4.1因式分解 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
北师大版 数学 八年级下册
第四章 因式分解
1 因式分解
学习目标
1.解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.（重点）
2.理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.（难点）
一、创设情境，引入新知
你能把993-99化成几个整数乘积的形式吗？类似地，你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？
本章将研究如何把一个多项式分解成若干整式的乘积的形式，你将体会到这一过程与整式乘法运算的联系.
二、自主合作，探究新知
探究一：因式分解的定义
想一想：993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴进行交流.
所以，993-99能被100整除.
993-99还能被哪些正整数整除
小明是这样做的：
在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式.
二、自主合作，探究新知
议一议：你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.
a3 - a =a(a2-1)
在这里，解决问题的关键是把一个整式化成了几个整式的积的形式.
逆用平方差公式
=a(a+1)(a-1).
= .
二、自主合作，探究新知
做一做：观察下列拼图过程，写出相应的关系式.
a+b+c
m
a
m
b
m
c
m
(1)
x
x
x
1
1
1
x
1
(2)
x+1
x+1
= .
ma+mb+mc
m(a+b+c)
x2+2x+1
(x+1)2
思考：观察以下等式，它们有什么共同特点？
x2+2x+1 = (x+1)2.
ma+mb+mc = m(a+b+c) ,
a3 - a = a(a+1)(a-1),
二、自主合作，探究新知
多项式
整式的积
你能总结出因式分解的定义吗？
像这样的变形叫做因式分解.
二、自主合作，探究新知
知识要点
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
因式分解的定义
二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)①x2-y2-1＝(x+y)(x-y)-1； ②x3+x＝x(x2+1)；
③(x-y)2＝x2-2xy+y2； ④x2-9y2＝(x+3y)(x-3y).A.1个 　　　　 B.2个 　　　　C.3个 　　　　　 D.4个
解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解.故选B.
B
二、自主合作，探究新知
判定一个变形是因式分解的条件：
(1)左边是多项式；
(2)右边是积的形式；
(3)右边的因式全是整式.
方法总结
根据左面算式填空:
(1) 3x2-3x=_________;
(2)ma+mb+mc=_________;
(3) m2-16=__________;
(4) y2-6y+9=________.
计算下列各式:
(1) 3x(x-1)= __,
(2) m(a+b+c) = ______ ,
(3)(m+4)(m-4)= _____,
(4)(y-3)2= .
做一做：
二、自主合作，探究新知
3x2 - 3x
ma+mb+mc
m2 -16
y2-6y+9
3x(x-1)
m(a+b+c)
(m+4)(m-4)
(y-3)2
整式乘法
因式分解
探究二：因式分解与整式乘法的关系
二、自主合作，探究新知
想一想：因式分解与整式乘法有什么关系？
多项式
几个整式的积
因式分解
整式乘法
因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式.
例2：下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是(　　)A.x2-x-2＝x(x-1)-2B.(a+b)(a-b)＝a2-b2C.x2-4＝(x+2)(x-2)
D.
二、自主合作，探究新知
典型例题
C
二、自主合作，探究新知
例3：若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a(x﹣2)(x+3)，求a，b的值.
解：∵x2+ax+b=a(x﹣2)(x+3)
=ax2+ax-6a.
∴a=1，b=﹣6a=﹣6.
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可.
典型例题
1.下列各式由左到右的变形中,属于因式分解的是(　　)A.a(m+n)=am+anB.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-xy+y2=(x-y)2
C
2.(m+2n)(m-2n)是下列哪个多项式分解因式的结果( ) A.m2+4n2 B.-m2+4n2
C.m2-4n2 D.-m2-4n2
C
三、即学即练，应用知识
3.利用因式分解简便计算57×99+44×99-99,正确的是 (　　)A.99×(57+44)=99×101=9999 B.99×(57+44-1)=99×100=9900 C.99×(57+44+1)=99×102=10098 D.99×(57+44-99)=99×2=198
三、即学即练，应用知识
B
4.若多项式x2+mx+n因式分解的结果为(x-3)·(x+1),则m,n的值分别为(　　)A.2,3 B.-2,3 C.2,-3 D.-2,-3
D
6.如图所示，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a，b的小长方形拼接成一个大长方形，则利用整个图形可表示出一些有关多项式因式分解的等式，请你写出任意一个表示因式分解的等式:　　　　　　　　　　　　　.
三、即学即练，应用知识
a2+2ab=a(a+2b)
5.对于(a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by从左到右的变形是 ，从右到左的变形是 .
整式乘法
因式分解
三、即学即练，应用知识
7.小明在解答“因式分解:(1)3x2-9x+3;(2)9x2-4.”这道题目时,是这样做的:解:(1)3x2-9x+3=3(x2-6x+1).(2)9x2-4=(3x+2)(3x-2).请你利用因式分解与整式乘法的关系,判断小明分解得对不对.
解: (1)因为3(x2-6x+1)=3x2-18x+3≠3x2-9x+3,所以小明分解得不对.
(2)因为(3x+2)(3x-2)=(3x)2-4=9x2-4,所以小明分解得对.
三、即学即练，应用知识
8. 通过计算说明255+511能否被30整除.
解: 原式=510+511=510+5×510
=6×510
=6×5×59
=30×59.
∵30×59能被30整除,
∴255+511能被30整除.
因式分解
因式分解与整式乘法的关系
定义
四、课堂小结
互为逆运算.
因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积；整式乘法是把几个整式的乘积化为一个多项式.
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式叫做这个多项式的因式.
1.下列各式由左到右的变形是因式分解的是 ( )
A.-9+a2=-(3+a)(3-a) B.(x-2)(x-3)=x2-x-6
C.a2-2ab+b2+a=(a-b)2+a D.m2+m=m2(1+)
五、当堂达标检测
2.下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的是（　　）
A．x2﹣y2 B．﹣x2+y2
C．x2+y2 D．﹣x2﹣y2
B
A
4.如图所示，将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个直角三角形的斜边)拼接成一个梯形,请根据拼接前后图形面积的关系写出一个多项式的因式分解:　　　　　　　　　.
3.若(x-3)(x+5)是x2+px+q因式分解的结果，则p的值为 .
五、当堂达标检测
2
五、当堂达标检测
5.若多项式x2-mx+4可分解为(x-2)(x+n)，求mn的值.
解: 因为x2-mx+4=(x-2)(x+n)=x2+(n-2)x-2n,所以-m=n-2，-2n=4,解得m=4，n=-2,则mn=-8.
五、当堂达标检测
6.20232+2023能被2024整除吗
解: ∵20232+2023=2023(2023+1)
=2023 ×2024
∴ 20232+2023能被2024整除.
五、当堂达标检测
7.若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)，求mn的值.
解：∵x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4，
∴可设x4+mx3+nx﹣16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)，
则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b
比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n
解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20.
∴mn=﹣5×20=﹣100．
教材习题4.1.　　　　
六、布置作业