应用课
第二章 气体、固体和液体
第5课时 气体实验定律的综合应用
【学习目标】
会应用气体实验定律解决“玻璃管液封”模型 会应用气体实验定律解决“汽缸活塞类”模型
【学习活动】
学习任务
目标1：会应用气体实验定律解决“玻璃管液封”模型 任务：完成下面的例题归纳玻璃管液封模型的解题思路 例1.某同学设计了测量液体密度的装置。如图，左侧容器开口；右管竖直，上端封闭，导热良好，管长L0=1m，粗细均匀，底部有细管与左侧连通，初始时未装液体。现向左侧容器缓慢注入某种液体，当左侧液面高度为h1=0.7m时，右管内液柱高度h2=0.2m。己知右管横截面积远小于左侧横截面积，大气压强p0=1.0×105Pa，取g=10m/s2。 (i)求此时右管内气体压强及该液体的密度； (ii)若此时右管内气体温度T=260K，再将右管内气体温度缓慢升高到多少K时，刚好将右管中液体全部挤出？（不计温度变化对液体密度的影响） 变式1：如图，一粗细均匀的U形管竖直放置，A侧上端封闭，B侧上端与大气相通，下端开口处开关K关闭；A侧空气柱的长度为＝10.0 cm，B侧水银面比A侧的高h＝3.0 cm.现将开关K打开，从U形管中放出部分水银，当两侧水银面的高度差为1＝10.0 cm时将开关K关闭.已知大气压强0＝75.0 cmHg. (1)求放出部分水银后A侧空气柱的长度； (2)此后再向B侧注入水银，使A、B两侧的水银面达到同一高度，求注入的水银在管内的长度. 例题2：一U形玻璃管竖直放置，左端开口，右端封闭，左端上部有一光滑的轻活塞.初始时，管内汞柱及空气柱长度如图所示.用力向下缓慢推活塞，直至管内两边汞柱高度相等时为止.求此时右侧管内气体的压强和活塞向下移动的距离.已知玻璃管的横截面积处处相同；在活塞向下移动的过程中，没有发生气体泄漏；大气压强p0＝75.0 cmHg.环境温度不变.(保留三位有效数字) 变式2:如图所示，由形管和细管连接的玻璃泡A、B和C浸泡在温度均为0 ℃的水槽中，B的容积是A的3倍.阀门S将A和B两部分隔开.A内为真空，B和C内都充有气体.U形管内左边水银柱比右边的低60 mm.打开阀门S，整个系统稳定后，U形管内左右水银柱高度相等.假设U形管和细管中的气体体积远小于玻璃泡的容积. (1)求玻璃泡C中气体的压强(以mmHg为单位)； (2)将右侧水槽中的水从0 ℃加热到一定温度时，U形管内左右水银柱高度差又为60 mm，求加热后右侧水槽的水温. [方法归纳]
目标2：会应用气体实验定律解决“汽缸活塞类”模型 任务：完成下面的例题归纳“汽缸活塞类”模型的解题思路 例题3：如图，容积为V的汽缸由导热材料制成，面积为S的活塞将汽缸分成容积相等的上下两部分，汽缸上部通过细管与装有某种液体的容器相连，细管上有一阀门K。开始时，K关闭，汽缸内上下两部分气体的压强均为0， 现将K打开，容器内的液体缓慢地流入汽缸，当流入的液体体积为时，将K关闭，活塞平衡时其下方气体的体积减小了 ，不计活塞的质量和体积，外界温度保持不变，重力加速度大小为g。求流入汽缸内液体的质量。 变式3:如图所示，两端开口的汽缸水平固定，A、B是两个厚度不计的活塞，可在汽缸内无摩擦滑动，面积分别为S1＝20 cm2，S2＝10 cm2，它们之间用一根水平细杆连接，B通过水平细绳绕过光滑的轻质定滑轮与质量为M＝2 kg的重物C连接，静止时汽缸中的气体温度T1＝600 K，汽缸两部分的气柱长均为L，已知大气压强p0＝1×105 Pa，取g＝10 m/s2，缸内气体可看做理想气体. (1)活塞静止时，求汽缸内气体的压强； (2)若降低汽缸内气体的温度，当活塞A缓慢向右移动时，求汽缸内气体的温度. 例题4:如图，容积均为V的汽缸A、B下端有细管(容积可忽略)连通，阀门K2位于细管的中部，A、B的顶部各有一阀门K1、K3；B中有一可自由滑动的活塞(质量、体积均可忽略).初始时，三个阀门均打开，活塞在B的底部；关闭K2、K3，通过K1给汽缸充气，使A中气体的压强达到大气压p0的3倍后关闭K1.已知室温为27 ℃，汽缸导热. (1)打开K2，求稳定时活塞上方气体的体积和压强； (2)接着打开K3，求稳定时活塞的位置； (3)再缓慢加热汽缸内气体使其温度升高20 ℃，求此时活塞下方气体的压强. 变式4:如图所示，两汽缸A、B粗细均匀，等高且内壁光滑，其下部由体积可忽略的细管连通；A的直径是B的2倍，A上端封闭，B上端与大气连通；两汽缸除A顶部导热外，其余部分均绝热，两汽缸中各有一厚度可忽略的绝热轻活塞a、b，活塞下方充有氮气，活塞a上方充有氧气.当大气压为p0、外界和汽缸内气体温度均为7 ℃且平衡时，活塞a离汽缸顶的距离是汽缸高度的，活塞b在汽缸正中间. (1)现通过电阻丝缓慢加热氮气，当活塞b恰好升至顶部时，求氮气的温度； (2)继续缓慢加热，使活塞a上升，当活塞a上升的距离是汽缸高度的时，求氧气的压强. [方法归纳]
【学习总结】
请画出本课时的思维导图
2应用课
第二章 气体、固体和液体
第5课时 气体实验定律的综合应用
【学习目标】
会应用气体实验定律解决“玻璃管液封”模型 会应用气体实验定律解决“汽缸活塞类”模型
【学习活动】
学习任务
目标1：会应用气体实验定律解决“玻璃管液封”模型 任务：完成下面的例题归纳玻璃管液封模型的解题思路 例1.某同学设计了测量液体密度的装置。如图，左侧容器开口；右管竖直，上端封闭，导热良好，管长L0=1m，粗细均匀，底部有细管与左侧连通，初始时未装液体。现向左侧容器缓慢注入某种液体，当左侧液面高度为h1=0.7m时，右管内液柱高度h2=0.2m。己知右管横截面积远小于左侧横截面积，大气压强p0=1.0×105Pa，取g=10m/s2。 (i)求此时右管内气体压强及该液体的密度； (ii)若此时右管内气体温度T=260K，再将右管内气体温度缓慢升高到多少K时，刚好将右管中液体全部挤出？（不计温度变化对液体密度的影响） [答案] (i) p1=1.25x105Pa; ρ=5x103kg/m3 (ii)T'=351K [解析] (i) 对右侧管气体，由玻意耳定律, p0V0=p1V1其中: V0=L0S， V1= (Lo-h2) s, 解得: p1=1.25x105Pa， 又，p1=p0+g (h1-h2)解得: ρ=5x103kg/m3 (ii)对右侧管气体，由理想气体状态方程， 其中: p2=p0+pgh1解得: T'=351K 变式1：如图，一粗细均匀的U形管竖直放置，A侧上端封闭，B侧上端与大气相通，下端开口处开关K关闭；A侧空气柱的长度为＝10.0 cm，B侧水银面比A侧的高h＝3.0 cm.现将开关K打开，从U形管中放出部分水银，当两侧水银面的高度差为1＝10.0 cm时将开关K关闭.已知大气压强0＝75.0 cmHg. (1)求放出部分水银后A侧空气柱的长度； (2)此后再向B侧注入水银，使A、B两侧的水银面达到同一高度，求注入的水银在管内的长度. 【解析】（1）以为压强单位.设A侧空气柱长度＝10.0 cm时的压强为p；当两侧水银面的高度差为1＝10.0 cm时，空气柱的长度为1，压强为p1. 由玻意耳定律得：＝11S 由力学平衡条件得：＝0＋ 打开开关K放出水银的过程中，B侧水银面处的压强始终为p0，而A侧水银面处的压强随空气柱长度的增加逐渐减小，B、A两侧水银面的高度差也随之减小，直至B侧水银面低于A侧水银面h1为止.由力学平衡条件有 1＝0－1 联立，并代入题给数据得1＝12.0 cm （2）当A、B两侧的水银面达到同一高度时，设A侧空气柱的长度为2，压强为2. 由玻意耳定律得＝22s 由力学平衡条件有2＝0 联立，并代入题给数据得2＝10.4 cm 设注入的水银在管内的长度为Δh，依题意得＝2(1－2)＋1 联立式，并代入题给数据得Δ＝13.2 cm. 例题2：一U形玻璃管竖直放置，左端开口，右端封闭，左端上部有一光滑的轻活塞.初始时，管内汞柱及空气柱长度如图所示.用力向下缓慢推活塞，直至管内两边汞柱高度相等时为止.求此时右侧管内气体的压强和活塞向下移动的距离.已知玻璃管的横截面积处处相同；在活塞向下移动的过程中，没有发生气体泄漏；大气压强p0＝75.0 cmHg.环境温度不变.(保留三位有效数字) 【解析】 设初始时，右管中空气柱的压强为p1，长度为1；左管中空气柱的压强为p2＝p0，长度为2.活塞被下推后，右管中空气柱的压强为1′，长度为1′；左管中空气柱的压强为2′，长度为2′.以为压强单位.由题给条件得 1＝0＋(20.0－5.00) ＝90 1＝20.0 cm 1′＝(20.0－) cm＝12.5 cm 由玻意耳定律得11S＝1′1′S 联立得1′＝144 依题意2′＝1′，2′＝4.00 cm＋ cm－＝11.5 cm－ 由玻意耳定律得22S＝2′2′S 联立得≈9.42 cm. 变式2:如图所示，由形管和细管连接的玻璃泡A、B和C浸泡在温度均为0 ℃的水槽中，B的容积是A的3倍.阀门S将A和B两部分隔开.A内为真空，B和C内都充有气体.U形管内左边水银柱比右边的低60 mm.打开阀门S，整个系统稳定后，U形管内左右水银柱高度相等.假设U形管和细管中的气体体积远小于玻璃泡的容积. (1)求玻璃泡C中气体的压强(以mmHg为单位)； (2)将右侧水槽中的水从0 ℃加热到一定温度时，U形管内左右水银柱高度差又为60 mm，求加热后右侧水槽的水温. 【解析】(1)在打开阀门S前，两水槽水温均为T0＝273 K. 设玻璃泡B中气体的压强为p1，体积为VB，玻璃泡C中气体的压强为pC，依题意有p1＝pC＋Δp 式中Δp＝60 mmHg. 打开阀门S后，两水槽水温仍为T0， 设玻璃泡B中气体的压强为pB，依题意，有pB＝pC ② 玻璃泡A和B中气体的体积V2＝VA＋VB ③ 根据玻意耳定律得p1VB＝pBV2 ④ 联立①②③④式，并代入已知数据得:pC＝Δp＝180 mmHg (2)当右侧水槽的水温加热至T′时，U形管左右水银柱高度差为Δp，玻璃泡C中气体的压强pC′＝pB＋Δp 玻璃泡C中的气体体积不变，根据查理定律得 代入题给数据得T′＝364 K. [方法归纳] 利用气体实验定律及气态方程解决问题的基本思路 2.玻璃管液封模型 求液柱封闭的气体压强时，一般以液柱为研究对象分析受力、列平衡方程，要注意： (1)液体因重力产生的压强大小为＝ρgh(其中h为至液面的竖直高度)； (2)不要漏掉大气压强，同时又要尽可能平衡掉某些大气的压力； (3)有时可直接应用连通器原理——连通器内静止的液体，同种液体在同一水平面上各处压强相等； (4)当液体为水银时，可灵活应用压强单位“cmHg”等，使计算过程简捷.
目标2：会应用气体实验定律解决“汽缸活塞类”模型 任务：完成下面的例题归纳“汽缸活塞类”模型的解题思路 例题3：如图，容积为V的汽缸由导热材料制成，面积为S的活塞将汽缸分成容积相等的上下两部分，汽缸上部通过细管与装有某种液体的容器相连，细管上有一阀门K。开始时，K关闭，汽缸内上下两部分气体的压强均为0， 现将K打开，容器内的液体缓慢地流入汽缸，当流入的液体体积为时，将K关闭，活塞平衡时其下方气体的体积减小了 ，不计活塞的质量和体积，外界温度保持不变，重力加速度大小为g。求流入汽缸内液体的质量。 [答案] [解析]设活塞再次平衡后，活塞上方气体的体积为V1,压强为p1;下方气体的体积为V2,压强为p2,在活塞下移的过程中，活塞上下方气体的温度均保持不变。 由玻意耳定律得 ① ② 由已知条件得 ③ ④ 设活塞上方液体的质量为m,由力的平衡条件得 2=1+⑤. 联立以上各式得: 变式3:如图所示，两端开口的汽缸水平固定，A、B是两个厚度不计的活塞，可在汽缸内无摩擦滑动，面积分别为S1＝20 cm2，S2＝10 cm2，它们之间用一根水平细杆连接，B通过水平细绳绕过光滑的轻质定滑轮与质量为M＝2 kg的重物C连接，静止时汽缸中的气体温度T1＝600 K，汽缸两部分的气柱长均为L，已知大气压强p0＝1×105 Pa，取g＝10 m/s2，缸内气体可看做理想气体. (1)活塞静止时，求汽缸内气体的压强； (2)若降低汽缸内气体的温度，当活塞A缓慢向右移动时，求汽缸内气体的温度. 【解析】(1)设静止时汽缸内气体压强为1， 活塞受力平衡：11＋0S2＝0S1＋1S2＋ 代入数据解得1＝1.2×105 (2)由活塞受力平衡可知缸内气体压强没有变化，设开始温度为T1，变化后温度为T2，由盖—吕萨克定律得 代入数据解得T2＝500 K. 例题4:如图，容积均为V的汽缸A、B下端有细管(容积可忽略)连通，阀门K2位于细管的中部，A、B的顶部各有一阀门K1、K3；B中有一可自由滑动的活塞(质量、体积均可忽略).初始时，三个阀门均打开，活塞在B的底部；关闭K2、K3，通过K1给汽缸充气，使A中气体的压强达到大气压p0的3倍后关闭K1.已知室温为27 ℃，汽缸导热. (1)打开K2，求稳定时活塞上方气体的体积和压强； (2)接着打开K3，求稳定时活塞的位置； (3)再缓慢加热汽缸内气体使其温度升高20 ℃，求此时活塞下方气体的压强. 【解析】 (1)设打开K2后，稳定时活塞上方气体的压强为P1，体积为V1.依题意，被活塞分开的两部分气体都经历等温过程. 由玻意耳定律得P0V＝P1V1 ① (3P0)V＝P1(2V－V1) ② 联立①②得 V1＝ ③ P1＝2P0④ 打开K3后，由④式知，活塞必定上升.设在活塞下方气体与A中气体的体积之和为V2(V2≤2V)时，活塞下气体压强为P2， 由玻意耳定律得(3P0)V＝P2V2 ⑤ 由⑤式得 ⑥ 由⑥式知，打开K3后活塞上升直到B的顶部为止； 此时P2为P2′＝P0 设加热后活塞下方气体的压强为P3，气体温度从T1＝300 K升高到 T2＝320 K的等容过程中，由查理定律得 ⑦ 将有关数据代入⑦式得P3＝1.6P0 变式4:如图所示，两汽缸A、B粗细均匀，等高且内壁光滑，其下部由体积可忽略的细管连通；A的直径是B的2倍，A上端封闭，B上端与大气连通；两汽缸除A顶部导热外，其余部分均绝热，两汽缸中各有一厚度可忽略的绝热轻活塞a、b，活塞下方充有氮气，活塞a上方充有氧气.当大气压为p0、外界和汽缸内气体温度均为7 ℃且平衡时，活塞a离汽缸顶的距离是汽缸高度的，活塞b在汽缸正中间. (1)现通过电阻丝缓慢加热氮气，当活塞b恰好升至顶部时，求氮气的温度； (2)继续缓慢加热，使活塞a上升，当活塞a上升的距离是汽缸高度的 时，求氧气的压强. 【解析】（1）活塞b升至顶部的过程中，活塞a不动，活塞a、b下方的氮气经历等压变化，设汽缸A的容积为V0，氮气初态的体积为V1，温度为T1，末态体积为V2，温度为T2，按题意，汽缸B的容积为 ，由所给数据及盖-吕萨克定律有： 且V1＝V0＋×＝V0 V2＝V0＋＝V0 得：T2＝320 K (2)活塞b升至顶部后，由于继续缓慢加热，活塞a开始向上移动，直至活塞上升的距离是汽缸高度的时，活塞a上方的氧气经历等温变化，设氧气初态的体积为V1′，压强为p1′，末态体积为V2′，压强为p2′，由所给数据及玻意耳定律可得 V1′＝V0 p1′＝p0 V2′＝V0 p1′V1′＝p2′V2′ 得：p2′＝p0. [方法归纳] 汽缸活塞类问题是热学部分典型的物理综合题，它需要考虑气体、汽缸或活塞等多个研究对象，涉及热学、力学等物理知识，需要灵活、综合地应用知识来解决问题. 1.一般思路 (1)确定研究对象，一般地说，研究对象分两类： 一类是热学研究对象(一定质量的理想气体)； 另一类是力学研究对象(汽缸、活塞或某系统). (2)分析物理过程，对热学研究对象分析清楚初、末状态及状态变化过程，依据气体实验定律列出方程；对力学研究对象要正确地进行受力分析，依据力学规律列出方程. (3)挖掘题目的隐含条件，如几何关系等，列出辅助方程. (4)多个方程联立求解.对求解的结果注意检验它们的合理性. 2.常见类型 (1)气体系统处于平衡状态，需综合应用气体实验定律和物体的平衡条件解题. (2)气体系统处于力学非平衡状态，需要综合应用气体实验定律和牛顿运动定律解题. (3)两个或多个汽缸封闭着几部分气体，并且汽缸之间相互关联的问题，解答时应分别研究各部分气体，找出它们各自遵循的规律，并写出相应的方程，还要写出各部分气体之间压强或体积的关系式，最后联立求解. 说明 当选择力学研究对象进行分析时，研究对象的选取并不唯一，可以灵活地选整体或部分为研究对象进行受力分析，列出平衡方程或动力学方程.
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