14.2三角形的外角与外角和（第2课时） 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
14.2三角形的外角与外角和（第2课时）
2023-2024学年沪教版七年级下册数学课件
如图所示, ∠ACD 与∠ACB 有什么位置关系？
A
D
C
B
∠ACD与∠ACB
互为邻补角
我们把三角形一个内角的邻补角称为
三角形的一个外角．
概念
在三角形中，与一个内角相邻的外角
有几个？
E
与一个内角相邻的外角有两个．
这两个的外角的大小关系如何？为什么？
这两个外角大小相等．
对顶角相等．
A
B
C
D
三角形的外角：
　　三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．
外角
即一个内角的邻补角
探究新知
A
D
C
B
三角形的外角与内角有怎样的位置关系？
相邻和不相邻．
三角形的外角与相邻的内角有怎样的数量关系？
三角形的外角与相邻的内角是互补的关系．
即：∠ACD+∠ACB=1800 ．
讨论
三角形的一个外角与它不相邻的两个内角
有怎样的数量关系？
探究新知
A
D
C
B
∵ ∠ACD+∠ACB=1800
（邻补角的意义）．
∠A+∠B+∠ACB=1800
（三角形的内角和等于1800 ）．
∴∠ACD+∠ACB=∠A+∠B+∠ACB
（等量代换）．
∴∠ACD=∠A+∠B
（等式性质）．
归纳
三角形外角的性质1：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
符号语言：
（三角形的一个外角等于与它不相邻的
两个内角的和）.
∠ACD=∠A+∠B
图形语言：
探究新知
A
D
C
B
三角形外角的性质2：
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
符号语言：
∠ACD > ∠A（或∠B）
三角形的外角与任意一个与它不相邻的内角有怎样的数量关系？
归纳
（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）.
例题3 已知△ABC中，∠A=30°，∠C=50°，求分别与∠B、∠C相邻的一个外角的度数．
例题讲解
A
D
C
B
图中有与∠B、∠C相邻的外角吗？
解：作CB的延长线BD，
则∠ABD是∠ABC相邻的一个外角．
50°
30°
？
用三个字母表示
∵∠ABD=∠A+∠ACB
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.
又∵∠ACB =50°
（已知），
∴∠ABD=80°
作BC的延长线CE，
E
则∠ACE是∠ACB相邻的一个外角．
？
∵∠ACE+∠ACB=1800
（邻补角的意义），
∴∠ACE=130°
（等式性质）．
又∵∠A=30°
（已知），
（等式性质）．
例题4 如图，已知∠BAC=70° D是△ABC的边BC上的一点，且 ∠CAD=∠C，，∠ADB=80°，
（1）求∠C的度数.
（2）求∠B的度数.
A
B
D
C
解 (1)因为 ∠ADB=∠CAD+ ∠ C(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，又 ∠ CAD= ∠ C， ∠ ADB=80°(已知)
所以 ∠ C+ ∠ C=80°(等量代换)
(2)因为 ∠BAC+ ∠ B+ ∠ C=180°(三角形的内角和等于180°) .
又 ∠ BAC=70°(已知)，
所以 70°+ ∠ B+ 40°=180°(等量代换)
所以∠ B=180°- ∠ BAC- ∠ C=180°-70°-40°=70°(等式性质)
例题4 如图，已知∠BAC=70° D是△ABC的边BC上的一点，且 ∠CAD=∠C，，∠ADB=80°，
（1）求∠C的度数.
（2）求∠B的度数.
A
B
D
C
Ａ
Ｂ
Ｃ
６
１
２
３
4
5
三角形的外角和
从每个内角相邻的两个外角中分别取一个,这样的三个外角相加所得的和，叫做三角形的外角和.
概 念
∠2=∠4+∠6
∠3=∠4+∠5
（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和）
所以∠1＋ ∠2＋ ∠3= 2（∠4＋ ∠5＋∠6）
又因为∠4＋ ∠5＋∠6=180°
所以∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°
因为∠1=∠5+∠6
证法1：
A
B
C
1
2
3
（三角形内角和为180°）
三角形的外角和等于360°
讨论：如何说明这个结论的正确性？
已知：△ABC.说明：∠1+∠2+∠3=360°
4
5
6
验 证
∠2＋ ∠5=180°
∠3＋ ∠6=180°
（平角的意义）
所以∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠4＋ ∠5＋∠6=540°
又因为∠4＋ ∠5＋∠6=180°
所以∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°
因为∠1＋ ∠4=180°
证法2：
A
B
C
1
2
3
（三角形内角和为180°）
三角形的外角和等于360°
讨论：如何说明这个结论的正确性？
已知：△ABC.说明：∠1+∠2+∠3=360°
4
5
6
验 证
1.如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形为( ____ )
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.以上都不对
【解析】解：∵三角形的一个外角小于和它相邻的内角，
∴该外角小于90度，与它相邻的内角大于90度，
∴这个三角形为钝角三角形．
故选：A．
A
2.下列说法错误的有( ____ )
①三角形任何两边之和大于第三边
②三角形的一个外角大于任何一个内角
③三角形的任何两边之差小于第三边
④三角形的任一内角都小于它的外角
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】解：①三角形任何两边之和大于第三边，正确，故①
B
不符合题意；
②三角形的一个外角不一定大于任何一个内角，故②符合题意；
③三角形的任何两边之差小于第三边，正确，故③不符合题意；
④三角形的任一内角不一定小于它的外角，故④符合题意．
∴错误的是②④，
故选：B．
3.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=30°，AD平分∠BAC，则∠ADC的度数为( ____ )
A.90°
B.95°
C.70°
D.50°
【解析】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD= ∠BAC= ×80°=40°，
又∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=30°+40°=70°．
C
故选：C．
4.如图，已知在△ABC中，∠A=90°，∠1+∠2的度数是( ____ )
A.180°
B.270°
C.360°
D.无法确定
【解析】解：在△ABC中，∠A=90°，
所以∠ACB+∠ABC=90°，
又因为∠1+∠ACB=180°，
∠2+∠ABC=180°，
B
所以∠1+∠2=270°，
故选：B．
5.如图，一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是( ____ )
A.55°
B.65°
C.75°
D.85°
【解析】解：如图，∵∠1=60°，∠2=45°，
∴∠α=180°-45°-60°=75°，
故选：C．
C
6.如果三角形的一个内角等于它的外角，那么这个三角形是 _____ 三角形．
【解析】解：不妨设∠A+∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：直角．
直角
7.在△ABC中，∠A=35°，∠B的外角等于105°，那么∠C= _____ ．
【解析】解：∵∠A+∠C=105°，∠A=35°，
∴∠C=105°-35°=70°．
故答案为：70°．
70°
8.如果等腰三角形的一个外角是30°，那么它的底角是 ____ 度；如果等腰三角形的一个外角是110°，那么它的底角是度 ____________ ．
【解析】解：∵等腰三角形的一个外角为30°，
∴相邻角为180°-30°=150°，
∵三角形的底角不能为钝角，
∴150°角为顶角，
∴底角为：(180°-150°)÷2=15°；
∵等腰三角形的一个外角是110°，
∴与这个外角相邻的内角是180°-110°=70°，
①70°角是顶角时，它的底角为： (180°-70°)=55°，
15
55°或70°
②70°角是底角时，它的底角70°，
所以，它的底角是55°或70°．
故答案为：15°；55°或70°．
9.如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B=46°，∠C=30°，∠EFC=70°，则∠D= _____ ．
【解析】解：∵∠B=46°，∠C=30°，
∴∠DAC=∠B+∠C=76°，
∵∠EFC=70°，
∴∠AFD=70°，
∴∠D=180°-∠DAC-∠AFD=34°，
故答案为：34°．
34°
10.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC，AD与BC的位置有何关系？并说明理由．___
【解析】解：AD∥BC．
∵∠EAC=∠B+∠C，∠B=∠C，
∴∠EAC=2∠B．
又∵AD平分外角∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∴∠B=∠EAD，
∴AD∥BC．
11.如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数．
分析：连接AD并延长至点E，
要求∠BDC的度数，只需求∠BDE+∠CDE即可，
解：∵∠BDE=∠B+ ______ ，
∠CDE=∠C+ ______ ，
∵∠BDC=∠BDE+∠CDE，
∴∠BDC=∠B+ ______ +∠C+ ______ ．
∵∠BAC=51°，∠B=20°，∠C=30°，
∴∠BDC= ______ ．
∠BAD
∠CAD
∠BAD
∠CAD
101°
【解析】解：∵∠BDE=∠B+∠BAD，
∠CDE=∠C+∠CAD，
∵∠BDC=∠BDE+∠CDE，
∴∠BDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD．
∵∠BAC=51°，∠B=20°，∠C=30°，
∴∠BDC=101°．
故答案为：∠BAD，∠CAD，∠BAD，∠CAD，101°．
12.某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．
(1)如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A=64°，则∠BPC= ______ ；
(2)如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A=α，求∠BEC．(用α表示∠BEC)；
(3)如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．
(4)如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A=64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC= _____ °，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R= ____ °．
122°
119
29
_________
【解析】解：(1)∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC= ABC，∠PCB= ∠ACB(角平分线的定义)，
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°(三角形内角和定理)，
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)
=180°-( ∠ABC+ ∠ACB)=180°- (∠ABC+∠ACB)
=180°- (180°-∠A)
=180°-90°+ ∠A
=90°+ ∠A
=90
=122°．
故答案为：122°；
(2)∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB= ∠ACB，∠EBD= ∠ABD．
∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，
∴∠ABD=∠A+∠ACB，∠EBD=∠ECB+∠BEC，
∴∠EBD= ∠ABD= (∠A+∠ACB)=∠BEC+∠ECB，即 ∠A+∠ECB=∠ECB+∠BEC，
∴∠BEC= ∠A= ；
_________
(3)结论：∠BQC=90°- ∠A．
理由如下：∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，
∴∠CBM=∠A+∠ACB，∠BCN=∠A+∠ABC，
∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，
∴∠QBC= (∠A+∠ACB)，∠QCB= (∠A+∠ABC)．
∵∠QBC+∠QCB+∠BQC=180°，
∴∠BQC=180°-∠QBC-∠QCB，
=180°- (∠A+∠ACB)- (∠A+∠ABC)，
=180°- ∠A- (∠A+∠ABC+∠ACB)，
=180°- ∠A-90°
=90°- ∠A；
(4)由(3)可知，∠BQC=90°- ∠A=90°- =58°，
由(1)可知∠BPC=90°+ ∠BQC=90°+ =119°；
由(2)可知，∠R= ∠BQC=29°
故答案为119，29．
谢谢