18.2.3.2 正方形的判定 课件(共27张PPT)-八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

(共27张PPT)
第18章
平行四边形
八年级数学下册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
八年级 下册
18.2.3.2
正方形的判定
复习引入
1.在平行四边形的基础上对矩形、菱形的判定
有一个角是直角
或对角线相等
平行四边形
矩形
菱形
有一组邻边相等
或对角线互相垂直
复习引入
一个角是直角
有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做正方形
正方形的两条对角线互相垂直平分且相等,
每条对角线平分一组对角
正方形的对边平行且相等
正方形的四个角都是直角
边
对角线
角
2.正方形的定义及性质
正方形的性质
且一组邻边相等
平行四边形
正方形
新知探究
思考：
将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形
展开后是个正方形？
（1）
（2）
（3）
（4）
剪口与折痕成 45°角
新知探究
思考：
菱形
满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
或对角线互相垂直
满足怎样条件的菱形是正方形？
一个角是直角
或对角线相等
正方形
正方形的判定
新知探究
定理1 有一组邻边相等的矩形是正方形.
定理2 对角线互相垂直的矩形是正方形.
定理3 有一个角是直角的菱形是正方形.
定理4 对角线相等的菱形是正方形.
新知探究
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
对角线互相垂直的矩形是正方形.
新知探究
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
对角线相等的菱形是正方形.
新知探究
思考：
判断以下说法是否正确：
1.四个角都相等的四边形是正方形.
2.四条边都相等的四边形是正方形.
3.对角线相等的菱形是正方形.
4.对角线垂直的平行四边形是正方形.
5.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
6.四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形.
7.对角线互相垂直的矩形是正方形.
8.对角线垂直且相等的四边形是正方形.
9.四边相等，有一角是直角的四边形是正方形.
╳
√
╳
╳
√
√
√
╳
√
典例精析
例1
证明：∵BF∥CE，CF∥BE
∴四边形BECF是平行四边形
又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，
CE平分∠DCB
∴∠EBA=∠ECB=45°
∴BE=CE
∴四边形BECF是菱形.
又∵∠BEC=90°，
∴四边形BECF是正方形．
如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.
典例精析
例2
如图1，已知在△ABC中，点D是BC上一点，DE∥AC交AB于E，
DF∥AB交AC于F．请分别回答下列问题，并简述理由.
（不添加任何线段）
（1）四边形AEDF是什么四边形？
解： ∵ DE∥AC，DF∥AB
∴ 四边形AEDF是平行四边形
（2）当满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？
解： ∵ 一个角为直角的平行四边形为矩形
∴ ∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形
典例精析
例2
（3）当满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？
解：∵ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
∴ 当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形
（4）当满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
解：∵既是矩形又是菱形的四边形是正方形，
∴∠BAC=90°且AD平分∠BAC时，
四边形AEDF是正方形．
典例精析
例3
如果一个四边形变为特殊的四边形，中点四边形会有怎样的变化呢？
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
梯形
原四边形可以是：
典例精析
例3
平行四边形的中点四边形是平行四边形
菱形的中点四边形是矩形
矩形的中点四边形是菱形
正方形的中点四边形是
正方形
典例精析
例3
等腰梯形的
中点四边形是菱形
直角梯形的中点四边形
是平行四边形
梯形的中点四边形
是平行四边形
典例精析
例3
对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形
对角线相等的四边形的中点四边形是菱形
对角线既相等又垂直的四边形的
中点四边形是正方形
对角线既不相等又不垂直的四边形的
中点四边形是平行四边形
归纳总结
典例精析
一般四边形的中点四边形：
决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的
对角线的长度和位置关系.
原四边形对角线关系 不相等、不垂直 相等 垂直 相等且垂直
所得中点四边形形状
平行四边形
菱形
矩形
正方形
典例精析
例4
A
B
C
D
C’
A’
B’
D’
已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形ABCD
四条边上的点，并且AA'=BB'=CC'=DD'
求证：四边形A'B'C'D'是正方形
①、由已知正方形证三角形全等；
②、证得菱形；
③、再证直角；
④、是正方形
证题思路分析
从条件分析
①证明是正方形就先证是 菱形即证四边相等
②再证又是矩形即只证明有个角是直角
从结论分析
典例精析
例4
证明：∵四边形ABCD是正方形
又∵A'A=B'B=C'C=D'D
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∴四边形A'B'C'D'是菱形
又∵∠AD'A'=∠BA'B'， ∠ AA'D'+∠AD'A'=90°
∵∠D'A'B'=180°—（∠AA'D'+∠BA'B'）=90°
∴AB=BC=CD=DA
∴D'A=A'B=B'C=C'D
∴△AA'D'≌△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C'
A'D'=A'B'=B'C'=C'D'
∴ ∠AA'D'+∠BA'B'=90 °
∴四边形A'B'C'D'是正方形
A
B
C
D
C’
A’
B’
D’
典例精析
例5
如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.
证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴∠COH=∠BOE,
∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.
同理可证：OE=OF=OG,
B
A
C
D
O
E
H
G
F
∴OE=OF=OG=OH.
又∵EG⊥FH,
∴四边形EFGH为菱形.
∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,
∴四边形EFGH为正方形.
典例精析
例6
如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分 ABC , P是BD上一点,过点P作PM AD , PN CD ,垂足分别为M、N.
(1) 求证： ADB= CDB;
(2) 若 ADC=90 ,求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
证明：（1）∵BD平分∠ABC.
∴∠1=∠2.
又∵AB = BC,
∴△ABD≌△CBD (SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
（2）∵PM⊥AD,PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°.
1
2
又∵∠ADC=90°，
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴四边形NPMD是正方形.
典例精析
5种识别方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
当堂检测
1.下列命题正确的是（ ）
A、四个角都相等的四边形是正方形
B、四条边都相等的四边形是正方形
C、对角线相等的平行四边形是正方形
D、对角线互相垂直的矩形是正方形
D
2.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
A
B
C
D
O
当堂检测
3．四个内角都相等的四边形一定是（ ）
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形
4．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正
方形的是：（ ）
A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD　 B．AD∥BC ∠A＝∠C　
C．AO＝CO　BO＝DO　AB＝BC D．AC＝BD
C
A
5. 已知在□ABCD中，∠A=90°，如果添加一个条件，
即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D=90° B.AB=CD C. AD=BC D. BC=CD
D
当堂检测
6. （1）顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是 （　 　）
Ａ．正方形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．梯形
（2）顺次连接菱形的各边中点，所得的四边形一定是（　 　）
Ａ．正方形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．平行四边形
（3）顺次连接正方形的各边中点，所得的四边形一定是（　 　）
Ａ．正方形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．平行四边形
B
C
A
当堂检测
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，
∴∠DEC= ∠DFC=90°.
又∵ ∠C=90 °，
∴四边形EDFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线，
DE⊥AC，DG⊥AB，
∴ DE=DG.
同理得DG=DF，
∴ED=DF，
∴四边形EDFC是正方形.
7.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.
DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
G