2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与角度问题课件 57张PPT

(共57张PPT)
微技能——角的表示
一阶
例 1
一题多设问
已知抛物线交x轴于A、B两
点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC.
微专题　二次函数与角度问题
例1题图①
【作图依据】_______________________________________________
(1)点P是抛物线上一点，在图①中找出点P使得∠PCA＝30°；
例1题图①
解：(1)满足条件的点P如解图①.
分两种情况：
①点P在直线AC上方；
②点P在直线AC下方；
全等三角形对应角相等
例1题解图①
(2)点P是抛物线上一点，在图②中找出点P使得∠CPA＝60°；
例1题图②
【作图依据】_____________________________________________
(2)满足条件的点P如解图②.
分两种情况：
①点P在直线AC上方；
②点P在直线AC下方；
例1题解图②
全等三角形对应角相等
(3)点满足条件的点P如解图③.
分两种情况：
①点P在直线AB上方；
②点P在直线AB下方．
【作图依据】_________________________________
(3)点D为抛物线对称轴与x轴的交点，点P是抛物线上一点，在图③中找出点P使得∠PAB＝∠DCO.
例1题图③
例1题解图③
全等三角形对应角相等
一题多设问
二阶
例 2
一题多设问
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A，B ，与y轴交于点C，其中A(－6，0)，B(2，0)，C(0，－3)．
例2题图①
(1)如图①，求抛物线的解析式；
解：(1)将点A、B、C的坐标代入抛物线解析式得，
解得
∴抛物线的解析式为y＝ x2＋x－3；
例2题图①
(2)如图②，在抛物线上是否存在一点P，使得AB为∠PAC的平分线？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
例2题图②
【思维教练】要求以AB为∠PAC的平分线的点P的坐标，根据角平分线的性质，作点C关于x轴的对称点C′，先求出直线AC′的解析式，再与抛物线解析式联立，即可得到点P的坐标．
【解法提示】∵点C的坐标为(0，－3)，
∴点C关于x轴的对称点C′的坐标为(0，3)．
如解图①，连接AC′并延长至与抛物线相交，交点为P，
设直线AC′的解析式为y＝kx＋b，将A(－6，0)，C′(0，3)代入，
得 解得
∴直线AC′的解析式为y＝ x＋3.
例2题解图①
联立
解得
∴点P的坐标为(4，5)．
(2)存在，点P的坐标为(4，5)；
例2题解图①
(3)如图③，连接AC，AC上存在一点M，使得∠BMC＝2∠BAC，请直接写出点M的坐标；
【思维教练】要求点M的坐标，已知∠BMC＝2∠BAC，可得∠ABM＝∠BAC，即点M在AB的垂直平分线上，可得点M的横坐标，代入AC所在直线解析式，即可求解．
例2题图③
【解法提示】如解图②，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接AC，BM.
∵∠BMC＝2∠BAC，∠BMC＝∠BAC＋∠ABM，
∴∠ABM＝∠BAC，
∴AM＝BM.
∵MN⊥AB，
∴AN＝BN，
∴点M的横坐标为 ＝－2.
例2题解图②
设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将A(－6，0)，C(0，－3)代入，
∴直线AC的解析式为y＝－ x－3.
将x＝－2代入y＝－ x－3中得，y＝－2，
∴点M的坐标为(－2，－2)．
例2题解图③
(3)点M的坐标为(－2，－2)；
(4)如图④，在抛物线上是否存在一点E，使得∠EBA＝∠OCA？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
例2题图④
【思维教练】要求点E的坐标，已知∠EBA＝∠OCA，过点E作EH⊥x轴于点H，则△HBE∽△OCA，设点E的坐标，代入比例关系可列方程求解．
【解法提示】设点E的坐标为(t， t2＋t－3)，如解图③，过点E作EH⊥x轴于点H，连接EB，AC，
∴H(t，0)．
∵∠EBA＝∠OCA，∠EHB＝∠AOC＝90°，
∴△HBE∽△OCA，
例2题解图③
E
H
解得 t1＝2，t2＝－14，
当t＝2时， t2＋t－3＝0，不符合题意，舍去，
当t＝－14时，t2＋t－3＝32，
∴E(－14，32)．
(4)存在，点E的坐标为(－14，32)；
例2题解图③
E
H
(5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点F，使得∠FAC＋∠FCA＝90°？若存在，直接写出点F的坐标；如不存在，请说明理由；
例2题图⑤
【思维教练】要求点F的坐标，已知∠FAC＋∠FCA＝90°可得∠AFC＝90°，则F在以AC为直径的圆K上，设点F的坐标，根据KF＝ AC列方程即可求解．
【解法提示】如解图④⑤，
∵A(－6，0)，B(2，0)，∴对称轴为直线x＝－2，
设点F的坐标为(－2，m)
∵∠FAC＋∠FCA＝90°，
∴∠AFC＝90°.
∴F在以AC为直径的圆上．
∵A(－6，0)，C(0，－3)，
∴圆心K的坐标为(－3， )．
例2题解图④
例2题解图⑤
(5)存在．点F的坐标为(－2， )或(－2， )；
∵KF＝ AC，KF2＝(－2＋3)2＋(m＋ )2，
AC2＝62＋32＝45，
∴(－2＋3)2＋(m＋ )2＝ ×45，
解得m1＝ ，m2＝ ，
∴点F的坐标为(－2， )或(－2， )．
例2题解图④
例2题解图⑤
(6)如图⑥，若点Q在y轴上，点G为该抛物线的顶点，且∠GQA＝45°.请直接写出点Q的坐标．
例2题图⑥
【思维教练】要求点Q的坐标，已知点Q在y轴上，点G为该抛物线的顶点，且∠GQA＝45°，可得点Q为以AG为弦，AG所对圆心角是90度的圆与y轴的交点，设圆心为R，过点R作x轴的垂线交x轴于点M，交过点G与x轴的平行线于点N，证明△AMR≌△RNG(AAS)，直接写出点R坐标，利用圆的性质即可求解．
【解法提示】设△GAQ的外接圆圆心为R，如解图⑥，
∵∠GQA＝45°，
∴∠ARG＝2∠GQA＝90°，
过点R作x轴的垂线交x轴于点M，
交过点G与x轴的平行线于点N，连接GN，
设点R(x，y)，G(－2，－4)
则AM＝x＋6，RM＝－y，RN＝y＋4，GN＝x＋2，
例2题解图⑥
∵∠MRA＋∠GRN＝90°，∠GRN＋∠RGN＝90°，
∴∠RGN＝∠ARM，
又∵∠AMR＝∠RNG＝90°，RA＝RG，
∴△AMR≌△RNG，
∴AM＝RN，MR＝GN，
例2题解图⑥
∴点R(－2，0)，
则RA＝－2－(－6)＝4，
设点Q(0，m)，则RQ＝RA＝4，
即m2＋4＝16，解得m＝±2 ，
∴Q的坐标为(0，2 )或(0，－2 )．
(6)Q的坐标为(0，2 )或(0，－2 )．
例2题解图⑥
综合提升
三阶
1. 如图，二次函数y＝－ x2＋bx＋c的图象交x轴于A(－3，0)， B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC.
第1题图
解：(1)将A(－3，0)，B(4，0)代入二次函数表达式 y＝－ x2＋bx＋c中，
∴二次函数的表达式为y＝－ x2＋ x＋4；
(1)求该二次函数的表达式；
第1题图
(2)∵点A(－3，0)，C(0，4)，
∴OA＝3，OC＝4.
∵表达式为y＝ x2＋ ＋4；
当x＝0时，y＝4
∴C(0，4)，∴OC＝4.
∴S△AOC＝ OA·OC＝ ×3×4＝6，
∵B(4，0)，∴BO＝4，
(2)当点P在直线BC下方时，连接OP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标；
第1题图
P1
P2
m
∵B(4，0)，∴BO＝4，
设点P到x轴的距离为h，
∵S△BOP＝2S△AOC，∴ ×4·h＝2×6，解得h＝6，
∵点P在直线BC的下方，
∴如解图①，作直线OB的平行线m，
使直线m到直线OB的距离h等于6，
与抛物线的交点即为所求的点P.即y＝－6，
则y＝－ x2＋ x＋4＝－6，解得x1＝－5，x2＝6，
∴点P的坐标为(－5，－6)或(6，－6)；
第1题图
P1
P2
m
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得∠AQC＝∠ABC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)存在，如解图②，∵点B(4，0)，C(0，4)，A(－3，0)，
∴∠ABC＝45°，AC＝5，
∵∠AQC＝∠ABC，
∴点Q是△ABC的外接圆M与抛物线对称轴的交点Q、Q′，
连接AM并延长，交 M于点D，
则∠D＝∠ABC＝45°，
第1题解图②
∵AD是 M的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴AD＝ ＝5 ，
连接BM，设对称轴交x轴于点E，在Rt△BME中，BE2＋ME2＝MB2，
由(1)得抛物线的对称轴为直线x＝ ，
∴OE＝ ，
∴BE＝4－ ＝
∴( )2＋ME2＝( )2，解得ME＝ (负值已舍去)，
第1题解图②
∴QE＝MQ＋ME＝ ，EQ′＝MQ′－ME＝ ，
∴点Q的坐标为( ， )或( ， )．
第1题解图②
2. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝ x－2.
第2题图
(1)∵点B，C在直线y＝ x－2上，
当x＝0时，y＝－2；当y＝0时，x＝4，
∴点B(4，0)，点C(0，－2)．
∵点B，C在抛物线y＝ x2＋bx＋c上，
∴
∴抛物线的解析式为 y＝ x2－ x－2；
(1)求抛物线的解析式；
第2题图
(2)如图①，点M在线段BC上，设点M的横坐标为t，过点M作y轴的平行线，过点C作x轴的平行线，两条平行线相交于点N，将△MCN沿MC翻折得到△MCN′，当点N′落在线段AB上时，求此时t的值；
第2题图
(2)如解图①，当点N′落在AB上时，设直线NM与x轴交于点Q.
∵点M在线段BC上，且点M的横坐标为t，OC＝2，
∴点M的纵坐标为 t－2，CN＝t.
∴由折叠的性质得CN′＝CN＝t，
N′M＝NM＝ t－2－(－2)＝ t，QM＝2－ t.
∴ON′＝ .
易证△ON′C∽△QMN′，
∴ ∴
第2题解图①
(3)如图②，点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC于点Q，当△CPQ中的某个角恰好为2∠ABC时，请直接写出点P的横坐标．
【解法提示】如解图②，过点P作PR⊥y轴，垂足为R，延长PR交BC的延长线于点G.
当∠QCP＝2∠ABC时，∠QCP＝2∠BGP，
∴∠CPR＝∠G＝∠ABC，
∴tan∠CPR＝tan∠ABC，
∴ ＝ ＝ .
第2题解图②
设点P(x，x2－ x－2)，则PR＝x，
CR＝－2－( x2－ x－2)＝－ x2＋ x.
∴ ＝ ，
解得x＝0(舍去)或x＝2.
∴点P的横坐标为2；
如解图③，当∠CPQ＝2∠ABC时，
令 y＝ x2－ x－2＝0，解得x＝－1或x＝4(舍去)，
第2题解图③
∴A(－1，0)．
设AB的中点为F，连接CF，则AF＝ ，OF＝ ，FB＝ ，
∴tan∠OFC＝ ＝ ，CF＝ ＝ .
∴FB＝FC，∴∠OFC＝2∠ABC，
∴tan∠CPQ＝tan∠OFC＝ .
设QP＝3k，CQ＝4k，则CP＝5k.
∵tan∠QGP＝tan∠OBC，
∴ ＝ ＝ ，∴GQ＝6k，
第2题解图③
∴由勾股定理，得GP＝ ＝3 k，
GC＝GQ－CQ＝2k.
∵在Rt△GCR中，tan∠CGR＝ ，
∴GR＝ k，CR＝ k，
∴RP＝GP－GR＝3 k－ k＝ k，
∴
第2题解图③
解得x＝0(舍去)或x＝ ，
∴点P的横坐标为 .
综上所述，点P的横坐标为2或 .
第2题解图③
(3)点P的横坐标为2或 .
3. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，且对称轴与抛物线交于点M(－1，4)，与x轴交于点C，直线y＝kx＋d过A、M两点．
第3题图
解：(1)∵抛物线的顶点为M(－1，4)，
∴可设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)2＋4，
∵当x＝0时，y＝3，
∴3＝a＋4，解得a＝－1，
∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)2＋4，
即y＝－x2－2x＋3.
令y＝－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，
∴A(－3，0)，B(1，0)，
(1)求抛物线及直线AM的表达式；
第3题图
将A，M两点坐标代入直线y＝kx＋d中，
∴直线AM的表达式为y＝2x＋6；
第3题图
(2)∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，
∴∠MAC＝∠DEF.
∵MC＝4，AC＝2，
∴AM＝
∴cos∠DEF＝cos∠MAC＝
(2)如图①，点E是AM上方抛物线上一动点，过点E作EF⊥AM于点F，EH⊥x轴于点H，交AM于点D，设点E的横坐标为m，请用含m的代数式表示出EF的长度，并写出m的取值范围；
第3题图
∵点E的横坐标为m
∴E(m，－m2－2m＋3)，D(m，2m＋6)，
∴DE＝－m2－2m＋3－(2m＋6)＝－m2－4m－3，
∴EF＝DE·cos∠DEF＝ (－m2－4m－3)＝－ (m＋2)2＋ .
∵点E是AM上方抛物线上一点，
∴m的取值范围为－3＜m＜－1；
第3题图
(3)在(2)的条件下，当EF取最大值时，如图②，在y轴上取一点Q，连接AQ，EQ，当∠AQE最大时，求点Q的坐标．
当 P与y轴相切时，∠AQE最大，连接PA，PE，PQ，则PA＝PE＝PQ，且PQ⊥y轴，
由(2)得，EF＝－ (m＋2)2＋ ，
∵－ <0，－3∴当m＝－2时，EF取得最大值，
此时点E的坐标为(－2，3)，
第3题图
第3题解图
(3)如解图，连接AE，作△AEQ的外接圆 P，
设点P的坐标为(x，y)，
则PA2＝(x＋3)2＋y2，PE2＝(x＋2)2＋(y－3)2，PQ2＝x2，
解得y＝9－2 或y＝9＋2 (不符合题意，舍去)，
∴点Q的坐标为(0，9－2 )．
第3题解图
4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋6交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且OA＝OC＝3OB，连接AC，动点P和动点Q同时出发，点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动．
第4题图
(1)求抛物线的表达式；
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋6交y轴于点C，
∴点C(0，6)，
∴OC＝6，
∵OA＝OC＝3OB，
∴OA＝OC＝6，OB＝2，
∴A(－6，0)，B(2，0)，
第4题图
∴抛物线的表达式为y＝－ x2－2x＋6；
第4题图
将点A、B的坐标代入y＝ax2＋bx＋6中得，
(2)求S△CPQ的最大值及此时点P的坐标；
(2)由A(6，0)，C(0，6)得直线AC的表达式为y＝x＋6，
∵OA＝OC，则∠ACO＝45°，
设点P的运动时间为t，由题意得PC＝2t，CQ＝6－t，
则|xP|＝PC·sin45°＝ t，
则S△CPQ＝ CQ·|xP|＝ ×(6－t)× t
＝－ t2＋3 t＝－ (t－3)2＋ ，
第4题图
当t＝3时，|xp|＝3 ，
∵点P在第二象限，
∴xp＝－3 ，
∴yP＝6－3 ，
故S△CPQ的最大值为 ，
此时点P的坐标为(－3 ，6－3 )；
∵－ ＜0，
∴当t＝3时，S△CPQ有最大值，其最大值为 ，
第4题图
(3)点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得∠ACM＝15°？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)存在．
分两种情况讨论：
①如解图①，当点M在AC上方时，
过点M作ME⊥x轴于点E，MF⊥y轴于点F，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝45°，
∵∠ACM＝15°，
∴∠OCM＝60°，
第4题解图①
第4题图
设点M(m，－ m2－2m＋6)(－6＜m＜0)，
在Rt△MCF中，∵CF＝ ，
∴CF＝ MF＝－ m，
∴OF＝OC－CF＝6＋ m，
∵∠MEO＝∠EOF＝∠MFO＝90°，
∴四边形MEOF是矩形，
∴ME＝OF，
即－ m2－2m＋6＝6＋ m，
解得m1＝0(舍去)，m2＝－4－ .
第4题解图①
∴ME＝6＋ m＝ ，
∴点M的坐标为(-4- ， )；
②如解图②，当点M在AC下方时，过点M作MH⊥x轴于点H，设MC与x轴交于点G，
设点M(n，－ n2－2n＋6)(n＜－6)，
则OH＝－n，MH＝ n2＋2n－6，
∵∠CAO＝45°，∠ACM＝15°，
∴∠AGM＝∠CGO＝∠CAO＋∠ACM＝60°，
在Rt△CGO中，∵OC＝6，
第4题解图②
∴OG＝ ＝2 ，
∴GH＝OH－OG＝－n－2 ，
在Rt△MGH中，∵HM＝GH·tan∠HGM＝ GH，
∴－ n－6＝ n2＋2n－6，
解得n1＝0(舍去)，n2＝－4－2 .
∴GH＝OH－OG＝4 ，MH＝GH＝4 .
∴点M的坐标为(－4－2 ，－4 )．
综上所述，存在点M，使得∠ACM＝15°，此时点M的坐标为 (－4－ ， )或(－4－2 ，－4 )．
第4题解图②
由①知△AOC∽△AQ1B，
∴ ，
∴AO＝2，∴AC＝ ，
在Rt△AQ1B中，AQ1＝AO＋OQ1＝2＋4＝6，BQ1＝3，
∴由勾股定理得AB＝
∴
解得m＝ .
综上所述，若△ABQ与△AOC相似，m的值为4或 ；
第4题解图②