2023-2024 学年高二数学期中模拟卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考
证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．已知函数 f (x) = 3 f ′(1) x x2 + lnx 1+ （ f ′(x)是 f (x)的导函数），则 f (1) =（ ）
2
A 1 1．1 B．2 C． D． 2 2
2．若 (1 2x)5 = a + a x + a 20 1 2x + + a5x
5
，则a2 + a4 =（ ）
A．100 B．110 C．120 D．130
3 1 1 1．现有随机事件件 A，B，其中P (A) = , P (B) = , P (AB) = ，则下列说法不正确的是（ ）
5 3 6
A．事件 A，B 不相互独立 B P (A B) 1． =
2
C．P (B A)可能等于P(B) D．P (A+ B) 11=
30
4．已知函数 f (x) = (x + a)2 + lnx 的图象上存在不同的两点 A, B，使得曲线 y = f (x)在点 A, B处的切线都与
直线 x + 2y = 0 垂直，则实数a的取值范围是（ ）
A． ( ∞,1 2 ) B． (1 2,0) C． ( ∞ ,1+ 2 ) D． (0,1+ 2 )
5．中国女子乒乓球队是世界乒坛的常胜之师，曾 20 次获得世乒赛女子团体冠军．2021 年休斯敦世界乒乓
球锦标赛，中国选手王曼昱以 4∶2 击败孙颖莎，夺得女单冠军．某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约
定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．已知甲、乙两人乒乓球水平相当，事件 A 表示“乙获得比赛胜利”，事
件 B 表示“比赛进行了七局”，则P (B A) =（ ）
7 5 3
A． B． C． D
1
．
16 16 16 16
6．现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加 2022 年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、
司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为 54
B 4 1．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为 A5 C4
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这 5 名同学全部被安排的不同方法数为
(C3C1 2 2 35 2 +C5 C3 ) A3
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、
C1C 2戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 3 4 A
3
3 +C
2 A33 3
7 a = sin0.5,b = 30.5．已知 ,c = log0.30.5，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．a < b < c B． a < c < b C．c < a < b D．c < b < a
8．已知方程e2x axex + 9e2x2 = 0有 4 个不同的实数根，分别记为 x1, x2 , x3, x4，则
ex1 ex2 ex3 ex4
ex
e
x
e
x
e 的取值范围为（ ）
1 2 3 x4
A． (0,16e4 ) B． (0,12e4 ) C (0,4e4． ) D． (0,8e4 )
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．有 3 台车床加工同一型号的零件，第 1 台加工的次品率为5%，第 2，3 台加工的次品率均为3%，加工
出来的零件混放在一起，第 1，2，3 台车床加工的零件数分别占总数的15% ，25%，60% ．随机取一个零
件，记 A = “零件为次品”，Bi = “零件为第 i台车床加工” (i = 1， 2，3)，下列结论正确的有（ ）
3
A．P(A) = 0.03 B．∑P(Bi ) =1
i=1
C．P(B1 A) = P(B2 A) D．P(B1 A) + P(B2 A) = P(B3 | A)
10 2024 2 2024．若 (2 3x) = a0 + a1 (1 x) + a2 (1 x) + + a2024 (1 x) ，则下列选项正确的有（ ）
A． a0 =1
B．a1 + a2 + a3 + + a
2024
2023 + a2024 = 2 1
C． a0 + a1 + a2 + + a2023 + a = 2
2024
2024
D．a1 + 2a2 + 3a3 + + 2023a + 2024a = 6072×2
2023
2023 2024
ln x x 2(x > 0)11．已知 f (x) = 2 ，其图像上能找到 A、B 两个不同点关于原点对称，则称 A、B 为函数
ax 2x + 2(x ≤ 0)
y = f (x)的一对“友好点”，下列说法正确的是（ ）
A． y = f (x)可能有三对“友好点”
B．若 0 < a <1，则 y = f (x)有两对“友好点”
C．若 y = f (x)仅有一对“友好点”，则 a<0
D．当 a<0时，对任意的 x1 > 0，总是存在 x2 < 0使得 f (x1 ) + f (x2 ) = 0
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．某楼梯共有10个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上1个或者2个台阶，则小明不同的上楼方法共有
种．（用数字作答）
13．已知函数 f (x) = x 2 sin x, x∈[0,π]，则 f (x)的最大值为 ．
xlnx, x > 0,
14．已知函数 f (x) = 1 若函数 g (x) = f ( f (x)) af (x) +1有唯一零点，则实数a的取值范围是
x, x < 0, x
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 m．（13 分）已知 m，n 是正整数， f (x) = (1+ x) + (1+ x)n 的展开式中 x 的系数为 7．
(1)求 m，n 为何值时， f (x)的展开式中 x2 的系数最小，并求出此时 x3的系数；
(2)利用（1）中结果，求 f (0.003)的近似值．（精确到 0.01）
16．（15 分）已知函数 f (x) 1= ax (a +1) lnx (a∈R)．
x
(1)求证：当a = 0时，曲线 y = f (x)与直线 y = 1只有一个交点；
(2)若 f (x)既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围．
17．（15 分）某校为庆祝元宵节，举办了游园活动，活动中有一个填四字成语的游戏，该游戏共两关．
(1) 1第一关中一个四字成语给出其中三个字，参与游戏者需填对所缺的字．小李知道该成语的概率是 2 ，且
1
小李在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率是 2 ．记事件A 为“小李通过第一关”，事件 B 为“小李
知道该成语”．
①求小李通过第一关的概率 P (A)；
②在小李通过第一关的情况下，求他知道该成语的概率P (B∣A)．
(2)小李已通过第一关来到第二关．第二关为挑战关卡，该关卡共五局，每一局互不影响，但难度逐级上升，
n
小李知道第n局 (1≤ n ≤ 5) 1 1 成语的概率仍为 2 ，但是在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率为 ， 2
已知每一局答对的得分表如下（答错得分为 0）：
局数 第一局 第二局 第三局 第四局 第五局
得分 1 分 2 分 4 分 7 分 11 分
若获得 15 分及以上则挑战成功且游戏结束，求在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功的概率（保
留两位小数）．
18 x 1．（17 分）已知函数 f (x) = ae x 1.
(1)讨论 f (x)的单调性；
(2)当 f (x) + x lnx ≥ 0恒成立时，求a的取值范围；
n 1
(3)证明：∑e i > ln(n +1) + n .
i=1
19．（17 分）设集合M = {1,2,3, , n}，其中n ≥ 3，n∈N ，在 M 的所有元素个数为 K（K ∈N ，2≤K≤n）的
子集中，我们把每个 K 元子集的所有元素相加的和记为TK （K ∈N ，2≤K≤n），每个 K 元子集的最大元素之
和记为aK （K ∈N ，2≤K≤n），每个 K 元子集的最小元素之和记为bK （ K ∈N ，2≤K≤n）．
(1)当 n＝4 时，求a3、b3的值；
(2)当 n＝10 时，求T4 的值；
b
(3)对任意的 n≥3，n∈N ，给定的K ∈N ，2≤K≤n， Ka 是否为与 n 无关的定值？若是，请给出证明并求出这K
个定值：若不是，请说明理由．2023-2024 学年高二数学期中模拟卷
参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
A C C A B D B A
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．BC 10．ABD 11．BD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
5
12．89 13． π 14． a = 或 1≤ a <1 4
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
1 1
【详解】（1）根据题意得Cm +Cn = 7，即m + n = 7．①
f (x)的展开式中 x2 的系数为
m (m 1) n (n 1) m2 + n2C2 C2 m nm + n = + = ．.......................................................2 分 2 2 2
2
将①变形为n = 7 m 7 35代入上式，得 x2 的系数为m2 7m + 21= m + ，
2 4
故当m = 3， n = 4或m = 4 ， n = 3时， x2 的系数取得最小值且为 9；
3 3
此时 x3的系数均为C3 +C4 = 5；........................................................6 分
（2）当m = 3， n = 4或m = 4 ， n = 3时，
f (0.003) = (1+ 0.003)4 + (1+ 0.003)3 ≈ C04 +C14 ×0.003+C03 +C13 ×0.003 ≈ 2.02 ...................................13 分
16．（15 分）
1
【详解】（1）当a = 0时，函数 f (x) = ln x，求导得： f ′(x)
1 x
= 2 ， x x
令 f x 0，得0 < x <1；令 f ′(x) < 0，得 x >1；
则函数 f (x)在(0,1)上递增，在 (1,+∞)上递减，
故 f (x)max = f (1) = 1，
所以曲线 y = f (x)与直线 y = 1只有一个交点.....................................................7 分
（2）函数 f (x) = ax 1 (a +1) ln x的定义域为 (0,+∞)，
x
2
求导得 f ′(x) a 1 a +1 ax (a +1)x +1= + = ，
x2 x x2
设 g(x) = ax2 (a +1)x +1= (ax 1)(x 1)，
令 g (x) = 0 1，解得 x1 = ， x2 =1. a
因为 f (x)既存在极大值，又存在极小值，即 g(x)在 (0,+∞)有两个变号零点，
1
> 0 a
则 1 ，解得a > 0且 a ≠1， ≠1
a
综上所述：a的取值范围为 (0,1)∪ (1,+∞) .......................................................15 分
17．（15 分）
【详解】（1）①依题可知P (A B) =1, P (A | B ) 1= , P (B) = P (B ) 1= ， 2 2
由全概率公式可得P(A) = P(B)P(A B) + P(B)P(A B)
1 1 1 1 3= × + × =
2 2 2 4
1
( ) P (BA)
P (B)P (A B)
②所求概率P B | A
2
= = = 2
( ) ( ) 3
= ......................................................7 分
P A P A 3
4
（2）在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功,即获得 15 分及以上，
则有三类情况：第一类第三四五局全答对；第二类第三局答错，第四五局答对；第三类第三局答对，
第四局答错，第五局答对,
记事件Cn (n =1,2,3,4,5)为“小李通过第n局”，事件 B 为“小李知道该成语”．
1 n 1
题可知P(Cn B) =1, P(Cn B) = ( ) , P(B) = P(B) = ， 2 2
由全概率公式可得P(C1) = P(B)P(C1 B) + P(B)P(C1 B)
1 1 1 1 3= × + × =
2 2 2 4
P(C2 ) = P(B)P(C2 B) + P(B)P(C2 B)
1 1 1 1 5= × + × ( )2 =
2 2 2 8
P(C3 ) = P(B)P(C3 B) + P(B)P(C B)
1 1 1 9
3 = ×1+ × ( )
3 =
2 2 2 16
P(C4 ) = P(B)P(C4 B) + P(B)P(C B)
1 1 1 17
4 = ×1+ × ( )
4 =
2 2 2 32
P(C ) P(B)P(C B) P(B)P(C B) 1 1 1 (1)5 335 = 5 + 5 = × + × = 2 2 2 64
则在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功的概率为
P = P(C1)P(C2 )P(C3)P(C4 )P(C5 ) + P(C1)P(C2 )P(C3)P(C4 )P(C5 ) + P(C1)P(C2 )P(C3)P(C4 )P(C5 )
3 5 9 17 33 3 5
= × × × × + × × (1 9 ) 17 33 3 5 9 (1 17 ) 33 × × + × × × ×
4 8 16 32 64 4 8 16 32 64 4 8 16 32 64
201456
= ≈ 0.19 .....................................................15 分
1048576
18．（17 分）
1 f ′(x) = aex 1【详解】（ ） 1, x∈R，
当 a ≤ 0时，易知 f ′(x) < 0，所以函数 f (x)在R 上单调递减，
当 a > 0时，令 f ′(x) = aex 1 1= 0，解得 x =1 lna ，
令 f ′(x) > 0，解得 x >1 lna ，即 f (x)在 (1 lna,+∞ )上单调递增，
令 f ′(x) < 0，得 x <1 lna，即 f (x)在 ( ∞ ,1 lna)上单调递减，
综上，当a ≤ 0时，函数 f (x)在R 上单调递减，
当 a > 0时， f (x)在 ( ∞ ,1 lna)上单调递减，在 (1 lna,+∞ )上单调递增；..................................5 分
（2）令 g (x) = f (x) + x lnx = aex 1 lnx 1, x∈(0,+∞ )，
g (1) = ae0 ln1 1= a 1，故a 1≥ 0恒成立，即a ≥1，
g′(x) = aex 1 1 ，令h (x) = g′(x) x 1 1，则h′(x) = ae + 2 ， x x
所以 g′(x)在 (0,+∞ )上单调递增，
1
当 a =1时， g′(x) = ex 1 ，又 g′(1) = 0，
x
有 x∈(0,1) , g′(x) < 0 ，即 g (x)单调递减，
x∈(1,+∞ ) , g′(x) > 0，即 g (x)单调递增，
所以 g (x) ≥ g (1) = e0 ln1 1= 0，
所以当a =1时， f (x) + x lnx ≥ 0成立；
1 1
当 a >1时，可得 1< 0， 1
a ∴ea <1
，
g′ 1
1 1
1 1
所以 = aea a = a ea 1 < 0
a
又 g′(1) = a 1> 0,
1
所以存在 x0 ∈ ,1 ，使得 g′(x ) = 0 x0 1
1
0 ，即ae =
a x
，
0
x∈(0, x0 ) , g′(x) 0, x∈(x0 ,+∞ ) , g′(x) 0，
所以函数 g (x)在 (0, x0 )上单调递减，在 (x0 ,+∞ )上单调递增，
( ) ( x 1 x 1∴g x ≥ g x 0 0 10 ) = ae lnx0 1，由ae = 可得 ln a + x0 1= ln xx 0， 0
g (x) x 1≥ 0 + 2+ lna > 0x ， 0
综上，a的取值范围为a ≥1；.......................................................11 分
（3）由（2）知，当a =1时，有 f (x) + x lnx ≥ 0，即ex 1 ≥ lnx +1，
n +1 1
令 x = ,n∈N* en ln n +1，得 > +1= ln (n +1) lnn +1， n n
1 1
∴e + e2 + + en > ln2 ln1+ ln3 ln2+ ln4 ln3+ + ln (n +1) lnn + n，
1 1
∴e + e2 + + en > ln (n +1) + n ，
n 1
即∑e i > ln(n +1) + n ........................................................17 分
i=1
19．（17 分）
【详解】（1）当n = 4时，M = {1,2,3,4}，则 3 元子集分别为{1,2,3} ,{1,2,4} ,{1,3,4} ,{2,3,4}，则
a3 = 3+ 4+ 4+ 4 =15，b3 =1+1+1+ 2 = 5 ........................................................3 分
（2 4 3）当 n＝10 时，4 元子集一共有C10 = 210个，其中从 1 到 10，每个元素出现的次数均有C9 = 84次，
T 84 (1 2 10) 84 10×11故 4 = × + + + = × = 4620 ....................................................9 分 2
b
（3） K
1
a 与 n 无关，为定值 ，证明过程如下： K K
对任意的 n≥3，n∈N ，给定的K ∈N ，2≤K≤n， 集合M = {1,2,3, , n}的所有含 K 个元素的子集个
数为C K K K 1 K 1n ，这Cn 个子集中，最大元素为 n 的有Cn 1 个，最大元素为 (n 1)的有Cn 2 个，……，最大
元素为 (n m) C K 1 K 1的有 n m 1 个，……，最大元素为n K +1的有CK 1 个，则
a = nC K 1 + (n 1)C K 1 + (n 2)C K 1K n 1 n 2 n 3 + + (n m)C K 1n m 1 + + (n K +1)C K 1K 1 ①，其中
(n m)C K 1 = KC K a = K (C K K K K Kn m 1 n m ，所以 K n +Cn 1 +Cn 2 + +Cn m + +CK )
= K (C K +C K +C K + +C K + +C K+1 ) = KC K+1n n 1 n 2 n m K+1 n+1 ，
C K K 1 K 1 K 1这 n 个子集中，最小元素为 1 的有Cn 1 个，最小元素为 2 的有Cn 2 个，最小元素为 3 的有Cn 3
K 1 K 1
个，……，最小元素为（m+1）的有Cn m 1 个，……，最小元素为K 的有CK 1 个，则
b = C K 1 + 2C K 1 + 3C K 1 K 1K n 1 n 2 n 3 + + (m +1)Cn m 1 + + KC K 1K 1 ②，则①+②得：
aK + bK = (n +1)(C K 1 +C K 1n 1 n 2 +C K 1 + +C K 1 + +C K 1 ) = (n +1)C K = (K +1)C K+1n 3 n m 1 K 1 n n+1 ，所以
b = (K +1)C K+1 KC K+1 = C K+1 bKK n+1 n+1 n+1 ，故 a =
1
K ，证毕........................................................17 分 K
