1.4.1　充分条件与必要条件 课件(共46张PPT)——高中数学人教A版（2019）必修第一册

(共46张PPT)
1.4　充分条件与必要条件
1.4.1　充分条件与必要条件
学习目标
1.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件、必要条件的意义,了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系,提出数学抽象、逻辑思维素养.
2.能利用充分性、必要性解决简单的数学问题,提升逻辑推理和数学运算素养.
1
知识梳理
自主探究
“八月十五云遮月,正月十五雪打灯”是流传中国广大地区的一句农谚,是中国劳动人民在长期生产实践中总结出来的天气预报经验,反映了节日天气之间的呼应关系.意思是说当年农历八月十五中秋节这天,如果天空被云幕遮蔽(阴天或下雨),看不到中秋圆月,来年正月十五这天就会阴天或下雪.这里,“八月十五云遮月”是“正月十五雪打灯”的一个充分条件.当然,大气活动是一个很复杂的问题,这种规律性不是在每个地方、每个年份都能够对应得上.
探究:“立秋下雨万物收,处暑下雨万物丢.”根据此谚语,“万物收”的充分条件是什么
答案:立秋下雨.
1.充分条件与必要条件
一般地,“若p,则q”为 ,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可以推出q,记作p q,并且说,p是q的 条件,q是p的 条件.
真命题
充分
必要
思考1:判断下列命题的真假.
(1)“a=2”是“a>1”的充分条件;
提示:(1)真命题;
(2)“a>1”是“a=2”的必要条件;
提示:(2)真命题;
(3)若p是q的充分条件,则条件p是唯一的.
提示:(3)假命题.
2.判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系
(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件.
(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件.
充分
必要
思考2:(1)写出△ABC为等边三角形的两个充分条件;
提示:(1)AB=AC=BC;∠A=∠B=∠C.
(2)写出△ABC为等边三角形的三个必要条件.
提示:(2)AB=AC;∠A=∠B;∠A=60°.
2
师生互动
合作探究
[例1]下列各题中,判断p是q的什么条件.
(1)p:a2+b2=0,q:a+b=0;
充分、必要条件的概念及判断
(2)p:a+b>4,q:a>2且b>2;
(3)p:a>b,q:ac>bc;
(4)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等.
充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法.
①确定谁是条件,谁是结论;
②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件;
③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.
(2)命题判断法.
①如果命题“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;
②如果命题“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.
针对训练1:指出下列各题中,p是q的什么条件.
(1)p:x为自然数,q:x为整数;
(3)p:x2>1,q:x-1>0;
(4)p:四边形的对角线相等,q:四边形是矩形.
充分条件、必要条件与集合的关系
[例2] 指出下列各题中,p是q的什么条件.
(1)p:0(2)p:-1(3)p:1若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},
B={x|q(x)},则
(1)若A B,则p是q的充分条件.
(2)若B A,则p是q的必要条件.
(3)若A B,则p是q的充分不必要条件.
(4)若B A,则p是q的必要不充分条件.
(5)若A不是B的子集且B不是A的子集,则p是q的既不充分也不必要条件.
针对训练2:(1)设x∈R,则“x>-2”是“|x-1|<3”的
　　 　　条件.
必要不充分
解析:(1)不等式|x-1|<3的解集为{x|-2又{x|-2-2},
所以“x>-2”是“|x-1|<3”的必要不充分条件.
(2)设p:|x-2|≤5,q:x≥-1或x≤5,则p是q的　　　 　.条件.
充分不必要
解析:(2)p:|x-2|≤5的解集为P={x|-3≤x≤7},
q:x≥-1或x≤5的解集为实数集R.
因为P R,所以p是q的充分不必要条件.
[例3] 已知p:-20).
(1)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围;
根据充分、必要条件确定参数的取值范围
(2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
根据条件与结论之间的充分、必要性求解参数的取值范围问题,首先根据条件和结论对应的命题理出推出关系,并将该推出关系转化为构成条件和结论对应的集合的子集、真子集关系,再构建不等式(组)求解.
针对训练3:设p:|x|≤m(m>0),q:-1≤x≤4.
(1)若p是q的充分条件,求m的最大值;
(2)若p是q的必要条件,求m的最小值.
1
2
3
4
1.(多选题)设x∈R,则“x>2”的一个必要不充分条件可以是(　 　)
A.x>1 B.x>2
C.x≥2 D.x>3
√
√
1
2
3
4
解析:集合{x|x>1},{x|x≥2}均真包含{x|x>2},所以“x>1”与“x≥2”都是“x>2”的一个必要不充分条件.故选AC.
1
2
3
4
2.(多选题)可以作为“x<-1或x>3”的一个充分不必要条件的是(　 　)
A.x<-2 B.x<1
C.x>4 D.x>2
解析:集合{x|x<-2}和{x|x>4}都是集合{x|x<-1或x>3}的真子集.故选AC.
√
√
1
2
3
4
3.若“x>2a-3”是“-1A.a<1 B.a≤1
C.a>1 D.a≥1
解析:由已知集合{x|-12a-3},
故有2a-3≤-1 a≤1.故选B.
√
4.下列所给的各组p,q中,p是q的充分条件的有　　　,
p是q的必要条件的有　　 　　(填序号).
①p:x∈R,q:x∈N;
②p:四边形是矩形,q:四边形是正方形;
③p:方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数解,
q:b2-4ac>0;
④p:ab=0,q:a2+b2=0.
1
2
3
4
③
①②③④
1
2
3
4
解析:对于①,因为N R,所以p是q的必要不充分条件,
对于②,因为正方形是特殊的矩形,矩形不都是正方形,所以p是q的必要不充分条件,
对于③,若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数解,则Δ=b2-4ac>0,即p q,
若b2-4ac>0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数解,即q p,
所以p是q的充分条件,也是q的必要条件,
对于④,若a=2,b=0,满足ab=0,但是a2+b2≠0,即p不是q的充分条件,
若a2+b2=0,则a=b=0,必有ab=0,所以p是q的必要条件,
综上所述,p是q的充分条件的有③,p是q的必要条件的有①②③④.
[例1] (多选题)已知集合A={x|x≤3},集合B={x|x≤m+1},能使A B成立的充分不必要条件有(　　)
A.m>0 B.m>1
C.m>3 D.m>4
√
√
解析:由A B得m+1≥3,即m≥2,
故能使A B成立的充分不必要条件有CD.
√
√
[例3] 已知下列四组陈述句:
①p:集合A={(x,y)|x+y=3,x∈N*,y∈N*};q:集合{(1,2)}.
②p:集合A B C A;q:集合A=B=C.
③p:x∈{x|x=2n+1,n∈Z};q:x∈{x|x=6n-1,n∈N}.
④p:某中学高一全体学生中的一员;q:某中学全体学生中的一员.
其中p是q的必要不充分条件的有(　　)
A.①② B.③④ C.②④ D.①③
√
②若A B C A,则根据子集的性质可得A=B=C,
即p:A=B=C,
故p是q的充分条件,也是q的必要条件,不符合题意;
③对于x=2n+1,n∈Z,当n=3k-1,k∈Z时,x=6k-1,k∈Z,
故{x|x=6n-1,n∈N} {x|x=2n+1,n∈Z},所以p是q的必要不充分条件,符合题意;
[例4] 已知集合A={0,a+2},B={0,1,a2}.
(1)若a=3,求A∪B;
解:(1)若a=3,则A={0,5},B={0,1,9},
所以A∪B={0,1,5,9}.
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数a的值.
解:(2)因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,
所以A B,
①当a+2=1,即a=-1时,不满足互异性,不符合题意;
②当a+2=a2,即a=-1或a=2时,由①可知,a=-1时,不符合题意,
当a=2时,集合B={0,1,4},满足互异性,故可知a=2符合题意.所以a=2.