14.2三角形的内角和性质与外角和性质应用（第3课时） 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
14.2三角形的内角和性质与外角和性质应用（第3课时）
2023-2024学年沪教版七年级下册数学课件
知识回顾
三角形的外角 ：
三角形的外角的性质：
三角形外角和等于3600．
三角形一个内角的邻补角称为三角形的一个外角．
性质1 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
性质2 三角形的一个内角大于任何一个与它不相邻的内角．
A
D
C
B
∠ACD=∠A+∠B
∠ACD > ∠A（或∠B）
A
C
B
1
2
3
∠1+∠2+∠3=3600
A
D
C
B
例题5 如图，在△ABC中，已知点D是边BC上的一点，
且∠ADE=∠B，那么∠1与∠2相等吗？为什么？
解 因为∠ADC=∠B+∠1（三角形的一个外角等于
与它不相邻的两个内角的和），
即∠ADE+∠2=∠B+∠1
又∠ADE=∠B（已知）
所以∠1=∠2（等式性质）
例题6 直线AB、CD相交于点O，已知∠B=∠C，∠A=40°，求∠D的度数.
方法一：因为∠A+∠C +∠AOC =180°
∠D+∠B+∠BOD=180°（三角形的内角和等于180°）
所以∠A+∠C +∠AOC =∠D+∠B+∠BOD
（等量代换）
又∠BOD =∠AOC（对顶角相等）
∠B=∠C（已知）
所以∠D=∠A（等式性质）
由∠A=40°（已知）
得∠D=40°（等量代换）
方法二：因为∠AOD=∠A+∠C
∠AOD=∠D+∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
所以∠A+∠C =∠D+∠B（等量代换）
又因为∠B=∠C（已知）
所以∠D=∠A（等式性质）
由∠A=40°（已知）
得∠D=40°（等量代换）
比较两种方法，哪一种更简练？
例题6 直线AB、CD相交于点O，已知∠B=∠C，∠A=40°，求∠D的度数.
例题7 如图，∠A+∠B+∠D+∠E+∠F+∠G= _____ 度．
解：如图，连接DG，
则有∠E+∠F+∠EDG+∠FGD=360°，
又∵∠GCD=∠ACB，∠A+∠B+∠ACB=180°，
∠CDG+∠CGD+∠GCD=180°，
∴∠A+∠B=∠CDG+∠CGD，
∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠F+∠G=∠E+∠F+∠EDG+∠FGD=360°．
如图中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G等于 _____ 度．
解：如图，连接CD．
则∠1+∠2=∠G+∠F，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G=
∠A+∠B+∠BCE+∠1+∠2+∠ADE
=(4-2)×180°=360°．
故∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G的度数是360°．
故答案为：360．
360
例题8 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BE是边AC上的高，AD，BE相交于点O，如果∠AOE=70°，求∠ABE的度数．
解：∵BE⊥AC，
∴∠AEO=90°．
在Rt△AOE中，
∵∠AOE=70°，
∴∠OAE=90°-70°=20°．
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠OAB=OAE=20°，
O
A
E
C
B
D
∴∠BAC=2∠OAB=40°，
∴∠ABE=90°-40°=50°．
如图，△ABC中，∠B=∠C，点D、E是BC边上的点，且∠C=∠DAE，请说明∠BAE=∠ADE理由．
证明：∵∠C=∠DAE，
∴∠C+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
∴∠AEB=∠DAC，
∵∠B=∠C，
∴180°-(∠AEB+∠B)=180°-(∠DAC+∠C)，
即∠BAE=∠ADE．
1.如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的2倍，且等于与它不相邻的一个内角的2倍，那么这个三角形一定是( ____ )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
【解析】解：设这个外角的度数为x,则与其相邻的内角为180°-x.
根据题意得，x=2(180°-x)，
解得x=120°．
则与其相邻的内角为60°，
D
等于与它不相邻的一个内角的2倍，
可得这个与其不相邻的内角为60°；
即得该三角形为等边三角形．
故选：D．
2.已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C=2∠A，则此三角形( ____ )
A.一定有一个内角为45°
B.一定有一个内角为60°
C.一定是直角三角形
D.一定是钝角三角形
【解析】解：在△ABC中，∠B+∠C=2∠A，
∴∠A+2∠A=180°，
∴∠A=60°，
故选：B．
B
3.如图，在△ABC中，∠A=x°，∠B=48°，∠C=30°，则x= _____ 度．
【解析】解：在△ABC中，∠A=x°，∠B=48°，∠C=30°，
∴∠A=180°-∠B-∠C，
即x°=180°-48°-30°=102°．
故答案为：102．
102
4.如图，△ABC中，∠A=x°，∠B=37°，外角∠ACD=118°，则x= ____ 度．
【解析】解：∵∠ACD=∠A+∠B，
∴∠A=∠ACD-∠B，
∵∠B=37°，∠ACD=118°，
∴∠A=118°-37°=81°，
∴x=81．
故答案为：81．
81
5.如图，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=50°，三个内角的平分线交于点P，则∠APB= _____ 度，∠BPC= _____ 度，延长BP交AC于点Q，则∠APQ= ____ 度，∠AQP= ____ 度．
【解析】解：在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=50°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-50°=60°．
∵三个内角的平分线交于点P，
∴∠ABP=∠CBP= ∠ABC= ×70°=35°，∠BAP=∠PAQ= ∠BAC= ×60°=30°，∠BCP= ∠ACB= ×50°=25°．
115
120
65
85
在△ABP中，∠ABP=35°，∠BAP=30°，
∴∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=180°-35°-30°=115°
在△BCP中，∠CBP=35°，∠BCP=25°，
∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-35°-25°=120°．
∵∠APQ为△ABP的外角，
∴∠APQ=∠ABP+∠BAP=35°+30°=65°．
在△APQ中，∠APQ=65°，∠PAQ=30°，
∴∠AQP=180°-∠APQ-∠PAQ=180°-65°-30°=85°．
故答案为：115；120；65；85．
6.如图，在△ABC中，AH是BC边上的高，AD是∠BAC的平分线，∠B=38°，∠C=46°，则∠BAC= ____ 度，∠DAH= ____ 度，∠ADH= ____ 度，∠HAC= ____ 度．
【解析】解：∵∠B=38°，∠C=46°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-38°-46°=96°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC= ∠BAC=48°，
∵AH是BC边上的高，
∴∠AHD=∠AHC=90°，
96
4
86
44
∴∠CAH=90°-∠C=44°，
∴∠DAH=∠DAC-∠CAH=48°-44°=4°，
∴∠ADH=90°-∠DAH=86°．
故答案为：96，4，86，44．
7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的角平分线，交AB于点D，将AC沿着CD翻折，使A落在BC上A′处，∠A=50°，则∠A′DB= ____ 度．
【解析】解：∵将△ACD沿CD翻折，点A恰好落在BC边上的A′处，
∴∠ACD=∠BCD，∠CDA=∠CDA′，
∵∠ACB=90°，∠A=50°，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠ADC=∠A′DC=85°，
∴∠BDA'=180°-85°-85°=10°．
故答案为：10．
10
8.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= _____ 度．
【解析】解：如图：
___
∵∠1=∠B+∠2，∠2=∠F+∠C，
∴∠1=∠B+∠F+∠C，
∴∠A+∠1+∠D+∠E+∠G=∠A+∠B+∠C+∠F+∠D+∠E+∠G=(5-2)×180°=540°．
故答案为：540．
540
9.如图，求∠A+∠B+∠D+∠F+∠P+∠Q的度数．
【解析】解：在△ABC中，∠A+∠B=180°-∠ACB=180°-∠ECO，
在△DEF中，∠D+∠F=180°-∠DEF=180°-∠CEO，
在△OPQ中，∠P+∠Q=180°-∠POQ=180°-∠COE，
∠A+∠B+∠D+∠F+∠P+∠Q
=180°-∠ECO+180°-∠CEO+180°-∠COE
=540°-(∠ECO+∠CEO+∠COE)
=540°-180°
=360°．
10.如图，AB∥CD，∠E=35°，∠ECD=108°，试求∠EAB的度数．
【解析】解：延长BA交CE于点F，
∵AB∥CD，∠ECD=108°，
∴∠EFA=∠ECD=108°．
∵∠EAB是△AEF的外角，
∴∠EAB=∠E+∠AFE=35°+108°=143°．
谢谢