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抢分秘籍08 反比例函数和几何图形综合问题（压轴通关）
目录
【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）
反比例函数和几何图形综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，反比例函数中的K值和三角形、平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点。
2．从题型角度看，以解答题的第五题或第六题为主，分值8分左右，着实不少！
题型一 反比例函数与三角形的综合问题
【例1】（2024·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，是边长为4的等边三角形，反比例函数的图象经过边OA的中点C．
（1） ．
（2）若反比例函数的图象与边AB交于点D，则 ．
【答案】
【分析】（1）利用角的直角三角形的性质结合勾股定理求出点C坐标即可；
（2）先求直线AB与反比例函数图像的交点，再过点D作的垂线，解三角形即可．
【详解】（1）解：过点C作轴于点E，
∵是边长为4的等边三角形，
∴，，
∵ C为 中点，轴，
∴在中，，
∴，∴，
∴点C坐标为，代入，得，
故答案为：．
（2）解：过点A作于F，过点D作于H，
同理可求点，而，
设，代入A、B得：
，
解得：，
∴
联立：，
解得： 或（舍），
∴，
∴，
故答案为：．
【例2】（2024·河南·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数的图象经过点B．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)将绕点B逆时针旋转得到，点恰好落在上，请求出图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点B作轴交x轴于点C，首先得到，然后利用旋转的性质得到，利用勾股定理求出，，然后阴影部分的面积代数求解即可．
【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴，解得
∴；
（2）过点B作轴交x轴于点C，
∵
∴
∵将绕点B逆时针旋转得到，点恰好落在上，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴阴影部分的面积．
【点睛】本题考查反比例函数的图象、待定系数法求反比例函数解析式、旋转的性质，勾股定理，求扇形面积等知识，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和数形结合的思想解答．
1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，轴，且，点的坐标为．
(1)若反比例函数的图象经过点，求此反比例函数的解析式；
(2)若将向下平移个单位长度，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
本题考查反比例函数的图象及性质，等腰三角形的性质；
（1）根据已知求出与点坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）表示出相应的平移后与坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解．
【详解】（1）
过作于，
，，点．
，，
，
∵，
∴
，
若反比例函数的图象经过点，则，解得，，
反比例函数的解析式为；
（2）
点，
将向下平移个单位长度，
，
两点同时落在反比例函数图象上，
，
．
2.（2023·江苏盐城·一模）如图，在Rt中，，，轴，垂足为，边与轴交于点，反比例函数，的图象经过点．
(1)若，求直线和反比例函数的表达式；
(2)若，将边沿边所在直线翻折，交反比例函数的图象于点，交轴于点，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数与一次函数图像交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，平行线分段成比例定理，求得坐标是解决问题的关键．
（1）根据相似三角形的判定和性质得出，，然后确定各个点的坐标，利用待定系数法即可确定直线和反比例函数解析式；
（2）作轴于，由题意可知，进而求出，，设点坐标为，利用平行线分段成比例定理即可求出值．
解：
【详解】（1）Rt中，，，轴，垂足为，
，
，
，
，
，，
设直线为
，
解得，
直线为，
反比例函数的图像经过，
，
反比例函数的表达式为；
（2）作轴于，
由题意可知，，
设，
，
，
设点的坐标为，
，
，
，
，
即，
解得，，
点的坐标为．
题型二 反比例函数与平行四边形的综合问题
【例1】（新考法，拓视野）（2023·江西萍乡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，轴，点的坐标为，将向下方平移，得到，且点的对应点落在反比例函数的图象上，点的对应点落在轴上，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)求反比例函数的表达式；
(3)求平移的距离及线段扫过的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)5，24
【分析】
（1）利用平移的性质，可得出，由轴且在轴上，可得出，结合，可得出，由，可得出，再利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可证出四边形为平行四边形；
（2）连接，易证四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得出，结合，可得出三点共线，易证四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得出的长，结合，可得出点的坐标，再利用反比例函数系数的几何意义，可求出的值，进而可得出反比例函数的表达式；
（3）连接，在中，利用勾股定理，可求出的长，由此可得出平移的距离为，由，可得出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质及三角形的面积公式，即可求出线段扫过的面积．
【详解】（1）
证明：由平移的性质，得：，
轴，且在轴上，
，
．
，
，
四边形为平行四边形；
（2）
解：连接，如图所示．
四边形为平行四边形，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
三点共线．
轴，在轴上，，
四边形是平行四边形，
．
点的坐标为，
，
点的坐标为．
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为；
（3）
解：连接，如图所示．
在中，，
，
平移的距离为
，
四边形是平行四边形，
，
线段扫过的面积为．
【例2】（2024·山东济南·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点Q．
(1)求a、k的值；
(2)直线过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，，连接．
①求的面积；
②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M坐标．
【答案】(1)，
(2)①；②，
【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式可求出的值，再将坐标代入反比例函数解析式可求出的值；
（2）过点A作轴，交PQ于点H，设B的坐标，点A的坐标为，根据的纵坐标，可以求出的值，进而求出点坐标，求出点坐标，根据可求出点坐标，进而求出的长，，在和中，为底边， 高分别是点、轴到的距离，根据点、点的横坐标即可求得，根据面积公式计算即可；
（3）分两种情况，当MN和PQ为对角线时，可根据平行四边形的性质，以及平移来确定点纵坐标，进而求出的坐标；当MQ和NP为对角线时，以及平移来确定点纵坐标，进而求出对应点坐标，从而求解．
【详解】（1）解：（1）把点代入解得，，
把代入解得，；
（2）∵，
∴反比例函数解析式为．
①设B的坐标，点A的坐标为，
∵，，
∴，把代入得：，
∴点，
∵一次函数的图象与y轴交于点Q．
∴Q的坐标为，
过点A作轴，交PQ于点H．则点H坐标，
∴，
∴，
②设点，，
∵，，点M、N、P、Q构成平行四边形；
当和为对角线时，如下图：
点可看做是将点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
故点也是相应关系，即点向右平移个单位，再向上平移个单位，如下图：
故点的纵坐标为点纵坐标加：，
即，
M的坐标为；
当和为对角线时， 如下图：
点可看做是将点先再向下平移个单位，向左平移个单位得到，
故点也是相应关系，即点是点再向下平移个单位，再向左平移个单位得到，如下图：
故点的纵坐标为，，
，
故此时点坐标为：；
综上，点的坐标为：，，
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，以及平行四边形的性质运用．并利用图像的平移找到点与点之间的关系，从而求解．
1．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和的中点D，，四边形的面积是．
(1)求点A，D的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点M是四边形内部反比例函数图象上一动点(不含边界)，当直线经过点M时，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)点A，D的坐标分别是，，反比例函数的表达式为；
(2)；
【分析】
本题考查求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数交点问题：
（1）根据得到点，平行四边形面积得到高，表示出点，从而得到点，得到中点代入解析式即可得到答案；
（2）求出点在，两点得到的值即可得到答案；
【详解】（1）解：∵，
∴，
设点，则，
∵点D是的中点，
∴，
∵点D在函数图象上，
∴，
解得：，
∵平行四边形面积，，
∴，
∴，
∴点，，；
（2）解：当点A与点M重合时，
，
解得：，
当点D与点M重合时，
，
解得：，
∵点M是四边形内部反比例函数图象上一动点(不含边界)，
∴．
2．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线与直线交于点A、点B，点C为双曲线上点A右侧的一点，过点B作，交y轴于点D，连接
(1)如图1，求点A、B的坐标；
(2)如图2，若四边形是平行四边形，求长；
(3)如图1，当四边形的面积为4时，求直线的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意，联立方程组，解得，结合图象，即可作答．
（2）根据平行四边形的对角线互相平分，则，把，代入，计算得，，再根据两点间距离公式列式代入数值进行计算，即可作答．
（3）先延长，交y轴于点F，证明，，根据平行线的性质，得，代入数值，得，再运用因式分解法解方程，结合“点C为双曲线上点A右侧的一点”作出判断，即可作答．
【详解】（1）解：∵双曲线与直线交于点A、点B，
∴
得
解得
是原分式方程的解，
把分别代入，得
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形
∴，
连接，交于一点E
则运用中点法列式，则
∵点C为双曲线上点A右侧的一点，
∴
∵，
∴
解得，
则；
（3）解：延长，交y轴于点F，
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
则
∵四边形的面积为4，且
∴
即
∵
∴
则
∵，
∴
∵
∴
整理得
即
∴（点C为双曲线上点A右侧的一点，故舍去）
∴
则
设直线的解析式为
把，代入
得
解得
∴
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，与一次函数的综合，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，待定系数法求解析式，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
3．（2024·四川成都·一模）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于两点和F．且点在反比例函数图象上．
(1)求反比例函数的解析式以及点F的坐标；
(2)点P在反比例函数第一象限的图象上，连接，和，若，求点P的横坐标；
(3)点M在x轴上运动，点N在反比例函数的图象上运动，以点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或或
【分析】（1）把代入，求得，则点，再把点代入，求得，即可得反比例函数解析式；然后联立两函数解析式，得，求解即可得点F坐标．
（2）过点E，F，C作x、y轴的垂线，交于点I，H，G，得四边形为矩形，则，所以，，再利用待定系数法求得直线的解析式为，设点，过点P作轴交直线于点Q，则，根据，则，从而得，求解即可．
（3）当为平行四边形的边时，则有和，当为平行四边形的对角线时，则有，分别求出点M坐标即可．
【详解】（1）解：把代入，得，
解得：
∴
把代入，得，
解得：，
∴
联立两函数解析式，得
，解得：，，
∴．
（2）解：过点E，F，C作x、y轴的垂线，交于点I，H，G，
则四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
把代入，得，
∴
设直线为，
将点，代入中，
则解得，
所以直线的解析式为，
设点，过点P作轴交直线于点Q，则
∴
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴或，
解得或（其中，方程无解），
故点P的横坐标为或．
（3）解：当为平行四边形的边时，则有和，当为平行四边形的对角线时，则有，如图，
∵，，
又∵点M在x轴上，
∴点F向上平移3个单位，
∴点E向上平移3个单位，
∴点N纵坐标为9，把代入，得，
∴，
∴点E向上平移3个单位，向左平移个单位，与点重合，
∴点F向上平移3个单位，向左平移个单位，与点重合，
∴；
同理可得；
连接交于P，
∵，
∴点P为与的中点，
∴，
∴
∴，即，
∴，
把代入，得，
∴
∵，
∴
∴
∴
综上，点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为或或．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数、一次函数解析式，反比例函数图象性质，坐标与图形，平行四边形的性质，矩形的性质，平移中的坐标变换．此题属一次函数与反比例函数、几何图形的综合题目，属中考试常考题型．
题型三 反比例函数与矩形的综合问题
【例1】（2024·贵州·一模）如图，在矩形中，，D是边的中点，反比例函数 的图象经过点D，交边于点E，直线的表达式为：
(1)求反比例函数的表达式和直线的表达式；
(2)根据图象直接写出当时，x的取值范围．
【答案】(1)反比例函数解析式为，
(2)或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合：
（1）先由矩形的性质得到，进而求出，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：∵在矩形中，，
∴，
∵D是边的中点，
∴，
∴，
把代入中得，
∴反比例函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
把，代入得，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当时，x的取值范围为或．
【例2】（2023·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点，且点为的中点．
(1)求反比例函数的表达式和点的坐标；
(2)若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上之间的部分时（点可与点重合），直接写出的取值范围．
【答案】(1)反比例函数解析式为，
(2)
【分析】（1）根据矩形的性质得到，再由是的中点得到，从而得到点E的纵坐标为2，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E的坐标即可；
（2）求出直线恰好经过D和恰好经过E时m的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴点E的纵坐标为2，
∵反比例函数的图象分别与交于点和点，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
在中，当时，，
∴；
（2）解：当直线 经过点时，则，解得；
当直线 经过点时，则，解得；
∵一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上之间的部分时（点可与点重合），
∴．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
1．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为．其中．
(1)四边形是____．(填写四边形的形状)
(2)当点A的坐标为时，四边形是矩形，求的值．
(3)试探究：随着k与m的变化，四边形能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)平行四边形
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）根据对称性和中心对称图形的性质可得，，由此即可得到结论；
（2）先求出点A的坐标，进而利用矩形的性质和勾股定理求出m的值即可得到答案；
（3）由于菱形对角线互相垂直，若为菱形，则，则点A在y轴上，这与反比例函数与y轴没有交点矛盾，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数 的图象分别交于A、C两点，
∴由反比例函数的对称性可知点A与点C关于原点对称，
∴，
同理可得，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
（2）解：∵，且A在反比例函数图象上，
∴，即，
∴．
∵ 四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
（3）解：不能，理由如下：
∵当四边形为菱形时，则．
∵在x轴上，
∴在y轴上，
而反比例函数y=与y轴没有交点，
则随着k与m的变化，四边形不能成为菱形．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
2．如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，反比例函数（）在第一象限内的图象经过点、，
(1)点为对角线上一点，满足，点在边上，且，求反比例函数解析式；
(2)在（）的条件下，反比例函数上是否存在点，满足，若存在，求点的横坐标；
(3)我们把有一个内角为的三角形称为“美好三角形”，这个的内角称为“美好角”，这个角的两边称为“美好边”，如图，若点B的坐标为，则当为“美好三角形”时，直接写出反比例函数表达式中的值．
【答案】(1)；
(2)存在，点Q的横坐标为或，理由见解析；
(3)或．
【分析】（）过作轴于，由矩形的性质得，根据相似三角形的判定和性质得，根据三角函数的定义得到，求得，代入即可；
（）分情况当在下方时，当在上方时讨论即可得解；
（）分和两种情况讨论，构造全等三角形，然后根据交点坐标及直线解析式求出的值即可．
【详解】（1）如图，过作轴于，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）存在，理由：
当在下方时，
满足，则需平行且过中点的直线，
找中点，过交反比例函数图象于点，
由（1）得：，
∴直线解析式为：，
∵，
∴，则点，
∴设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
联立，解得或（舍去）
∴点的横坐标为；
当在上方时，
满足，则需平行且过中点的直线，
找中点，过交反比例函数图象于点，
同（）理：直线解析式为：，
∵，
∴，
∴点，
∴，
则直线为，
联立，解得或（舍去）
∴点的横坐标为，
综上可知：点Q的横坐标为或；
（3）∵，，，
如图，当时，作，交延长线于点，作，交延长线于
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
又∵
∴，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
∴，
解得：或（负值舍去），
当，作，交延长线于点，过点作轴于点，
同理可证：，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：或（不合题意，舍去）
综上，符合条件的的值为或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键.
题型四 反比例函数与菱形的综合问题
【例1】（2024·河南信阳·一模）如图，菱形的边在x轴上，且，，点C在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当菱形绕点O逆时针旋转时，判断点C的对应点是否在的图象上；并直接写出所在的直线解析式．
【答案】(1)
(2)在图象上，所在直线解析式为：
【分析】题目主要考查反比例函数与特殊四边形的性质，解三角形的应用，旋转的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键
（1）根据题意设，再由菱形的性质得出，然后求解代入即可；
（2）过点C作轴于点M，再由勾股定理及解三角形确定，根据旋转的性质得出，连接，得出点B旋转后再x轴负半轴上，过点作轴，得出 点在反比例函数图象上，再利用待定系数法求解确定一次函数解析式即可．
【详解】（1）解：∵点C在反比例函数的图象上，
∴设，
∵菱形，
∴，
∴，解得：，
∴；
（2）由（1）得，
过点C作轴于点M，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵菱形绕点O逆时针旋转，
∴，，
∵
∴，
连接，
∵，
∴，
∴，
∴点B旋转后再x轴负半轴上，
∵菱形为轴对称图形，
∴，
过点作轴，
在中，，，
∴，，
∴，
把代入中，成立，
∴点在反比例函数图象上，
∵，
设所在的直线解析式为，
∴，解得：，
∴．
【例2】（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，点B的坐标为，点C在反比例函数的图象上，以点O为圆心，长为半径画．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)阴影部分的面积为______．（用含的式子表示）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，求不规则图形的面积：
（1）过点作轴，根据菱形的性质，结合勾股定理求出点坐标，进而求出反比例函数的表达式；
（2）利用菱形的面积减去扇形的面积进行求解即可．
【详解】（1）解：过点作轴，
∵菱形的边在x轴上，点B的坐标为，
∴，，
在中，由勾股定理，得：，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）知：，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积．
1．（2024·河南开封·一模）如图，的顶点坐标分别为，，，反比例函数的图象经过点C．
(1)求k的值．
(2)点D在反比例函数的图象上，且于点E，，请说明四边形是菱形．
(3)是否存在除点D外可与A，B，C三点共同组成菱形的点P？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)存在，或
【分析】本题主要考查反比例函数的性质和菱形的判定和性质，
将点代入即可；
根据题意得轴，且轴，则有四边形是平行四边形，结合，那么四边形是矩形，由于，和即可判定；
根据点的坐标可求得，且点A和点C纵坐标相等，可设点，分以为对角线和以为对角线，列方程求解即可．
【详解】（1）解：把点代入，得，
∴．
（2）∵点A和点C的纵坐标都是，
∴轴．
∵，
∴轴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴是菱形．
（3）存在，点P的坐标为或．
∵，，，
∴，，，
∵点P与A，B，C三点共同组成菱形，点A和点C纵坐标相等，
∴可设点，
当菱形以为对角线，则，解得，
当菱形以为对角线，则，解得，
则，．
2．（2024·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，扇形上的点在反比例函数的图象上，点在第四象限，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点在反比例函数的图象上．
(1)的值为 ；
(2)求的度数；
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，扇形面积的计算方法，几何图形面积与反比例函数系数的关系是解题的关键．
（1）把点代入反比例函数解析式，运用待定系数法即可求解；
（2）如图, 分别过点作轴于点， 轴于点，可证，可得，根据即可求解；
（3）根据扇形面积的计算，几何图形面积与反比例函数系数的关系即可求解．
【详解】（1）解：已知扇形上的点在反比例函数的图象上，
∴，则，
故答案为：；
（2）解：如图, 分别过点作轴于点， 轴于点，
∵，
∴，
∵,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：由（2）可知，，
∴，且，
∴，，
由（1）可知反比例函数解析式为，
∵点在反比例函数图象上，且是菱形，如图所示，连接交轴于点，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：，
∴阴影部分的面积和为：．
3．（2023·河南新乡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，轴于点B，且，点M为反比例函数图象上第四象限内一动点，过点M作轴于点C，取x轴上一点D，使得，连接交y轴于点E，点F是点E关于直线的对称点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)试判断点F是否在反比例函数的图象上，并说明四边形的形状．
【答案】(1)
(2)点F在反比例函数的图象上，四边形是菱形，理由见解析
【分析】
（1）根据反比例函数k的几何意义，即可求解；
（2）先证明，得到，设，则，由对称的性质得到，即可判断点F在反比例函数的图象上；在中，根据点为的中点，得到，由对称的性质，即可得到，即可得出结论．
【详解】（1）解：点A为反比例函数图象上一点，轴于点B，且，
，
，
比例函数图象在第二、四象限，
，即，
反比例函数的表达式为：；
（2）解：，，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
点F是点E关于直线的对称点，
，
将代入，得，左边等于右边，
点F在反比例函数的图象上，
在中，
，
点为的中点，
，
点F是点E关于直线的对称点，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，对称的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，菱形的判定，证明三角形相似是解题的关键．
题型五 反比例函数与正方形形的综合问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B与原点重合，点A，C分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，将正方形沿x轴正方向平移4个单位长度后得到正方形，已知正方形的边长为2，E为的中点，反比例函数的图象恰好经过点E．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)若反比例函数的图象与正方形的边交于点，连接，，求的面积．
(3)连接，判断点E是否在线段上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点E在线段上．理由见解析
【分析】（1）由平移的性质及正方形的性质得的长，由点E是中点可求得点E的坐标，用待定系数法即可求解；
（2）由题意可得的长，进而求得点F的纵坐标，即可求得的长，最后由三角形面积公式求解即可；
（3）由待定系数法求出直线的函数表达式，即可判断点E是否在线段上．
【详解】（1）解：∵正方形的边长为2，
∴．
由平移的性质，得．
∵E是的中点，
∴．
∴．
∵将点代入反比例函数中，得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：由题意，得．
将代入反比例函数中，得．
∴．
∴．
∴．
（3）解：点E在线段上．理由如下：
设直线的函数表达式为，
将点，代入中，得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
由（1）得点．将代入中，得．
∴点E在直线上．
∵，
∴点E在线段上．
【例2】（2024·河北石家庄·一模）如图，已知平面直角坐标系中有一个的正方形网格，网格的横线、纵线分别与轴、轴平行，每个小正方形的边长为1．点的坐标为．
（1）点的坐标为 ．
（2）若双曲线与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数的值有 个．
【答案】 4
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征及性质，解题的关键是熟练运用以上知识点．
（1）根据已知条件及线段的和差求出的坐标．
（2）分别求出图中各个点的坐标，求出对应的符合题意的的值有2个，当双曲线经过E、F之后到经过点N的过程中，还有2个符合题意的k值．
【详解】（1）如图所示，
每个小正方形的边长为1，
，
点的坐标为，
点的横坐标为，点的纵坐标为，
点的坐标为．
故答案为：．
（2）由题意得：，∴当曲线经过点B时，代入解析式求得，经过点M、D时，求得；经过点A、C时，；经过点E、F时，；经过点N时，.
∴符合题意的正数k有6，2，
∵经过点E、F时，；经过点N时，，
∴在这两个临界状态之间，还有两个符合题意的正数，
∴共有4个，
故答案为：4．
1．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点，，的边与轴交于点，且为的中点，双曲线经过、两点．
(1)求的值；
(2)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标；
(3)以线段为对角线作正方形（如图③，点是边上一动点，是的中点，，交于，当点在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
【答案】(1)
(2)，，
(3)结论：的值不发生改变，证明见解析
【分析】
（1）设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出的值即可；
（2）由（1）知可知反比例函数的解析式为，再由点在双曲线上，点在轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出的值，故可得出、的坐标；
（3）连、、，易证，故，，由此即可得出结论．
【详解】（1）
解：，，为中点，
，
设，
又，
，
，
，
；
（2）
解：由（1）知，
反比例函数的解析式为，
点在双曲线上，点在轴上，
设，，
①当为边时：
如图1，若为平行四边形，
则，
解得，
此时，；
如图2，若为平行四边形，
则，
解得，
此时，；
②如图3，当为对角线时，
，且；
，
解得，
，；
故，；，；，；
（3）
解：结论：的值不发生改变，
理由：如图4，连、、，
是线段的垂直平分线，
，
四边形是正方形，
，
在与中，
，
，
，
，
四边形中，，而，
所以，，所以，四边形内角和为，
所以．
，
．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.
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抢分秘籍08 反比例函数和几何图形综合问题（压轴通关）
目录
【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）
反比例函数和几何图形综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，反比例函数中的K值和三角形、平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点。
2．从题型角度看，以解答题的第五题或第六题为主，分值8分左右，着实不少！
题型一 反比例函数与三角形的综合问题
【例1】（2024·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，是边长为4的等边三角形，反比例函数的图象经过边OA的中点C．
（1） ．
（2）若反比例函数的图象与边AB交于点D，则 ．
【例2】（2024·河南·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数的图象经过点B．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)将绕点B逆时针旋转得到，点恰好落在上，请求出图中阴影部分的面积．
1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，轴，且，点的坐标为．
(1)若反比例函数的图象经过点，求此反比例函数的解析式；
(2)若将向下平移个单位长度，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，求的值．
2.（2023·江苏盐城·一模）如图，在Rt中，，，轴，垂足为，边与轴交于点，反比例函数，的图象经过点．
(1)若，求直线和反比例函数的表达式；
(2)若，将边沿边所在直线翻折，交反比例函数的图象于点，交轴于点，求点的坐标．
题型二 反比例函数与平行四边形的综合问题
【例1】（新考法，拓视野）（2023·江西萍乡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，轴，点的坐标为，将向下方平移，得到，且点的对应点落在反比例函数的图象上，点的对应点落在轴上，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)求反比例函数的表达式；
(3)求平移的距离及线段扫过的面积．
【例2】（2024·山东济南·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点Q．
(1)求a、k的值；
(2)直线过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，，连接．
①求的面积；
②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M坐标．
1．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和的中点D，，四边形的面积是．
(1)求点A，D的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点M是四边形内部反比例函数图象上一动点(不含边界)，当直线经过点M时，请直接写出m的取值范围．
2．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线与直线交于点A、点B，点C为双曲线上点A右侧的一点，过点B作，交y轴于点D，连接
(1)如图1，求点A、B的坐标；
(2)如图2，若四边形是平行四边形，求长；
(3)如图1，当四边形的面积为4时，求直线的解析式．
3．（2024·四川成都·一模）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于两点和F．且点在反比例函数图象上．
(1)求反比例函数的解析式以及点F的坐标；
(2)点P在反比例函数第一象限的图象上，连接，和，若，求点P的横坐标；
(3)点M在x轴上运动，点N在反比例函数的图象上运动，以点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标．
题型三 反比例函数与矩形的综合问题
【例1】（2024·贵州·一模）如图，在矩形中，，D是边的中点，反比例函数 的图象经过点D，交边于点E，直线的表达式为：
(1)求反比例函数的表达式和直线的表达式；
(2)根据图象直接写出当时，x的取值范围．
【例2】（2023·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点，且点为的中点．
(1)求反比例函数的表达式和点的坐标；
(2)若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上之间的部分时（点可与点重合），直接写出的取值范围．
1．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为．其中．
(1)四边形是____．(填写四边形的形状)
(2)当点A的坐标为时，四边形是矩形，求的值．
(3)试探究：随着k与m的变化，四边形能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由．
2．如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，反比例函数（）在第一象限内的图象经过点、，
(1)点为对角线上一点，满足，点在边上，且，求反比例函数解析式；
(2)在（）的条件下，反比例函数上是否存在点，满足，若存在，求点的横坐标；
(3)我们把有一个内角为的三角形称为“美好三角形”，这个的内角称为“美好角”，这个角的两边称为“美好边”，如图，若点B的坐标为，则当为“美好三角形”时，直接写出反比例函数表达式中的值．
题型四 反比例函数与菱形的综合问题
【例1】（2024·河南信阳·一模）如图，菱形的边在x轴上，且，，点C在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当菱形绕点O逆时针旋转时，判断点C的对应点是否在的图象上；并直接写出所在的直线解析式．
【例2】（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，点B的坐标为，点C在反比例函数的图象上，以点O为圆心，长为半径画．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)阴影部分的面积为______．（用含的式子表示）
1．（2024·河南开封·一模）如图，的顶点坐标分别为，，，反比例函数的图象经过点C．
(1)求k的值．
(2)点D在反比例函数的图象上，且于点E，，请说明四边形是菱形．
(3)是否存在除点D外可与A，B，C三点共同组成菱形的点P？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，扇形上的点在反比例函数的图象上，点在第四象限，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点在反比例函数的图象上．
(1)的值为 ；
(2)求的度数；
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
3．（2023·河南新乡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，轴于点B，且，点M为反比例函数图象上第四象限内一动点，过点M作轴于点C，取x轴上一点D，使得，连接交y轴于点E，点F是点E关于直线的对称点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)试判断点F是否在反比例函数的图象上，并说明四边形的形状．
题型五 反比例函数与正方形形的综合问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B与原点重合，点A，C分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，将正方形沿x轴正方向平移4个单位长度后得到正方形，已知正方形的边长为2，E为的中点，反比例函数的图象恰好经过点E．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)若反比例函数的图象与正方形的边交于点，连接，，求的面积．
(3)连接，判断点E是否在线段上，并说明理由．
【例2】（2024·河北石家庄·一模）如图，已知平面直角坐标系中有一个的正方形网格，网格的横线、纵线分别与轴、轴平行，每个小正方形的边长为1．点的坐标为．
（1）点的坐标为 ．
（2）若双曲线与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数的值有 个．
1．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点，，的边与轴交于点，且为的中点，双曲线经过、两点．
(1)求的值；
(2)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标；
(3)以线段为对角线作正方形（如图③，点是边上一动点，是的中点，，交于，当点在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
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