【七下专项突破讲练】专题10.1 二元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解）（含解析）

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专题10.1 二元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程．
特别提醒：二元一次方程满足的三个条件：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
【知识点二】二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．
特别提醒：
（1）二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如：
（2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
【知识点三】二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
特别提醒：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如 也是二元一次方程组.
【知识点四】二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
特别提醒：
（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．
（2）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．
【考点目录】
【考点1】二元一次方程及其解； 【考点2】二元一次方程组及其解； 【考点3】由二元一次方程（组）的解求参数; 【考点4】二元一次方程组综合.
【考点1】二元一次方程及其解；
【例1】（23-24七年级下·全国·课时练习）已知方程与方程有一个相同的解，你能求出的值吗？
【答案】1
【分析】本题考查同解方程、二元一次方程组的解．把相同的解分别代入两个方程，求出m、n的值，再将m、n的值代入即可．
解：把代入，得；
把代入，得．
∴．
故答案为：1．
【变式1】（2024七年级下·全国·专题练习）若xm﹣n﹣2ym+n﹣2=2021，是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值分别是（ ）
A．m=1，n=0 B．m=0，n=1 C．m=2，n=1 D．m=2，n=3
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义，列出关于m，n的二元一次方程，进而即可求解．
解：根据题意，得：，解得：，
故答案为：C．
【点拨】本题主要考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义，列出方程组，是解题的关键．
【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值是 ．
【答案】10
【分析】将代入二元一次方程，得到，即可求出代数式的值．
解：是二元一次方程的一个解，
，
，
故答案为：10．
【点拨】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握二元一次方程的解的概念是解题关键．
【考点2】二元一次方程组及其解；
【例2】（22-23七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组
（1）解这个方程组．
（2）若上述方程组的解，也是关于、的二元一次方程的一个解，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组；
（2）将（1）的解代入方程，进而即可求解．
（1）解：，
②-①得，
将代入①得，
解得，
∴方程组的解为；
（2）∵也是关于、的二元一次方程的一个解，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，代数式求值，正确的计算是解题的关键．
【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）下列方程组为二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程组的定义，即含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程组在一起叫做二元一次方程组判断即可；
解：A．中，xy的次数是2，故A不符合题意；
B．是二元一次方程组，故B符合题意；
C．中y在分母上，故C不符合题意；
D．中有3个未知数，故D不符合题意；
故选B．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的识别，掌握二元一次方程组的定义，准确分析是解题的关键．
【变式2】（20-21七年级下·河南漯河·期末）若一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是 ．
【答案】
【分析】根据二元一次方程组的解找到和的数量关系，然后列出方程组即可；
解： 二元一次方程组的解是
这个方程组可以是： （答案不唯一）
故答案是：
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的解的问题，根据方程组的解找到和的数量关系，是求解本题的关键；
【考点3】由二元一次方程（组）的解求参数；
【例3】（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）如果中的解x、y相同，求m的值．
【答案】．
【分析】根据方程组的解x、y的值相同，联立方程组，求出x，y的值，然后把x，y的值代入即可求出m的值．
解：方程组的解x、y的值相同，
联立方程组，
解得，
把代入，得，
解得，．
【点拨】本题主要考二元一次方程组的解法，根据题意联立方程组，从而求出x，y的值是解题的关键．
【变式1】（23-24七年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知是方程组的解，则a＋b＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【答案】B
【分析】将代入方程组中的两个方程，得到两个关于未知系数的一元一次方程，解答即可．
解：∵是方程组的解，
∴将代入①，得a＋2＝ 1，
∴a＝ 3．
将代入②，得2 2b＝0，
∴b＝1．
∴a＋b＝ 3＋1＝ 2．
故选B．
【点拨】解答此题，需要对以下问题有一个深刻的认识：
①使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解；
②二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
【变式2】（23-24八年级上·陕西榆林·期末）小亮解方程组的解为由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为 ．
【答案】—2，8.
解：把x=5代入2x﹣y=12得2×5﹣y=12，解得y=﹣2，再把x=5，y=﹣2代入2x+y=●，可得●=8，所以这两个数分别为—2，8.
考点：二元一次方程组的解．
【考点4】二元一次方程（组）的解综合.
【例4】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的方程组．
（1）请直接写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求m的值；
（3）时，方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？
【答案】（1），；，；（2）；（3）
【分析】
本题考查了二元一次方程的正整数解的确定，同解方程的含义，二元一次方程组的解法，二元一次方程的固定解，掌握以上知识是解题的关键．
（1）把y看作已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可．
（2）由题意得：，解方程组求解x，y，再把x，y的值代入，从而可得答案．
（3）方程变形后，确定出公共解即可．
（1）解：方程，
解得：，
当时，；，．
（2）联立得：，
解得：，
代入得：，
解得：．
（3）∵，即总有一个解，
∴方程的解与m无关，
∴，，
解得：，．
则方程的公共解为．
【变式1】（12-13七年级·湖北黄冈·期末）关于x，y的方程组的解是 ，其中y的值被盖住了．不过仍能求出m，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，把代入方程组第二个方程求出的值，再将，的值代入中，进而求出的值即可．正确求出的值是解题关键．
解：把代入得：，
解得：，
把，代入得：，
解得：，
故选：A．
【变式2】（11-12八年级上·河南安阳·单元测试）已知是方程组的解，则的值为
【答案】
【分析】把方程组的解代入，得到a、b的方程组，求出a、b的值，然后代入计算，即可得到答案.
解：∵是方程组的解，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：.
【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
专题10.1 二元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程．
特别提醒：二元一次方程满足的三个条件：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
【知识点二】二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．
特别提醒：
（1）二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如：
（2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
【知识点三】二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
特别提醒：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如 也是二元一次方程组.
【知识点四】二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
特别提醒：
（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．
（2）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．
【考点目录】
【考点1】二元一次方程及其解； 【考点2】二元一次方程组及其解； 【考点3】由二元一次方程（组）的解求参数; 【考点4】二元一次方程组综合.
【考点1】二元一次方程及其解；
【例1】（23-24七年级下·全国·课时练习）已知方程与方程有一个相同的解，你能求出的值吗？
【变式1】（2024七年级下·全国·专题练习）若xm﹣n﹣2ym+n﹣2=2021，是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值分别是（ ）
A．m=1，n=0 B．m=0，n=1 C．m=2，n=1 D．m=2，n=3
【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值是 ．
【考点2】二元一次方程组及其解；
【例2】（22-23七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组
（1）解这个方程组．
（2）若上述方程组的解，也是关于、的二元一次方程的一个解，求的值．
【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）下列方程组为二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（20-21七年级下·河南漯河·期末）若一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是 ．
【考点3】由二元一次方程（组）的解求参数；
【例3】（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）如果中的解x、y相同，求m的值．
【变式1】（23-24七年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知是方程组的解，则a＋b＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【变式2】（23-24八年级上·陕西榆林·期末）小亮解方程组的解为由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为 ．
【考点4】二元一次方程（组）的解综合.
【例4】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的方程组．
（1）请直接写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求m的值；
（3）时，方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？
【变式1】（12-13七年级·湖北黄冈·期末）关于x，y的方程组的解是 ，其中y的值被盖住了．不过仍能求出m，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（11-12八年级上·河南安阳·单元测试）已知是方程组的解，则的值为
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