的最大值．
【例2】（2024·河南信阳·一模）信阳位于中国南北地理分界线，地处淮河中上游，素有“北国江南，江南北国”美誉，自古雨水充沛，河流众多，降雨量和人均水资源量久居河南第一，素以“水广桥多”著称，被誉为“千湖之市”．其中一座桥的桥洞形状符合抛物线形状，如图1所示，桥墩高3米，拱顶A与起拱线相距4米，桥孔宽6米．
(1)若以起拱点B为坐标原点建立平面坐标系，求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标．
(2)河面的平均水位2米，信阳游客服务部门打算建造河上观赏船，故应考虑船下水后的吃水线问题．额定载客后，观赏船吃水线上面部分的截面图为矩形（如图2），当船宽为3米时．①求吃水线上船高约多少米时，可以恰好通过此桥；②若考虑涝季水面会再往上升1米，则求此时吃水线上船高的设计范围．
1．（2024·陕西西安·二模）如图，某一抛物线型隧道在墙体处建造，现以地面和墙体分别为轴和轴建立平面直角坐标系．已知米，且抛物线经过点请根据以上信息，解决下列问题．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)现准备在抛物线上的点处，安装一个直角形钢拱架对隧道进行维修（点，分别在轴，轴上，且，轴，轴），已知钢拱架的长为米，求点的坐标．
2．（2024·河北石家庄·一模）一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面上时的纵向截面如图所示，其左右轮廓线、都是抛物线的一部分，已知水杯底部宽为 ，水杯高度为，杯口直径为 且， 以杯底的中点为原点，以为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．
（1）轮廓线、所在的抛物线的解析式为： ；
（2）将水杯绕点倾斜倒出部分水，杯中水面，如图 当倾斜角 时， 水面宽度为
3．（2024·辽宁鞍山·一模）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．图2是图1所示乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度（距离球台的高度）为的点A处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：）．测得如下数据：
水平距离 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度 33 45 49 45 33 0
(1)如图3，在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象．
(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______．
②求满足条件的抛物线的表达式．
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练，如图2，乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
题型四 用一次函数和反比例函数解决实际问题
【例1】（2024·河南漯河·一模）河南作为粮食生产大省，发展设施农业是推动乡村产业振兴的重要抓手．设施农业就是利用工程技术手段和工业化生产的农业，能够为植物生产提供适宜的生长环境，使其在舒适的生长空间内，健康生长，从而获得较高经济效益．例如冬天的寒潮天气，气温较低不利于蔬菜生长，可用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时之问的函数关系，其中线段表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示温系统关闭阶段，请根据图中信息解答下列问题：
(1)求图象中段的函数表达式，并写明自变量的取值范围．
(2)解释线段的实际意义．
(3)大棚里栽培的这种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长．
1．实验数据显示，一般成年人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图所示（图象由线段与部分双曲线组成）．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线的函数表达式；
(2)假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由．
题型五 用一次函数和二次函数解决实际问题
【例1】（2024·湖北襄阳·一模）某地大力推广成本为10元/斤的农产品，该农产品的售价不低于15元/斤，不高于30元/斤．
(1)每日销售量（斤）与售价（元/斤）之间满足如图函数关系式．求与之间的函数关系式；
(2)若每天销售利润率不低于，且不高于，求每日销售的最大利润；
(3)该地科技助农队帮助果农降低种植成本，成本每斤减少元（），已知每日最大利润为2592元，求的值．
【例2】（2024·广东深圳·一模）飞盘运动是一种老少皆宜的健身项目，只要有一片空旷的场地就能让我们开心地锻炼．某商家销售某品牌的橡胶飞盘，成本价为每个16元，销售中平均每天销售量y（个）与销售单价x（元）的关系可以近似地看作一次函数，如表所示：
x 18 20 22 24
y 70 60 50 40
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)设该商家每天销售该品牌的橡胶飞盘的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，当x取何值时，w的值达到最大 最大值是多少
1．（2024·湖北襄阳·模拟预测）某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件 30元，每天销售 y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为 W元．网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于 220 件．
(1)求 y 与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）．
(2)当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？ 最大利润是多少？
(3)如果每天的利润不低于3000 元，直接写出销售单价x(元)的取值范围．
2．（23-24九年级下·湖北随州·阶段练习）某公司开发出一种新技术产品，上市推广应用，从销售的第1个月开始，当月销售量（件）与第个月之间的函数关系如图1所示，月产品销售成本（元）与当月销售量（件）之间的函数关系如图2所示，每件产品的售价为100元．
(1)求出与和与之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）
(2)推广销售的第三个月利润为多少？
(3)第几个月获得利润最大？最大利润是多少？
3．（2024·新疆·一模）某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜．经调查发现，甲蔬菜种植成本y与其种植面积x的函数关系如图所示，其中；乙蔬菜的种植成本为50元/．
(1)当甲蔬菜的种植面积______时，其种植成本；
(2)设2024年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
(3)学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲蔬菜种植成本平均每年下降10%．乙蔬菜种植成本平均每年下降a%；当a为何值时，2026年的总种植成本为28920元？
题型六 用一次函数、反比例函数和二次函数解决实际问题
【例1】（2024·广西钦州·一模）百惠超市从果农处购进柚子的成本价为3元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
1.（2024·广西·一模）某科技公司用160万元作为新产品研发费用，成功研制出成本价为4元/件的新产品，在销售中发现销售单价x（单位：元），年销售量y（单位：万件）之间的关系如下图所示，其中为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式．
(2)设销售产品年利润为w（万元），求出第一年年利润w与x之间的函数关系式，并求出第一年年利润最大值；
(3)在（2）的条件下，假设第一年恰好按年利润w取得最大值进行销售，现根据第一年的盈亏情况（若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本），决定第二年将这种新产品每件的销售价格x定在8元以上（），当第二年年利润不低于103万元时，请你根据题意，简单画出w与x之间函数关系的草图，直接写出x的取值范围．
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