第10章 二元一次方程组（单元测试·基础卷） 带知识点（含解析）

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第10章 二元一次方程组（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
【要点1】二元一次方程组的相关概念
1. 二元一次方程的定义
定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
2.二元一次方程的解
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
3. 二元一次方程组的定义
定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.
4. 二元一次方程组的解
定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【要点2】二元一次方程组的解法
1.解二元一次方程组的思想
2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法
（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；
②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出（或）的值；
④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；
⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.
【要点3】实际问题与二元一次方程组
【要点4】三元一次方程组
1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
2．三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
3. 三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；
（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
（4）解这个方程组，求出未知数的值；
（5）写出答案(包括单位名称)．
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若是关于x 、y的二元一次方程ax－2y＝1的解，则a的值为（ ）
A．3 B．5 C．－3 D．－5
2．小明解方程组x+y=■的解为x=5，由于不小心滴下了两滴墨水，刚好把两个数■和★遮住了，则这个数■和★的值为（　　）
A． B． C． D．
3．由可以得到用x表示y的式子为（ ）
A． B． C． D．
4．在解二元一次方程组时，用消去未知数x后，得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．若二元一次方程，，有公共解，则k的取值为（ ）
A．3 B．-3 C．-4 D．4
7．已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
8．解三元一次方程组，如果消掉未知数，则应对方程组变形为（　　）
A．①③，①② B．①③，③②
C．②①，②③ D．①②，①③
9．如图，，垂足为B，的度数比的度数的两倍少，设和的度数分别为，，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（ ）
A． B． C． D．
10．根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物．
大马说：“把我驮的东西给你1包多好哇！这样咱俩驮的包数就一样多了．”
小马说：“我还想给你1包呢！”
大马说：“那可不行！如果你给我1包，我驮的包数就是你的2倍了．”
小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题．设未知数x，y，已经列出一个方程x﹣1＝y+1，则另一个方程应是（　　）
A．x+1＝2y B．x+1＝2（y﹣1）
C．x﹣1＝2（y﹣1） D．y＝1﹣2x
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．方程是二元一次方程，则m= ， ．
12．已知二元一次方程，请写出它的一个整数解为 ．
13．已知x，y满足方程组，则的值为 ．
14．如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，那么a的值是 ．
15．已知三元一次方程组，则 ．
16．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”根据题意可列方程组为 ．
17．城市规定，出租车3公里以内的收费为起步价x元，超过3公里，超出里程按每公里y元收费，王阿姨说：“我坐了5公里，花了12元．”李阿姨说：“我坐了10公里，比你多花10元．”根据题意可列方程组为
18．若一个三角形的周长为24，其中两条边的长度之和比第三条边多4，而它们的差是第三条边的，设其中两条边的长度分别为x、y，则三角形中最短的一条边为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知是方程组的解，求k和m的值．
20．（8分）解方程组
（1）（消元法） （2）（加减法）
21．（10分）已知关于、的二元一次方程组和关于、的二元一次方程组的解相同，求、的值．
22．（10分）如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形．
（1）若，分别求S1，S2的面积；
（2）若将图1的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成图2的长方形，且长为，宽为，求S1∶S2的值．
23．（10分）某学校为提高学生的阅读能力，准备购买甲、乙两种图书共本．已知购买2本甲和1本乙共需元；购买6本甲与购买7本乙的价格相同．
（1）求这两种图书的单价；
（2）若购买甲的数量不少于本，且购买两种图书的总价不超过元．请问共有几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
24．（12分）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：即③
把方程①代入③得：，
把代入①得，
∴方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；
（2）已知x，y满足方程组，求与的值．
参考答案：
1．B
【分析】把代入ax-2y=1计算即可．
解：把代入ax-2y=1得，
a-4=1，
解得a=5，
故选：B．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组的解，掌握把方程组的解代入二元一次方程是解题关键．
2．A
【分析】把x＝5代入已知方程组求出■的值，进而求出★的值即可．
解：把x＝5代入方程组得：
解得：，
把代入得：■＝3＋5＝8，
故选A．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
3．C
【分析】将x看作已知数表示出y即可．
解：移项得：-2y=6-3x，
系数化为1得：．
故选：C．
【点拨】本题考查了解二元一次方程：二元一次方程可看作某一个未知数的一元一次方程．
4．C
【分析】根据题意进行运算即可．
解：得，
整理可得：，
故选：C．
【点拨】本题考查了加减消元法，掌握加减消元法的步骤是解题的关键．
5．C
【分析】根据任何数的绝对值与平方是非负数，两个非负数的和是0，则每个数等于0，即可得到关于x，y的方程组，即可求解．
解：由题意得：，
解得：，
故选：C．
【点拨】本题考查绝对值与平方的非负性，解二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键．
6．D
【分析】先利用方程和组成方程组，求出x、y，再代入求出k值.
解：由题意，得：
解得：
将代入中，得：，
解得：.
故选D.
【点拨】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单.
7．C
【分析】用换元法求解方程组的解．
解：方程组可以变形为：方程组，
设，，则方程组可变为，
∴m＝3，n＝4，
即，，
解得．
故选：C．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．弄清题意是解本题的关键．
8．C
【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去．
解：解三元一次方程组，
得：
得：
方程组变形为，刚好消去z，
故选：C．
【点拨】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征灵活应用加减消元法．
9．B
【分析】此题中的等量关系有：①∠ABD+∠DBC=90°；②∠ABD=2∠DBC-36°．
解：结合图形可得：，
故选：B．
【点拨】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
10．B
【分析】设大马驮x袋，小马驮y袋．本题中的等量关系是：2×（小马驮的﹣1袋）＝大马驮的+1袋；大马驮的﹣1袋＝小马驮的+1袋，据此可列方程组求解．
解：设大马驮x袋，小马驮y袋．
根据题意，得．
故选：B．
【点拨】此题考查了二元一次方程组应用题，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
11． 4
【分析】二元一次方程要求含有两个未知数，未知数的次数是1，可得，解方程可得结果．
解：由题可知：，
解得：．
故答案为： ，4．
【点拨】本题考查二元一次方程的定义，熟记定义是解题的关键．
12．
【分析】先用x的代数式表示y，再得出整数解即可．
解：3x-5y=10，
-5y=3x-10，
y=2-x，
方程的一个整数解是，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二元一次方程的解，能理解二元一次方程的解的定义是解此题的关键．
13．
【分析】将利用平方差公式进行因式分解，在根据方程组求解即可．
解：∵，
又∵，
∴．
故答案是：．
【点拨】本题考查了代数式的化简求值，能利用平方差公式进行因式分解然后在求值是解题的关键．
14．2
【分析】根据二元一次方程组的解法，用含的式子表示出和；将其代入二元一次方程，求出的值即可．
解：
①②，得：，解得：，
将代入①，得：，
把，代入，
得：，解得：，
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查二元一次方程的解、解二元一次方程组．能够利用二元一次方程组的解法，用含的式子表示出和是解决此题的关键．
15．6
【分析】方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到x+y+z的值．
解：，
①+②+③，得
2x+2y+2z＝12，
∴x+y+z＝6，
故答案为:6．
【点拨】此题考查了解三元一次方程组，本题的技巧为将三个方程相加．
16．
【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
解：设马每匹x两，牛每头y两，
，
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
17．
【分析】
本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据王阿姨说：“我坐了5公里，花了12元．”李阿姨说：“我坐了10公里，比你多花10元．”列出方程组即可．
解：由题意得：，即，
故答案为：．
18．6
【分析】
本题主要考查了三元一次方程组的应用，设其中两条边的长度分别为x、y，另一条边的长度为z，根据题意解出方程即可求解．
解：设其中两条边的长度分别为x、y，另一条边的长度为z，
根据题意有：，
解得：，
则三角形中最短的一条边为6，
故答案为：6．
19．k和m的值分别为2和3
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意将x和y代入方程组，即可解得k和m的值．
解：根据题意，把代入方程组，得
，解得．
即k和m的值分别为2和3．
20．（1）；（2）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用代入消元法求出解即可．
解：（1），
由①得：y＝2x－5③，
把③代入②得：3x－2（2x－5）＝8，
∴x＝2，
把x＝2代入③得：y＝﹣1，
则方程组的解为；
（2），
①×12得：3（y+1）＝4（x＋2），
∴-4x+3y＝5③，
③＋②得：-2x＝6，
∴x＝-3，
把x＝-3代入②得：y＝，
则方程组的解为；
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组是解题的关键.
21．，
【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题及解二元一次方程组，根据同解方程定义可以重新组合得到二元一次方程组将其方程组的解代入即可求解；
解：∵和的解相同，
∴，解得：，
将代入中，得：，
解得：
∴，
22．（1），；（2）
【分析】本题考查了二元一次方程组以及列代数式求值，正确表示出阴影部分的面积是解题关键．
（1）根据、即可求解；
（2）由题意得，求出即可．
（1）解：由题意得：，
（2）解：由题意得：，
∴
由（1）得，
∴
23．（1）甲种图书的单价为元，乙种图书的单价为元；（2）共有3种购买方案：①购买甲本、乙本；②购买甲本、乙本；③购买甲本、乙本；购买甲本、乙本的方案费用最低，最低费用是元；
【分析】（1）设甲种图书的单价为元，乙种图书的单价为元，根据费用列方程组求解即可得到答案；
（2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书为本，根据费用及甲的数量不少于本列不等式组求解即可得到答案；
（1）解：设甲种图书的单价为元，乙种图书的单价为元，由题意得：
，
解得，
答：甲种图书的单价为元，乙种图书的单价为元；
（2）解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书为本，
根据题意得≤1600．
解得：，
∵，
∴可以取、、．
所以，共有3种购买方案．
方案一：购买甲本、乙本，费用为：（元；
方案二：购买甲本、乙本，费用为：（元；
方案三：购买甲本、乙本，费用为：（元；
所以购买甲本、乙本的方案费用最低，最低费用是元；
【点拨】本题考查二元一次方程组及不等式组解决实际应用问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式及不等关系式．
24．（1）；（2），．
【分析】（1）仿照阅读材料解答即可；
（2）用方程组分别消去和，即可解得答案．
（1）解：由②得③，
把①代入③得：，
解得，
把代入①得，
解得，
方程组的解为；
（2）解：①②得：
，
，
①②得：
，
，
的值为17，的值为2．
【点拨】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握“消元”的方法和整体思想的应用．
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